專題49與角有關的等腰三角形的存在性問題

【題型演練】

一、解答題

1.在等邊ABC中，。為8C上一點，E為BA上一點、,過B作3尸〃AC,連接收，DF,且/EED=60。.

(1)如圖1,若B尸=4,BE=5,求3。的長.

(2)如圖2,若。為CB延長線上一點，試探究30、BE、所的關系，并說明理由.

(3汝口圖3,若。為BC延長線上一點，E為54延長線上一點，AE-.BF.AC=2:3:5,請直接寫出CD:3D的

比值.

2.己知ABC是銳角三角形，且NC=60。，點。，E分別是邊AC,8C上一點，點F是3。和AE的交點.

圖2

(1)如圖1,若AC>3C,且Na4E=NABD,ZAFD=60°,AD=2,求8E的長；

(2)如圖2,若AC=3C,S.AD=CE,過點5作3河〃AC,且，"=3C,線段陸與3C相交于點G,點

N是M尸的中點，連接3N,求證：AF+BF=2BN.

3.在等邊J1BC中，。為射線8C上一點，CE是NACB外角的平分線，ZADE=60°,EFJ.BC于F.

圖1圖2

(1)如圖1,求證CE〃AB；

(2)如圖1,若點。在線段BC上(不與8,C點重合)，求證：BC=DC+2CF；

(3)如圖2,若點。在線段BC的延長線上，(2)中的結論是否仍然成立？請說明理由.

4.如圖，-ABC是等邊三角形.

(1)點尸是A3邊上一動點.

①當點P移動到A3中點時，延長CB至E,使BE=BP,連接PEPC.求證：PE=PC；

②在點尸運動過程中，以CP為邊在CP上方作等邊△CP。，連接A2CO,當”＞鰭時，求EMZ)尸的取值

范圍；

(2)4/是ABC的高，記AN長為m動點M在AH上運動，在CM上方以CM為邊作等邊CMN,在點M

運動過程中，求點N所經過的路徑長.

5.如圖1,在ABC中，AB^AC,BC=2,點。為..4BC兩外角/CB。，/BCE的平分線的交點，連接

OB,OC.

(1)求證O3=OC；

(2)如圖2,點M在線段BC上，點N為射線CE上一點，且滿足/ABC=2/MCW.

①求；CMN的周長；

②如圖3,若NA=30。，且點。'為/ABC,—AC3的平分線的交點，線段AC上是否存在一點G,使得△CGM

與右CMV的周長相等？若存在，請直接寫出NMO'G的度數；若不存在，請說明理由.

6.在等邊三角形ABC中，AB=18,點。是BC邊上的一點，點尸是AB邊上的一點，連接P。，以PD為

2

邊作等邊三角形PDE,連接BE.

A<P}

(1汝口圖1,當點P與點A重合時，求證：BE=CD.

(2)如圖2,若AP=3,請計算3E+BD的值.

7.已知一ABC和一。EF均為等腰三角形，筋=47,￡)E=0尸,/546=/即廣，點“在48上，點廠在射線4。

上.

C(F)

(1)如圖1,若44c=60。，點F與點C重合，求證：AD//BC-,

(2)如圖2,若4)=他，求證：AF^AE+BC.

(3)若AB=5,在(2)的條件下，點E為A3的中點，尸為3c所在直線上一動點，當⑷尸一即1取得最大值

時，請直接寫出8P的長.

8.如圖，點。是等邊.ABC內一點，ZAOB=110°,ZBOC=a.將30c繞點C按順時針方向旋轉60。得

△ADC,連接OD.

(1)當。=150。時，通過上述旋轉可得到三條線段。4、OB、OC之間的等量關系，請寫出這個等量關系,

并說明理由;

(2)探究：當a為多少度時，△AOD是等腰三角形？(只填出探究結果即可)。=

3

9.如圖1,C、。是以AB為直徑的。上的點，且滿足3C=CD=ZM=3,點尸在A8上，PD交AC于點

⑴求“的度數.

(2)如圖2,當點P是AB的中點時,

①求證：—AMG是等腰三角形.

②求多的值.

ACJ

(3)如圖1,設粵=x,

△DM/與△CM的面積差為y,求y關于x的函數表達式.

MC

10.如圖，在*4BC中,ZBAC=90°,AB^AC,射線AD13c于點D

(1)如圖1,求/BAD的度數；

(2)若點E,尸分別是射線AD,邊AC上的動點，AE=CF,連接BE,BF.

①如圖2,連接斯，當跖〃3c時，求NEBD的度數；

②如圖3,當班;+8尸最小時，求證：ZABF=ZDBE.

11.【基礎鞏固】

(1)如圖1,在ABC中，D,E,尸分別為A3,AC,8C上的點，DE//BC,BF=CF,AF交DE于

點G,求證：DG=EG.

【嘗試應用】

DE

(2)如圖2,在(1)的條件下，連接CO,CG.若CGLDE,CD=10,AE=6,求=的值.

【拓展提IWJ】

4

(3)如圖3,在YABCD中，^ADC^45°,AC與交于點。，E為AO上一點，EG〃BD交AD于點、G,

￡F_LEG交3C于點F.若N￡G產=40。，尸G平分/EFC,FG=8,求■的長.

12.如圖1,若P是ABC內部一點，5.ZPAC=ZPCB=ZPBA=a,則稱點尸為ABC的布洛卡點，同時

稱a為.ABC的布洛卡角.布洛卡點的發現，引發了研究“三角形幾何”的熱潮.

(1)如圖2,P為等邊三角形A3c的布洛卡點，求ABC的布洛卡角的度數;

(2)如圖3,在‘ABC中，AB^AC,尸是，ABC內部一點，且NR4C=NPCB,ZAPC=ZBPC.

①求證：/)為_他(7的布洛卡點;

②若NBAC=ZAPB,延長3P交AC于點。，求證：。是AC中點.

13.如圖，等腰直角二A03中，ZAOB^90°,AB=6,點C在直線A3上運動，連結OC,將線段0C繞點

。逆時針方向旋轉90。得線段。。，連結CO,AD.

(1)【基礎鞏固】求證：△AOZ^^BOC；

(2)【嘗試應用】如圖1,當點C在線段AC上時，若AC=23C,求△COD的面積；

3

(3)【拓展思考】如圖2,當點C在線段54的延長線上時，設AD與OC的交點為E,若"OE的面積為萬,

分別求線段AC和OE的長.

5

14.在ABC中，BC=8,兩條高AD,BE交于點、H,P是8的中點，連接■并延長交邊BC于點G.

(1)如圖1,若ABC是等邊三角形.

①求證：AH=2DH；

②求CG的長.

(2)如圖2,若AH=DH,CG=BD,求J1BC的面積.

15.如圖①，NQ4P=60。，以/OAP的頂點A為頂點作正「ABC,延長邊BC與，。AP的AP邊交于E點,

在AO邊上截取一點D,使得=并連結2D.

(1)求證：BE=AB+BD；

(2)①將正ABC繞頂點A按順時針旋轉，使頂點8落在—Q4P內部，如圖②，請確定3D,AB,跖之間

的數量關系，并說明理由；

②將圖②中的正,ABC繞頂點A繼續按順時針旋轉，使頂點8落在射線。尸下方，如圖③，請確定BD,AB,

班之間的數量關系，不必說明理由;

(3)在(1)和(2)的條件下，若AC=4,BD=1,求BE的長.

16.如圖1,在線段A3上取一點C(BC>AC),如果以AC,3C為邊在同一側作正方形ACDG與正方形

CBEF,連接EG,取EG的中點M,DM的延長線交所于點N.

6

D

(1)請探究ZW與9的數量關系和位置關系，并加以證明.

(2)如圖2,將正方形CBEF繞點C順時針旋轉，使得A,C,E在同一條直線上，其余條件不變.

①填空：/FEC的度數是,NDCF的度數是.

②探究(1)中的結論是否成立？并說明理由.

17.已知_ABC是邊長為6的等邊三角形，。為中點.

圖1圖2

(1)如圖1,連接CO,E為線段。上的一個動點，以8E為邊長向下作等邊三角形3防，連接AF,證明:

AF=CE.

(2)在(1)的條件下，求B尸+gAb的最小值.

(3)如圖2,G,H分別為BC,AC上的動點，連接交于點/,ZA7W=60°,連接交AG于點J,連

接即并延長交AC于點K,KH=KJ,試探究8。即,灰7的數量關系.

18.背景資料：在已知一ABC所在平面上求一點P,使它到三角形的三個頂點的距離之和最小.這個問題是

法國數學家費馬1640年前后向意大利物理學家托里拆利提出的，所求的點被人們稱為“費馬點”.如圖1,

當4ABe三個內角均小于120。時，費馬點尸在,ABC內部，當/4/>3=/4/3。=/。尸3=120。時，則

PA+PB+PC取得最小值.

圖2圖3圖4

(1)如圖2,等邊內有一點P,若點尸到頂點A、B、。的距離分別為3,4,5,求/AP3的度數，為

7

了解決本題,我們可以將AAPB繞頂點A旋轉到△ACP處,此時△ACP絲這樣就可以利用旋轉變換，

將三條線段小、PB、PC轉化到一個三角形中，從而求出44PB=.知識生成：怎樣找三個內角

均小于120。的三角形的費馬點呢？為此我們只要以三角形一邊在外側作等邊三角形并連接等邊三角形的頂

點與一ABC的另一頂點，則連線通過三角形內部的費馬點，請同學們探索以下問題.

⑵如圖3,ABC三個內角均小于120。，在，ABC外側作等邊三角形連接求證：C?過ABC

的費馬點.

(3)如圖4,在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=1,4LBC=30。，點尸為.ABC的費馬點，連接AP、2尸、CP,

求P4+P3+PC的值.

19.如圖，ABC中，ZC=90°,AB=10cm,BC=6cm,若動點尸從點C開始，按C—A—C的路徑運

動，且速度為2cm/秒，設點尸運動的時間為/秒.

⑴當.PBC是以BC為斜邊的直角三角形時，求t的值.

(2)當一PBC為等腰三角形時，求f的值.

8

專題49與角有關的等腰三角形的存在性問題

【題型演練】

一、解答題

1.在等邊一ABC中，。為上一點，E為BA上一點、,過B作3尸〃AC,連接所，DF,

且/EFD=60°.

(D如圖1,若W=4,BE=5,求的長.

⑵如圖2,若。為CB延長線上一點，試探究30、BE、防的關系，并說明理由.

(3)如圖3,若。為BC延長線上一點，￡為54延長線上一點，AE:BF:AC=2:3:5,請直

接寫出CD:3。的比值.

【答案】⑴1

Q)BF=BD+BE

⑶CD:BD=1:2

【分析】(1)延長D?至點H，使BH=BF,易得.為等邊三角形，證明“EDH-EEB,

得到=利用—求出3D的長即可.

(2)延長3D至點使血1=8尸，易得BMF為等邊三角形,證明"DM烏FEB,得

至LlMD=3E,^^BM=BD+DM,即可得到毋'=3Z)+3E；

(3)在8。上截取BM=BF,易得^BMF為等邊三角形，證明DMF^EBF,得到MD=BE,

設AE=2k,BF=3k,AC=5k,求出B￡>,C￡>,即可得解.

【詳解】(1)解：延長D8至點打，使BH=BF,

：.ZABC=ZC=60°,

'：BF//AC,

：.ZFBH=60°,

9

陽是等邊三角形，

：.ZH^ZBFH=60°,HF=BF,

?：/EFD=6。。,

：.ZEFB=ZDFH=60°+ZBFD,

NHBF=ZABC=60。,

ZEBF=ZH=60°,

：.^DHF^EBF(ASA),

：.DH=BE=5,

,:BH=BF=4,

：.BD=DH-BH=5-4=1；

(2)解：BF=BD+BE；理由如下:

延長BD至點使BM=BF,

ZABC=ZC=60°,

BF//AC.

：.ZFBM=60°,

，一是等邊三角形，

：.ZM=ZBFM=60°,MF=BF,

?；NEFD=60。,

：.ZEFB=ZDFM=600-ZBFD,

'：ZMBF=AABC=6G°,

：.ZEBF=ZM=60°,

：.DMF烏￡BF(ASA),

；?MD=BE,

*：BM=BD+DM,

：.BF=BD+BE；

(3)解：在3。上截取=

10

E

???三角形ABC是等邊三角形，

???ZABC=ZACB=60°f

'：BF〃AC,

：.ZFBM=6Q°,

.FBM是等邊三角形，

AZBMF=ZBFM=60°,MF=BF,

?:NEFD=60。,

：.ZEFB=ZDFM=60°-ZEFM,

'：ZMBF=ZABC=60°,

：.ZEBF=ZBMF=60°,

???，DMFg,EBF(AS0,

:?MD=BE,

VAE:BF:AC=2:3:5,

設AE=2左,5b=3NAC=5k,

AAB=BC=AC=5kfMD=BE=AB+AE=1k,BM=BF=3k,

:?BD=BM+MD=10k,CD=BD-BC=5k,

：.CD:BD=1:2.

【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質.通過添加輔助線,

證明三角形全等，是解題的關鍵.

2.已知一ABC是銳角三角形，且NC=60。，點O,￡分別是邊AC,3C上一點，點b是

和A￡的交點.

(1)如圖1,若AC>BC,且44E=NA瓦)，ZAFD=6Q°fAD=2,求班的長；

(2)如圖2,若AC=3C,且AD=CE,過點5作BM〃AC,^BM=BC,線段Mb與3。相

交于點G,點N是”F的中點，連接3N,求證：AF+BF=2BN.

11

【答案】⑴2

(2)證明見解析

【分析】(1)延長8。至點G,使得3G=AE,先證明ABAE9△ABG(&4S),得至UAG=BE,

NBEA=NG,根據NEM+/3砂+/3PE=180°,/￡BF+NC+N3Z)C=180°可得

NBEF=NBDC,由NADG=NCDF,可得ZADG=NBEF=NG,則AD=AG,即可得到

答案；

(2)先證明_ABC是等邊三角形，進一步證明△ACE=ABAaSAS),延長8N到Q,使得

NQ=BN,連接尸Q.可證△3NM且ZM2N/(S4S),^FQ=BM=AB,延長3尸到尸，使

PF^AF,連接"，PQ,則R4F是等邊三角形，ffi.PFQ^PAB(SAS),得到PBQ是

等邊三角形，進而可得結論.

【詳解】(1)解：如圖1中，延長50至點G,使得3G=AE,

圖1

在和，/1SG中，

AE=BG

?：<ZBAE=NABG,

AB=AB

：.ABAE9AABG(SAS),

AG=BE,NBEA=NG,

ZAFD=60°,

：.NBFE=60。,

又ZC=60°,NEBF+ZBEF+Z.BFE=180°,/EBF+ZC+ZBDC=180°,

NBEF=/BDC,

,?ZADG=NBDC,

：.ZADG=ZBEF=ZG,

：.AG=AD,

：.BE=AD=2,

/.BE的長為2.

(2)證明：如圖2,

12

Q

圖2

VAC=BC,ZC=60°,

???-ABC是等邊三角形，

AAC=AB9ZC=ZBAD=60°.

在ZVICE與‘BAD中，

AC=AB

?：\ZC=ZBAD,

CE=AD

：.AACE絲ABAD(SAS),

：.ZABF=ZCAE,

：.ZAFD=ZFAB-^ZABF=60°f

：.ZBFA=180。—ZAFD=120°.

如圖2中，延長BN到。，使得NQ=BN,連接尸Q.

???點N是MF的中點，

:?NM=NF,

在&BNM與公QNF中,

'NM=NF

?.?]NBNM=ZQNF,

BN=NQ

：.ABNM也△QNF(SAS),

：.FQ=BM=AB,AM=ZQFN,

BMFQ,

延長所到P,使得尸尸=”，連接A尸，PQ,則△以/是等邊三角形,

；.NPAB+/PBA=/PBA+NFBM=120。,PA=PF,

：.ZPAB=ZFBM,

?.?BMFQ,

??.ZPFQ=ZFBM=ZPAB,

在△尸歹。與中，

PF=PA

?；1/PFQ=NPAB,

FQ=AB

13

.?…PF—PAB(SAS),

/.PQ=PB=PF+BF,ZQPF=ZBPA=60°,

，是等邊三角形，

/.AF+BF=PF+BF=PB=QB=2BN.

【點睛】此題主要考查了全等三角形的判定和性質、等邊三角形的判定和性質，等角對等邊，

平行線的判定與性質，三角形內角和定理等知識.作輔助線構造全等三角形是解題的關鍵.

3.在等邊，中，。為射線BC上一點，CE是NACB外角的平分線，ZADE=60°,

EF工BC于F.

(2)如圖1,若點。在線段8C上(不與5,C點重合)，求證：BC=DC+2CF；

(3)如圖2,若點。在線段的延長線上，(2)中的結論是否仍然成立？請說明理由.

【答案】(1)答案見解析.

⑵答案見解析.

(3)不成立.理由見解析.

【分析】(1)：為等邊三角形，ZB=ABCA=600---ZACF=120°，：CE為角平

分線，，乙ECF=4B=60。即可得出結論.

(2)過點。作DG〃AC交A2延長線于G,證得AGD^.DCE,得出AD=Z)E,進一步

利用GD=CE,3￡>=CE得出結論.

(3)證明方法同(1)得出(2)不成立.

【詳解】(1),?二ABC為等邊三角形，

NB=ABCA=60°，

AACF=120°，

VCE為角平分線，

AECF=AB=60°，

CE〃AB.

(2)如圖，

14

A

過點。作。G〃AC交AB于G,

???..ABC是等邊三角形，AB=BC,

ZB=ZACB=60°,

?'-ABGD=60°，AAGD=120°，

???.3OG是等邊三角形，

:?BG=BD,

：.AG=DCf

??,CE是/AC3外角平分線，

，AACE=-AACF=60°,

2

?*-ADCE=AAGD=120°

,-*AADB+AEDC=120°=AADB+ADAG，

4EDC=4DAG,

在△AG。和△。。石中，

ZAGD=ZDCE

<AG=DC

/EDC=ZDAG

:.LAGD空」DCE(SAS),

：.GD=CE,

：.BD=CE,

：.BC=CE+DC=DC+2CF.

(3)不成立，此時比1=2〃-⑦，理由如下:如圖,

:.GD=CE9

：.BD=CE,

15

：.BC=BD-CD=CE-DC=2CF-CD.

【點睛】此題主要考查了等邊三角形的性質及全等三角形的判定，利用邊角關系及等量代換

求得結論.

4.如圖，是等邊三角形.

備用圖②

(1)點尸是邊上一動點.

①當點尸移動到A2中點時，延長CB至E,使BE=BP,連接PE,PC.求證：PE=PC；

②在點尸運動過程中，以CP為邊在CP上方作等邊△”>￡>,連接AD,C￡>,當尸時,

求EMDP的取值范圍;

⑵A”是.ABC的高，記長為。，動點M在A"上運動，在CN上方以CM為邊作等邊

CMN,在點M運動過程中，求點N所經過的路徑長.

【答案】⑴①見解析；?00<ZADP<30°

⑵。

【分析】(1)①根據等邊三角形的定義得到NABC=NACB=60。，根據三線合一的性質求

出ZACP^ZBCP^30°,利用三角形外角性質求出Z￡=30°,由此得到結論;②當點尸是A3

中點時，證明ACP與ACD(SAS),求出/ADP=30。；當點。與點A重合時，NAT>P=O。，

根據得到EM￡)尸的取值范圍；

(2)取AC的中點E,連接7VE,如圖，證明\MCH\NCE網0,得到MH=NE,NELAC,

當點M與點A重合時，NE=MH=AH=a,當點”與點X重合時，點N與點E重合，由

此求出點N所經過的路徑長.

【詳解】(1)①；ABC是等邊三角形，

ZABC=ZACB=60°,

:點尸是AB中點，

ZACP^ZBCP=30°,

BE=BP,

NE=ZBPE,

,：ZE+ZBPE=60°,

：.NE=30。，

NE=NBCP,

：.PE=PC；

16

②當點尸是A5中點時，ZACP=30°,ZAPC=90°,

???△CTO的等邊三角形，

ZPDC=ZPCD=6009CP=CD,

：.ZACD=300=ZACP,

又「AC=AC,

???，AC&ACD(SAS),

???ZADC=ZAPC=90°,

：.ZADP=30°；

當點。與點A重合時，ZADP=0°,

TAP>BP,

：.00<ZADP<30°；

(2)取AC的中點E,連接7VE,如圖,

VAH±BC,

CH=-BC,

2

CE=-AC=-BC,

22

：.CH=CE,

??,.ABC和..CAW都是等邊三角形，

AZACB=ZMCN=6O°,CM=CN,

：.ZMCH=ZNCE,

17

，.…MCH會一NCE(ASZ,

：.MH=NE,ZNEC=NMHC=90。,

：.NE±AC,

當點M與點A重合時，NE=MH=AH=a,

當點”與點〃重合時，點N與點E重合，

.?.點N所經過的路徑長為a.

【點睛】此題考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質，三角形的外角性質，等

腰三角形三線合一的性質，熟練掌握三角形的有關知識是解題的關鍵.

5.如圖1,在ABC中，AB=AC,BC=2,點。為4ABe兩外角NCBD,NBCE的平分

線的交點，連接08,OC.

⑴求證O3=OC；

⑵如圖2,點M在線段上，點N為射線CE上一點，且滿足/ABC=2/MON.

①求二CMV的周長；

②如圖3,若NA=30。，且點。'為/ASC,—ACB的平分線的交點，線段AC上是否存在

一點G,使得△CGN與一CMN的周長相等？若存在，請直接寫出NMO'G的度數；若不存

在，請說明理由.

【答案】(1)見詳解

⑵①2,②52.5。

【分析】(1)由NABC=NACB,可得/DBC=NECB,根據點。為&ABC兩外角NCBD,

/BCE的平分線的交點，即有NC20=1NC8D,=問題隨之得解；

22

(2)①先證明/CBO=/3CO,再根據/ABC=2/MON,證明N3OC=2NMON,在BC

上取一點T,使得BT=CN,連接70,證明-TBOZ一NCO(SAS),接著證明

TMg一MWO(SAS)，問題隨之得解;②先計算出ZABC=ACB=75°,根據點O'為ZABC,

ZACB的平分線的交點，可得ZBOC=105°,30'=CO',在BC上取一點使得BH=CG,

連接O'H,O'G,如圖，根據△CGM與&CMN的周長相等，可得HM=MG,再證明

18

OBH'O'CG,即有N6O'H=NCO'G,O'H=O'G,接著證明。MH烏O'MG,即有

ZHOrM=ZGOrM=-ZHOrG,即可得N"(7G=NBOC=105。，問題得解.

2

【詳解】(1)9：AB=AC,

：.ZABC=ZACBf

:?/DBC=/ECB,

???點。為一ABC兩外角NC5O,ZBCE的平分線的交點，

ZCBO=-ZCBD,ZBCO=-ZBCE,

22

???ZCBO=ZBCO,

：.OB=OC；

(2)①在(1)中已有ND3C=NEC5,ZCBO=-ZCBD,ZBCO=ZNCO=-ZBCE,

22

ZCBO=ZBCO,

即有NCBO=NNCO,

???ZDBC=180°-ZABC,

ZCBO=ZBCO=-ZDBC=90°--ZABC,

22

NBOC=180。-(NCBO+4CO)=ZABC,

ZABC=2ZMON,

：.ZBOC=2ZMON,

在5c上取一點T,使得BT=CN,連接TO,如圖，

VOB=OC,/CBO=/NCO,BT=CN,

:…TB(涇NCO(SAS),

：.TB=NC,TO=NO,ZTOB=ZNOC,

'/ZBOC=2ZMON,

：.NBOT+ATOM+ZMOC=2ZMOC+2/CON,

???ZTOM=ZMOC+NCON=AMON,

°：OM=OM,TO=NO,

19

:?jTMg^NMO8的,

：.TM=NM,

：.NM+NC+CM=TM+BT+CM=BC,

,:BC=2,

:?NM+NC+CM=2,

即4cMN的周長為2；

②???NA=30。，AB=ACf

：.ZABC=ACB=75。,

???點O'為/ABC,/ACS的平分線的交點，

:.NO'BC=ZOCB=ZOfCG=37.5°,

ZBOrC=105°,BO,=CO,,

在3c上取一點H,使得BH=CG,連接077,O'G,如圖,

:△CGM與「CMV的周長相等，在①中有：NM+NC+CM=BC,

：.CG+MG+CM=BC=BH+HM+CM,

*/BH=CG,

：.HM=MG,

,ff

VBO=CO\ZOBC=ZOCG=37.5°fBH=CG,

：?OBH'OCG,

,,

：.ZBOH=ZCOGfOH=0'G,

VO'M=O'M,HM=MG,

；?OMHAOMG,

/HO'M=ZGOrM=-ZHOrG,

2

?/NB(yH=/CO'G,

：.ZHO'G=ZHOC+ZCOfG=/HOC+/BOH=ZBOfC,

：./HOG=ZBOC=105°,

NGO'M=-/HO'G=52.5°.

2

20

【點睛】本題是一道三角形的綜合題，考查了角平分線的定義，三角形內角和定理，全等三

角形的判定與性質等知識，做輔助線，證明O'BH^O'CG.0MH烏O'MG是解答本題

的關鍵.

6.在等邊三角形ABC中，A5=18,點。是BC邊上的一點，點P是AB邊上的一點，連接

PD,以尸。為邊作等邊三角形PDE,連接BE.

圖1

（1）如圖1,當點尸與點A重合時，求證：BE=CD.

（2）如圖2,若AP=3,請計算座+m的值.

【答案】（1）見解析

⑵15

【分析】（1）根據ABC和VADE均是等邊三角形，得到AE=AD,4?=AC,同時結合角

度得和差關系得到=即可得證；

（2）過P點作尸尸〃AC交C。于F，可以證得△3P尸是等邊三角形，從而根據（1）中的方

法證明APBE合PFD,即可求解；

【詳解】（1）ABC和VADE均是等邊三角形

AE=AD,AB=AC,ZEAD=ABAC=60

即ZEAB+ZBAD=ACAD+ABAD

AEAB=ADAC

AE=AD

在AAEB和AADC中：,NEAB=ZDAC

AB=AC

ACD^,ABE(SAS)

BE=CD

(2)過P點作尸尸〃AC交CD于尸

21

ABC是等邊三角形，且PF//AC

???NBPF=ZA=60,ZPBF=ZABC=60

△出步是等邊三角形

BP=FP,NBPF=ZEPD=60

即ZEPB+ZBPD=ZFPD+ZBPD

NEPB=NFPD

△PDE是等邊三角形

PE=PD

PE=PD

在小PBE和白PFD中：-/EPB=ZFPD

BP=FP

PBE^^PFD（SAS）

BE=FD

BE+BD=FD+BD=BF=BP

AB=18,AP=3

BF=BP=15

^BE+BD=15.

【點睛】本題主要結合等邊三角形的性質，考查全等三角形的判定和性質，準確的作出輔助

線是求解本題的關鍵.

7.已知，ABC和JDEF均為等腰三角形，AB=AC,DE=DF,ABAC=,點E在AB上,

點F在射線AC上.

(1)如圖1,若Zfi4C=60。，點尸與點C重合，求證：AD//BC；

(2)如圖2,若=求證：AF=AE+BC.

⑶若AB=5,在(2)的條件下，點E為AB的中點，尸為3C所在直線上一動點，當1np-

取得最大值時，請直接寫出的長.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)5

22

【分析】(1)根據題意得出「ABC,一兩為等邊三角形，證明△BCE之△ACD(SAS),根

據NEBC+NE4C+NOAC=180。，即可得證；

(2)在E4上截取百欣=AE,連接DM,證明AAED學△MFD(SAS),AABC^ADAM(SAS),

根據全等三角形的性質即可得證；

(3)如圖所示，延長DE交直線BC于點P,根據三角形三邊關系得出當IOP-EPI取得最

大值時，則|如-阿|的最大值為DE的長，進而證明“陋汪—應P,根據全等三角形的性

質即可求解.

【詳解】(1)證明：,/ZBAC=AEDF=60°,AB=AC,DE=DF,

ABC,DEF為等邊三角形，

/.BC=AC,CE=CD,ZBCE+ZACE=ZDCA+ZECA=60°,

ZBCE=ZACD,

在和ACD中，

BC=AC,

<NBCE=NACD,

CE=CD,

：.ABCE^AACP(SAS),

???/DAC=/EBC,

,/ABC為等邊三角形，

???Z.EBC=ZJEAC=ZDAC=60°.

JZEBC+ZEAC+ZDAC=180°,

：.AD//BC

(2)如圖2,在E4上截取=連接。M,

連接￡L>交AC于N,

???ABAC=ZEDF,ZANE=ZDNF,

???ZAED=ZMFD,

在△AED和AMFD中，

AE=MF,

<ZAED=/MFD,

ED=FD,

：.AAEP^AMFDCSAS),

23

DA=DM=AB=AC,ZADE=NMDF,

ZADE+ZEDM=ZMDF+ZEDM,

即/ADM=NEDF.

ZADM=ZBAC,

在」IBC和△DA”中，

AB=DA,

<ZBAC=ZADM,

AC=DM,

：.△ABC之ADAM(SAS),

/.AM=BC,

：.AE-hBC=FM+AM=AF.

BPAF=AE+BC.

(3)解：如圖所示，延長DE交直線3C于點尸，

當|DP-￡P|取得最大值時，則\PD-PE\的最大值為DE的長,

由(2)可得△ABC烏△D4M(SAS)

NDAC=ZACB,

：.AD//BC,

ZADE^ZP,

為AB的中點，則任=①，

又：ZAED=/PEB

:._AED^BEP(AAS),

BP=AD=5

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質與判定，全等三角形的性質與判定，掌握全等三角形

的性質與判定是解題的關鍵.

8.如圖，點。是等邊A5c內一點，ZAOB=110°,ZBOC=a.將_BOC繞點C按順時針

方向旋轉60。得△ADC,連接OD.

24

A

(1)當a=150。時，通過上述旋轉可得到三條線段。4、OB、OC之間的等量關系，請寫出這

個等量關系，并說明理由；

(2)探究：當C為多少度時，△AOD是等腰三角形？(只填出探究結果即可)a=.

【答案】⑴OA2=Og2+oc2,理由見解析

(2)125。或110。或140。

【分析】(1)由旋轉的性質可得二BOC=AADC即

CO=CD,AD=OB,ZADC=ZBOC=150°,進而得到△COD是等邊三角形即

/CDO=60°,OC=OD則ZADO=90°,最后根據勾股定理即可解答；

(2)分AO=AD、OA=OD,OD=AD三種情況，然后分別根據等腰三角形的性質和旋轉

的性質求解即可.

【詳解】(1)解：OA2=OB2+OC2,理由如下：

???將一3OC繞點C按順時針方向旋轉60得△ADC

ABOC=AADC,ZDCO=60°

/.CO=CD,AD=OB,ZADC=NBOC=150。

.?.△COD是等邊三角形

ZCDO=60°,OC=OD

，ZADO=ZADC-ZCDO=150°-60°=90°

:.△AOD是直角三角形

:.=OD2+AD2

/.OA2=OB2+OC2.

(2)解：①要使=需ZAOD=NADO

:NAOD=360°—110°—60°—(z=190°—a,ZAD(9=?-60°

A190°-a=a-60°,解得：a=125°；

②要使Q4=OD,需NOAD=ZADO

：.Z.OAD=180°-(ZAOD+ZADO)=180°-(190°-a+cr-60°)=50°

Atz-60°=50°,

."=110。；

③要使8=AD,需NOAD=ZAOD

25

??28=36。。-11。。-6。?=19。?，/。的小。。一（廠6。。）“°。若

a

：.120°=190°—。，解得a=140。

2

綜上，當1的度數為125。或110。或140。時，△AOD是等腰三角形.

【點睛】本題主要考查了旋轉的性質、等邊三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質

等知識點，靈活運用等腰三角形的判定與性質成為解答本題的關鍵.

9.如圖1,C、。是以A3為直徑的。上的點，且滿足3C=CD=ZM=3,點P在AB上,

圖1圖2備用圖

⑴求/DA4的度數.

⑵如圖2,當點尸是A8的中點時，

①求證：AMG是等腰三角形.

②求笠的值.

ACr

（3汝口圖1,設管=》，△》以與的面積差為“求y關于x的函數表達式.

【答案】(l)ZDBA=30°

⑵①見解析，②黑考

3

⑶3-A/3(X+1)

【分析】（1）根據圓周角定理，直徑所對的圓周角是直角，計算即可.

（2）①根據等腰三角形的定義證明即可.

②利用圓周角定理，三角形相似的判定和性質，三角函數計算即可.

（3）利用圓周角定理，平行線的性質，三角形相似的判定和性質，三角函數計算即可..

【詳解】（1）BC=CD=DA,

26

；?BC=CD=DA，

：.ZDBA=ZDBC=ZCABf

???A3是直徑，

JZACB=90°,

，NDBA+/DBC+NCAB=3/DBA=90°,

ZDBA=30°.

(2)①,??P是AB的中點，AB是直徑，

：.ZADP=NBDP=45。,

???ZDBA=30°f

：.ZDAB=60°,

：.ZDG4=180°-ZZMB-Zz4Z)P=180o-60o-45o=75o,

ZC4B=30°,

???ZAMG=180。—ZCAB-ZAGM=180。—30°-75°=75°,

/.AM=AG,

???一AMG是等腰三角形.

②???BC=CD=DA，

：.ZDBA=ZDBC=ZCAB=ZDAC,

A3是直徑，

???ZACB=90°,

：.ADBA+ADBC+ACAB=3ZDBA=90°,

ZDBA=30°.

：.ZDAC=30°,

27

ZADP=NBDP=45。，

又?二ZAGM=ZAMG=ZDMI=75°,

J/\IDMS^ADG,

,?.翳=今3”〃"30。=孝

(3)'：AD=BC,

?**AD=BC，

ZDBA=ZCDB,

：.DC//AB,

：.ZCDM=ZDGA=ZPGH=ZHNB=ZDNC,

'：ZDCM=ZNDC,

：.ACDMs^DNC,

.CDCM

*'D2V-CD'

，DN.CM=CD2=9,

VAD=CD=3,ZAT>C=120°,

??AC=3y[39

AM

x

MC

MC*DN=6(x+i)，

x+1

o

,,=^Z\DMC~^^CND=—CD(^CM-DM^sin3Q

【點睛】本題考查了圓周角定理，平行線的性質，三角形相似的判定和性質，等腰三角形的

判定，三角函數的應用，熟練掌握三角形相似的判定和性質，靈活運用三角函數是解題的關

鍵.

10.如圖，在4ABe中，/SAC=90。，AB^AC,射線AD1BC于點D

28

（1）如圖1,求154Q的度數；

⑵若點E,尸分別是射線AD,邊AC上的動點，AE=CF,連接BE,BF.

①如圖2,連接所，當EF〃BC時，求NEBD的度數；

②如圖3,當5E+BF最小時，求證：ZABF=ZDBE.

【答案】⑴/BAD=45°

⑵①/EBD=225。；②見解析

【分析】（1）根據等腰三角形三線合一進行解答即可；

（2）①根據等腰三角形的性質，得出AG=AF,得出BG=CF,根據等腰三角形的判定得

出AE=GE,即可證明BG=GE,得出NGBE=/GEB,根據平行線的性質得出

NGEB=NEBD,證明NGS￡=,根據NGBE+NEBZUdS。即可得出答案；

②過點C作。Vf_L3C,在CM上截取CG=AB,證明ABEWCGF,得出BE=GF,從而

得出BE+BF=BF+FG,5、F、G在同一直線上時，3尸+尸G最小，即3E+3尸最小，連

接BG交AC于一點，該點即為尸，交AO于點用證明=得出NHBE=45。,

證明=得出ZABF+NFBC=NFBC+NDBE,即可證明結論.

【詳解】（1）解：?.?在—ABC中，AB^AC,ADJ.BC,ZB4C=90°,

AZBAD=-ZBAC=45°；

2

（2）解：①延長EE交A3于點G,如圖所示：

?.,在ABC中，AB^AC,ABAC=90°,

：.ZABC=ZACB=1x90°=45°,

2

?；EF//BC,

：.ZAGF=ZABC^45°,ZAFG=ZACB=45°,

：.ZAGF=ZAFG,

：.AG=AF,

29

???AB-AG=AC-AF,

：.BG=CF,

'：ZAGE=ZGAE=45°,

：.AE=GE,

,:AE=CF,

：.BG=GE,

：./GBE=NGEB,

,:EF〃BC,

：./GEB=NEBD,

：./GBE=/EBD,

?.,NGBE+NEBD=45。,

：.ZEBD=22.5°；

②過點。作在CM上截取CG=AB,如圖所示:

也

?；ZBCG=90。,ZBC4=45°,

???ZACG=45°,

ZBAD=45°,

：.ZACG=ZBADf

VAB=CG,AE=CFf

：.ABE^.CGF,

:.BE=GF,

：.BE+BF=BF+FG,

???3、F、G在同一直線上時，BF+FG最小,即/最小，連接5G交AC于一點，該

點即為尸，交于點”，如圖所示：

V.ABE^CGF,

：.ZAEB=ZCFG.

30

?；ZAFH=NCFG,

：-ZAEB=ZAFH,

ZBHE=ZAHF,

又NHBE+ZBEH+ZBHE=180°,

ZAHF+ZAFH+ZHAF=