章節綜合訓練五四邊形

（考試時間：120分鐘試卷滿分：120分）

選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.（2024?山東青島?中考真題）為籌備運動會，小松制作了如圖所示的宣傳牌，在正五邊形ABCDE和正方形

CDFG中，CF,DG的延長線分別交ZE,4B于點N,貝此FME的度數是（）

A.90°B.99°C.108°D.135°

2.（2024.江蘇南通?中考真題）如圖，直線a||b,矩形A8CD的頂點A在直線方上，若42=41。，則N1的度

數為（）

A.41°B.51°C.49°D.59°

3.（2024?山西?中考真題）在四邊形力BCD中，點E,F,G,H分別是邊AB,BC,CD,。力的中點，EG,FH交于

點0.若四邊形4BCD的對角線相等，則線段EG與FH一定滿足的關系為（）

A.互相垂直平分B.互相平分且相等

C.互相垂直且相等D.互相垂直平分且相等

4.（2024?山東濟南?中考真題）如圖，在正方形A8CD中，分別以點A和8為圓心，以大于的長為半徑作

弧，兩弧相交于點E和F,作直線EF,再以點A為圓心，以2。的長為半徑作弧交直線EF于點G（點G在正方

形4BCD內部），連接DG并延長交BC于點K.若BK=2,則正方形4BCD的邊長為（）

C3+V5

A.V2+1BC.---------D.V3+1

-12

5.（2024?江蘇無錫?中考真題）如圖，在菱形力BCD中，乙ABC=60°,E是CD的中點，則sin/EBC的值為（）

6.（2024?山東東營?中考真題）如圖，四邊形4BCD是平行四邊形，從①4c=BD,②2C1BD,③=BC,

這三個條件中任意選取兩個，能使團4BCD是正方形的概率為（）

7.（2023?四川綿陽?中考真題）黃金分割由于其美學性質，受到攝影愛好者和藝術家的喜愛.攝影中有一種

拍攝手法叫黃金構圖法.其原理是：如圖，將正方形2BCD的底邊BC取中點E,以E為圓心，線段DE為半

徑作圓，其與底邊BC的延長線交于點F,這樣就把正方形4BCD延伸為矩形48FG,稱其為黃金矩形.若CF=

4a,則4B=（）

ADG

BECF

A.（V5-l）aB.（2V5-2）aC.（V5+l）aD.（2V5+2）a

8.（2024?山東日照?中考真題）如圖，在菱形4BCD中，AB=2,zB=120°,點。是對角線AC的中點，以點

。為圓心，。4長為半徑作圓心角為60。的扇形OEF,點。在扇形。EF內則圖中陰影部分的面積為（）

A.--------B.ir-----C.------D.無法確定

24424

9.（2024?黑龍江大慶?中考真題）如圖，在矩形4BCD中，AB=10,BC=6,點M是4B邊的中點，點N是

4D邊上任意一點，將線段MN繞點M順時針旋轉90。，點N旋轉到點N，，則△MBW周長的最小值為（）

A.15B.5+5V5C.10+5V2D.18

10.（2024?山東東營?中考真題）如圖，在正方形ABCD中，4C與BD交于點。，H為2B延長線上的一點，且

BH=BD,連接分別交AC,BC于點E,F,連接BE,則下列結論：①黑=圣②tanN"=V^—1；

③BE平分乙CBD；④2aB2=DE-DH.

其中正確結論的個數是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）

11.（2024?四川巴中?中考真題）五邊形從某一個頂點出發可以引一條對角線.

12.（2024.江蘇鎮江?中考真題）如圖，四邊形4BCD為平行四邊形，以點4為圓心，4B長為半徑畫弧，交BC

邊于點E,連接ZE,AB=1,ZD=60°,則反的長2=（結果保留F）.

13.（2024?江蘇徐州?中考真題）如圖，將矩形紙片4BCD沿邊EF折疊，使點。在邊BC中點M處.若力B=

14.（2024.山東淄博.中考真題）如圖，在邊長為10的菱形2BCD中，對角線AC,BD相交與點。，點E在BC延

長線上，OE與CD相交與點F.若乙4CD=2NOEC,—=則菱形4BCD的面積為________

FE6

15.（2024?江蘇南通?中考真題）如圖，在RtA48C中，乙4cB=90。，AC=BC=5.正方形D￡TG的邊長為

V5,它的頂點。，E,G分別在△4BC的邊上，則BG的長為.

16.（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，正方形OMNP頂點M的坐標為（3,0）,

A（MB是等邊三角形，點8坐標是（1,0）,△04B在正方形。MNP內部緊靠正方形。MNP的邊（方向為。-M-

N-P一。一M一…）做無滑動滾動，第一次滾動后，點A的對應點記為4的坐標是（2,0）；第二次滾

動后，&的對應點記為42,①的坐標是（2,0）；第三次滾動后，2的對應點記為4,&的坐標是（3-',目；

三.解答題（共9小題，滿分72分，其中17、18、19題每題6分，20題、21題每題7分，22題8分，23

題9分，24題10分，25題13分）

17.（2024?山東德州?中考真題）如圖，EL4BC。中,對角線2c平分血D.

（1）求證：團4BCD是菱形；

（2）若4C=8,乙DCB=74°,求菱形CBCD的邊長.（參考數據：sin37。?0.60,cos37°?0.80,tan37°?0.75）

18.（2024西藏?中考真題）在數學綜合實踐活動中，次仁和格桑自主設計了“測量家附近的一座小山高度”

的探究作業.如圖，次仁在A處測得山頂C的仰角為30。；格桑在8處測得山頂C的仰角為45。.已知兩人

所處位置的水平距離MN=210米，A處距地面的垂直高度=30米，8處距地面的垂直高度BN=20米,

點F,N在同一條直線上，求小山CF的高度.（結果保留根號）

19.（2024?黑龍江牡丹江?中考真題）在RtAACB中，乙4c8=90。，BC=12,AC=8,以BC為邊向AACB外

作有一個內角為60。的菱形BCDE,對角線BD,CE交于點O,連接請用尺規和三角板作出圖形，并直

接寫出Aaoc的面積.

20.（2024?山東日照?中考真題）如圖，以I34BCD的頂點B為圓心，長為半徑畫弧，交BC于點E,再分別

以點4,E為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點F,畫射線BF,交4D于點G,交CD的延長線于點

（1）由以上作圖可知，N1與42的數量關系是

（2）求證：CB=CH

（3）若4B=4,AG=2GD,乙ABC=60°,求A8cH的面積.

21.（2024?江蘇宿遷?中考真題）如圖，在四邊形4BCD中，AD||BC,且4。=。。=并。，E是BC的中點.下

面是甲、乙兩名同學得到的結論：

甲：若連接4E,則四邊形ADCE是菱形；

乙：若連接AC,則ATIBC是直角三角形.

請選擇一名同學的結論給予證明.

22.（2024?山東濟南?中考真題）某校數學興趣小組的同學在學習了圖形的相似后，對三角形的相似進行了

深入研究.

(一)拓展探究

如圖1,在△ABC中，^ACB=90°,CD1AB,垂足為0.

???Z-ACB=90°/.Z-A+Z.B=90°

???CD1AB???Z.A=Z-A???△ABCACD

???/,ADC=90°-=②______

AC

???Z.A+Z.ACD=90°：.AC2AD-AB

???Z-B=?______

請完成填空：①;②；

(2)如圖2,尸為線段CD上一點，連接4F并延長至點E,連接CE,當NACE=N4FC時，請判斷AdEB的形

狀，并說明理由.

(二)學以致用

(3)如圖3,△48C是直角三角形，ZXCB=90°,AC=2,BC=2巫,平面內一點D,滿足4。=AC,連接CD

并延長至點E,且NCEB=NCBD,當線段BE的長度取得最小值時，求線段CE的長.

23.(2024?山東濰坊?中考真題)如圖，在矩形4BCD中，AB>2AD,點E,尸分別在邊48,CD上.WAADF

沿4尸折疊，點。的對應點G恰好落在對角線4C上；將ACBE沿CE折疊，點B的對應點H恰好也落在對角線AC

上.連接GE,FH.

求證:

(l)AAEHdCFG；

(2)四邊形EGFH為平行四邊形.

24.(2024?廣東.中考真題)【問題背景】

如圖1,在平面直角坐標系中，點8,。是直線3/=。以。＞())上第一象限內的兩個動點(0。＞。8),以線段

BD為對角線作矩形力BCD,4。IIx軸.反比例函數y=§的圖象經過點A.

【構建聯系】

(1)求證：函數y=g的圖象必經過點C.

(2)如圖2,把矩形4BCD沿BD折疊，點C的對應點為E.當點E落在y軸上，且點8的坐標為(1,2)時，

求上的值.

【深入探究】

(3)如圖3,把矩形ABCD沿BD折疊，點C的對應點為￡.當點E,A重合時，連接4C交BD于點P.以點

。為圓心，力C長為半徑作O。.若0P=3a,當。。與△ABC的邊有交點時，求左的取值范圍.

25.(2024.江蘇宿遷?中考真題)在綜合實踐活動課上，同學們以折疊正方形紙片展開數學探究活動

【操作判斷】

操作一：如圖①，對折正方形紙片2BCD,得到折痕AC,把紙片展平;

操作二：如圖②，在邊4。上選一點E,沿BE折疊,使點A落在正方形內部，得到折痕BE；

操作三：如圖③，在邊CD上選一點尸，沿BF折疊,使邊BC與邊重合，得到折痕BF把正方形紙片展平,

得圖④，折痕BE、BF與AC的交點分別為G、H.

【探究證明】

(1)如圖⑤，連接GF,試判斷ABFG的形狀并證明;

(2)如圖⑥，連接EF,過點G作CD的垂線，分別交4B、CD、EF于點尸、Q、M.求證：EM=MF.

【深入研究】

若華=3請求出瞿的值(用含左的代數式表示).

HL*K11L*

圖⑤圖⑥

章節綜合訓練五四邊形

（考試時間：120分鐘試卷滿分：120分）

選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.（2024?山東青島?中考真題）為籌備運動會，小松制作了如圖所示的宣傳牌，在正五邊形ABCDE和正方形

CDFG中，CF,DG的延長線分別交ZE,4B于點N,貝此FME的度數是（）

A.90°B.99°C.108°D.135°

【答案】B

【分析】本題考查的是正多邊形內角和問題，熟記正多邊形的內角的計算方法是解題的關鍵.

根據正五邊形的內角的計算方法求出NCDE、NE,根據正方形的性質分別求出NCDF、NCFD,根據四邊形

內角和等于360。計算即可.

【詳解】解：：五邊形48CDE是正五邊形，

."CDE=NE=（5-2）；-0。=108。，

四邊形CDFG為正方形，

：.Z.CDF=90°,“FD=45。，

/.Z.FDE=108°-90°=18°,/.DFM=180°-45°=135°,

/.乙FME=360°-18°-135°-108°=99°,

故選:B.

2.（2024.江蘇南通中考真題）如圖，直線a||b,矩形力BCD的頂點A在直線6上，若N2=41。，則41的度

數為（）

A.41°B.51°C.49°D.59°

【答案】C

【分析】本題考查矩形的性質，平行線的判定和性質，過點B作BEIIa,得到BEIIa||b,推出乙4BC=41+42,

進行求解即可.

【詳解】解：???矩形

:?(ABC=90°,

過點B作BE||a,

VaIIb,

：.BE||a||b,

.'.2.I=Z.ABE,z2=乙CBE,

Z-ABC=4ABE+Z.CBE=Z1+Z2,

Vz2=41°,

Azi=90°-41°=49°；

故選C.

3.（2024?山西?中考真題）在四邊形48C0中，點E,F,G,”分別是邊AB,BC,CD,DA的中點，EG,FH交于

點。.若四邊形ZBCD的對角線相等，則線段EG與尸”一定滿足的關系為（）

A.互相垂直平分B.互相平分且相等

C.互相垂直且相等D.互相垂直平分且相等

【答案】A

【分析】本題主要考查了中點四邊形、菱形的判定與性質及三角形的中位線定理，根據題意畫出示意圖，

得出中點四邊形的形狀與原四邊形對角線之間的關系即可解決問題.

【詳解】解：如圖所示，

連接BD,AC,

點H和點E分別是力。和AB的中點,

HE是AABD的中位線，

HE=^BD,HE\\BD.

-1

同理可得，GF^^BD,GF\\BD,

：.HE=GF,HEWGF,

???四邊形HEFG是平行四邊形.

???HE=-BD,HG=-AC,5.AC=BD,

22

HE=HG,

???平行四邊形"EFG是菱形，

???EG與HF互相垂直平分.

故選：A.

4.（2024.山東濟南.中考真題）如圖，在正方形48CD中，分別以點A和B為圓心，以大于［AB的長為半徑作

弧，兩弧相交于點E和F,作直線EF,再以點A為圓心，以力。的長為半徑作弧交直線E尸于點G（點G在正方

形ABCD內部），連接OG并延長交BC于點K.若BK=2,則正方形4BCD的邊長為（）

c3+V5

C.-------D.V3+1

2

【答案】D

【分析】連接2G,設EF交于點正方形邊長為2x,由作圖知，AG=AD=2x,EF垂直平分28,得

到4"=BH=x,4AHG=90°,由勾股定理得到GH=V3x,證明4D||GH||BC,推出DG=GK,推出GH=

x+1,得到gx=x+l,即得2萬=舊+1.

【詳解】連接4G,設EF交4B于點H,正方形邊長為2x,

由作圖知，AG=AD=2x,EF垂直平分AB,

：.AH=BH=-AB=%,乙AHG=90°,

2

???GH=7AG2-AH2=V3x,

V/-BAD=90°,

：.AD||GH,

9：AD||BC,

：.AD||GH||BC,

,DGAH4

??=-1,

GKHB

：.DG=GK,

?：BK=2,

AGH=1(AD+BK)=x+l,

V3x=%+1,

?

??x=V3-+--1

2

2x=V3+1.

【點睛】本題主要考查了正方形和線段垂直平分線綜合.熟練掌握正方形性質，線段垂直平分線性質，勾

股定理解直角三角形，平行線分線段成比例定理，梯形中位線性質，是解決問題的關鍵.

5.（2024?江蘇無錫?中考真題）如圖，在菱形力BCD中，4ABe=60°,E是CD的中點，則sinNEBC的值為（）

A,更B."0fD-當

55

【答案】c

【分析】本題考查了解直角三角形，菱形的性質，解題的關鍵是掌握菱形四邊都相等，以及正確畫出輔助

線，構造直角三角形求解.

延長BC,過點E作BC延長線的垂線，垂足為點設BC=CD=x,易得N4BC=乙DCH=60。,則CE==

-x,進而得出E”=CE-sin60o=3x,CH=CE-cos60o=Lx,再得出=BC+CH=9%,最后根據

2444

sinzESC=—,即可解答.

BE

【詳解】解：延長過點E作BC延長線的垂線，垂足為點X,

,/四邊形ABCQ是菱形，

：.BC=CD,ABWCD,

:.乙ABC=乙DCH=60°,

設BC=CD=x,

是CD的中點，

..?慮=初。=],

'：EH1BH,

'EH=CE-sin60°=^x,CH=CE-cos600=

：,BH=BC+CH=\,

I-----V7

BE=y]BH2+EH2=—%

EHX

?.?■smZZ.ET7BDCr=—=-~yT=-=——V21

BE乜14

2X

6.（2024山東東營?中考真題）如圖，四邊形48CD是平行四邊形，從①"=BD,②AC1BD,③AB=BC,

這三個條件中任意選取兩個，能使團A8CD是正方形的概率為（）

AD

【答案】A

【分析】本題考查了正方形的判定，用概率公式求概率，掌握正方形的判定方法和概率公式是解題的關鍵.

根據從①4C=BD,②③AB=BC,這三個條件中任意選取兩個，共有①②、①③、②③，3種

方法，由正方形的判定方法，可得①②、①③共有2種可判定平行四邊形是正方形.再根據概率公式求解

即可.

【詳解】解：從①4c=BD,②4c1BD,③4B=BC,這三個條件中任意選取兩個，共有①②、①③、②③，

3種方法，由正方形的判定方法，可得①②、①③共有2種可判定平行四邊形是正方形.

...GL4BCD,從①AC=BD,@AC1BD,③4B=BC,這三個條件中任意選取兩個，能使固4BCC是正方形

的概率為|.

故選：A.

7.（2023?四川綿陽?中考真題）黃金分割由于其美學性質，受到攝影愛好者和藝術家的喜愛.攝影中有一種

拍攝手法叫黃金構圖法.其原理是：如圖，將正方形4BCD的底邊BC取中點E,以E為圓心，線段DE為半

徑作圓，其與底邊BC的延長線交于點F,這樣就把正方形4BCD延伸為矩形力BFG,稱其為黃金矩形.若CF=

4a,貝U4B=()

A.（V5-l）aB.（2V5-2）aC.（V5+l）aD.（2V5+2）a

【答案】D

【分析】本題主要考查了黃金分割點、正方形的性質、勾股定理、一元二次方程的應用等知識，熟練掌握

相關知識并靈活運用是解題關鍵.

設4B=2x,根據題意得出CE=x,DE=x+4a,在RtACDE中，由勾股定理，nTMCfi-2+CD2^DE2,K

入數值并求解，即可獲得答案.

【詳解】解：設=2%,

?..四邊形4BCD是正方形，

?-.AB=BC=CD=2x,/.BCD=90°,

?.?點E為BC中點，

???CE=BE=-BC=x,

2

又YCF=4a,

DE=FE=EC+CF=x+4a,

???在RtACDE中，由勾股定理，nT^CE2+CD2=DE2,

即/+(2x)2=(%+4a)2,

整理可得/一2ax-4a2=0,

解得：%i=(V5+l)a,x2=(1—遍)。(舍去)，

???AB=2x=(2A/5+2)Q,

故選：D.

8.(2024?山東日照?中考真題)如圖，在菱形ABC。中，=2,=120。，點。是對角線AC的中點，以點

。為圓心，。4長為半徑作圓心角為60。的扇形0EF,點。在扇形。EF內，則圖中陰影部分的面積為()

c-i-;D-無法確定

【答案】A

【分析】連接。D,將。D繞點。順時針旋轉60。得到。D'.證明AMD。三△ND'O(ASA),推出S四邊形“四。

^LDD'O1利用S陰影=S扇形E0F—S^DOD，即可求解.

【詳解】解：如圖，連接。。，將。。繞點。順時針旋轉60。得到。。.

???乙MOD=乙NOD',

?在菱形4BCD中，點。是對角線4C的中點，ZF=120°,

.-./.ADC=乙8=120°,OD1AC,

.-.Z.MDO=乙COD=-Z.ADC=60°,

2

???乙DOD'=60°,

???乙DD'O=60°,

.?.4DD'O=Z.MDO=60°,

OD=OD,

??.LMDO三△NO'O（ASA）,

???S四邊形MONO=S^DD'O-

???“DO=60°,

DO=CD-cosZ-CDO=-CD=-AB=1,AO=CO=CD-sinzCDO=—CD=—AB=V3,

2222

Q_Qs—cQ_60nX（V3）2_V32_71W

br

A3陰影=3扇形EOF-3四邊形"ONO=?扇形EOF-^DOD=—荷=1=2'V

故選：A.

【點睛】本題考查了菱形的性質，三角形全等的判定與性質，解直角三角形，扇形的面積，作出輔助線，

構造二角形全等，利用S陰影=S扇形EOF—SADOD，是解題的關鍵?

9.（2024.黑龍江大慶.中考真題）如圖，在矩形4BCD中，AB=10,BC=6,點M是48邊的中點，點N是

4D邊上任意一點，將線段MN繞點M順時針旋轉90。，點N旋轉到點N"則△MB"周長的最小值為（）

A.15B.5+5V5C.10+5V2D.18

【答案】B

【分析】本題考查了旋轉的性質，矩形的性質，勾股定理，確定點”的軌跡是解題的關鍵.由旋轉的性質

結合AAS證明△AMNdGMN',推出MG=4"=5,得到點N'在平行于4B,且與4B的距離為5的直線上

運動，作點M關于直線EF的對稱點Ml連接交直線EF于點N，，此時△M8N，周長取得最小值，由勾股

定理可求解.

【詳解】解：過點N，作EFII4B,交4。、8c于E、F,過點M作MG_LEF垂足為G,

：.AB\\CD,

：.AB\\EF\\CD,

：.四邊形ZMGE和BMGF都是矩形，

：.^A=乙MGN，=90°,

由旋轉的性質得乙/VMN'=90°,MN=MN',

：.^AMN=90°-乙NMG=乙GMN',

:?△AMNKGMN'（AAS）,

：.MG=AM=5,

???點N，在平行于48,且與AB的距離為5的直線上運動，

作點M關于直線EF的對稱點M，，連接交直線EF于點NI此時△M8N，周長取得最小值，最小值為+

BM',

?：BM=-AB=5,MM'=5+5=10,

2

：.BM+BM'=5+V52+102=5+5a/5,

故選:B.

10.（2024?山東東營.中考真題）如圖，在正方形ABC。中，2C與BD交于點。,8為48延長線上的一點，且

BH=BD,連接分別交AC,BC于點E,F,連接BE,則下列結論：①]-=—；②tanN"=百一1；

F2

③BE平分“BD；④2aB2=DEDH.

DC

ABH

其中正確結論的個數是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】根據正方形的性質結合勾股定理可知，AB=BD=CD=AD=a,BD=近AB=五a,AB||CD,

AC與BD互相垂直且平分，進而可求得力H=（迎+l）a,根據正切值定義即可判斷②；由4B||CD,可知△

DCF八HBF,由相似三角形的性質即可判斷①；由BH=BD,可求得NH=乙BDH=22.5°,再結合4C與BD

互相垂直且平分，得DE=BE,可知NDBE=NBDE=22.5。，進而可判斷③；MiiEABDE即可

判斷④.

【詳解】解:在正方形力BCD中，力B||CD,AB=BD=CD=AD=a,^BAD=90°,zXB￡）=乙CBD=Z.DAC=

/.BAC=45°,AC與8。互相垂直且平分，

則8。=y]AB2+AD2=迎AB=V2a,

,:BH=BD=y[2a,貝UAH=（夜+l）a,

=吟=（故②不正確；

tanWAH（V方2、+l）、a—y/2-1,

*：AB||CD,貝!J4H=Z.CDF,乙DCF=乙HBF,

：.△DCFfHBF,

.CF_CD_a_\[2故①不正確;

'*BF-BH~yf2a-2

?：BH=BD,

:.乙H=乙BDH,

VzH+乙BDH=Z.ABD=45°,

:,(H=乙BDH=22.5°,

又???"與BD互相垂直且平分，

：.DE=BE,

:,(DBE=乙BDE=22.5°,則4CBE=乙CBD-乙DBE=22.5°,

:.乙DBE=乙CBE,

；?BE平分乙CBD,故③正確；

由上可知，/-DBE=A.H=22.5°,

A△BDEfHDB,

則DE

DHBDBD?=,DH,

又,：BD=迎AB,

：.2AB2=DE?DH,故④正確；

綜上，正確的有③④，共2個，

故選:B.

【點睛】本題考查正方形的性質，相似三角形的判定及性質，勾股定理，解直角三角形等知識，熟練掌握

相關圖形的性質是解決問題的關鍵.

二.填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）

11.（2024?四川巴中?中考真題）五邊形從某一個頂點出發可以引一條對角線.

【答案】2

【分析】本題考查多邊形的對角線，根據對角線定義，一個五邊形從某一頂點出發，除去它自己及與它相

鄰的左右兩邊的點外，還剩下2個頂點可以與這個頂點連成對角線，熟記對角線定義是解決問題的關鍵.

【詳解】解：五邊形從某一個頂點出發可以引2條對角線，

故答案為：2.

12.（2024?江蘇鎮江?中考真題）如圖，四邊形48CD為平行四邊形，以點4為圓心，4B長為半徑畫弧，交BC

邊于點E,連接4E,AB=1,ZD=60°,則方E1的長2=（結果保留n）.

【答案】河

【分析】本題考查弧長的計算，平行四邊形的性質，等邊三角形的判定和性質，關鍵是判定A4BE是等邊三

角形，得到NB4E=60。.

由平行四邊形的性質推出NB=〃=60°,判定△4BE是等邊三角形，得到NB4E=60°,由弧長公式即可

求出BE的長.

【詳解】解：???四邊形2BCD是平行四邊形，

Z.B=Z.D=60°,

由題意得：AB=AE,

???△/BE是等邊三角形，

???乙BAE=60°,

???AB=1,

,607TX11

???I=----=-71.

1803

故答案為：|TT.

13.（2024?江蘇徐州?中考真題）如圖，將矩形紙片/BCD沿邊EF折疊，使點。在邊中點M處.若=

4,BC=6,貝IJCF=

【分析】本題考查矩形的性質，勾股定理，折疊的性質，關鍵是由勾股定理列出關于X的方程.由矩形的性

質推出CD=4B=4,NC=90。，由線段中點定義得到CM==3,由折疊的性質得到：MF=DF,設

FC=x,由勾股定理得到（4一%）2=32+/,求出％得到的值.

8

【詳解】解：；四邊形是矩形，

/.CD=28=4,ZC=90°,

是BC中點，

11

/.CM=-BC=一x6=3,

22

由折疊的性質得到：MF=DF,

設FC=%,

：.FD=4-x,

：.MF=4-x,

'：MF2=MC2+FC2,

：.（4-%）2=32+/,

?

??X——7,

8

：.FC=-.

8

故答案為：J.

o

14.（2024?山東淄博?中考真題）如圖，在邊長為10的菱形ABCD中，對角線AC,BD相交與點。，點E在BC延

長線上，0E與CD相交與點F.若乙4CD=2NOEC,啜=三則菱形28CD的面積為_______.

FE6

【答案】96

【分析】此題重點考查菱形的性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理等知識.作。HIIBC交CD于點”,

貝！U。。“SADBC,求得。H=1BC=5,再證明△。尸H“△EFC,求得EC=6,再證明々OEC=NCOE,則

0C=EC=6,利用勾股定理求得OB的長，再利用菱形的面積公式求解即可得到問題的答案.

【詳解】解：作。HIIBC交于點打，貝IjADOHsADBC,

?..四邊形ABC。是邊長為10的菱形，對角線AC,8D相交于點。,

：.BC=10,0D=OB=^BD,。4=OC,AC1BD,

2

：.—=—=^Boc=90°,

BCBD2

i

：.OH=-BC=5,

2

npq

FE6

△OFH八EFC,

.OH_OF_5

**EC~FE~69

：.EC=-OH=-x5=6,

55

???四邊形/BCO是菱形，^ACD=2乙OEC,

：.￡.ACB=Z.ACD=2乙OEC=乙COE+Z.OEC,

J.^LOEC=乙COE,

：.OC=EC=6,

：.0B=yjBC2-OC2=V102-62=8,

：.BD=2OB=16,AC=2OC=12,

'S菱形ABC。=3BD?4C=1x16x12=96,

故答案為：96.

15.（2024?江蘇南通?中考真題）如圖，在近△ABC中，乙4cB=90。，AC=BC=5.正方形DEFG的邊長為

V5,它的頂點。，E,G分別在△ABC的邊上，貝IJBG的長為.

A

【答案】3V2

【分析】過點G作G”14C,易得為等腰直角三角形，設="G=%,得到C”==5-%,

證明△G”。三△OCE,得到CO=G"，進而得到CO=%,DH=5-2x,在RtZkOUG中，利用勾股定理求

出工的值，根據平行線分線段成比例，求出BG的長即可.

【詳解】解：過點G作GH1AC,貝!)：乙4HG=(GHD=90°,

;?乙DGH+乙HDG=90。,

9：L.ACB=90°,AC=BC=5,

：.AB=5心乙4=ZB=45°,

：.Z.AGH==Z-A,

：.AH=HG,

設AH=HG=x,貝!J：CH=AC-AH=5-xf

???正方形DEFG,

：.DG=DE/GDE=90°,

:?乙HDG+乙CDE=90°,

:.乙HGD=ACDE,

VzC=Z.GHD=90°,

△GHD"DCE,

：.CD=GH=x,

：.DH=CH-CD=5-2xf

在Rt^GHO中，由勾股定理，得：GD2=DH2+GH2,

2

(V5)=(5-2x)2+%2,解得：x=2,

：.AH=2,CH=3,

VzC=/-AHD=90°,

：.HG||BC,

.AG_AH_2

"BG~CH~

：.BG=|4B=|x5V2=3V2；

故答案為：3&.

【點睛】本題考查等腰三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，正方形的性質，平行

線分線段成比例，解題的關鍵是添加輔助線構造特殊圖形和全等三角形.

16.(2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，正方形0MNP頂點”的坐標為(3,0),

A。力B是等邊三角形,點3坐標是(1,0),△O4B在正方形。MNP內部緊靠正方形。MNP的邊(方向為。-Mr

N-P-。-Mr…)做無滑動滾動，第一次滾動后，點A的對應點記為4的坐標是(2,0)；第二次滾

動后，&的對應點記為4,4的坐標是(2,。)；第三次滾動后，4的對應點記為4,4的坐標是(3-今斗

如此下去，……，則42024的坐標是.

【答案】(1,3)

【分析】本題考查了點的坐標變化規律，正方形性質，等邊三角形性質，根據三角形的運動方式，依次求

出點A的對應點41，X2,……，42的坐標，發現規律即可解決問題.

【詳解】解：???正方形。MNP頂點M的坐標為(3,0),

0M=MN=NP=0P=3,

,??△048是等邊三角形，點3坐標是(1,0)，

等邊三角形高為苧，

由題知，

4的坐標是(2,0)；

&的坐標是(2,0)；

4的坐標是(3—^,0；

繼續滾動有，44的坐標是(3,2)；

人的坐標是⑶2);

的坐標是(|，3-1)；

4的坐標是(1,3)；

4的坐標是(1,3)；

%的坐標是(,,|)；

&O的坐標是(0,1);

的坐標是(0,1)；

412的坐標是G，F)；

413的坐標是(2,0);……不斷循環，循環規律為以4,A2,……,42,12個為一組，

???2024-M2=168……8,

???4()24的坐標與&的坐標一樣為(1,3)，

故答案為：(1,3).

三.解答題(共9小題，滿分72分，其中17、18、19題每題6分，20題、21題每題7分，22題8分，23

題9分，24題10分，25題13分)

17.(2024.山東德州?中考真題)如圖，團2BCD中,對角線4c平分乙BAD.

(1)求證：EL4BCD是菱形；

(2)若4c=8,ADCB=74°,求菱形ABC。的邊長.(參考數據：sin37°?0.60,cos37°~0.80,tan37°~0.75)

【答案】(1)見解析

(2)5

【分析】此題考查平行四邊形性質和菱形的判定和性質，等腰三角形的判定，解直角三角形.

(1)根據平行四邊形性質得出=再結合角平分線的定義及等腰三角形的判定即可得出

Z.DAC=AACD,AD=CD,根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形進而得出結論；

(2)連接BD,由菱形性質可知NCOB=90°,OA=OC=1AC=4,^ACB=|z￡)CS=37°,在利用余弦

求出長即可.

【詳解】(1)證明：???四邊形4BCD是平行四邊形，

：.AB||CD.

：.^BAC=^ACD.

「AC平分NB4D,

/./.DAC=/.BAC.

：.^DAC=4ACD.

：.AD=CD.

四邊形4BCD是菱形.

(2)連接BD,交4C于點O,

,：四邊形2BCD是菱形.AC=8,乙DCB=74°,

:.乙COB=90°,。4=。。=-AC=4,Z.ACB=-/.DCB=37°,

22

?0C44匚

cosZ-ACBcos370.8

即菱形4BCD的邊長為5.

18.(2024?西藏?中考真題)在數學綜合實踐活動中，次仁和格桑自主設計了“測量家附近的一座小山高度”

的探究作業.如圖，次仁在A處測得山頂C的仰角為30。；格桑在2處測得山頂C的仰角為45。.已知兩人

所處位置的水平距離MN=210米，A處距地面的垂直高度力M=30米，8處距地面的垂直高度BN=20米,

點M,F,N在同一條直線上，求小山CF的高度.(結果保留根號)

【答案】（100百—70）米

【分析】本題主要考查了矩形的判定和性質，解直角三角形的應用，證明四邊形4MFD和四邊形BNFE為矩

形，得出DF=4M=30米，BN=EF=20米，MF=AD,FN=BE,設CD=%,貝iJCE=CD+DE=（x+10）

米，解直角三角形得出2。==竟=V3x,BE==—=x+10,根據MN=210米，得出+

tan30°V3tan45°1

3

x+10=210,求出x=100舊一100,最后得出答案即可.

【詳解】解：根據題意可得：乙4MF=乙DFM=^ADF=90°,乙BEF=乙EFN=乙BNF=90°,

四邊形4MFD和四邊形BNFE為矩形，

=AM=30米，BN=EF=20米，MF=AD,FN=BE,

：.DE=DF-EF=30-20=10（米），

設CD=x,貝l|CE=CO+DE=O+10）米，

'：Z.CAD=30°,Z.ADC=90°,

■-AD=^=i=^x'

'：ACBE=45°,ACEB=90°,

?,?BDZET=---C-E---=--x-+--1-0=x+.10,

tan4501

：.MF=AD=V3x,FN=BE=x+10,

;MN=210米,

V3x+%+10210,

解得：x=100V3-100,

CF=CD+DF=IOOA/3-100+30=(100A/3-70)米.

19.（2024.黑龍江牡丹江?中考真題）在RtAACB中，4ACB=90°,BC=12,AC=8,以BC為邊向△2C8外

作有一個內角為60。的菱形8CDE,對角線BD,CE交于點O,連接04請用尺規和三角板作出圖形，并直

接寫出AAOC的面積.

【答案】圖形見解析，AAOC的面積為12或36.

【分析】本題考查了菱形的性質，直角三角形的性質以及勾股定理.分兩種情況討論，作。F1BC,垂足為

F,利用直角三角形的性質以及勾股定理分別求得CF的長，再利用三角形面積公式即可求解.

【詳解】解：當NCBE=60。時，所作圖形如圖，作。F1BC,垂足為F,

二菱形BCOE,Z.CBE=60°,

：.^COB=90°,Z.CBO=30°,^OCB=60°,

?；BC=12,

i

OC=-BC=6,

2

?:(OCB=60°,

AzCOF=30°,

：.CF=-OC=3,

2

I

...△40C的面積為:x8x3=12；

當乙BCD=60。時，所作圖形如圖，作OF1BC,垂足為F,

二,菱形乙BCD=60°,

."COB=90。，NBC。=30。，

,:BC=12,

。8=.=6,OC=yjBC2-OB2=6A

：.OF=-OC=3V3,CF=VOC2-OF2=9,

2

1

A40C的面積為:x8x9=36；

綜上，4?!。。的面積為12或36.

20.（2024.山東日照?中考真題）如圖，以回4BCD的頂點B為圓心，48長為半徑畫弧，交8c于點E,再分別

以點4,E為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點F,畫射線BF,交4。于點G,交CD的延長線于點

H.

(1)由以上作圖可知，41與42的數量關系是

(2)求證：CB=CH

(3)若AB=4,AG=2GD,4ABe=60°,求小BCH的面積.

【答案】(1)41=42

(2)證明見解析

(3)973

【分析】本題考查了角平分線定義，平行四邊形的性質，等腰三角形的判定，相似三角形的判定與性質，

解直角三角形，熟練掌握以上知識點并作出合適的輔助線是解題的關鍵.

(1)根據作圖可知，BF為N4BC的角平分線，即可得到答案；

(2)根據平行四邊形的性質可知41=NH,結合N1=N2,從而推出42=NH,即可證明；

(3)過點H作的垂線交BC的延長線于點M,根據平行四邊形的性質48=CD=4,4HCM=Z.ABC=60°,

絲=絲，結合2G=2GD,推出DH=，8,從而得到=CH?sin/HCM,最后由S4BCH=~BC-HM

DHGD22

計算即可.

【詳解】⑴解：由作圖可知，BF為的角平分線

zl=Z.2

故答案為：乙1=乙2

(2)證明：???四邊形為平行四邊形

??.AB||CD

??.zl=Z-H

z.1=z2

z2=乙H

??.CB=CH

(3)解：如圖，過點”作BC的垂線交BC的延長線于點M

H

???AB||CD,AB=CD=4

Z.HCM=乙ABC=60°,△ABGDHG

AB_AG

,,麗=而

XvAG=2GD

AG

???—=2

GD

ABAG

----=—=2

DHGD

11

???DH=-AB=-x4=2

22

???CH=DH+CD=6

BC=CH=6

V3L

HM=CH?sinzHCM=CH-sin60°=6x彳=3V3

???S^BC