專題22最值問題中的瓜豆原理模型

【模型展示】

瓜豆原理

若兩動點到某定點的距離比是定值，夾角是定角，則兩動點的運動路徑相同。主動點叫瓜，從

動點叫豆，瓜在直線上運動，豆也在直線上運動；瓜在圓周上運動，豆的軌跡也是圓。

模型總結：

條件：主動點、從動點與定點連線的夾角是定量；

主動點、從動點到定點的距離之比是定量.

如圖，點C為定點，點P、Q為動點，CP=CQ,且NPCQ為定值，當點P在直線AB上運動，

Q的運動軌跡是？

結論：

①主動點路徑做在直線與從動點路徑所在直線的夾角等于定角；

②當主動點、從動點到定點的距離相等時，從動點的運動路徑長等于主動點的運動路徑長;

③主動點、從動點的運動軌跡是同樣的圖形；

如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP,Q為AP中點.

考慮：當點P在圓O上運動時，Q點軌跡是？

分析：觀察動圖可知點Q軌跡是個圓，而我們還需確定的是此圓與圓O有什么關系？

考慮到Q點始終為AP中點，連接AO,取AO中點M,則M點即為Q點軌跡圓圓心，半徑

MQ是OP一半，任意時刻，均有AAMQS/XAOP,QM:PO=AQ:AP=1:2.

結論：確定Q點軌跡圓即確定其圓心與半徑，由A、Q、P始終共線可得：A、M、O三點共

線，

由Q為AP中點可得：AM=1/2AO.Q點軌跡相當于是P點軌跡成比例縮放.根據動點之間的

相對位置關系分析圓心的相對位置關系；根據動點之間的數量關系分析軌跡圓半徑數量關系.

結論主動點、從動點到定點的距離之比是定量

【模型證明】

如圖，P是圓O上一個動點，A為定點連接AP,作AQ_LAP且AQ=AP.

考慮：當點P在圓O上運動時，Q點、軌，跡是？

Q

A

分析：Q點軌跡是個圓，可理解為將AP繞點A逆時針旋轉90。得AQ,故Q點軌跡與P點軌

解決方案跡都是圓.接下來確定圓心與半徑.考,您AP_LAQ,可得Q點軌跡圓圓心M滿足AM_LAO;

考慮AP=AQ,可得Q點軌跡圓圓心M滿足AM=AO,且可得半徑MQ=PO.即可確定圓M

位置，任意時刻均有AAPO名△AQM.

,一

Z

/

/

1

\/

A

2

【題型演練】

3

一、單選題

1.如圖，在矩形紙片48CD中，AB=2,AD=3,點E是A8的中點，點尸是邊上的一個動點，將“EF

沿￡產所在直線翻折，得到A4￡F,則4c的長的最小值是（）

C.V13-1D.y/10-l

2.如圖，在RtAABC中，NABC=90。，ZACB=30°,BC=26,AADC與公ABC關于AC對稱，點E、

F分別是邊DC、BC上的任意一點，且DE=CF,BE、DF相交于點P,則CP的最小值為（）

3

A.1B.6C.-D.2

2

3.如圖，等腰RtAABC中，斜邊AB的長為2,0為AB的中點，P為AC邊上的動點，OQLOP交BC

于點Q,M為PQ的中點，當點P從點A運動到點C時，點M所經過的路線長為（）

A.絲兀B.顯兀C.1D.2

42

4.如圖，在平面直角坐標系中，Q是直線y=-1x+2上的一個動點，將Q繞點P（l,0）順時針旋轉90。,

O'

4

5挺述

B.75D.

丁

二、填空題

5.如圖，正方形ABCD的邊長為4,E為BC上一點,,且3E=1,尸為A3邊上的一個動點，連接￡F,以EF

為邊向右側作等邊A￡FG,連接CG,則CG的最小值為.

6.如圖，等邊三角形ABC中，AB=4,高線AH=26,。是線段AH上一動點，以2。為邊向下作等邊三角

形BDE,當點。從點A運動到點X的過程中，點￡所經過的路徑為線段CM,則線段CM的長為,

當點。運動到點H,此時線段BE的長為.

7.如圖，在平面內，線段42=6,尸為線段AB上的動點，三角形紙片CDE的邊C。所在的直線與線段AB

垂直相交于點P,且滿足PC=B4.若點尸沿A8方向從點A運動到點8,則點E運動的路徑長為.

8.如圖，在R3ABC中，ZACB=900,ZBAC=30°,BC=2,線段2C繞點B旋轉到8。，連A。，E為

的中點，連接CE,則CE的最大值是—.

5

BD

9.如圖，在矩形ABC。中，對角線AC,8。相交于點。，AB=4,NIMC=60。，點尸沿線段AO從點A

至點。運動，連接。尸，以。尸為邊作等邊三角形QFE,點E和點A分別位于。尸兩側，連接OE.現給出

以下結論：

①/BDE=NEFC；②ED=EC；③直線OELCD；④點E運動的路程是2右.

其中正確的結論是.(寫出所有正確結論的序號)

10.如圖，已知AC=2AO=8,平面內點P到點。的距離為2,連接AP,ZAPB=60°n.BP=-AP,連

2

接48,BC,則線段BC的最小值為.

三、解答題

11.在平面直角坐標系中，A(a,0)、B(b,0),且a,b滿足/-60+9+/+3|=0,C、。兩點分別是y軸

正半軸、尤軸負半軸上的兩個動點；

6

(2)如圖1,若C(0,4),BC=5,BD=AE,且/CB4=N"COE,求。點的坐標；

(3)如圖2,若NCA4=60。，以8為邊，在C。的右側作等邊△C0E,連接0E,當0E最短時，求A,E

兩點之間的距離.

12.如圖所示，在RtZXABC中，AB=3C=2,點。是AC上一點，以3。為一邊向右下方作等邊△3DE,

當。由點A運動到點C時，求點E運動的路徑長.

13.如圖，等邊三角形ABC的邊長為4,點D是直線AB上一點.將線段CD繞點D順時針旋轉60。得到

線段DE,連結BE.

(1)若點D在AB邊上(不與A,B重合)請依題意補全圖并證明AD=BE；

(2)連接AE,當AE的長最小時，求CD的長.

14.如圖①，在AABC中，AB=AC=3,NBAC=100°,D是BC的中點.

7

小明對圖①進行了如下探究：在線段AD上任取一點P,連接PB,將線段PB繞點P按逆時針方向旋轉80°,

點B的對應點是點E,連接BE,得到ABPE.小明發現，隨著點P在線段AD上位置的變化，點E的位置

也在變化，點E可能在直線AD的左側，也可能在直線AD上，還可能在直線AD的右側.請你幫助小明

繼續探究，并解答下列問題：

(1)當點E在直線AD上時，如圖②所示.

①NBEP=；②連接CE,直線CE與直線AB的位置關系是.

(2)請在圖③中畫出,使點E在直線AD的右側，連接CE,試判斷直線CE與直線AB的位置關系，

并說明理由.

(3)當點P在線段AD上運動時，求AE的最小值.

15.如圖，過拋物線"4上一點A作X軸的平行線，交拋物線于另一點B,交】軸于點C,已知

點A的橫坐標為一2.

(1)求拋物線的對稱軸和點B的坐標；

(2)在AB上任取一點P,連結OP,作點C關于直線OP的對稱點D；

①連結BD,求BD的最小值；

②當點D落在拋物線的對稱軸上，且在X軸上方時，求直線PD的函數表達

16.如圖所示，在等腰中，AC=BC=2拒,點尸在以斜邊為直徑的半圓上，M為尸C的中點,

8

當點尸沿半圓從點A運動至點8時，求點M運動的路徑長.

17.如圖所示，點P（3,4）,0尸的半徑為2,A（2.8,0）,網5.6,0）,點河是0P上的動點，點C是MB的中

點，求AC的最小值.

18.如圖所示，為等腰直角三角形，A（-4,0）,直角頂點B在第二象限，點C在y軸上移動，以5c為

斜邊向上作等腰直角△BCD,我們發現直角頂點。點隨著C點的移動也在一條直線上移動，求這條直線的

函數解析式.

19.如圖1,在AABC中，ZACB=90°,AC=2,BC=26,以點B為圓心，目為半徑作圓.點尸為。8

上的動點，連接尸C,作PC，PC,使點P，落在直線的上方，且滿足PC:PC=1：6,連接3P,AP.

（1）求一區4c的度數，并證明△APCs^gpc；

（2）如圖2,若點尸在AB上時，連接3P,求B戶的長；

（3）點P在運動過程中，3P是否有最大值或最小值？若有，請求出當3P取得最大值或最小值時，ZPBC

9

的度數；若沒有，請說明理由.

20.如圖所示，在扇形AOB中，OA=3,ZAC?=120。，點C是A臺上的動點，以BC為邊作正方形3CDE,

當點C從點A移動至點6時，求點。經過的路徑長.

21.如圖所示，在矩形ABCD中，AB=4,AD=2,E為AB的中點，F為EC上一動點,尸為。尸的中點,

連接尸3,求PB的最小值.

22.如圖，在矩形ABC。中，AB=3,AD=4,連接BO,將△ABD繞點。順時針旋轉，記旋轉后的三角形

為AA'B'D,旋轉角為a(00<a<360,且awl80。).

備用圖

(1)在旋轉過程中，當A落在線段上時，求A3的長;

(2)連接A'A、AB,當N&LB'=90。時，求tanNA'AD；

(3)在旋轉過程中，若AZMA的重心為G,則CG的最小值=

23.在菱形ABCD中，ABAD=nQ°,E是對角線3D上的一點，連接AE.

(1)當E在AB的中垂線上時，把射線出繞點E順時針旋轉90。后交CZ)于b，連接如圖①，若AB=4,

求EF的長.

10

(2)在(1)的條件下，連接所，把/XBEF繞點8順時針旋轉得到ABHK如圖②，連接CH,點N為8的

中點，連接AN,求AN的最大值.

24.如圖1,已知在平面直角坐標系尤Ov中，四邊形Q4BC是矩形點AC分別在x軸和，軸的正半軸上，連

結AC,OA=3,tanZOAC=—,。是2C的中點.

3

(1)求OC的長和點D的坐標；

2

⑵如圖2,M是線段0C上的點，OM=§OC,點尸是線段上的一個動點，經過R三點的拋物線

交x軸的正半軸于點E,連結DE交AB于點廠

①將ADD尸沿上所在的直線翻折，若點B恰好落在AC上，求此時毋■的長和點E的坐標；

②以線段DF為邊，在。尸所在直線的右上方作等邊ADPG,當動點尸從點。運動到點”時，點G也隨之運

動，請直接寫出點G運動路徑的長.

11

專題22最值問題中的瓜豆原理模型

【模型展示】

瓜豆原理

若兩動點到某定點的距離比是定值，夾角是定角，則兩動點的運動路徑相同。主

動點叫瓜，從動點叫豆，瓜在直線上運動，豆也在直線上運動；瓜在圓周上運動，

豆的軌跡也是圓。

模型總結：

條件：主動點、從動點與定點連線的夾角是定量；

主動點、從動點到定點的距離之比是定量.

如圖，點C為定點，點P、Q為動點，CP=CQ,且NPCQ為定值，當點P在直

線AB上運動，Q的運動軌跡是？

結論：

①主動點路徑做在直線與從動點路徑所在直線的夾角等于定角；

②當主動點、從動點到定點的距離相等時，從動點的運動路徑長等于主動點的運

動路徑長；

③主動點、從動點的運動軌跡是同樣的圖形；

如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP,Q為AP中點.

考慮：當點P在圓O上運動時，Q點軌跡是？

分析：觀察動圖可知點Q軌跡是個圓，而我們還需確定的是此圓與圓O有什

么關系？

考慮到Q點始終為AP中點，連接AO,取AO中點M,則M點即為Q點軌跡

12

圓圓心，半徑MQ是OP一半，任意時刻，均有△AMQS2^AOP,

QM:PO=AQ:AP=1:2.

廣二----二％-六------”

結論：確定Q點軌跡圓即確定其圓心與半徑，由A、Q、P始終共線可得：A、

M、O三點共線，

由Q為AP中點可得：AM=1/2AO.Q點軌跡相當于是P點軌跡成比例縮放.根

據動點之間的相對位置關系分析圓心的相對位置關系；根據動點之間的數量關系

分析軌跡圓半徑數量關系.

結論主動點、從動點到定點的距離之比是定量

【模型證明】

如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP,作AQJ_AP且AQ=AP.

考慮：當點P在圓O上運動時，Q點軌跡是？

分析：Q點軌跡是個圓，可理解為將AP繞點A逆時針旋轉90。得AQ,故Q點軌

跡與P點軌跡都是圓.接下來確定圓心與半徑.考慮AP_LAQ,可得Q點軌跡圓圓

解

決心M滿足AMJ_AO;考慮AP=AQ,可得Q點軌跡圓圓心M滿足AM=AO,且可

方得半徑MQ=PO.即可確定圓M位置，任意時刻均有△APO絲ZkAQM.

案

如圖，AAPQ是直角三角形，NPAQ=90。且AP=2AQ,當P在圓O運動時，Q點軌

跡是？

13

Q

分析考慮AP_LAQ,可得Q點軌跡圓圓心M滿足AM_LAO;考慮AP:AQ=2:1,可

得Q點軌跡圓圓心M滿足AO:AM=2:L即可確定圓M位置，任意時刻均有

△APO^AAQM,且相似比為2.

模型總結

為了便于區分動點P、Q,可稱點P為“主動點”，點Q為“從動點”.此類問題的必要

條件：兩個定量

主動點、從動點與定點連線的夾角是定量（NPAQ是定值）；

主動點、從動點到定點的距離之比是定量（AP:AQ是定值）.

結論：

（1）主、從動點與定點連線的夾角等于兩圓心與定點連線的夾角：

ZPAQ=ZOAM;

（2）主、從動點與定點的距離之比等于兩圓心到定點的距離之比：

AP:AQ=AO:AM,也等于兩圓半徑之比.

按以上兩點即可確定從動點軌跡圓，Q與P的關系相當于旋轉+伸縮.

古人云：種瓜得瓜，種豆得豆.“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”.

【題型演練】

一、單選題

1.如圖，在矩形紙片ABC。中，AB=2,AD=3,點E是A8的中點，點P是4。邊上的

一個動點，將AAEF沿￡尸所在直線翻折，得到AA，所，則4C的長的最小值是（)

14

D

C.V13-1D.710-1

【答案】D

【分析】以點E為圓心，AE長度為半徑作圓，連接CE,當點A，在線段CE上時，AC的長

取最小值，根據折疊的性質可知AE=1,在RSBCE中利用勾股定理可求出CE的長度，用

CE-A舊即可求出結論.

【詳解】以點E為圓心，AE長度為半徑作圓，連接CE,當點N在線段CE上時，AC的長

在RSBCE中，BE=-AB=1,BC=3,4=90。，

2

.-.CE=A/BEL2+BC2=國，

.^.A'C的最小值=CE-A'E=^/^i-l.

故選D.

【點睛】本題考查了翻折變換、矩形的性質以及勾股定理，利用作圓，找出AC取最小值時

點A，的位置是解題的關鍵.

2.如圖，在R3ABC中，/ABC=90。，NACB=30。，BC=2g,△ADC與△ABC關

于AC對稱，點E、F分別是邊DC、BC上的任意一點，且DE=CF,BE、DF相交于點P,

則CP的最小值為（）

l3

A.1B.73C.-D.2

2

15

【答案】D

【分析】連接BD,證明AEDB絲Z\FCD,可得/BPD=120。，由于BD的長確定，則點P

在以A為圓心，AD為半徑的弧BD上，當點A,P,C在一條直線上時，CP有最小值.

【詳解】解：連接AD,因為/ACB=30。，所以/BCD=60。，

因為CB=CD,所以ACBD是等邊三角形，

所以BD=DC

因為DE=CF,ZEDB=ZFCD=60°,

所以AEDBg/^FCD,所以NEBD=NFDC,

因為/FDC+ZBDF=60°,

所以NEBD+/BDF=60。，所以NBPD=120。，

所以點P在以A為圓心，AD為半徑的弧BD上，

直角△ABC中，ZACB=30°,BC=2布,所以AB=2,AC=4,

所以AP=2

當點A,P,C在一條直線上時，CP有最小值，

CP的最小值是AC—AP=4—2=2

故選D.

【點睛】求一個動點到定點的最小值，一般先要確定動點在一個確定的圓或圓弧上運動，當

動點與圓心及定點在一條直線上時，取最小值.

3.如圖，等腰RtAABC中，斜邊AB的長為2,O為AB的中點，P為AC邊上的動點,

OQLOP交BC于點Q,M為PQ的中點，當點P從點A運動到點C時，點M所經過的路

C.1D.2

【答案】C

16

【分析】連接OC,作PELAB于E,MHLAB于H,QFLAB于F,如圖，利用等腰直角

三角形的性質得AC=BC=0,ZA=ZB=45°,OCXAB,OC=OA=OB=1,NOCB=45。，再

證明RtAAOP^ACOQ得至UAP=CQ,接著利用AAPE和八BFQ都為等腰直角三角形得到

PE=1AP=1CQ,QF=1BQ,所以PE+QF=1BC=I,然后證明MH為梯形PEFQ的

2222

中位線得到MH=1,即可判定點M到AB的距離為g,從而得到點M的運動路線為AABC

的中位線，最后利用三角形中位線性質得到點M所經過的路線長.

【詳解】連接OC,作PE_LAB于E,MH_LAB于H,QF_LAB于F,如圖，

VAACB為等腰直角三角形，

.?.AC=BC=^AB=V2,/A=/B=45。，

為AB的中點，

.\OC±AB,OC平分NACB,OC=OA=OB=1,

.?.NOCB=45°,

,?ZPOQ=90°,ZCOA=90°,

.?.ZAOP=ZCOQ,

在RtAAOP和4COQ中

Z=AOCQ

<AO=CO,

ZAOP=ZCOQ

/.RtAAOP<△COQ,

；.AP=CQ,

易得△APE和小BFQ都為等腰直角三角形，

，PE=2/IAP=^CQ,QF=^BQ,

222

.*.PE+QF=^(CQ+BQ)=2^BC=^X"=1,

222

：M點為PQ的中點，

AMH為梯形PEFQ的中位線，

/.MH=y(PE+QF)=：,

即點M到AB的距離為g,而CO=1,

.?.點M的運動路線為△ABC的中位線，

，當點P從點A運動到點C時，點M所經過的路線長AB=1,

故選C.

17

【點睛】本題考查了等腰直角三角形的判定與性質、梯形的中位線、點運動的軌跡，通過計

算確定動點在運動過程中不變的量，從而得到運動的軌跡是解題的關鍵.

4.如圖，在平面直角坐標系中，Q是直線y=-1x+2上的一個動點，將Q繞點P(l,0)順

時針旋轉90。，得到點。'，連接OQ',則OQ'的最小值為()

0,

A.迪B.非C.述D.逑

535

【答案】B

【分析】利用等腰直角三角形構造全等三角形，求出旋轉后Q，的坐標，然后根據勾股定理

并利用二次函數的性質即可解決問題.

【詳解】解：作QMLx軸于點M,QNLx軸于N,

0'

設Q(機，一;枕+2),貝QM=-1W+2,

ZPMQ=ZPNQ,=ZQPQ,=90°,

ZQPM+ZNPQ,=ZPQ,N+ZNPQ,,

.\ZQPM=ZPQ,N,

在4PQM和△QTN中，

ZPMQ=ZPNQ'=90°

<ZQPM=ZPQ'N,

PQ=Q'P

：.△PQM出△Q'PN(AAS),

18

/.PN=QM=-1m+2,Q,N=PM=m-l,

.?.ON=l+PN=3--m,

2

Q\3-m,1-m),

OQ，2=(3-^m)2+(1-m)2=m2-5m+10=^-(m-2)2+5,

當m=2時，OQ，2有最小值為5,

???OQ'的最小值為石，

故選：B.

【點睛】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征，一次函數的性質，三角形全等的判定和

性質，坐標與圖形的變換-旋轉，二次函數的性質，勾股定理，表示出點的坐標是解題的關

鍵.

二、填空題

5.如圖，正方形ABCD的邊長為4,E為BC上一點,且5E=1,尸為A3邊上的一個動點,

連接所，以E尸為邊向右側作等邊AEFG,連接CG,則CG的最小值為

【答案】|

【分析】由題意分析可知，點尸為主動點，G為從動點，所以以點E為旋轉中心構造全等

關系，得到點G的運動軌跡，之后通過垂線段最短構造直角三角形獲得CG最小值.

【詳解】由題意可知，點尸是主動點，點G是從動點，點F在線段上運動，點G也一定在

直線軌跡上運動

將AEFB繞點、E旋轉60。,使所與EG重合，得到AEFBMAEHG,

從而可知AE3”為等邊三角形，點G在垂直于"E的直線上,

忤CM1HN,則CM即為CG的最小值,

19

作EPLCM,可知四邊形HEPM為矩形,

135

則CM=MP+CP=HE+_EC=l+_=_.

222

故答案為!■.

2

【點睛】本題考查了線段極值問題，分清主動點和從動點，通過旋轉構造全等，從而判斷出

點G的運動軌跡，是本題的關鍵.

6.如圖，等邊三角形ABC中，AB=4,高線AH=2否，。是線段AH上一動點，以BD為邊

向下作等邊三角形當點。從點A運動到點X的過程中，點E所經過的路徑為線段

CM,則線段CM的長為,當點。運動到點此時線段8E的長為.

【分析】由"SW可得△江△CBE,推出AO=EC,可得結論，再由勾股定理求解5”=2,

當重合時，BE=BH=2,從而可得答案.

【詳解】解：如圖，連接EC.

,：AABC,ABDE都是等邊三角形，

：.BA=BC,BD=BE,ZABC=ZDBE=60°,

：.ZABD=ZCBE,

在^ABD和4CBE中，

20

BA=BC

</ABD=ZCBE,

BD=BE

：.AABD^ACBE(SA5),

：.AD=EC,

點D從點A運動到點H,

???點E的運動路徑的長為CM=AH=2布,

當2H重合，而(即為等邊三角形，

\BE=BH,

QA3=4,AH=2后A”八BC,

BH="(2可=2,

:.BE=2,

故答案為:2瓜2.

【點睛】本題考查等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質，動點的軌跡等知識，解題

的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題.

7.如圖，在平面內，線段A8=6,P為線段AB上的動點，三角形紙片C0E的邊CQ所在的

直線與線段垂直相交于點P,且滿足若點P沿48方向從點A運動到點8,則

點E運動的路徑長為.

【答案】6正.

【詳解】解：如圖，由題意可知點C運動的路徑為線段AC,點E運動的路徑為EE,由平

移的性質可知AC'=EE,在RtAABC中，易知AB=BC=6,ZABC'=9Q°,：.EE'=AC=^2

=6拉，故答案為6&.

21

點睛：主要考查軌跡、平移變換、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會用轉化的思想思考問

題，屬于中考填空題中的壓軸題.

8.如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,N5AC=30。，BC=2,線段BC繞點B旋轉到BD,

連A。，E為的中點，連接CE,則CE的最大值是—.

【答案】3

【分析】通過已知求得。在以B為圓心，2。長為半徑的圓上運動，為的中點，

在以中點為圓心，:劭長為半徑的圓上運動，再運用圓外一定點到圓上動點距離的

最大值=定點與圓心的距離+圓的半徑，求得CE的最大值.

【詳解】解：；BC=2,線段BC繞點8旋轉到8Z),

D

：.BD=2,

2

由題意可知，。在以3為圓心，長為半徑的圓上運動,

為AO的中點，

22

，E在以BA中點為圓心，三BD長為半徑的圓上運動,

CE的最大值即C到BA中點的距離加上工BD長.

2

VZACB=9Q°,N8AC=30。，BC=2,

：.C到BA中點的距離即;AB=2,

又

2

/.CE的最大值即工48+,8￡>=2+1=3.

22

故答案為3.

【點睛】本題考查了與圓相關的動點問題，正確識別E點運動軌跡是解題的關鍵.

9.如圖，在矩形ABC。中，對角線AC,BD相交于點。，AB=4,NZMC=60。，點尸沿

線段AO從點A至點。運動，連接DR以。尸為邊作等邊三角形。莊，點E和點A分別位

于。尸兩側，連接OE.現給出以下結論：

?ZBDE=ZEFC；②ED=EC；③直線OELCD；④點E運動的路程是2省.

其中正確的結論是.（寫出所有正確結論的序號）

【答案】①②③

【分析】①根據NZMC=60°,OD^OA,得出△04。為等邊三角形，再由△DFE為等邊三

角形，得NEDF=NDEF=60°,即可得出結論①正確；

②如圖，連接OE,利用&4s證明△ZMF四△DOE,再證明M9DE絲VOCE,即可得出結論

②正確；

③通過等量代換即可得出結論③正確；

④如圖，延長OE至E',使OE'=OD,連接DE',通過△ZMF絲ZDOE=60°,

可分析得出點尸在線段A。上從點A至點。運動時，點E從點O沿線段OE'運動到￡,從

而得出結論④錯誤.

【詳解】解：①?.?/ZMC=60。，OD=OA,

：./\OAD為等邊三角形，

ZDAO=ZODA^60°,AD=OD,

;△。所為等邊三角形，

23

ZEDF=ZEFD=NDEF=6。。,DF=DE,

ZBDE+ZFDO=NAOb+Nb。0=60。，

:?NBDE=/ADF,

???ZADF+ZAFD+ZDAF=180°,

???ZADF+ZAFD=1SO°-ZDAF=120°,

'/ZEFC+ZAFD+ZDFE=180°,

AZEFC+ZAFD=180°-ZDF￡=120°,

ZADF=AEFC,

：.ZBDE=/EFC,

故結論①正確；

②如圖，連接OE,

在^DA/和△DOE中，

AD=OD

<ZADF=ZODE,

DF=DF

：.(SAS),

???ZDOE=ZDAF=60°,

*：ZCOD=180°-ZAOD=nO°f

：.ZCOE=ACOD-ZDOE=120°-60°=60°,

：.ZCOE=ZDOEf

在40。￡和4OCE中，

OD=OC

<ZDOE=ZCOEf

OE=OE

：.AODE^/\OCE(SAS),

：.ED=EC,/OCE=/ODE,

故結論②正確；

ZODE=ZADF,

：.ZADF=ZOCE,即ZADF=ZECF,

故結論③正確；

④如圖，延長OE至E,使OE=OD,連接OE,

ADAF^△DOE,NDOE=60°,

???點尸在線段AO上從點A至點O運動時，點E從點O沿線段OE運動到笈,

OE'=OD=A0=AB?tanNA8O=4?tan3Oo=延，

3

...點E運動的路程是生8,

24

故結論④錯誤.

故答案為①②③.

【點睛】本題主要考查了矩形性質，等邊三角形判定和性質，全等三角形判定和性質，等腰

三角形的判定和性質，點的運動軌跡等，熟練掌握全等三角形判定和性質、等邊三角形判定

和性質等相關知識是解題關鍵.

10.如圖，己知AC=2AO=8,平面內點P到點。的距離為2,連接AP,若NAPB=60。且

BP=^AP,連接AB,BC,則線段BC的最小值為.

,_________O_________「

B

【答案】277-73

【分析】如圖所示，延長尸8到。使得先證明AAP。是等邊三角形，從而推出

ABP=90°,ZBAP=30°,以A。為斜邊在AC下方作及△AM。，使得/MAO=30。，連接CM,

過點〃作AfflLAC于解直角三角形得到理=4g=1，從而證明△AAffis/viOP,

AOAP2

得到典=絲=立，則BM=退，則點3在以M為圓心，以名為半徑的圓上，當M、B、

OPAP2

C三點共線時，即點B在點3'的位置時，BC有最小值，據此求解即可.

【詳解】解：如圖所示，延長PB到D使得PB=DB,

?：BP=-AP,

2

/.AP=PD=2PB,

又：ZAPB=60°,

...△APD是等邊三角形，

為PD的中點，

J.ABLDP,BPZABP=9O°,

ZBAP=3O°,

以AO為斜邊在AC下方作及△AMO,使得NAMO=30。，連接CM,過點M作MH_LAC于

H,

25

*/八4iy/f—AM_^3

??cosNOAM------——f

AO2

同理可得竺二XI,

AP2

VZOAM=30°=ZB4B,

ZBAM=ZPAO,

P??AM_AB_6

AOAP2

/\AMB^/\AOP,

.BMAB43

,；點P到點O的距離為2,即0P=2,

BM=s/3,

...點8在以〃為圓心，以6為半徑的圓上，

連接CM交圓M（半徑為百）于9，

...當M、B、C三點共線時，即點8在點9的位置時，BC有最小值,

'：AC=2AO=8,

：.AO=4,

AAM=AO-cosZOAM=2指，

：.AH=AM-cosZMAH=3,HM=AM-sinZMAH=s/3,

：.CH=5,

CM=4HM2+CH2=25/7，

B'C=CM-MB'=2/7-y/3,

.?.BC的最小值為2s'-6，

故答案為：2幣-乖：.

D

【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質與判定，解直角三角形，相似三角形的性質與判

定，勾股定理，圓外一點到圓上一點的最值問題，解題的關鍵在于能夠熟練掌握瓜豆模型即

證明點3在以M為圓心，半徑為名的圓上運動.

26

三、解答題

11.在平面直角坐標系中，A(4Z,0)、B(b,0),且a,。滿足/-6a+9+|b+3|=0,C、D

兩點分別是y軸正半軸、x軸負半軸上的兩個動點；

圖1圖2

(1)如圖1,若C(0,4),求的面積；

(2)如圖1,若C(0,4),BC=5,BD=AE,^.ZCBA=ZCDE,求。點的坐標；

(3)如圖2,若ZCBA=60。，以CD為邊，在CD的右側作等邊△CDE,連接。E,當OE

最短時，求A,E兩點之間的距離.

【答案】(1)AABC的面積為12；(2)。點的坐標為(-2,0)；(3)A,E兩點之間的距離

為；

【分析】(1)利用完全平方式和絕對值的性質求出a,b,然后確定A、8兩點坐標，從而利

用三角形面積公式求解即可；

(2)根據題意判斷出△CBD四△以￡,從而得到CB=AD,然后利用勾股定理求出CB,

及可求出結論；

(3)首先根據“雙等邊”模型推出AOCB/A￡C4,得到NDBC=NE4C=120。，進一步推出

AE//BC,從而確定隨著。點的運動，點E在過點A且平行于8C的直線P。上運動，再

根據點到直線的最短距離為垂線段的長度，確定最短時，各點的位置關系，最后根據含

30。角的直角三角形的性質求解即可.

【詳解】解：(1),*,-6?+9+|Z?+3|=0,

a—3=0a=3

由非負性可知,,解得:

b+3=0b=-3

：.A(3,0),3(-3,0),AB=3-(-3)=6,

vC(O,4),

OC=4f

???^C=1AB.OC=1X6X4=12；

(2)由(1)知A(3,0),3(-3,0),

27

???OA=OB,

OC.LAB,

：.ZAOC=ZBOC=90°,

在AAOC和/OC中，

OA=OB

<ZAOC=ZBOC

oc=oc

：.AAOC的△BOC(SAS),

JZCBO=ZCAO,

'：ZCDA=ZCDE+ZADE=ZBCD+ZCBA,NCBA=NCDE,

：.ZADE=/BCD,

在△BCD和VADE1中，

ZBCD=ZADE

<ZCBD=NDAE

BD=AE

：.^BCD^ADE(AAS),

:.CB=AD,

VB(-3,0),C(O,4),

.?.03=3,OC=4,

?*-BC=>]OB2+OC2=5-

AD=BC=5,

VA(3,o),

。(-2,0)；

(3)由(2)可知CB=C4,

ZCBA=6Q°,

.?.△ABC為等邊三角形，ZBCA=60°,N。8c=120。，

：為等邊三角形，

CD=CE,Z￡)C￡=60°,

ZDCE=ZDCB+ZBCE,/BCA=/BCE+/ECA,

：.NDCB=/ECA,

在^DCB和小ECA中，

CD=CE

?ZDCB=ZECA

CB=CA

/.ADCB沿AECA(SAS),

28

ZDBC=ZEAC=120°,

,：ZEAC+ZACB=120°+60°=180°,

AE//BC,

即：隨著。點的運動，點E在過點A且平行于8C的直線PQ上運動,

?.,要使得OE最短，

如圖所示，當。E_LP。時，滿足OE最短，此時NOEA=90。，

,/ZDBC=ZEAC=120。，ZCAB=60°,

ZOAE=ZEAC-ZCAB=60°,ZAOE=30°,

A（3,0）,

OA=3,

13

/.AE^-OA=-,

22

3

...當OE最短時，A,E兩點之間的距離為；.

2

【點睛】本題考查坐標與圖形，全等三角形的判定與性質，等腰三角形和等邊三角形的判定

與性質等，理解平面直角坐標系中點坐標的特征，掌握等腰或等邊三角形的性質，熟練使用

全等三角形的判定與性質是解題關鍵.

12.如圖所示，在RtZVLBC中，鉆=3C=2,點。是AC上一點，以為一邊向右下方

作等邊△BDE,當。由點A運動到點C時，求點E運動的路徑長.

【答案】點E運動的路徑長為2?.

【分析】根據是等邊三角形，得出點E運動的路徑長等于點。運動的路徑長，即為

AC的長，根據勾股定理即可得出答案

【詳解】?.?點8為定點，

3E可以看作是8D繞點8順時針旋轉60。而來，

???點E運動的路徑長等于點。運動的路徑長，即為AC的長，

29

?:AB=BC=2,ZABC=90°,

AC=20.

，點E運動的路徑長為2夜.

【點睛】本題考查等邊三角形的性質，旋轉的性質，勾股定理，軌跡等知識，解題的關鍵是

正確尋找點E的運動軌跡，屬于中考?？碱}型.

13.如圖，等邊三角形ABC的邊長為4,點D是直線AB上一點.將線段CD繞點D順時

針旋轉60。得到線段DE,連結BE.

（1）若點D在AB邊上（不與A,B重合）請依題意補全圖并證明AD=BE；

（2）連接AE,當AE的長最小時，求CD的長.

【答案】（1）見解析；（2）2幣

【分析】（1）根據題意補全圖形，由等邊三角形的性質得出AB=BC=AC,ZA=ZB=60°,

由旋轉的性質得:NACB=NDCE=6(F,CD=CE,得出NACD=NBCE,證明△A