專題20與圓相關(guān)的壓軸題

解答題

1.(2022?湖北宜昌)已知，在AABC中，ZACB=90°,BC=6,以8C為直徑的0。與AB交于點H,將AABC

沿射線AC平移得到ADEF,連接BE.

(1)如圖1,DE與。。相切于點G.

①求證：BE=EG；

②求的值；

(2)如圖2,延長"0與。。交于點K,將△DEF沿上折疊，點歹的對稱點尸恰好落在射線BK上.

①求證：HK//EF'-,

②若KF』3,求AC的長.

【答案】(1)①見解析；②BECD=9

(2)①見解析；②AC的長為2宕

【分析】(1)①用切線角定理即可證

②連接OE,OD,OG,證明△ODGSAEOG,利用相似對應邊成比例即可得到

⑵①延長交BE于點Q,設(shè)NABC=e,利用題目中平移，折疊的對應角相等，40。和4E尸用a

表示出來，得到ZBQO=ZBE產(chǎn)'即可

②連接尸尸'，交DE于點、N,證明△HBK/△EVF,設(shè)BK=x,利用△HBKsZXFCB,算出無；在RtAHBK

中，sinZBHK=—=-=-,在RAABC中，即可求出AC的長

KH62

(1)

①如第23題圖1

圖1

*/&4BC沿射線AC方向平移得到ADEF

?.BE//CF

,：NACB=90°

，ZCBE=ZACB=90°

方法一：連接。G,OE

,/DE與。。相切于點G

NOGE=90。

NOBE=NOGE=90。

?：OB=OG,OE為公共邊

/.RtABOE^Rt/\GOE（HL）

：.BE=GE

方法二：YBC是。。的直徑

物與。。相切于點8

「OE與。。相切于點G

BE=GE

②如第23題圖2

圖2

方法一：

過點。作DMJ_鹿于點"

NDMB=90。

由（1）已證NCBE=/3CF=90。

.,?四邊形3CDM是矩形

CD=BM,DM=BC

由（1）己證：BE=GE

同理可證：CD=DG

設(shè)=CD=y

在README中，DM2+ME2DE2

（尤一y）2+62=（尤+y）2

：.xy=9

即3ECD=9

方法二：

圖3,連接OE,OD,0G

圖3

???DE與。。相切于點G,8E與。。相切于點8,8與。。相切于點C

BE=GE,CD=DG,ZOEG=-ZBEG,ZODG=-ZCDG

22

丁BE//CF

???ZBEG+ZCZX7=18O°

???ZOEG+ZODG=90°

：.ZEOD=90°

：.ZDOG-vZGOE=90°

又「DE與O。相切于點G

JOG±DE

/DOG+/ODG=90。

：.ZGOE=ZODG

：.△ODGS^EOG

.OGEGRn2

..—=—,WOG2=DGEG

L)CJOCJ

oo的直徑為6

，OG=3

：.BECD=9

(2)

①方法一：

如圖4

延長HK交BE于點Q

設(shè)NABC=c

?.,在。。中，OB=OH

：.NBHO=NOBH=a

：.ZBOQ=ZBHO+ZOBH=2a

：.ZBQO=90°-2a

；AABC沿射線AC方向平移得到ADEF,ADEF沿DE1折疊得到△口￡?，

Z.DEF=ZDEF'=ZABC=a

：.ZBEF'=90°-2?

ZBQO=ZBEF'

：.HK//EF'

方法二：

"/”是。。的直徑，

：.ZHBK=90°,

設(shè)NABC=a,在O。中，OB=OH,

：.ZBHO=ZOBH=a,

：?/HKF'=900+a,

△ABC沿射線AC方向平移得到△DEF,

△DEF沿DE折疊得到ADEF',

???ZDEF=ZDEF1=ZABC=a,

，ZBEF'=900-2a,

?：NEBF=ZABC=a,

在△BEF沖，ZBF，E=180。一NEBF「NBEF，=90。+a,

???AHKF'=ZBF'E,

：.HK//EF1.

方法三：

如圖，延長5尸交ON于點N

△ABC沿射線AC方向平移得到△DEF

:.AB//DE.AABC冬ADEF

ADEF沿DE折疊得到ADEF'

：./\DFF'^/\DFF

：.ADEF^AABC

：.ZABC=ZDEF\EF'=BC

,/HK=BC

：.EF'=HK

*：UK是直徑

???ZABK=90°

,?AB//DE

：.ZABK=ZBNE=90。

：.ADEF'^AABC

：.NBKH=NEF'N

：.1800-ZBKH=1800-ZEF'N

即NHKF=NEF'K

HK//EF'

②連接尸尸，交.DE于點、N,如圖6

?..△DEF沿￡>E折疊，點尸的對稱點為F

:.EDIFF',FN=-FF'

2

*/HK是。。的直徑

ZHBK=90。，點3恰好落在射線BK上

BF'±AB

'：AASC沿射線AC方向平移得到AOEF

AB//DE,BC=EF

...點8在E尸的延長線上

.??點8,F,,/這三點在同一條直線上

而3C為。。的直徑

?.HK=BC=EF

在AHBK和△E/VF中

/HBK=NENF；NBHO=NNEF；HK=EF

：.AHBK^AENF

：.BK=NF

設(shè)BK=x,貝ijM=5K+"'+b'尸=x+3+2x=3x+3

OB=OK

：.ZOBK=ZOKB

而NHBK=ZBCF=90。

：.AHBK^AFCB

.BKHK

**BC-BF

.x_6

63%+3

解得：石=3,%=-4（不合題意，舍）

J5K=3

在中，sinZBHK=-=-=-

KH62

：.NBHK=3。。

：.ZABC=30°

Ar1

在RtAABC中，tanZABC=tan30°=-----

BC

???AC=6-tan30°=6x—=273

3

即AC的長為2石

【點睛】本題考查折疊，三角形全等，三角形相似，圓的性質(zhì)；巧妙構(gòu)造輔助線，利用上題目所給條件是

本題的關(guān)鍵

2.（2022?貴州遵義）與實踐

“善思”小組開展“探究四點共圓的條件”活動，得出結(jié)論：對角互補的四邊形四個頂點共圓.該小組繼續(xù)利用

上述結(jié)論進行探究.

提出問題：

如圖1,在線段AC同側(cè)有兩點8,D,連接AD,AB,BC,CD,如果NB=ND,那么A,B,C,D

四點在同一個圓上.

AC

圖1

探究展示：

如圖2,作經(jīng)過點A,C,。的Q。，在劣弧AC上取一點E（不與A,C重合），連接AE,CE則

ZAEC+ZD=180°（依據(jù)1）

圖2

?;NB=ND

.'.ZAEC+ZB=180°

???點A,B,C,E四點在同一個圓上（對角互補的四邊形四個頂點共圓）

二點8,。在點A,C,E所確定的。。上（依據(jù)2）

點A,B,C,E四點在同一個圓上

（1）反思歸納：上述探究過程中的“依據(jù)1”、“依據(jù)2”分別是指什么？

依據(jù)1：;依據(jù)2：.

（2）圖3,在四邊形中，Z1=Z2,Z3=45°,則/4的度數(shù)為

（3）展探究：如圖4,已知AABC是等腰三角形，AB=AC,點。在BC上（不與3C的中點重合），連接AO.作

點C關(guān)于AD的對稱點E,連接EB并延長交的延長線于尸，連接AE,DE.

A

圖4

①求證：A,D,B,E四點共圓；

②若AB=2也,AZ>AF的值是否會發(fā)生變化，若不變化，求出其值；若變化，請說明理由.

【答案】（1）圓內(nèi)接四邊形對角互補；同圓中，同弧所對的圓周角相等

（2）45°

（3）①見解析；②8

【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補；同圓中，同弧所對的圓周角相等作答即可；

（2）根據(jù)同弧所對的圓周角相等即可求解；

（3）①根據(jù)（1）中的結(jié)論證明=即可得證；②證明AaiDsAEAB,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即

可求解.

（1）

如圖2,作經(jīng)過點A,C,。的。。，在劣弧AC上取一點E（不與A,C重合），連接AE,CE則

ZAEC+Zr>=180°（圓內(nèi)接四邊形對角互補）

圖2

?.?ZB=ND

.".ZAEC+ZB=180°

，點A,B,C,E四點在同一個圓上（對角互補的四邊形四個頂點共圓）

二點8,。在點A,C,E所確定的。。上（同圓中，同弧所對的圓周角相等）

???點A,B,C,E四點在同一個圓上

故答案為：圓內(nèi)接四邊形對角互補；同圓中，同弧所對的圓周角相等

⑵

?.?在線段。同側(cè)有兩點A,B,Z1=Z2

A,3,C,C四點共圓,

AD=AD

/.Z4=Z3=45°

故答案為：45°

(3)

???AB=AC,

ZABC=ZACB,

???石點與C點關(guān)于AO對稱，

.?.ZACD=ZAED,

:.ZAEB=ZABD,

.?.AD,瓦石四點共圓;

②AZ>AF=8,理由如下，

如圖，氏E四點共圓，

"FBD=NDAE,

A瓦AC關(guān)于AD對稱，

.\ZDAE=ZDACf

：?/DAC=/DBF,

\-ZADC=ZBDF,

:.NF=ZACD,

\-AB=ACf

.\ZABD=ZACD,

:.ZF=ZABD,

又NBAD=/FAB,

.,.ABAD^AFAB,

ABAD

,AF"AB)

:.ADAF^AB2>

■：AB=272,

:.ADAF=8.

【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形對角互補，同弧所對的圓周角相等，軸對稱的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)

與判定，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

3.（2022?黑龍江哈爾濱）己知S是。。的直徑，點A,點8是。。上的兩個點，連接04,03,點。，點E

分別是半徑。的中點，連接CD,CE,BH,且NAOC=2NCHB.

G

H圖3

(1)如圖1,求證：ZODC=ZOEC；

（2）如圖2,延長CE交于點尸，若CDLQ4,求證：FC=FH；

（3）如圖3,在（2）的條件下，點G是8〃上一點，連接AG,BG,"G,O。若AG:3G=5:3,HG=2,求OF

的長.

【答案】（1）見解析

(2)見解析

(3)<?F=—

3

【分析】(1)根據(jù)SAS證明ACOD三ACOE即可得到結(jié)論；

(2)證明=NECO即可得出結(jié)論；

(3)先證明OF_LCH,連接AH,證明=設(shè)AG=5x,BG=3x,在AG上取點M,使得AM=8G,

連接MH,證明△MHG為等邊三角形，得MG=HG=2,根據(jù)AG=4W+MG可求出x=l,得AG=5,

BG=3,過點〃作HNLMG于點N,求出HB=M，再證5=20尸，根據(jù)=3。尸=曬可得結(jié)論.

(1)

如圖1...?點。，點￡分別是半徑。4,。8的中點

圖1

/.OD=-OA,OE=-OB

22

"?OA=OB,

：.OD=OE

:ZBOC=2NCHB,ZAOC=2NCHB

：.ZAOC=ZBOC

'：oc=oc

：.ACOD^ACOE,

/.NCDO=NCEO；

⑵

如圖2.VCD1OA,

：.NCDO=90°

c

圖2

由(1)得NCEO=NCDO=90°,

OF1

??.sinZOCE=-=-

OC2

???NOCE=30。,

???ZCOE=90°-ZOCE=60°

???ZH=-ZBOC=-x60°=30°

22

ZH=ZECO,

:.FC=FH

(3)

如圖3.?：CO=OH,

：.OFCH

???NFOH=90。

C

H

圖3

連接AH.VZAOC=ZBOC=60°

：.ZAOH=ZBOH=120°,

:?AH=BH,ZAGH=60°

AG:BG=5:3

設(shè)AG=5x,

BG=3x

在AG上取點M,使得AM=3G,連接MH

?；ZHAM=ZHBG,

：.AHAM經(jīng)AHBG

：.MH=GH,

???&WWG為等邊三角形

:.MG=HG=2

AG=AM+MGf

5x=3x+2

??x—1,

???AG=5

：.BG=AM=3,

過點”作HNLMG于點N

MN=^-GM=1x2=1,HN=HG.sin60。=百

22

JAN=MN+AM=4,

?*-HB=HA=[NN+HN?=M

VZFOW=90°,NOHF=30。，

??.ZOFH=60°

OB=OH,

???ZBHO=ZOBH=30°,

ZFOB=ZOBF=30°

???OF=BF,

在RMOFH中,NONF=30。，

:.HF=2OF

HB=BF+HF=3OF=V19,

?“M

?.OF=-----.

3

【點睛】本題主要考查了圓周角定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形

的性質(zhì)，勾股定理以及解直角三角形等知識，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解答本題的關(guān)鍵.

4.（2022?黑龍江綏化）如圖所示，在。。的內(nèi)接AAMN中，NM4N=90。，AM=2AN,作于點

P,交。。于另一點8,C是癡上的一個動點(不與A,M重合)，射線MC交線段54的延長線于點

分別連接AC和BC,BC交MN于點、E.

D

(1)求證：△CWs/XCBZ).

⑵若MN=10,MC=NC，求3C的長.

3MF

(3)在點C運動過程中，當=：時，求——的值.

【答案】(1)證明見解析

⑵6否

(3)1

【分析】(1)利用圓周角定理得到NCAM=NABC,再利用兩角分別相等即可證明相似；

(2)連接OC,先證明是直徑，再求出A尸和NP的長，接著證明利用相似三角形的

性質(zhì)求出0E和尸石，再利用勾股定理求解即可；

(3)先過C點作CGLMN,垂足為G,連接CN,設(shè)出GM=3x,CG=4x,再利用三角函數(shù)和勾股定理分別

表示出尸8和尸G,最后利用相似三角形的性質(zhì)表示出EG,然后表示出ME和NE,算出比值即可.

(1)

解：\-ABLMN,

：.ZAPM=90°,

：.ZD+ZDMP=90°,

XVZDMP+ZNAC=1SO°,ZMAN=90°,

：.ZDMP+ZCAM=90°,

，NCAM=/D,

'：ZCMA=ZABC,

：.△CMA^ACBD.

⑵

連接OC,

,?/MAN=90。，

是直徑，

；MN=10,

：.OM=ON=OC=5,

22

AM=2AN,且■+AN=MN,

AN=275,AM=4A/5,

"SAAMN-^AM.AN=^MN-AP,

??.AP=4,

:.BP=AP=4,

?*-NP=YIAN2-AP2=2^

：.OP=5—2=3,

MC=NC，

：.OCLMN,

：.ZCOE=90°,

\-AB_LMN,

：./BPE=90。,

：.ZBPE=ZCOE,

又?:/BEP=/CEO,

：.△COEsABPE

,CO_OE_CE

**BP-PE-BEy

nn5OECE

4PEBE

由OE+PE=OP=3,

54

：.0E=~,PE=-

33

JCE=doc?+OE?=(2+百*百，

BE=y/BP2+PE2=J42+f=|6，

(3)

過。點作CGLMN,垂足為G,連接CM

〈MN是直徑，

ZMCN=90°,

：.NCNM+NDMP=9。。,

ZD+ZDMP=90°,

：.ZD=ZCNM,

3

tanZMDB=—,

4

3

AtanZCW=-,

4

設(shè)GAl=3x,CG=4x,

CM=5x,

??.CN4,

NG普

.25x

：.NM=——

3

???OM=

AM=2AN,且J#?+.2=就2,

....575...1075

??AN=---x，A.M.=-------x,

33

-JS^^AM-AN^MN-AP,

AP=—x=PB,

3

：.NP=-x,

3

??.PG5x-Ux,

333

ZCGE=ZBPE=90°,ZCEG=ZBEP,

：.ACGE^ABPE,

.CGGECE

**BP-PE-

4xGECE

即lO--PE-BE

——x

3

AGE=2x,PE=-x

3

1QY

：.ME=5x,NE=——,

3

：.ME:NE=3:2,

【點睛】本題考查了圓的相關(guān)知識、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)、勾股定理等知識，涉及到了動

點問題，解題關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形，正確表示出各線段并找出它們的關(guān)系，本題綜合性較強，屬于壓軸

題.

5.(2022?黑龍江大慶)如圖，己知3c是AABC外接圓。。的直徑，8。=16.點。為。。外的一點,

NACD=N3.點E為AC中點，弦BG過點E.EF=2EG.連接OE.

⑴求證：。是。。的切線；

(2)求證：(OC+OEXOC-OE)=EGEF.

⑶當尸G||8C時，求弦BG的長.

【答案】(1)答案見解析

(2)答案見解析

(3)3733-3

【分析】(1)根據(jù)2C是AABC外接圓。。的直徑，得乙BAC=90。，由因為/ACr>=/2,得/2(工>=90。，即

可得答案；

PPAp

(2)先證△產(chǎn)E4s△CEG,得——二——，又因為AE=",EF=2EG,得CE^ZEG2,得0C2-0氏",即

CEEG

可得答案；

(3)作ONLFG,延長FG交線段于點W,得四邊形OAWC為矩形，得NG=L5EG,NE=0.5EG,

EW=8-1.5EG+￡G=8-0.5EG,得(8-0.5EG)2+64-2EG2-^EG2=2￡G2,得EG=^-1,即可得答案.

(1)

解：是AABC外接圓。。的直徑，

Z.ZBAC=90°,

??.ZB+ZACB=90°f

丁ZACD=ZB,

：.ZACD+ZACB=90°,

：.ZBCD=90°,

???OC是00的半徑,

：.CD是。。的切線；

(2)

如下圖，連接ARCG,

???NAFE=/ECG,

?.*/AEF=/CEG,

：.AFEAsMEG,

.EF_AE

…在一訪’

??,點￡為AC中點，

：.AE=CE,

?:EF=2EG,

.2EGCE

CE~~EG"

：.CE2=2EG,

???NA4C=90。，點E為AC中點,

:.EO//AB9

：.ZOEC=90°,

：.OC2-OE2=EC2,

：.OC^OE^IEG2,

??.(OC+OE)(OC-OE)=EGEF；

(3)

作ON，尸G,延長尸G交線段于點W,

VBC=16,

008,

,:FG〃BC,

???四邊形ONWC為矩形，

?:EF=2EG,

:?FG=3EG,

：.NG=1.5EG9NE=05EG,EW=8-1.5EG+EG=8-0.5EG,

由(2)可知：OC2-OE2M2EG2,

：.CE2=2EG,

：.OE^b^-lEG2,OAP=64-2EG2--EG2,EM=(8-0.5EG)2,

4

(8-0.5￡G)2+64-2EG2--EG2=2EG2,

4

解得EG=聞-1,

:.FG=3EG=3底-3.

【點睛】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，切線的判定定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，矩

形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作合適的輔助線.

6.(2022?湖南長沙)如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于。。，對角線AC,8。相交于點E,點尸在邊AD上，連接

EF.

⑴求證：AABE^ADCE；

AEDEAFFE

⑵當DC=CB,NO/E=2NC03時，則大—一--------1---------

BECEABAD

11____1

.(直接將結(jié)果填寫在相應的橫線上)

ABADAF

(3)①記四邊形ABC。，的面積依次為S，S，S2,若滿足班=質(zhì)+后，試判斷，AABEACDE

的形狀，并說明理由.

②當DC=CB，AB=m,AD=n,C￡)=p時，試用含相，孔,p的式子表示AE?CE.

【答案】(1)見解析

(2)0,1,0

(3)①等腰三角形，理由見解析，②存

p-\-rnn

【分析】(1)根據(jù)同弧所對的圓周角相等，對頂角相等，即可得證；

AFr)F

(2)由(1)的結(jié)論，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AE-CE=3E?DE,即可得出不匚=0,根據(jù)已知條

BECE

件可得EF//AB,FA=FE,即可得出ADEESAZMB根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得空=空，根據(jù)恒等式變

ABAD

形，進而即可求解.

(3)①記△ADE,△EBC的面積為S3，S4，則S=S1+S?+S3+S4,StS2=S3S4,根據(jù)已知條件可得邑=S4,進

而可得'.0=5/碇，得出CD〃AB,結(jié)合同弧所對的圓周角相等即可證明△A3E,A￡?CE是等腰三角形;

②證明AD4csADCES^CD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得出EA-AC+CE.AC=AC?+,

[CZ)2,2ITIVI

則4C=J〃"Z+02,EC=K=,,AE=AC-CE=計算即可求解.

AC/rm+p-1nm+p-

(1)

證明：AD=AD>

ZACD=ZABD,

即/4fiE=NDCE,

又NDEC=NAEB,

，AABE^ADCE；

(2)

AABE^ADCE,

.ABBE_AE

,~DC~~CE~~DE'

.?.AECE=BEDE,

AEDEAECE-BEDE八

-----------=----------------------=0,

BECEBECE

?.?ZCDB+ZCBD=180°-ZBCD=ZDAB2ZCDB,

??ZDFE=2ZCDB,

:.ZDFE=ZDAB,

:.EF//AB,

,\ZFEA=ZEAB,

DC=CB,

.\ZDAC=ZBAC

,\ZFAE=ZFEA,

;.FA=FE,

?：EF//AB,

:ADFES力AB,

EF_DF

AB-AD

AFFEEFAFDFAFAD

I—i=--------1-------=

ABADABADADADAD

AFAFAFEF

-----1----------H-----=1,

ABADABAD

AFAF

-----1-----：=1,

ABAD

111

——+-----=0,

ABADAF

故答案為：0,1,0

(3)

①記AADE,AEBC的面積為s3,s4,

則S=Sx+S2+S3+S4,

?S3S2DE'

S￡=s3s4①

?.?鳳西+病，

即5=耳+32+2￡^,

二$3+$4=2柄瓦②

由①②可得其+邑=2s店，

即（S-四丫=。,

.t.83=84,

?CIC_C_|_C

…Ta&ADE—°AABE丁0AEBC，

即SJBD=IAOC，

:.CD//AB,

ZACD=ABAC,ZCDB=/DBA,

?/ZACD=ZABD,/CDB=/CAB,

:.NEDC=NECD=NEBA=NEAB,

「.△ABE,aCE都為等腰三角形；

②:DC=BC，

.\ZDAC=ZEAB,

?;ZDCA=/EBA,

:.ADAC^^EAB,

.ADAC

,,邁一瓦’

,/AB=m,AD=n,CD=p,

EA?AC=DAxAB=rm,

?.?ZBDC=ABAC=ADAC,

.\ZCDE=ZCAD,

又/ECD=/DCA,

..ADCES4ACD,

,CD_CE

,?三—方‘

:.CECA=CD2=p2,

:.EAAC+CEAC=AC2=mn+p2,

CD2

則AC=y]mn+p?,EC=

~AC

m

?.AE=AC-CE=2L

Q/mn+p1

.廠廠.mnp2

,AE?EC=.

mn+p

【點睛】本題考查了圓周角定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，對于相似恒等式的推導是解題的關(guān)鍵.

7.(2022.湖南婁底)如圖，已知5。是心的角平分線，點。是斜邊A5上的動點，以點。為圓心，OB

長為半徑的經(jīng)過點。，與Q4相交于點E.

3

(1)判定AC與。O的位置關(guān)系，為什么？(2)若3C=3,CD=-,①求sinNDBC、sinNABC的值；②試用

sinNDNC和cosND5C表示sinNABC,猜測sin2a與sina,cosa的關(guān)系，并用a=30°給予驗證.

【答案】(1)相切，原因見解析

(2)(1)sinZDBC=—,sinZABC=；②sin2a=2sinacosa,驗證見解析

53

【分析】(1)連接。。根據(jù)角之間的關(guān)系可推斷出OD〃3C,即可求得NOD4的角度，故可求出圓與邊的

位置關(guān)系為相切；

(2)①構(gòu)造直角三角形，根據(jù)角之間的關(guān)系以及邊長可求出sin/D3C,sinNABC的值；②先表示出來

sinZDBC>cos/DBC和sinNABC的關(guān)系，進而猜測sin2a與since,cosa的關(guān)系，然后將a=30°代入進

去加以驗證.

（1）

解：連接o。，如圖所示

:即為ZA3C的角平分線

?.ZABD=ZCBD

又丁。。過點3、D,設(shè)半徑為廣

：.OB=OD=r

：.ZODB=Z.OBD=Z.CBD

：.ODHBC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）

OD±AC

/.AC與QO的位置關(guān)系為相切.

⑵

3

①CO=-

/.BD=[BC2+CD2=—

2

..///D小

??sin/DBC==—

BD5

：.CD=DF（角平分線的性質(zhì)定理）

:.BF=BC=3

3

：,OF=BF-OB=3-r,OF=CD=-

2

3

/.OD2=OF2+DF2即r2=(3-r)2+(-)2

.15

.?r=一

8

OD//BC

ZABC=ZFOD

DF4

：.sinZABC=sinZFOD=——二—

OD5

sinZDBC=,sinZABC=—

55

@cosZDBC=—=—

BD5

/.sinZDBCxcosZDBC=—x也=-

555

sinZABC=2sinZDBCxcosZDBC

猜測sin2a=2sinacosa

當a=30。時2a=60。

sin2a=sin60°=

2

sina=sin30°=—

2

COS6Z=COS30°=—

2

/.sin2a=2sin6zcoscr=2x-x—=—=sin2cr

222

sin2a=2sinacosa.

【點睛】本題考查了圓與直線的位置關(guān)系、切線的判定、三角函數(shù)之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵在于找到角與

邊之間的關(guān)系，進而求出結(jié)果.

8.（2022?四川涼山）如圖，己知半徑為5的。M經(jīng)過無軸上一點C,與y軸交于A、B兩點，連接AM、AC,

AC平分NOAM,AO+CO=6

⑴判斷0M與x軸的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)求AB的長；

(3)連接8M并延長交圓M于點。，連接C。，求直線。的解析式.

【答案】(DOM與x軸相切，理由見解析

(2)6

⑶y=-；x+2

【分析】(1)連接CM,證CALLx即可得出結(jié)論；

(2)過點M作于N,證四邊形0cMN是矩形，得MN=0C,0N=0M=5,設(shè)AN=x,則0A=5-x,

MN=OC=6-(5-x)=l+x,利用勾股定理求出x值，即可求得AN值，再由垂徑定理得A8=2AN即可求解；

(3)連接BC,CM,過點。作。PLCM于P,得直角三角形BCD,由(2)知：AB=6,OA=2,OC=4,所

以。8=8,C(4,0),在放ABOC中，ZBOC=90°,由勾股定理，求得BC=4布,在RdBCD中，ZBCD=90°,

由勾股定理，即可求得C。，在放ACPO和在aAMP。中，由勾股定理，求得CP=2,PD=4,從而得出點。

坐標，然后用待定系數(shù)法求出直線C。解析式即可.

(1)

解：0M與x軸相切，理由如下：

9：MC=MA,

：.ZMCA=ZMAC,

〈AC平分NOAM,

???ZMAC=ZOAC,

：.ZMCA=ZOACf

,?ZOAC+ZACO=90°,

：.ZMCO=ZMCA+ZACO=ZOAC+ZACO=90°,

??,MC是。M的半徑，點。在x軸上，

???(DM與x軸相切；

(2)

解：如圖，過點M作MNLA8于N,

由(1)知，ZMCO=90°,

,.?河348于乂

AZMNO=90°,AB=2AN,

ZCON=90°,

：.ZCMN=90°,

???四邊形OCMN是矩形，

:?MN=OC,ON=CM=5,

VOA+OC=6f

設(shè)4V=x,

OA=5-xfMN=OC=6-(5-x)=l+x,

在放中，/MNA=9。。,由勾股定理，得

x2+(l+x)2=52,

解得：X7=3,X2=-4(不符合題意，舍去)，

???AN=3,

：.AB=2AN=6；

(3)

解：如圖，連接8C,CM,過點。作DP_LCM于P,

???05=8,C(4,0)

在放ASOC中，ZBOC=90°,由勾股定理，得

BC=sjoB^+OC-=V82+42=4A/5，

：2D是。/的直徑，

AZBCD=90°,80=10,

在放ABCD中，ZBCD=90°,由勾股定理，得

CD=^BD1-BC1=J102-(4A/5)2=2后，即CD2=20,

在放△CPD中，由勾股定理，得PD2=cD2_cp2=2?CP2,

在RdMPD中，由勾股定理，得PD2=MQ2_MP2=MD2一(MC-MP)2=52-(5-CP)2=10CP+-CP2,

.?.20-CP2=10CP-CP2,

：.CP=2,

：.PD2=20-CP2=20-4=l6,

：.PD=4,即。點縱坐標為OC+PD=4+4=8,

：.D(8,-2),

設(shè)直線CD解析式為卜=入+6,把C(4,0),D(8,-2)代入，得

=」

4左+6=0k

8-‘解得：’2,

6=2

直線C。的解析式為：y=-^x+2.

【點睛】本題考查直線與圓相切的判定，勾股定理，圓周角定理的推論，垂徑定理，待定系數(shù)法求一次函

數(shù)解析式，熟練掌握直線與圓相切的判定、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的方法是解題的關(guān)鍵.

9.(2022?浙江寧波)如圖1,。。為銳角三角形A3c的外接圓，點。在BC上，AD交BC于點、E,點尸在AE

上，滿足NA尸3—尸G〃AC交于點G,BE=FG,連結(jié)AD,DG.設(shè)=

圖1圖2

(1)用含。的代數(shù)式表示NBFD.

(2)求證：ABDE冬AFDG.

⑶如圖2,為。。的直徑.

①當A8的長為2時，求4c的長.

②當。':OE=4:11時，求cosa的值.

【答案】⑴/麗=90°-5

(2)見解析

⑶①3；②cosa=，

O

【分析】(1)^,^ZAFB-ZBFD=ZACB=a,NAFB+N3ED=180。即可求解；

(2)由(1)的結(jié)論，F(xiàn)GUAC、證△BOE也ATOGBAS)即可；

3a

(3)①通過角的轉(zhuǎn)換得/ABC=ZA2。-/DBG=5-,即可求AC的長；②連結(jié)3。，vEABDG^ABOF,

設(shè)。尸=4x,則OE=llx,DE=DG=4kx,由相似的性質(zhì)即可求解；

(1)

VZAFB-ZBFD=ZACB=a,①

XVZAFB+ZBFD=180°,②

②-①，得2N3FD=180°—tz,

ZBFD=90°.

2

(2)

(~y

由(1)得N3/X>=90。—一,

2

ZADB=ZACB=a,

：.ZFBD=180°-ZADB-ZBFD=90°-—,

2

:.DB=DF.

?：FG//AC,

:.ZCAD=ZDFG.

ZCAD=ZDBE,

：.ZDFG=ZDBE.

?:BE=FG,

???ABDE^/\FDG(SAS).

(3)

①,?ABDE*LFDG,

:.ZFDG=ZBDE=a,

：.NBDG=ZBDF+ZEDG=2a.

,:DE=DG,

1zy

NOGE=E(180。-"￡>6)=90。-三,

44

???在△BDG中，/DBG=180。—ZBDG-ZDGE=90°-—

2

???AD為G)O的直徑,

???ZABD=90°.

3cf

ZABC=ZABD-/DBG=—.

2

二AC與AB的度數(shù)之比為3：2.

AC與AB的的長度之比為3:2,

：AB=2，

,,AC=3?

②如圖，連結(jié)30.

A

,:OB=OD,

：.ZOBD=ZODB=a,

JZBOF=NOBD+NODB=2a.

ZBDG=2a,

：.ZBOF=ZBDG.

?.,ZBGD=/BFO=90°-—,

:.△BDG^ABOF,

設(shè)^BDG與MF的相似比為k,

.DGBD

..OF4

OE11

?,?設(shè)。尸=4x,則OE=llx,DE=DG=4kx,

：.OB=OD=OE+DE-4kx,

BD=DF=15元+4版,

,BD_15x+4Ax_15+4Z:

BOllx+4fct11+4左

,15+4^

由nr薪=k,得4左？+7左一15=0,

解得左=+，&=-3（舍），

OD—1lx+4Ax=16x,B￡）=15x+4Ax=20x,

AD=2OD=32x,

在RtZXABD中，cosZADB=—

AD32x8

【點睛】本題主要考查圓的性質(zhì)、三角函數(shù)、三角形的全等、三角形的相似，掌握相關(guān)知識并靈活應用是

解題的關(guān)鍵.

10.(2022.浙江溫州)如圖1,AB為半圓。的直徑，C為54延長線上一點，8切半圓于點。，BELCD,

交CO延長線于點E,交半圓于點E已知BC=5,3E=3.點P,。分別在線段AB,BE上(不與端點重合),

Ap5

且滿足三方=彳.設(shè)8Q=x,CP=y.

(1)求半圓。的半徑.

(2)求y關(guān)于x的函數(shù)表達式.

(3)如圖2,過點尸作尸R1.CE于點R,連結(jié)PQ,RQ.

①當AP”為直角三角形時，求尤的值.

②作點/關(guān)于QR的對稱點尸，當點尸落在BC上時，求名的值.

BF

【答案】⑴7

O

55

⑵產(chǎn)片

⑶①］9或f?!j;②三IQ

【分析】⑴連接O。，設(shè)半徑為r,利用△C8s/\CBE,得當=凄，代入計算即可;

(2)根據(jù)CP=AP十AC,用含x的代數(shù)式表示AP的長，再由(1)計算求AC的長即可;

⑶①顯然/PRQ<90。，所以分兩種情形，當"尸。=90。時，則四邊形RPQE是矩形，當ZPQR=90°

時，過點P作PHL8E于點則四邊形PHER是矩形，分別根據(jù)圖形可得答案;

②連接AEQ尸，由對稱可知。尸=Qk，4FQ?=NEQR=45。，利用三角函數(shù)表示出8廣和族的長度，從

而解決問題.

⑴

解：如圖1,連結(jié)0D.設(shè)半圓。的半徑為八

E

圖1

?「CD切半圓。于點。,

ODLCD.

丁BE工CD,

：.OD//BE.

：.△CODs^CBE,

,OPCO

r5-r

即Rn丁丁,

.?./=浮，即半圓。的半徑是號.

OO

⑵

由（1）得：CA=CB-AB=5-2x—=-.

84

AP5n八

?/——=-,BQ=x,

AP=-x.

4

,/CP=AP+AC,

⑶

①顯然/PRQ<90。，所以分兩種情況.

i）當NRPQ=90。時，如圖2.

,/PRLCE,

???ZERP=90°.

???NE=90。，

???四邊形HP。石為矩形，

：.PR=QE,

333

???PR=PCsmC=-y=-x+-

544f

.33r

??一XH—=3—X,

44

.,.x=—9.

7

ii)當NPQH=90。時，過點尸作P//_L跳;于點凡如圖3,

圖3

則四邊形PHER是矩形，

:.PH=RE,EH=PR.

?：CB=5,BE=3,

?,CE=A/52—32=4?

4

*.*CR-CP-cosC=—y=x+1,

5

?,.PH=RE=3—x=EQ,

：.ZEQR=ZERQ=45°,

：.ZPQH=45°=ZQPH,

：.HQ=HP=3-x,

33

由EH=PR得:(3—x)+(3—x)=—%+心,

44

._21

,?x——.

11

綜上所述，尤的值是I?或號.

②如圖4,連結(jié)AEQ9,

圖4

由對稱可知°尸=。「，NFQR=/EQR

U：BEA.CE,PRICE,

:?PR〃BE,

：./EQR=/PRQ,

VBQ=XCP=-x+-

944y

EQ=3-x,

?；PR〃BE,

：.ACPRsACBE,

.CP_CB

??赤一瓦’

55

即：4X+4^5,

CR~4

解得：CR=x+l,

：.ER=EC-CR=3-x,

即：EQ=ER

：.ZEQR=ZERQ=45°,

：.ZF'QR=ZEQR=45°

：.NBQF'=90°,

4

QF=QFf=BQtanB=—x.

,/是半圓。的直徑，

??.ZAFB=90°,

9

BF=AB?cosB=—,

.CF'_BC-BF'_BC]_31_19

?,赤—一BF'——而7-一二~~9'

【點睛】本題是圓的綜合題，主要考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，三角函數(shù)

等知識，利用三角函數(shù)表示各線段的長并運用分類討論思想是解題的關(guān)鍵.

11.(2022?浙江麗水)如圖，以A3為直徑的O。與相切于點A,點C在AB左側(cè)圓弧上，弦CD_LAB交

于點。，連接AC,AD.點A關(guān)于CD的對稱點為E,直線CE交。。于點尸，交A/7于點G.

(1)求證：ZC4G=ZAGC；

FF2DP

(2)當點E在AB上，連接AF交8于點P,若受=[,求胃的值；

CA5Cr

⑶當點E在線段AB上，AB=2,以點A,C,O,尸為頂點的四邊形中有一組對邊平行時，求AE的長.

【答案】(1)證明過程見解析

(2)7

⑶3-小或2-應

2

【分析】(1)設(shè)CD與AB相交于點由。。與AH相切于點A,得到？BAG90°,由CD_LAB,得到

ZAMC=9(T,進而得到AG〃CD,由平行線的性質(zhì)推導得，？C4G?ACD,1AGC?FCD,最后由點A

關(guān)于CD的對稱點為E得到/FCD=ZACD即可證明.

(2)過尸點作于點K,設(shè)與CD交于點N,連接。E證明/FAD=NADC得到OP=AP,再

KEEF2

證明△CPA2得到PF=PC；最后根據(jù)AKEFsANEC及△APNS/\AFK得到==和

ENCE5

P4AN5

等=蕓=2，最后根據(jù)平行線分線段成比例求解?

AFAK12

(3)分情況進行討論.

⑴

證明：如圖，設(shè)CQ與AB相交于點M,

B

。。與AH相切于點A,

/.?BAG90。，

CD1AB,

：.ZAMC=90°,

JAG//CD,

：.?CAG?ACD,2AGC1FCD,

???點A關(guān)于CD的對稱點為E,

：.ZFCD=ZACD,

：.ZCAG=ZAGC.

(2)

解：過尸點作FKLAB于點K,設(shè)A5與。。交于點N,連接。尸，如下圖所示:

由同弧所對的圓周角相等可知：?FCD1FAD,

TAg為OO的直徑，且由垂徑