專題40二次函數中的面積問題

【題型演練】

一、單選題

1.（2022.全國?九年級專題練習）如圖，已知拋物線＞=-/+.+4的對稱軸為彳=_3,過其頂點M的一條

直線＞=履+方與該拋物線的另一個交點為N（T,1）.點尸的坐標為（0,1）,則AaWN的面積為（）

A.2B.4C.5D.6

2.（2022?湖北.漢川市實驗中學九年級階段練習）如圖，拋物線右：丫=。2+法+。。#0）與尤軸只有一個公共

點A（2,0）,與y軸交于點8（0,4）,虛線為其對稱軸，若將拋物線向下平移4個單位長度得拋物線乙，則圖

中兩個陰影部分的面積和為（）

3.（2022?廣東.江門市新會東方紅中學二模）如圖，拋物線丫=-（*+〃）+4的頂點為P,將拋物線向右平移

3個單位后得到新的拋物線，其頂點記為設兩條拋物線交于點C,則的面積為（）

4.（2019?浙江湍安市安陽實驗中學九年級期中）如圖，拋物線y=-/+2丈+3與x軸交于A、8兩點（A在8

的左側），與>軸交于點C,點尸是拋物線上位于龍軸上方的一點，連接AP、BP,分別以AP、3尸為邊向aABP

外部作正方形APE。、BPFG,連接BD、AG.點P從點A運動到點2的過程中，△A3。與△ABG的面積和

的變化情況是（）

A.先增大后減小B.先減小后增大

C.始終不變D.一直增大

5.（2021?貴州銅仁?三模）如圖，拋物線y=一/+依+/7與直線1=區+/7相交于4（4,一3）,3（0,5）兩點，點C

是拋物線的頂點.下列結論正確的個數（）

（1）AB=4A/5；（2）拋物線為：y=-/+2尤+5；⑶當0〈尤<4時，代數式無?-4x的值是負數；（4）AABC

的面積為6

A.4個B.3個C.2個D.1個

6.（2022?江蘇?九年級專題練習）如圖，點A是拋物線y=/圖象在第一象限內的一個動點，且點A的橫坐

標大于1,點E的坐標是（0,1）,過點A作軸交拋物線于點以過A、B作直線AE、BE分別交x軸

于點。、C,設陰影部分的面積為S,點A的橫坐標為機，則S關于加的函數關系式為（）

2

C.S=2mD.S=m2—m

7.（2020.浙江臺州.九年級期中）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-7一以與1軸交于o,A兩點，

點8為x軸上一點且43=3后，將A8繞點A逆時針旋轉45。得到AC,使得點C恰好落在拋物線上，點尸

為拋物線上一點，連接AP,PC,PCLAC,則△朋C的面積為（）

A.9B.3亞C.6后D.3

2

8.（2020?浙江杭州?九年級專題練習）如圖，己知二次函數y=§（元+3）（尤-1）的圖象與X軸交于點A、B,

與y軸交于點C,頂點坐標為Z）.貝隈ASC與△相￡）的面積之比是（）.

9.（2022?浙江溫州?九年級期中）如圖，拋物線y=g/-2x+c與無軸交于點A,B兩點,與y軸負半軸交于

點C,其頂點為跖點DE分別是的中點，若ADEB與“CD的面積比為9：10,則c的值為（）

3

y

M

35

A.—B.—2C.—D.—3

22

10.（2021.河南省淮濱縣第一中學九年級期末）如圖，二次函數尸/-2彳-3的圖象與X軸交于點A,B,交

y軸于點C,點D在該函數第四象限內的圖象上，若△BCD的面積為27?，則點。的橫坐標是（）.

O

33

A.1B.—C.—D.2

24

13

11.（2018?山東濟南?三模）如圖，拋物線y=--x2+x+-與坐標軸交于AB兩點，與J軸交于點C.CD//AB,

如果直線丫=依-2（00）平分四邊形。瓦工的面積，那么人的值為（）

二、填空題

12.（2022?北京市師達中學九年級階段練習）已知拋物線＞=/-4與x軸交于48兩點，與y軸交于點C,

則AABC的面積為

4

13.（2022?安徽合肥?九年級階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線>=。（彳-3『+4

（?<0）的頂點為A,與拋物線>=辦2+4交于x軸上方的點從

（1）點8的橫坐標是

（2）過點B作平行于x軸的直線，分別與兩條拋物線的另一個交點為。，C,連結A。，AC,OC,OD,則

四邊形ACOD的面積為

14.（2022.重慶一中九年級階段練習）如圖，已知A（1,1）,B（3,9）是拋物線y=V上的兩點，在y軸

上有一動點P,當^PAB的周長最小時，則此時△PAB的面積為.

15.（2022?福建.莆田擢英中學九年級階段練習）如圖，已知A,B,C是函數y=f圖象上的動點，且三點

的橫坐標依次為。+1,a,小華用軟件GeoGebra對△ABC的幾何特征進行了探究，發現△A8C的面

積是個定值，則這個定值為.

5

2

三、解答題

16.（2022?黑龍江?哈爾濱市第六十九中學校九年級階段練習）如圖,拋物線y=以?-2ax+c與x軸交于點A、

點B,與y軸交于點C,A點坐標為（-1,。），連接AC,若tanZACO=；.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點尸為第一象限拋物線上一點，連接AP、BP,設點尸的橫坐標為乙人45尸的面積為S,求S與f的函數

解析式：

17.（2023?吉林省第二實驗學校九年級階段練習）如圖，地物線y=ax2+bx+c^x軸交于4（-1,0）,5（3,0）兩

點，與y軸交于點C（0,-3）.

6

(1)求出該地物線的函數關系式；

⑵點尸是拋物線上的一個動點，設點P的橫坐標為m(0〈根＜3).直接寫出APCB的面積的最大值.

18.(2021?新疆?烏魯木齊市第十五中學九年級期中)已知拋物線，=62+法+3(。40)與x軸交于A(T,0),

8(3,0)兩點，與y軸交于點C.

(1)求拋物線的表達式.

(2)連接AC,BC,求“ABC?

2

(3)拋物線上是否存在一點E,使得若存在，請求出點E的坐標；若不存在，請說明理由.

19.(2022?廣東.江東鎮初級中學九年級期中)如圖，已知二次函數yu-gr+笈+c的圖象經過點A(2,0),

2(0,-6)兩點.

7

(1)求這個二次函數的解析式；

(2)設該二次函數的對稱軸與x軸交于點C,連接BA、BC,求△ABC的面積.

20.(2021.新疆?烏魯木齊市第五十四中學九年級階段練習)如圖，已知直線>=尤+3與x軸交于點A,與y

軸交于點3,拋物線y=-Y+bx+c經過&、8兩點，與x軸交于另一個點C,對稱軸與直線AB交于點E,

拋物線頂點為D

備用圖

(1)點A的坐標為，點B的坐標為.

⑵①求拋物線的解析式；

②點M是拋物線在第二象限圖象上的動點，是否存在點使得的面積最大?若存在，請求這個最

大值并求出點M的坐標；若不存在，請說明理由；

(3)點尸從點。出發，沿對稱軸向下以每秒1個單位長度的速度勻速運動，設運動的時間為/秒，當/為何值

時，以P、2、C為頂點的三角形是等腰三角形？直接寫出所有符合條件的“直.

21.(2022?山東淄博?九年級期中)如圖，拋物線丁=加+法+3與直線45交于點4(-1,0),點。

是拋物線上42兩點間的一個動點(不與點42重合)，直線8與y軸平行，交直線A3于點C,連接AD,89.

8

(1)求拋物線的解忻式；

(2)設點。的橫坐標為機，右4汨的面積為S,求S關于機的函數關系式，并求出當S取最大值時的點C的

坐標；

(3)點。為拋物線的頂點，點尸是拋物線上的動點，點。是直線AB上的動點.當以點P,Q,C,。為頂點

的四邊形是平行四邊形時，求出點。的坐標.

13

22.(2022?山東濟南?九年級期中)如圖，已知拋物線y=5尤z+jx+c與無軸交于A(l,0),,與y軸交

3

⑵若點尸是拋物線第一象限內的一個動點，且滿足S.阱=354鉆「求點尸坐標.

23.(2022.河南洛陽?二模)如圖，拋物線>=*_2丈+3的圖象與x軸交于A,B兩點，(點A在點B的左邊),

與>軸交于點C.

9

（1）直接寫出A,B,C的坐標；

⑵點加為線段AB上一點（點M與點A,點8不重合），過點"作x軸的垂線，與直線AC交于點E,與拋

物線交于點P,過點尸作尸。〃A3交拋物線于點。，過點。作QN,無軸于點N,若點P在點。的左側，當

矩形尸MNQ的周長最大時，求ZXAE版的面積.

24.（2022?全國?九年級專題練習）如圖，二次函數^=依2-2》+。（420）的圖象與》軸交于4方兩點，與y

軸交于C點，已知點A（-l,0）,點C（0,—2）.

（1）求拋物線的函數解析式；

（2）若點M是線段3C下方的拋物線上的一個動點，求AMBC面積的最大值以及此時點M的坐標.

25.（2020?新疆農業大學附屬中學九年級階段練習）己知拋物線丁=-/+法+。（6、c為常數），若此拋物

線與某直線相交于A（-1，O）,C（2,3）兩點，與y軸交于點N,其頂點為。

10

(2)若點P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點，求△回(7的面積的最大值及此時點尸的坐標；

(3)點”("J)為拋物線上的一個動點，/關于y軸的對稱點為區，當點X落在第二象限內，且凡設取得最

小值時，求w的值

26.(2022?甘肅.嘉峪關市明珠學校一模)如圖，已知拋物線〃與x軸交于A、2兩點，與y軸

交于點C,拋物線的對稱軸交x軸于點，已知A(-l，0),C(0,3).

(1)求拋物線的表達式；

(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使△尸CD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點的坐

標；如果不存在，請說明理由；

(3)點E是線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點尸，當點E運動到什么位置時，四

邊形CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時E點的坐標.

13

27.(2022.全國?九年級專題練習)如圖，己知二次函數了=]1+法-5與x軸交于點4-3,0)和點2,以Ag

為邊在x軸上方作正方形ABC。，點尸是x軸上一動點，連接DP,過點尸作DP的垂線與y軸交于點E.

11

(1)試求出二次函數的表達式和點B的坐標；

(2)是否存在這樣的點尸，使VPED是等腰三角形？若存在，請求出點尸的坐標及此時VPED與正方形ABCD

重疊部分的面積；若不存在，請說明理由.

12

專題40二次函數中的面積問題

【題型演練】

一、單選題

1.（2022?全國?九年級專題練習）如圖，已知拋物線y=-尤z+px+g的對稱軸為元=一3,過

其頂點M的一條直線，=履+。與該拋物線的另一個交點為N（-1,1）.點P的坐標為（0,1）,

則APA/N的面積為（）

A.2B.4C.5D.6

【答案】A

【分析】根據二次函數對稱軸公式和二次函數圖象上點的坐標特征求出拋物線的解析式，并

將解析式化為頂點式求出點/的坐標，然后利用三角形面積公式計算即可.

【詳解】解：???拋物線y=-V+px+4的對稱軸為x=-3,點N（T,1）是拋物線上的一

點，

——=—3,—1—p+q=1,

-2

解得：P=*,q=-4,

y=-x2-6x-4=-（x+3『+5,

VN（-1,1）,P（O,1）,

軸，且PN=1,

...△PMN的面積為：|xlx（5-l）=2,

故選：A.

【點睛】本題考查了二次函數對稱軸公式，二次函數圖象上點的坐標特征以及二次函數頂點

坐標的求法，熟練掌握基礎知識是解題的關鍵.

2.（2022?湖北.漢川市實驗中學九年級階段練習）如圖，拋物線4：丫=/+&+。（。*0）與彳

軸只有一個公共點A（2,0）,與y軸交于點3（。,4）,虛線為其對稱軸，若將拋物線向下平移4

個單位長度得拋物線4,則圖中兩個陰影部分的面積和為（）

13

【答案】D

【分析】連接A8,OM,根據二次函數圖像的對稱性把陰影圖形的面積轉化為平行四邊形

ABOM面積求解即可.

【詳解】設平移后的拋物線與對稱軸所在的直線交于點連接

VA（l,0）,B（0,2）

：.OA=2,OB=AM=4,

:拋物線是軸對稱圖形，

，圖中兩個陰影部分的面積和即為四邊形ABOM的面積，

,:AM〃OB,AM^OB,

二四邊形ASOM為平行四邊形，

??$四邊形項。"=OBOA=4x2=8.

故選D.

【點睛】本題考查了二次函數圖像的對稱性和陰影面積的求法，解題的關鍵是根據二次函數

圖像的對稱性轉化陰影圖形的面積.

3.（2022?廣東?江門市新會東方紅中學二模）如圖，拋物線y=-（x+〃zy+4的頂點為P,將

拋物線向右平移3個單位后得到新的拋物線，其頂點記為設兩條拋物線交于點C,則

△PMC的面積為（）

14

【答案】C

【分析】根據題意過C作y軸的平行線，交PM于點H,交無軸于點D,進而依據兩條拋物

線交于點C,聯立方程得出C,最后利用S*MC=；PMVH即可求出答案.

【詳解】解：如圖過C作y軸的平行線，交PM于點、H,交無軸于點。，

由題意可得，平移后拋物線的解析式為：y=-(x+〃L3『+4,

?：P,M分別為兩個拋物線的頂點，

二P(-m,+3,4),PM=3,HD=4,

:兩條拋物線交于點C,

37

；?由一(x+m)9+4=—(x+m—3)9+4,可得。(務一九7)，

779

：.CD=~,CH=HD—CD=4——=-,

444

*/"D〃y軸，

；?HD_LPM,即CH為△PMC的高，

11Q27

??S^PMC=-PM-CH=-X3X-=-.

ZZ4o

故選：c.

【點睛】本題考查二次函數的圖象與性質，熟練掌握二次函數平移的性質、靈活運用數形結

合思維分析是解題的關鍵.

4.(2019?浙江?瑞安市安陽實驗中學九年級期中)如圖，拋物線y=-V+2x+3與x軸交于A、

2兩點(A在2的左側)，與丫軸交于點C,點尸是拋物線上位于x軸上方的一點，連接AP、

BP,分別以AP、2P為邊向△A2P外部作正方形4尸即、BPFG,連接2。、AG.點P從點

15

A運動到點8的過程中，AABO與AABG的面積和的變化情況是（）

A.先增大后減小B.先減小后增大

C.始終不變D.一直增大

【答案】C

【分析】令y=*+2a+3=0求出的長,過點D作DMLx軸于M,過點P作PNLx軸于

N,過點G作G。，無軸于。，利用一線三直角的全等模型證明ZW=AN,GQ=BN.從而

利用三角形的面積公式得出以.》+襄科0從而得解.

【詳解】解：令＞=一爐+2%+3=。，

解得：玉=-1,%2=3,

???A（-l,0）,B（3,0）,

.??AB=4.

過點。作。無軸于過點尸作PN，1軸于N,過點G作GQ_Lx軸于。,

???四邊形APEO溟正方形,

：.AD=PA,ZDAP=90°,

：.ZDAM^-ZNAP=180o-ZDAP=90o,

又軸，

,NDAM+NMDA=90。，

JZMDA=ZNAP9

9

：ZAMD=ZPNA=90°f/MDA=/NAP,AD=PAf

：.AAMD^APNA,

：.DM=AN.

16

同理可得：GQ=BN.

SAABD=^AB-DM,SAABG=^AB-GQ

2

S^ABD+SAABG=-AB-DM+-AB-GQ=-AB-AN+-AB-BN=-AB-(AN+BN)=-AB=8

...△48。與小ABG的面積和始終不變.

故選：C.

【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質，正方形的性質，二次函數圖象與x軸的交點,

三角形的面積公式等知識，涉及的模型是一線三直角的全等模型，構造全等模型得出

DM=AN,GQ=3N是解題的關鍵.

5.(2021?貴州銅仁.三模)如圖，拋物線丫=一/+辦+6與直線>=區+》相交于A(4,-3),

孫。,5)兩點，點C是拋物線的頂點.下列結論正確的個數()

(1)AB=4后；(2)拋物線為：y=-Y+2x+5；(3)當0<x<4時，代數式尤?-4x的值

是負數；(4)△ABC的面積為6

A.4個B.3個C.2個D.1個

【答案】A

【分析】對于(1),根據兩點之間距離公式判斷即可；對于(2),根據待定系數法求出關系

式判斷即可；對于(3),先求出直線的關系式，將兩個函數關系式聯立，觀察圖象可得答案；

對于(4),先求出拋物線的對稱軸，進而求出點C,M的坐標，再將△ABC分成兩個三角形，

求出面積即可.

【詳解】(4,-3),B(0,5),

AB=7(4-0)2+(-3-5)2=4而.

所以(1)正確；

;點A(4,-3),B(0,5)在拋物線>=-/+以+6的圖象上，

.J-16+4Q+Z?=-3

,\b=5

17

a=2

解得

b=5

，拋物線得關系式為y=i+2x+5.

所以(2)正確；

?..點A(4,-3),B(0,5)在直線廣質+6的圖象上,

.(4k+b=-3

力=5

%=-2

解得，＜，

[o=5

???一次函數的關系式為j=-2x+5.

2

將兩個函數關系式聯立，得y必.=—x。+2,x自+5①

[y2=-2x+5@

②-①，得產f-4x,

當0VxV4時，直線在拋物線的下方，可知

*'.y2-y；<0,

即X2-4X<0.

所以（3）正確;

拋物線y=-/+2x+5的對稱軸是=02,,、=1,

-2a-2x（一1）

當x=l時，y=-l+2+5=6,

：.C（1,6）.

當時，y=-2+5=3,

：.M（1,3）,則CM=3,

：.SAABC=SABCM0ACM

=—x3xl+—x3x3

22

=6.

所以（4）正確.

正確的有4個.

故選：A.

18

【點睛】這是一道關于二次函數的綜合問題，考查了待定系數法求一次函數和二次函數的關

系式，二次函數圖象的性質，兩點之間的距離公式，三角形面積的求法等.

6.（2022.江蘇.九年級專題練習）如圖，點A是拋物線y=f圖象在第一象限內的一個動點,

且點A的橫坐標大于1,點E的坐標是（0,1）,過點A作A8〃x軸交拋物線于點9過A、

2作直線AE、BE分別交x軸于點。、C,設陰影部分的面積為S,點A的橫坐標為機，則S

關于加的函數關系式為（）

A.5=m2B.S=mC.S=2mD.S=m2-m

【答案】C

【分析】根據題意可知AO，m2),m,m2),E(0,1),得出AB=2相，再由陰影部分

的面積為S=(SAABC—S4ABE)+—^/^ABE)即可得解.

【詳解】解：由題意可知，A(m,m2),m,m2),E(0,1),AB=2m,

又軸，且過A、3作直線AE、BE分別交x軸于點。、C,所以由

S-(、△ABC-+(%AB￡>—/\ABE^

S=-x2mxm2-—x2mx(m2-1)+—x2mxm2--x2mx(m2-11

22v722v7

S=m3-m3+m+m3—m3+m

S=2m；

故選：C.

19

【點睛】此題考查了二次函數的圖象和性質，坐標系中三角形面積求法，利用點的坐標表示

線段的長度是解題關鍵.

7.（2020?浙江臺州?九年級期中）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-N-?與x軸交

于。，A兩點，點2為x軸上一點且AB=3后，將繞點A逆時針旋轉45。得到AC,使

得點C恰好落在拋物線上，點尸為拋物線上一點，連接AP,PC,PC±AC,貝必B4c的面

積為（）

A.9B.3亞C.60D.3

【答案】D

【分析】（1）先求出點A坐標，再根據三角函數求出點C坐標，進而得到ACAN、ACMP

為等腰直角三角形，設PM=CM=/〃，求出點P坐標，進而求出PC長，根據直角三角形面

積公式即可求解

【詳解】解:把y=0代入函數y=-/-4x,得-/-4x=0,

解得不=0,x?=4,

故點A（-4,0）,

過點C作y軸的平行線交過點P與x軸的平行線于點M,交x軸于點N,

在RtAACN中，CA^=AC?sinZCAB=ABsin45°=372x^-=3=AN,

故點C(-1,3),

'：ZCAN=45°,則△ACN為等腰直角三角形，

'：PC±AC,

：.ZPCM=45°,

△CMP為等腰直角三角形，

20

設PM=CM=M,則點尸（-1-相，3+m）,

將點尸的坐標代入y=---4x并解得：m=0（舍去）或1,

故點P的坐標為（-2,4）,

由點尸、。的坐標得：PC7PM?+MC?=也，

則ABAC的面積=；、4>/^=3乂3夜、后=3,

故選：D

【點睛】本題為二次函數綜合題，考查了二次函數、三角函數、勾股定理等知識，根據題意

添加輔助線構造直角三角形是解題關鍵.

2

8.（2020?浙江杭州?九年級專題練習）如圖，已知二次函數y=§（x+3）（x-l）的圖象與x軸

交于點A、B,與y軸交于點C,頂點坐標為￡>.貝UAABC與的面積之比是（）.

：|y

飛？

D、

A.-

3

【答案】B

【分析】首先求出C和D點坐標，然后根據三角形面積公式，可知SAABC：SAABD=BC邊上

的高之比，進而即可求解.

29428

［詳角軍］1.'y=-j（-^+3）（x-l）=-^2+-^-2=-（x+l）2--,

Q

???C點坐標為（0,-2）,D點坐標為（-1,

O

「△ABC與△ABD的底相同，高線長分別為2和

?°c-8_3

??'△ABC：OAABD=2:—.

34

故選B.

【點睛】本題主要考查二次函數的圖象與平面幾何的綜合，掌握二次函數圖象的頂點坐標以

及與y軸交點坐標的求法，是解題的關鍵.

9.（2022?浙江溫州?九年級期中）如圖，拋物線y=；/-2x+c與x軸交于點A,2兩點，與

y軸負半軸交于點C,其頂點為點。，E分別是AB,的中點，若ADEB與AACD的面

積比為9：10,則c的值為（）

21

y

35

B.-2c.D.-3

22

【答案】C

【分析】由題意可得可團=32￡).[%|，S4ABe=9必先|，由點。是AB的中點，&DEB與

△ACD的面積比為9：10,得到㈤=得屏|，由中點坐標公式得，上仁汽2絲=34|，

99

yM=5yc5C，知為頂點，求得點河的橫坐標，代入解析式，由縱坐標相等得到關于c的

方程，解之即可得到答案.

【詳解】解：由題意可得，S^DEB=^BD.\yE\,S^ADC=^AD.\yc\,

???點。是AB的中點,

JAD=DB,

:△D硬與d8的面積比為9：10,

S萬皮＞?[九|y\Q

?3DEB__2_________二_

S*DCyc\10

1AT)^C|

，㈤=正1%|，

是破的中點，

.??由中點坐標公式得，|%|=丐

2

當尤=0時，yc=^x-2x+c=c,

y"=2|%|=4，

,?*yM<0,yc=c<0,

.99

c

?■yM=-yc=^'

為頂點，

22

將x=2代入y=~2x+c得,

19

—x272-2x2+c=2—4+c=c—2=—c,

解得c=T，

故選：C

99

【點睛】此題考查了二次函數的面積綜合題，求得加是解題的關鍵.

10.(2021?河南省淮濱縣第一中學九年級期末)如圖，二次函數y=/-2x-3的圖象與x軸

27

交于點A,B,交y軸于點C,點。在該函數第四象限內的圖象上，若△BCD的面積為k，

O

則點。的橫坐標是().

【答案】B

27

【分析】此題根據題意先求出B,C兩點坐標，再根據△BCD的面積為利用分割法表

O

示出面積表達式，結合二次函數聯立方程求解即可.

【詳解】解：解方程X2-2X-3=0

解得：X]=-Lx2=3,

則A、B的坐標是(-1,0)和(3,0),

又>=尤2-2無一3,

.?.C的坐標是(0,-3)

設D的坐標為(a,b),

作DM_LAB于M,如圖:

23

Vl

八°/Bx

27

則S&BCD=^DMOC+SARDM-*^ABOC=

1II27

即一a（3-b）b（3-a）x3x3=—,

2228

又D在拋物線上，

,,a2—2a—3=b,

3is

聯立方程解得：a=-,b=-7,

24

3

...點D的橫坐標是:

故選：B.

【點睛】此題考查二次函數問題中根據圖形面積求坐標，根據圖像性質找出相關坐標，并利

用割補法表示面積是關鍵，計算量較大.

13

11.（2018?山東濟南三模）如圖，拋物線yEgV+x+i與坐標軸交于A］兩點，與y軸

交于點C.6//AB,如果直線丫=以-2（1＜工0）平分四邊形080。的面積，那么上的值為（）

【答案】B

【分析】設直線'=履-2交X軸于點E,交線段CD于點F,利用一次函數函數圖象上點的

坐標特征及二次函數圖象上點的坐標特征可求出點A、B、C、D、E、F的坐標，由直線

24

y=履-2（左WO）平分四邊形OBDC的面積，可得出關于k的分式方程，解出k值后經檢驗

后即可得出結論.

【詳解】設直線、=依-2交x軸于點E,交線段CD于點F,如圖所示，

13

:拋物線與坐標軸交于A,B兩點，與y軸交于點C,

3

?,?點A（-l,0）,點B（3,0）,點C（0,-）,

、1,3」士1233

當）=7時，有-7%+%+彳=7，

2222

解得：再=。，X2=2

3

?,?點D（2,-）,

???CD=2,

???直線丁=丘-2交x軸于點E,交線段CD于點F,

273

???點E（7,0）,點F（^，—）,

k2k2

直線y=kx-2（kw0）平分四邊形OBDC的面積，

.27CD+OB5

??—I---=-----------------=——,

k2k22

解得：左=，，

經檢驗，左=《是原方程的解，符合題意.

故答案為：B.

【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點、一次函數圖象上點的坐標特征、二次函數圖象上

點的坐標特征以及梯形的面積，由直線>=依-2（左片0）平分四邊形OBDC的面積，找出關

于k的分式方程是解題的關鍵.

25

二、填空題

12.(2022?北京市師達中學九年級階段練習)已知拋物線y=Y-4與x軸交于A,8兩點,

與y軸交于點C,貝必ABC的面積為.

【分析】利用二次函數圖象上點的坐標特征可得出點A、8、C的坐標，再利用三角形的面

積公式即可求出AABC的面積.

【詳解】解：當尸0時，產？_4=-4,

.??點C的坐標為(0,T)；

當產。時，有f一4=0,

解得：％=-2,x2=2,

???點A的坐標為(-2,0),點8的坐標為(2,0),(假設點A在點8的左側)，

:.AB=4,

故答案為：8.

【點睛】本題考查了拋物線與無軸的交點、二次函數圖象上點的坐標特征以及三角形的面積,

利用二次函數圖象上點的坐標特征求出點A、B、C的坐標是解題的關鍵.

13.(2022?安徽合肥?九年級階段練習)如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線

y=a(x-3)2+4(a<0)的頂點為A,與拋物線y=辦?+4交于龍軸上方的點

(1)點B的橫坐標是

(2)過點3作平行于x軸的直線，分別與兩條拋物線的另一個交點為D,C,連結ADAC,

OC,OD,則四邊形ACOD的面積為

26

3

【答案】；12

2

【分析】(1)拋物線y=“(x-3y+4是由拋物線>="2+4向右平移3個單位得到的，8點

橫坐標為兩條對稱軸距離的一半，即可得解；

(2)利用四邊形的面積=5AAs+S"D，進行計算即可.

【詳解】解：(1)?=。(無一3『+4的對稱軸為：x=3；、="?+4對稱軸為：x=0,

由圖象得：拋物線y=a(x-3『+4是由拋物線y=依z+4向右平移3個單位得到的，

B點橫坐標為兩條對稱軸距離的一半，

3

，8點橫坐標為：-：

(2)由題意得：A(3,4),

BC=BD=3,CD=6,

：.四邊形ACOD的面積=5AAe?+=g°?%=gx6x4=12.

【點睛】本題考查二次函數的平移，圖象和性質.熟練掌握二次函數的圖象和性質，從圖象

中獲取有效信息是解題的關鍵.

14.(2022.重慶一中九年級階段練習)如圖，已知A(1,1),B(3,9)是拋物線>=/上

的兩點，在y軸上有一動點尸，當△南8的周長最小時，則此時的面積為.

【答案】6

【分析】根據拋物線y=V的性質，作出8關于y軸的對稱點連接交y軸于尸，點

產即為所求，再求出△以8的面積即可.

【詳解】解：如圖，作出8關于y軸的對稱點則BB'Ly軸于點連接AB，交y軸于尸，

27

則點P就是使△PAB的周長最小時的位置.

???拋物線y=V的對稱軸是y軸，B、&關于y軸對稱，

點尸在拋物線y=/上，且PB=PB「

/.PA+PB=PA+PB'=AB',

.?.此時4抬8的周長最小，

；B(3,9),

B'(-3,9),

/.BB'=6,點，的坐標是(0,9),

VA(1,1),

...點A到88'的距離為9-1=8,

設直線AE的直線方程為y=kx+b,把點A和點B'的坐標代入后得到，

.j-3k+b=9

"[k+b^l，

\k=-2

解得]w，

[b=3

二直線4"的解析式為y=-2x+3,

當x—0時，y=3,

點的坐標為(0,3),

：.PH=OH~OP=6,

此時S“PAB=S^ABB'~S^PBB'=-x6x8--x6x6=6,

即4必B的面積為6,

故答案為：6.

【點睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題，二次函數圖象上的點的坐標特征以及待定系數

法求解析式，作出8的對稱點是本題的關鍵.

15.(2022?福建?莆田擢英中學九年級階段練習)如圖，已知A,B,C是函數y=Y圖象上

的動點，且三點的橫坐標依次為a+1,a,。一1.小華用軟件GeoGebra對AABC的幾何特

28

征進行了探究，發現AABC的面積是個定值，則這個定值為

【分析】作AD_Lx軸于。，軸于E,CP_Lx軸于R求得A、B、C的坐標，即可求得

AD=(fl+1)2=a2+2a+l,BE=a2,CF=(a-1)2=a2-2a+l,然后根據S」48C=S解於AZJPC-S赭形

ADEB-S梯形BEFC求得△ABC的面積是定值1.

【詳解】解：如圖，作AO_Lx軸于。，BEax軸于￡,CP_Lx軸于尸，

VA,B,C三點的橫坐標依次為。+1,a,a-1,

.".AD=(a+1)2=a2+2a+l,BE=a2,CF=(o-l)2=a2-2a+l,

?'?S^ABC=S梯形ADFC-S梯形ADEB-S梯形BEFC

=y(a2+2a+l+a2-2a+l)x2-；(a2+2a+l+a2)xl-；(a2+a2-2a+l)xl

=1;

...△ABC的面積是個定值，這個定值為1.

故答案為：1.

【點睛】此題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，梯形的性質以及梯形的面積.此題難度

較大，注意掌握數形結合思想的應用.

三、解答題

16.(2022?黑龍江?哈爾濱市第六十九中學校九年級階段練習)如圖，拋物線y=訃2-2ax+c

與尤軸交于點A、點8,與y軸交于點C,A點坐標為(TO),連接AC,若tanZACO=；.

29

(1)求拋物線的解析式；

(2)點尸為第一象限拋物線上一點，連接AP、BP,設點尸的橫坐標為f,44B尸的面積為S,

求S與f的函數解析式：

【答案】⑴尸2-2x-3

(2)S=2r2—4f—6(f＞3)

【分析】(1)根據A點坐標為tan/ACO=；求得點C的坐標，然后待定系數法求

解析式即可求解；

(2)令函數解析式中、=0,求得B點的坐標，進而根據三角形面積公式即可求解.

【詳解】(1)解：：A點坐標為(TO),tanZACO=1,

.*.OA=1,OC=3,

.?.C(0,-3),

將點A(—l,0),。(0,-3),代入＞=加一2ax+。得，

ja+2a+c=0

[c=-3

[a=l

解得Q，

[c=-3

y=x2-2x-3；

(2)解：由21—3,令y=0,即2%—3=0,

解得：%=T,%2=3,

???B(3,0),

AB=4,

依題意，點尸的橫坐標為乙AABP的面積為s,則網b-2"3),

S=gx4x?2_2f-3)=2』-4r-6,

即S=2/-4-6。＞3).

【點睛】本題考查了待定系數法求解析式，求拋物線與坐標軸交點問題，已知正切求邊長,

30

掌握以上知識是解題的關鍵.

17.（2023?吉林省第二實驗學校九年級階段練習）如圖，地物線y=ad+6x+c與x軸交于

A（-l,0）,3（3,0）兩點,與y軸交于點C（0,-3）.

（1）求出該地物線的函數關系式；

（2）點P是拋物線上的一個動點，設點P的橫坐標為〃?（0（機＜3）.直接寫出△尸CB的面積的

最大值.

【答案】⑴y=--2x-3

【分析】（1）設拋物線解析式為y=a（x+l）（x-3）,把點C（0,-3）代入即可求解；

（2）設尸（加,加2-2m-3）,根據+△POB-S說oc即可求出S.PCB與m的函數關系

式，再根據二次函數的性質求解即可.

【詳解】（1）解：設拋物線解析式為y=a（x+l）（x—3）,

???拋物線與y軸交于點C（o,-3）,

/.-3=fl（0+l）（0-3）,