回］）模型介紹

對(duì)角互補(bǔ)模型：即四邊形或多邊形構(gòu)成的幾何圖形中，相對(duì)的角互補(bǔ)。主要分為含90°與

120°的兩種對(duì)角互補(bǔ)類型。該題型常用到的輔助線主要是頂定點(diǎn)向兩邊做垂線，從而證明

兩個(gè)三角形全等或者相似.

模型一、含90。的全等型

1.如圖，已知NAOB=NDCE=90。，OC平分NAOB.

則可以得到如下幾個(gè)結(jié)論：①CD=CE,②OD+OE=，^OC,

2.如圖，已知NDCE的一邊與AO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D,NAOB=NDCE=90。，OC平分

ZAOB.

則可得到如下幾個(gè)結(jié)論：①CD=CE,②OE—OD=V”O(jiān)C,③一SMOQ=J。。？.

模型二、含60°與120°的全等型

如圖，已知/AOB=2/DCE=120。，OC平分/AOB.

則可得到如下幾個(gè)結(jié)論：①CD=CE,②OD+OE=OC,③S,OD+S.OE=.

【例1].如圖，在四邊形A3CO中，ZA=ZC=90°,AB=AD,若這個(gè)四邊形的面積為

解：延長(zhǎng)C8至IJE,使BE=DC,連接AE,AC,

ZABE=ZBAC+ZACB,

ZD=180°-ADAC-ZDCAf

VZBAD=90°,/BCD=90°,

：.ZBAC-^ZACB=90°+90°-ZDAC-ZZ)CA=180°-ADAC-ZDCA,

：./ABE=/D,

又?；BE=DC,AB=AD,

：.AABE^AADC,

：.AE=AC,NEAB=NDAC,

：.ZEAC=90°,

S^AEC=AAE2=AEC2,

24

?S/\AEC=S四邊形ABCD=12,

.-.AEC2=12,

4

：.EC=4A/3，

:.BC+CD=BC+BE=EC=4如.

ER

A變式訓(xùn)練

【變式17].如圖，正方形ABC。的對(duì)角線AC與8。相交于點(diǎn)O,E,歹分別是A8,BC

上的點(diǎn)，連接若AE=4,CF=3,0E10F,求EF的長(zhǎng).

：.0B=0C,NBOC=NEOF=90°,NA80=NAC8=45°,

：.ZE0B=ZF0C,

在△BOE和△C。尸中，

，Z0CB=Z0BE=45°

<OB=OC,

ZEOB=ZFOC

4B0E名△COF{ASA),

：.OE=OF.BE=CF=3,

"：AB=BC,

：.BF=AE=4,

在Rtz\BEB中，BF=4,BE=3,

：.EF=5.

【變式1-2].如圖，在矩形ABC。中，AB=3,BC=5,點(diǎn)E在對(duì)角線AC上，連接BE,

作EFLBE,垂足為E,直線環(huán)交線段。C于點(diǎn)F,則變=

BE

連接OE,OC.

.四邊形ABC。是矩形，EFLBE,

四邊形EFCB對(duì)角互補(bǔ),

:.B,C,F,E四點(diǎn)共圓,

:.NBEF=NBCF=9Q°,AB=CD=3,BC=AD=5,

,：OB=OF,

；.OE=OB=OF=OC,

：.B,C,F,E四點(diǎn)在以。為圓心的圓上,

NEBF=ZECF,

tanZEBF=tanZACD,

?EF=AD=5

"EBCD3

【例2].如圖，四邊形ABC。中，ZABC=ZADC=90°,BD^ZABC,Z￡>CB=60°,

解：設(shè)點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，

以0為圓心，0A為半徑作圓0,

VZABC=ZADC=90°,

???由圓周角定理可知：點(diǎn)。與5在圓。上，

?.?89平分乙48。，

；?AD=CD,

：.ZDCA=45°,

：.ZACB=ZDCB-ZZ)CA=15°,

連接05,過(guò)點(diǎn)石作BELAC于點(diǎn)E,

J由圓周角定理可知：ZAOB=2ZACB=30°,

：.OB=2BE,

：.AC=2OB=4BEf

設(shè)AB=x,

.\BC=4-x,

9：AB*BC=BE^C,

：.4BE1=x(4-x),

/.AC2=16BE2=4x(4-x),

由勾股定理可知：AC2=X2+C4-x)2

/.4x(4-x)=/+(4-x)2,

解得：x=2土漢1_,

3

當(dāng)x=2+2叵時(shí)，

3

：.BC=4-x=2-

3

?1-AC=V4x(4-x)=，

o

當(dāng)x=2-時(shí)，

3

BC=4-x=2+-^/l?時(shí)，

3

.,?AC=V4X(4-X)=可^

O

故答案為：生叵

3

A變式訓(xùn)練

【變式27].如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABC。頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,2）,B點(diǎn)在

OM=372.則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6,4）.

解：過(guò)點(diǎn)C作CELx軸于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)M作MFLx軸于點(diǎn)R連接EM,

ZMFO=ZCEO=ZAOB=90°,AO//MF//CE,

?..四邊形ABC。是正方形,

：.AB=BC,ZABC=90°,AM=CM,

：.ZOAB=ZEBC,OF=EF,

JMF是梯形AOEC的中位線,

：.MF=^-(AO+EC),

2

9

：MF±0Ef

:,M0=ME.

???在aAOB和△5EC中,

，ZCEO=ZAOB

-ZOAF=ZEBC,

AB=BC

.?.△AOB絲ABEC(AAS),

：.OB=CE,AO=BE.

；.MF=—(BE+OB),

2

又，：OF=FE,

.?.△MOE是直角三角形，

;MO=ME,

/.△MOE是等腰直角三角形,

/.O￡=718+18=6,

VA(0,2),

；.OA=2,

:.BE=2,

：.OB=CE=4.

：.C(6,4).

故答案為：(6,4).

【變式2-2].如圖，在RtZXABC中，ZABC=90°,A2=3,BC=4,RtAMPN,ZMPN

=90°，點(diǎn)P在AC上交AB于點(diǎn)E,PN交BC于點(diǎn)R當(dāng)PE=2PF時(shí),AP=3.

解：如圖作PQ_LAB于。，PR_LBC于R.

VZPQB=ZQBR=ZBRP=90°,

四邊形PQBR是矩形，

AZQPR=90°=NMPN,

：.ZQPE=ZRPF,

：./\QPE^ARPF,

?.P.-Q—_PEi_-.乙,

PRPF

：.PQ=2PR=2BQ,

■:PQ//BC,

：.AQ：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：5,設(shè)尸。=4x,則AQ=3x,AP=5x,BQ=2x,

??.2x+3x=3,

???尤A=3-，

5

.?.AP=5x=3.

故答案為3.

【變式2-3].如圖，正方形ABC。，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接8P,過(guò)P作尸。，8巴

PQ交CD于Q,連接BQ交AC于G,若4尸=圾，。為CZ）中點(diǎn)，則下列結(jié)論：

①/PBC=/PQD；?BP=PQ；③/BPC=/BQC；④正方形A8CD的面積是16；

其中正確結(jié)論是

:四邊形ABC。是正方形，

：.ZBCQ=90°,

"JPQLPB,

：.ZBPQ=90°,

：.ZBPQ+ZBCQ=1SO°,

...8、C、。、尸四點(diǎn)共圓，

：.ZPBC=ZPQD,ZBPC=ZBQC,...①正確；③正確；

過(guò)尸作于M,PELABE,PFJ_OC于尸，則E、P、尸三點(diǎn)共線,

:四邊形ABC。是正方形，

：.AB^AD^DC^BC,NDAC=NBAC,/D4B=90°,

/.ZMAE=ZPEA=ZPMA=9Q°,PM=PE,

四邊形AMPE是正方形，

：.AM=PM=PE=AE,

,:AP=版,

：.在RtAAEP中，由勾股定理得：AE2+PE2=（V2）2

解得：AE=AM=PE^PM=1,

；.DF=1,

^AB=BC=CD=AD=a,

則BE=PF=a-1,

VZBEP=ZPFQ=ZBPQ=90°,

：.ZBPE+ZEBP=90°,ZEPB+ZFPQ=90°,

:./EBP=/FPQ,

在△BEP和△PFQ中

'/EBP=NFPQ

-BE=PF，

ZBEP=ZPFQ

：./\BEP^/\PFQ(ASA),

：.PE=FQ=1,BP=PQ,...②正確；

.,.00=1+1=2,

?.?。為co中點(diǎn)，

：.DC=2DQ=4,

；.正方形48。的面積是4*4=16,；.①正確；故答案為：①②③④

B

疆實(shí)戰(zhàn)演練

1.如圖，在四邊形ABC。中，NA=NC=90°,AB=AD,若這個(gè)四邊形的面積為12,則

BC+CD^.

解：延長(zhǎng)C8到E,使8E=OC,連接AE,AC,

:ZABE=ZBAC+ZACB,

ZD=180°-ZDAC-ZDCA,

VZBAD=90°,ZBCD=90°,

：.ZBAC+ZACB=9Q°+90°-ZDAC-ZZ)CA=180°-ZDAC-ZDCA,

：.NABE=ND,

又,：BE=DC,AB=AD,

：.AABE^AADC,

：.AE=AC,ZEAB=ZDAC,

：.ZEAC=9Q°,

2

SAAEC=—AE2=—EQ,

24

?S^AEC=S四邊形ABCZ)=12,

?1?^-EC2=12-

4

，EC=4我，

BC+CD=BC+BE=EC=4如.

故答案為：4M.

2.如圖，在△ABC中，ZABC=60°,AB=2如,8C=8,以AC為腰，點(diǎn)A為頂點(diǎn)作等

腰且NZMC=120°,則BD的長(zhǎng)為10.

解：以A為旋轉(zhuǎn)中心，把△2AC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°,得到△EA。，連接BE,APLBE

于P,

則/BAE=120°,AB=AE,

：.ZABE=ZAEB=30°,

：.BP=AB-cosZABP=3,ZDEA=ZABC=60°,

；./DEB=30°+60°=90°,

:.BE=2BP=6,

在中，

RtZXBEDBD=^ED2+BE2=IO,

故答案為：10.

3.如圖所示，在四邊形ABCZ）中，AD=3,CD=2,ZABC=ZACB=ZADC^45°,則

BD的長(zhǎng)為反

解：作A。'LAD,AD'=AD,連接C￡>',DD',如圖：

VZBAC+ZCAD=ZDAD'+ZCAD,

在△BAO與△CA。'中，

fBA=CA

<ZBAD=ZCADZ,

AD=AD7

：.^BAD^/\CAD'(SAS),

:.BD=CD',ZDAD1=90°,

由勾股定理得。￡>'=VAD2+(AD?)2=3&,ZD'DA+ZADC=9Q°,

由勾股定理得C￡>'=VDC2+(DD^)2=J9，

:.BD=CD'=V22-

故答案為：V22.

4.四邊形ABC。被對(duì)角線8。分為等腰直角△AB。和直角△C8。，其中乙4和/C都是直

角，另一條對(duì)角線AC的長(zhǎng)度為2,求四邊形ABC。的面積.

解：將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°,使2與。重合，C到C'點(diǎn)，

則有/CDC'^ZADC+ZADC'=ZADC+ZABC=180°,

所以C、D、C在同一直線上，

又因?yàn)锳C=AC'，

所以△ACC'是等腰直角三角形，

在△ABC和△&￡＞（丁中

，AB=AD

-ZBAC=ZDAC?

AC=AC7

A△ABC^AADC,(SAS),

四邊形ABC。的面積等于等腰直角三角形ACC'的面積,

所以S四邊形ABCO=SAAC。X2X2=2.

2

5.如圖，正方形A3CD與正方形OMNP的邊長(zhǎng)均為10,點(diǎn)。是正方形ABCZ)的中心，正

方形OMNP繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，證明：無(wú)論正方形OMNP旋轉(zhuǎn)到何種位置，這兩個(gè)正方形重

疊部分的面積總是一個(gè)定值，并求這個(gè)定值.

解：當(dāng)OP〃人。或。尸經(jīng)過(guò)C點(diǎn)，重疊部分的面積顯然為正方形的面積的工,

4

即25,當(dāng)OP在如圖位置時(shí)，過(guò)O分別作CD,BC的垂線垂足分別為E、F,

如圖在RtZ^OEG與RtZXOM中，ZEOG^ZHOF,OE=OB=5,

:.△OEG/AOFH,

二?S四邊形OHCG=S四邊形OECF=25,即兩個(gè)正方形重疊部分的面積為25.

6.基本模型

在任意四邊形中，出現(xiàn)一組對(duì)角互補(bǔ)，則為對(duì)角互補(bǔ)模型.

解題思路：

1.過(guò)互補(bǔ)角的頂點(diǎn)作旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等或相似；

2過(guò)互補(bǔ)角的頂點(diǎn)作雙垂線構(gòu)造全等或相似.

問題：

如圖，在四邊形ABC。中，ZABC=ZADC^90°,2。平分/ABC.

結(jié)論：①AD=C。；②AB+BC=MBD；③S四邊形=ABD2

請(qǐng)證明【基本模型】中的結(jié)論.

求證：①AD=C￡＞；?AB+BC—y[2BD；③S四邊形ABCD=ABD2.

過(guò)點(diǎn)。作OfUBC于點(diǎn)尸，區(qū)4交84的延長(zhǎng)線于點(diǎn)區(qū)

■:BD平分NABC,

：.DE=DFf

VZABC=ZADC=90°,ZDAB+ZABC+ZC+ZADC=360°,

：.ZDAB+ZC=1SO°,

'：ZDAB+ZDAE=1SO°,

：.ZC=ZDAE,

：./\EAD^/\FCD(A4S),

：.AD=CD；

②證明：如圖,

以D為中心將△ZMB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ZJCE,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，NA=NDCE,ZBDE=90°,DB=DE,AB=CE,

VZA+ZBC￡>=180°,

：.ZDCE+ZBCD=18O°,

:.點(diǎn)、B,C,E在同一直線上，

:.BE=BC+CE,

"：AB=CE,

；.BE=BC+AB,

VZBDE=90°,

B停=DB^DE1=2BD2,

:.BE=?BD,

：.BC+AB=y/2BD；

③證明：如②圖，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：△D48之△OCE,

S四邊形ABCD=SADBE,

?:DB=DE,ZDBE=90°,

119

SADBE^DB-DE=1DB2-

?12

,?S四邊形ABa)nqBD-

7.如圖1,ZAOB=90°,0c平分/AOB,以C為頂點(diǎn)作/OCE=90°,交。4于點(diǎn)D,

OB于點(diǎn)E.

(1)求證：CD=CE；

(2)圖1中，若OC=3,求OQ+OE的長(zhǎng)；

(3)如圖2,120°,OC平分以C為頂點(diǎn)作/。CE=60°,交于

點(diǎn)、D,0B于點(diǎn)E.若。C=3,求四邊形OEC。的面積.

(1)證明：如圖1,過(guò)點(diǎn)C作CG_LOA于G,CHLOB于H,

0C平分NAOB,

VZAOB=90°,ZDCE=90°,

；.NCQO+/CEO=180°,

VZCDG+ZCr>0=180°,

；.NCDG=NCEO,

在△CQG與中

'NCDG=/CE0

<ZCGD=ZCHE,

CG=CH

:.ACDG<ACEH(AAS),

：.CD=CE；

(2)解：由(1)得△CQGgACEH,

：.DG=HE,

由題易得AOCG與是全等的等腰直角三角形，且OG=OH,

OD+OE=OD+OH+HE=OG+OH=WH,

設(shè)OH=CH=x,在RtzXOC"中，由勾股定理，得：

OH2+CH2=OC2

.,.X2+X2=32

Ax=^~(舍負(fù))

2

.?.08=治巨

2

：.OD+OE=2OH=3V2；

(3)解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CG_L0A于G,CH_L0B于H,

0c平分/A08,

:.CG=CH,

：408=120°,ZZ)CE=60°,

.?./CZ)O+/CEO=180°,

'：ZCDG+ZCDO=1SO°,

:.NCDG=NCEO,

在ACDG與ACEH中

'NCDG=/CE0

-ZCGD=ZCHE,

CG=CH

:.&CDG空MCEH(A4S),

：.DG=HE,

由題易得AOCG與△OS是全等的直角三角形，且OG=OH,

OD+OE=OD+OH+HE^OG+OH=2OH,

AS四邊形OECZ)=S四邊形OHCG=2S^OCG

在RtZSOCH中，有NCO〃=60°,OC=3,

.g_W3

S

*,AOCG_8'

?'?S四邊形OECO=2S^OCG=---.

4

8.感知：如圖1,A。平分NA4C.ZB+ZC=180°,ZB=90°,易知：DB=DC.

探究：如圖2,A。平分N3AC,ZABZ)+ZACZ)=180°,ZABD<90°,求證：DB=DC.

應(yīng)用：如圖3,四邊形ABC。中，ZB=45°,ZC=135°,DB=DC=a,貝！JAB-AC

=_瞑(用含a的代數(shù)式表示)

圖①圖②圖③

探究：

證明：如圖②中，DEYABE,OF_LAC于R

：D4平分/BAC,DE±AB,DF±AC,

：.DE=DF,

'：ZB+ZACD=1SO°,ZACD+ZFCD=1SO°,

ZB=ZFCD,

在△。尸C和△DEB中，

，ZF=ZDEB

'ZFCD=ZB,

DF=DE

:ADFCmADEB(AAS),

：.DC=DB.

應(yīng)用：解：如圖③連接A。、DELABf-E,DFLACF,

,：ZB+ZACD=1SO°,ZACn+ZFC￡>=180°,

NB=ZFCD,

在△OFC和△￡>EB中，

，ZF=ZDEB

<ZFCD=ZB

DC=DB

:.ADFgADEB(A4S),

:.DF=DE,CF=BE,

在RtAADF和RtAADE中，

[AD=AD,

IDE=DF，

/\ADF^AADE(HL),

：.AF=AE,

：.AB-AC=(AE+BE)-(AF-CF)=2BE,

在RtZVDEB中，'：ZDEB=90°,ZB=ZEDB=45°,BD=a,

：.BE=^^a,

2

.".AB-AC=y[2a-

圖⑶

圖②

9.問題提出：

(1)如圖1,已知線段A8=2,AC=4,連接2C,則三角形A3C面積最大為4；

問題探究：

(2)如圖2,在四邊形A8CD中，AB=AD,/BAD=NBCD=90°,若C￡?+3C=10,

求四邊形ABC。的面積；

問題解決：

(3)在四邊形ABCZ)中，AB=AD,ZBAD+ZBCD=180°,AC=8,求四邊形A8CZ)

面積的最大值.

圖3

解：（1）如圖1,作BG_LAC于點(diǎn)G,

"：S^ABC=—AC'BG,AC=4,

2

SMBC=工X4BG=2BG,

2

...當(dāng)BG最大時(shí)，SAABC的值最大,

\'BG^AB,AB=2,

.,.2GW2,

.?.8G的最大值為2,

當(dāng)BG=2時(shí)，SA4BC最大=4,

三角形ABC面積最大為4,

故答案為：4.

(2)如圖2,連接8D,

,：CD+BC=W,

：.(CD+BC)2=100,

：.CD2+BC2+2CD'BC=100,

'：ZBAD=ZBCD=90°,AB^AD,

：.CDr+BC2=AB2+AD2=BD1,

：.CD2+BC2=2AD1,

：.2AD2+2CD'BC=W0,

.-.AA￡)2+ACD，BC=25,

22

SAABD=—AD1,SACBD=—CD?BC,

22

S四邊形工A￡>2+」CQ?5C=25,

22

???四邊形ABCD的面積為25.

(3)如圖3,作AELL3C于點(diǎn)石，AF_LCO交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R

VZBA￡)+ZBCZ)=180°,

AZB+ZADC=180°,

AZADF+ZADC=180°,

：.ZB=ZADF,

VZAEB=ZF=90°,AB=ADf

：.AABE^AADF(A4S),

.'.AE=AF,CE=CF,S^ABE=SAADF,

VZAEC=ZF=90°,AC=AC,

ARtAACE^RtAACF(HL),

??S/^ACE=S/^ACF9

???5四邊形ABCO=SZ\45E+S四邊形AECD=SaAOF+S四邊形

設(shè)AE=m,CE=n,則S四邊形加〃，

2

VAE2+CE2=AC2,AC=8,

m2+n2=64,

由(m-n)2》。得(rr^+n2),

2

.?.7〃〃W32,

S四邊形ABCDW32,

?,?S四邊形ABCD最大=32，

四邊形ABCD面積的最大值是32.

圖1

10.定義：有一組對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做互補(bǔ)四邊形.

(1)概念理解：

①在互補(bǔ)四邊形A8CD中，/A與/C是一組對(duì)角，若NB：ZC：ZD=2：3：4,則/

A=900；

②如圖1,在△ABC中，點(diǎn)。，E分別在邊A8,8c上，且求證：四

邊形ADEC是互補(bǔ)四邊形.

(2)探究發(fā)現(xiàn)：如圖2,在等腰△ABE中，AE=BE,點(diǎn)C,D分別在邊BE,AE上，AD

=BC,四邊形CED”是互補(bǔ)四邊形，求證：ZABD=ZBAC=^ZE.

cE

圖1圖2

(1)①解：:四邊形A3CO是互補(bǔ)四邊形，NA與NC是一組對(duì)角，

AZC=180°-NA,

VZB：ZC：ND=2：3：4,

???NB=~|NO1(180。-NA),N0=*C總(180。-NA)，

VZA+ZB+ZC+ZZ)=360°,

?*-ZA-t1-(180o-NA)+(180°-ZA)+1(18O°-ZA)=36O°,

AZA=90°,

故答案為：90；

②證明：?：BE?BC=AB?BD，

?BEBD

??二一,

ABBC

又；/B=/B,

：.4BDEsABCA,

：.ZBED=ZA,

：.ZA+ZCED=ZBED+ZCED=180°,

四邊形ADEC是互補(bǔ)四邊形；

(2)證明：\'AE=BE,AD=BC,

：.ED=EC,

在△￡?1(?和△EB。中，

'AE=BE

-ZE=ZE,

EC=ED

：./\EAC^/\EBD(SAS),

：.ZEBD=ZEAC,

'JAE^BE,

：.ZEAB=ZEBA,

：.ZABD=ZBAC,

?.?四邊形CEDH是互補(bǔ)四邊形,

/.ZE+ZDHC=180°,

"：NAHB=NDHC,

：.ZE+ZAHB=1SO°,

：.ZABD+ZBAC^ZE,

：.ZABD=ZBAC=AZ￡.

2

11.如圖，正方形ABC。中，AC是對(duì)角線，今有較大的直角三角板，一邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)8,

直角頂點(diǎn)P在射線AC上移動(dòng)，另一邊交。C于0.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在DC邊上時(shí)，探究尸8與尸。所滿足的數(shù)量關(guān)系；

小明同學(xué)探究此問題的方法是：

過(guò)尸點(diǎn)作PELOC于E點(diǎn)，PFLBC于F點(diǎn)、,

根據(jù)正方形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，得出PE=PF,

再證明△PEQ之△PFB,可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是PB=PO；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)。落在DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，猜想并寫出與PQ滿足的數(shù)量關(guān)系,

并證明你的猜想.

解：（1）結(jié)論：PB=PQ,

理由：過(guò)P作P凡LBC,PEYCD,

?:P,C為正方形對(duì)角線AC上的點(diǎn)，

；.PC平分NOCB,ZDCB=90°,

：.PF=PE,

四邊形PECF為正方形，

'：ZBPF+ZQPF=90°,ZQPF+ZQPE=90°,

：.ZBPF=ZQPE,

在△PEQ和△PF2中，

，ZBPF=ZQPE

<PF=PE,

ZPFB=ZPEQ

.".RtAPQE^RtAPBF,

：.PB=PQ-,

故答案為PB=PQ.

(2)PB=PQ,

證明：過(guò)P作PE_LBC,PFLCD,

；P,C為正方形對(duì)角線AC上的點(diǎn)，

；.PC平分ZDCB=90°,

:.PF=PE,

四邊形PEC尸為正方形，

'：ZBPF+ZQPF=90a,/BPF+/BPE=9Q°,

：.ZBPE=ZQPF,

：.RtAPQF絲RtAPBE,

:.PB=PQ.

12.【提出問題】

（1）如圖1,在等邊△ABC中，點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)8、C）,連接AM,

以AM為邊作等邊△AMN,連接CN.求證：BM=CN.

【類比探究】

（2）如圖2,在等邊△ABC中，點(diǎn)〃是8C延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)C）,其它

條件不變，（1）中結(jié)論8M=CN還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【拓展延伸】

（3）如圖3,在等腰△ABC中，BA=BC,AB=6,AC=4,點(diǎn)河是8c上的任意一點(diǎn)（不

含端點(diǎn)B、C）,連接AM,以AM為邊作等腰△AMN,使頂角/AMN=/A8C.連接CN.試

探究與CN的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

AN

解：

(1)證明：

,/AABC和AAMN都是等邊三角形，

：.AB=AC,AM=AN,ZBAC=ZMAN=60°,

ZBAM+ZMAC=ZMAC+ZCAN,

：.ZBAM=ZCAN,

在△ABM和AACN中

rAB=AC

-ZBAM=ZCAN

,AM=AN

...△ABMdACN(SAS),

：.BM=CN；

(2)成立，理由如下：

/XABC和都是等邊三角形，

：.AB=AC,AM=AN,ZBAC=ZMAN=60°,

：.NBAC+NCAM=NCAM+NMAN,

:.NBAM=NCAN,

在△ABM和△ACN中

fAB=AC

,ZBAM=ZCAN

AM=AN

：./\ABM^^ACN(SAS),

：.BM=CN；

(3)選=3.

CN2

理由如下：

\"AB=BC,AM=MN,

.AB=BC

"AMMN'

,/NAMN=ZABC,

/.AABCS^AMN,

.AB=AC即地=細(xì)

*'AMAN'ACAN，

,/ZAMN=ZABC,

：.ZBAC=ZMAN,

：.ZBAM+ZMAC=ZMAC+ZCAN,

：.ZBAM=ZCAN,

：./\BAM^/\CAN,

.BM=AB=_6=2

"CNACI7-

13.定義：對(duì)角互補(bǔ)且有一組鄰邊相等的四邊形稱為奇異四邊形.

(1)概念理解：在平行四邊形、菱形、矩形、正方形中，你認(rèn)為屬于奇異四邊形的有二

方形；

(2)性質(zhì)探究：

①如圖1,四邊形ABCD是奇異四邊形，AB=AD,求證：C4平分N8CD；

②如圖2,四邊形A8CD是奇異四邊形，AB=AD,ZBCD=2a,試說(shuō)明：cosa=E'C?；

2AC

(3)性質(zhì)應(yīng)用:

如圖3,四邊形ABCD是奇異四邊形，四條邊中僅有BC=CD,且四邊形ABCD的周長(zhǎng)

為6+2而5，ZBAC=45°,AC=3&,求奇異四邊形ABC。的面積.

解：(1)根據(jù)奇異四邊形的定義可知：正方形是奇異四邊形,

故答案為正方形.

(2)①過(guò)點(diǎn)A作AAf_LCB于ANJLCD于N.

圖1

VZABC+ZD=180°,ZABM+ZABC=\SO°,

ZABM=ZD,

；/AMB=NAND=90°,AB^AD,

：.△AMB/AAND,

：.AM=AN,于M,ANLCD于N,

；.CA平分/BCD

②由①可知：ZACD=-^-ZBCD=a,

2

■:CN=CD-DN=CD-BM=CD-(CM-BC)=CD-(CN-BC),

；.CN=&P+BC,

2

在Rt2\ACN中，3(1=型=8，?.

AC2AC

圖3

由(2)可知：cos45°;的+AB,

2AC

：.AD+AB=2ACX=6,

2

?/四邊形ABCD的周長(zhǎng)為6+2^10,

.?.8C=CO=VI5，

'：ZBAC=ZDAC=45°,

：.ZDAB=90°,

?..四邊形是奇異四邊形，

：.ZBCD^9Q°,

\'AD+AB=6,

：.(AD+AB)2=AD2+2AD-AB+AB2=3>6,

'：AD^+AB2=BD2=BC2+CD2=20,

：.AD'AB=8,

S四邊形ABCD—S/^ADB+S^BDC——,AD*AB+—,CD,BC—9.

22

14.已知：在四邊形ABC。中，ZA+ZC=180°,08平分NAOC.

(1)求證：AB=BC；

(2)如圖2,若N4DB=60°,試判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由；

(3)如圖3,在(2)得條件下，在4B上取一點(diǎn)E,BC上取一點(diǎn)R連接CE、AF交于

點(diǎn)V,連接ER若NCM尸=60°,AD=EF=[,CD=8CCF>BF),求AE的長(zhǎng).

圖1圖2圖3

解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)B作BfUOC于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)8作交D4延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,

則/BEA=/BBC=90°,

平分/ADC,

；.BE=BF,

又?.?N&4D+NC=/BAO+NBAE=180°,

：.ZC=ZBAE,

在△BEA和△BFC中，

，ZBEA=ZBFC

ZBAE=ZC,

BE=BF

.?.△BEA段ABFC(A4S),

：.AB=CB；

(2)如圖2,連接AC,

圖2

"：ZBDA^60°,平分NAOC,

AZADC^2ZADB^120°,

VZBAD+ZC=180°,

AZABC=180°-ZADC^60°,

又AB=BC,

：.AABC是等邊三角形；

(3)如圖3,作PG_LAB于G,EH_LAF于”，CNJ_A。交AO的延長(zhǎng)線于M

圖3

在RtZkCDN中，,:NCDN=6Q°,CZ)=8,

:.NDCN=30°,

.?.￡)N=2Cr)=4,CN=AM，

2

=22

AACVAN4CN=V112+(4V3)2=13,

'：AB=BC,ZB=60°,

ZABC是等邊三角形,

：.AC=CB=AB=13,ZCAB=60°,

VZCMF=ZACM+ZMAC=60°,

ZMAE+ZMAC=60°,

/.ZACE=/BAF,

?：NCAE=NB,

：.AACE^ABAF(ASA),

：.AE=BF,^AE=BF=x,

貝UBE=13-x,BG=^X,￡G=13-^-x,FG=^-x,

222

在Rtz^EFG中，72=(13-Sx)2+(返X)2,

22

解得x=5或尤=8,

當(dāng)％=8時(shí)，AE=BF=8,

'：AB=BC=13f

：.CF=BE=5,

此時(shí)CTV5R不符合題意，舍去；

：.AE=BF=5.

15.在△ABC中，AB=AC,ZA=60°,點(diǎn)。是線段3C的中點(diǎn)，ZEZ)F=120°,DE與

（2）如圖2,將（1）中的尸繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，。/仍與線段AC相交

于點(diǎn)尸.求證：BE+CF=^-AB.

2

（3）如圖3,若/EDE的兩邊分別交AB、AC的延長(zhǎng)線于E、尸兩點(diǎn)，（2）中的結(jié)論還

成立嗎？如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立，請(qǐng)直接寫出線段BE、AB.CF之間的數(shù)量關(guān)

系.

解：（1）如圖1中,

"：AB=AC,ZA=60°,

/.△ABC是等邊三角形，

.,./B=/C=60°,2C=AC=AB=4,

:點(diǎn)。是線段BC的中點(diǎn)，

：.BD=DC=—BC=2,

2

,：DF±AC,即NCFD=90°,

AZCDF=30°,

又120°,

：.ZEDB^3Q°,

AZB￡D=90°

：.BE=—BD=1.

2

(2)如圖2中，過(guò)點(diǎn)D作DMLAB于M,作DNLAC于N.

NCZ)N=30°,

:.叢BDM冬工CDN,

：.BM=CN,DM=DN,

又?.?/即/=120°=ZMDN,

：.ZEDM=ZNDF,

又,：/EMD=4FND=90°,

:.AEDM2AFDN,

：.ME=NF,

BE+CF=BM+EM+NC-FN=2BM=BD=^AB.

2

(3)結(jié)論不成立.結(jié)論：BE-CF=^AB.

VZB=ZC=60°,BD=DC,ZBDM=ZCDN=30°,

ABDM沿ACDN,

:.BM=CN,DM=DN,

又?.?/EDP=120°=ZMDN,

：.ZEDM=ZNDF,

又?：NEMD=NFND=90°,

：.△EDM里△bDM

:.ME=NF,

：.BE-CF=BM+EM-(FN-CN)=2BM=BD=^AB.

2

16.如圖，已知/QCE與NAOB,0c平分/AOB.

(1)如圖1,NOCE與/AOB的兩邊分別相交于點(diǎn)。、E,ZAOB=ZDCE^90°,試

判斷線段CD與CE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

以下是小宇同學(xué)給出如下正確的解法：

解：CD=CE.

理由如下：如圖1,過(guò)點(diǎn)C作C7U.OC,交OB于點(diǎn)、F,貝i]NOCF=90°,…

請(qǐng)根據(jù)小宇同學(xué)的證明思路，寫出該證明的剩余部分.

（2）你有與小宇不同的思考方法嗎？請(qǐng)寫出你的證明過(guò)程.

（3）若202=120°,/DCE=6Q°.

①如圖3,NDCE與NAOB的兩邊分別相交于點(diǎn)。、E時(shí)，（1）中的結(jié)論成立嗎？為什

么？

線段O。、OE、OC有什么數(shù)量關(guān)系？說(shuō)明理由.

②如圖4,/OCE的一邊與A。的延長(zhǎng)線相交時(shí)，請(qǐng)回答（1）中的結(jié)論是否成立，并請(qǐng)

直接寫出線段O。、OE、0c有什么數(shù)量關(guān)系；如圖5,NZJCE的一邊與8。的延長(zhǎng)線相

交時(shí)，請(qǐng)回答（1）中的結(jié)論是否成立，并請(qǐng)直接寫出線段。。、0E、OC有什么數(shù)量關(guān)

ZAOC=ZBOC=45°,且/05=90°,

AZOFC=45°=NBOC,

OC=FC,

VZDCE^ZOCF^90°,

：.ZDCO=ZECF,5.CO=CF,ZAOC=ZCFE=45°,

：./\CDO^/\CEF(ASA)

：.CD=CE

(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)C作CM_LOA,CN±OB,垂足分別為M,N,

:.NCMD=/CNE=90°,

XVOC平分NAOB,

：.CM=CN,

在四邊形。￡>CE中，ZAOB+ZDCE+ZCDO+ZCEO=360°,

又?.,NAO2=N￡)CE=90°,

.".ZCDO+ZC￡O=180°,

又,.,NCE>O+NCr>M=180°,

:.NCEO=/CDM,且NCMD=NCNE,CM=CN,

:.叢CMD”ACNE(AAS),

：.CD=CE.

(3)①(1)中的結(jié)論仍成立.OE+OD=OC.

理由如下：

如圖3,過(guò)點(diǎn)C作CM_LOA,CN±OB,垂足分別為M,N,

圖3

AZCMD=ZCNE=90°,

XV0c平分NA02,

：.CM=CN,ZAOC=ZBOC=60°,

在四邊形。。CE中，ZAOB+ZDCE+ZCDO+ZCEO=360°,

XVZAOB+ZDCE=60°+120°=180°,

.'.ZCDO+ZCEO=l?,Qa,

XZCEO+ZCEN^180°,

：.ZCDO=ZCEN,且CM=CN,ZCMD=ZCNE,

:.△CMD妾XCNE(AAS),

：.CD=CE,DM=EN.

：.OE+OD^OE+OM+DM^OE+OM+EN^ON+OM.

VZAOC=60°,CM±AO,

：.ZMCO=30°,

?*.0M^1-0C1同理可得ON=-^OC,

?'?OE-H3D=yOC-^OC=OC-

②在圖4中，(1)中的結(jié)論成立，OE-OD=OC,

如圖4,過(guò)點(diǎn)C作CM_LOA,CNLOB,垂足分別為M,N,

aE、B

圖4

：?/CMD=NCNE=90°,

XVOC平分NA03,

:.CM=CN,ZAOC=ZBOC=60°,

???NCOE+NCEO+NOCE+NOCO=180°,

：.ZOCD+ZCEO=60°,

VZAOC=ZCDO^ZOCD=60°,

???ZCDO=ZCEN,且CM=CN,ZCMD=ZCNE,

：./\CMD^/\CNE(A4S),

:,CD=CE,DM=EN.

：.OE-OD=ON+NE-(MD-OM)=ON+OM.

VZAOC=60°,CM±AO,

：.ZMCO=30°,

***OM=yOC?同理可得ON=搟OC,

???OE-OD=ON+OM=OC；

在圖5中，(1)中的結(jié)論成立，OD-OE=OC,

如圖5,過(guò)點(diǎn)。作皿_1_。4,CN1OB,垂足分別為M,N,

圖5

ZCMD=ZCNE=90°,

XVOC平分NA03,

:?CM=CN,ZAOC=ZBOC=60°,

???/。04+/。。0+/。。片+/0。片=180°,

：.ZOCE+ZCDO=60°,

ZNOC=ZCEO+ZOCE=60°,

：.ZCDO=ZCEO,且CM=CN,ZCMD=ZCNE,

:.叢CMD”叢CNE(AA5),

:.CD=CE,DM=EN.

：.OD-OE=DM+OM-(EN-ON)=ON+OM.

VZAOC=60°,CMLAO,

：.ZMCO=30°,

0M^-0C;同理可得ON=9C,

：.OD-OE=ON+OM=OC；

17.在O。中，弦CD平分圓周角NACB,連接48,過(guò)點(diǎn)。作交CB的延長(zhǎng)線于

點(diǎn)2圖I圖2圖3

(1)求證：。石是。。的切線；

(2)若tan/CA2=工，且B是CE的中點(diǎn)，。。的直徑是百5,求。E的長(zhǎng).

3

(3)P是弦AB下方圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接A尸和3P,過(guò)點(diǎn)。作。尸于點(diǎn)X,請(qǐng)?zhí)?/p>

究點(diǎn)尸在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，

的比值是否改變，若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)直接寫出比值.

AP+BP

證明：(1)如圖1,連接。。交于點(diǎn)E連接。4,OB,AD,

：.ZACD^ZBCD,

/.AD=BD,

ZAOD=ZBOD,

?：OA=OB,

：.OD±AB,

■:AB//DE,

J.ODVDE,

是。。的切線.

解：（2）如圖2,連接OC,OD,0E,過(guò)點(diǎn)。作Ob_LBC于點(diǎn)尸,

?：OB=OC,OFLBC,

：.ZCOF=zAzCOB=ZCAB,

2

tanNCO/=壁=tanNCAB=工，

OF3

設(shè)CF=x,OF=3x,

'：oo的直徑是，

...0C=V12,,

2

OC2=OF-+CF2,

...(VW.)2=⑶)2+7,

2

解得：x=—,

2

.?.CF=A,。尸=旦，

22

：.BC=\,

是CE的中點(diǎn)，

:.BE=BC=1,

:.EF=3,

2

VOE2=(?F2+EF2,

：.0伊=(―)2+(―)2=—,

224

\"OD1+DE1=OE1,

DE=VOE2-OD2=4號(hào)號(hào)=近.

(3)解法一：如圖3,延長(zhǎng)8P至。使得PQ=AP,連接A。，0C,連接OB,BD,連

接。。交A8于點(diǎn)K,連接HK,

圖3

VA,P,B,C四點(diǎn)共圓，

ZAPQ=ZACB,

\"AP=PQ,

：.ZQ^ZQAP,

：.ZQ=90°--j-ZACB,

：DE是O。的切線，

：.OD1DE,

,JDE//AB,

：.ODLAB,

；.K是AB的中點(diǎn)，

■:DHLBH,

:.NBHD=90°,

:NBKD=90°,

：.B,K,H,。四點(diǎn)共圓，

：.ZBHK=ZODB,

；/BOD=NACB,OB=OD,

：.ZODB=90°-^-ZACB,

2

：.ZODB^ZQ,

：.ZBHK=ZQ,

：.AQ//HK,

?BH=BK=2

"BQAB5，

'：BQ=BP+QP,QP=AP,

：.BQ=BP+AP,

?BH_1

"BP+AP2-

解法二：如圖4,在3尸上截取尸，連接DM,BD,DP,AD,

?..弦C。平分圓周角NACB,

：.AD=BD,

vPD=PD,

Z