專題09與反比例函數圖象有關的拓展探究

1.有這樣一個問題：探究函數＞='+1的圖像與性質.

X

小明根據學習一次函數的經驗，對函數y=」+i的圖像與性質進行了探究.

X

下面是小明的探究過程，請補充完整：

(1)函數y=：+i的自變量x的取值范圍是；

(2)下表是＞與x的幾組對應值.

X-4-3-2-i-mm1234

32345

y0-132

437234

求出機的值；

(3)如圖，在平面直角坐標系xOy中，描出了以表中各對對應值為坐標的點.根據描出的點，畫出該

函數的圖像；

5-

4-

(4)寫出該函數的一條性質.

【答案】⑴xwO

⑵〃2

(3)畫圖見解析

(4)該函數沒有最大值或該函數沒有最小值

【分析】(1)由圖表可知#0；

第1頁共39頁

(2)根據圖表可知當y=-l時x=-m，把產?1,x=-m代入解析式求解即可；

(3)根據坐標系中的點，用平滑的直線連接即可；

(4)觀察圖像即可得出該函數的其他性質，該函數沒有最大值，沒有最小值.

(1)

解：根據題意得：函數y=^+i的自變量x的取值范圍是尤/0.

X

故答案為：x/0.

(2)

解：把苫=-加，y=-l代入函數y=1+l中得：1

x-m

7W=/即加的值為

(3)

解：畫出函數圖像如圖所示：

(4)

解：觀察函數(3)圖像，可以發現該函數沒有最大值，沒有最小值.

即該函數的一條性質：沒有最大值或沒有最小值.

【點睛】本題主要考查了反比例函數的性質、反比例函數的圖像等知識點，掌畫出函數圖像并從中

獲取信息是解答本題的關鍵.

2.小聰在學習過程中遇到了一個函數y=13-2,小聰根據學習反比例函數y=3士的經驗，對函數

xx

3

2的圖像和性質進行了探究.他先通過列表，并描出如圖所示的圖像上的部分點.

第2頁共39頁

-LF—t--i--r-T-r-r-r-

」034K￡344

廠一|一1一1一丁一丁一廠一廠-f"卜_-)_T-'F-T~r_r_r_r_i_n

i???ir???i

(1)請你幫助小聰畫出該函數的圖像；

(2)該函數圖像可以看成是由y=：的圖像平移得到的，其平移方式為—；

3

(3)直接寫出不等式——2＞-3的解集為—.

x

【答案】(1)見詳解

(2)向下平移2個單位長度

(3)》＜-3或》＞0

【分析】(1)根據畫函數圖像的步驟畫出圖像即可；

(2)根據反比例函數的性質解答即可；

(3)根據反比例函數、=士的圖像與性質，結合畫出的函數圖像即可得出結論.

X

(1)

解：畫出函數圖像如下：

第3頁共39頁

r

Tr

(2)

解：該函數圖像可以看成是由『=上的圖像平移得到的，其平移方式為向下平移2個單位長度.

X

故答案為：向下平移2個單位長度；

(3)

3

解：由圖像可得，不等式一-2>-3的解集為x<-3或x>0.

x

故答案為：x<-3或x>0.

【點睛】本題只要考查了反比例函數的知識，熟練掌握數形結合的思想是解題的關鍵.

2

3.類比學習反比例函數的過程與方法，進一步研究函數>=n的圖象與性質，探究過程如下:

3\

\

—

13--10

___2

第4頁共39頁

_1_

X—3—2—1123

~2

22

m24421

y33

(1)①列表：其中，m的值為；

②如圖，在平面直角坐標系中，根據描出的點.已畫出部分圖像，請補全函數圖像：

③根據函數圖象，寫出該函數的一條性質.

(2)利用圖像直接寫出當yN2時，x的取值范圍是_____.

【答案】(1)①1;②見解析；③當時，丁隨x的增大而增大；當x>0時，y隨x的增大而減小(答

案不唯一)

⑵0cxW1或-IV尤<0

2

【分析】(1)①把x=-2代入了=H，即可求得加的值；②首先描點，再連線即可畫得；③根據函數

圖象即可寫得；

(2)根據函數圖象及表格即可求得.

(1)

2

解：①把尸-2代入y=H,

2,

得加=同=1，

故答案為：1;

故答案為：當尤<0時，y隨x的增大而增大；當x>0時，y隨x的增大而減小(答案不唯一);

(2)

第5頁共39頁

2

解：當yN2時，即?2,

0W

得小1,

0<x<l^c-l<x<0

故答案為：0<工41或-14”0.

【點睛】本題考查了畫函數圖象的方法，求函數的解析式，根據函數圖象寫出函數的性質，求自變

量的取值范圍，采用數形結合的思想是解決此類題的關鍵.

6

4.某班“數學興趣小組”對函數卜=口［的圖象和性質進行了探究探究過程如下，請補充完整.

(1)自變量x的取值范圍是:

(2)下表是x與y的幾組對應值.

X-6-5-4-3-2-1.5-111.223456

y11.2m234665321.51.21

求m的值；

(3)根據上表的數據將該函數圖象補充完整并寫出兩條函數的性質；

(4)已知函數了=-”x+?的圖象如圖所示，請直接寫出不等式-1x+的解集.

【答案】⑴x/O

(2)加的值為1.5

第6頁共39頁

(3)補充圖象見解析，性質1：該函數圖象關于y軸對稱，性質2：當x>0時，y隨x的增大而減小

(4)x<-l或1.5<x<5

【分析】(1)由分母不能為零，即可得出自變量x的取值范圍；

6

(2)將x=-4代入>=凡計算即可；

(3)觀察函數圖象，找出該函數的另一條性質即可；

4266

(4)找出在x的那些范圍之內，函數了=-=x+?的圖象在函數V=「的圖象的上方即可.

55國

(1)

x片0；

(2)

解：當x=-4時，>=占=1.5,

：.m的值為1.5；

(3)

解：性質1：該函數圖象關于y軸對稱，

性質2：當x>0時，y隨x的增大而減小;

(4)

解：x<-l§K1,5<x<5

【點睛】本題考查了反比例函數的圖象及性質、反比例函數與一次函數的綜合應用，反比例函數與

第7頁共39頁

不等式之間的關系，注意利用數形結合的思想是解此題的關鍵.

6

5.某“數學興趣小組”對函數〉=「二可的圖象與性質進行了探究，探究過程如下：請將其補充完整?

(1)繪制函數圖象：

列表：下表是x與y的幾組對應值，其中"2=，”=.

X......-4-3-2-100.5133.5456n8......

y......11.21.523m664321.51.21......

描點：根據表中各組對應值(x,y),在平面直角坐標系中描出了各點；

連線：用平滑的曲線順次連接各點，如圖，畫出了部分圖象，請你把圖象補充完整;

①;②.

【答案】⑴4,7,圖見解析

(2)①關于直線x=2對稱；②當x<2時，y隨x的增大而增大，當x>2時，y隨x的增大而減小

【分析】(1)求出x=0.5時的函數值，求得函數值為1.2時的x的值即可求得加、”的值，然后利

用描點法畫出函數圖象即可；

(2)結合圖象寫出兩個性質即可.

(1)

第8頁共39頁

6

解:當x=°.5時，》=一=4,

6

當產1.2時,1.2=尸，貝！］x=-3或x=7,

故加=4,n—1,

故答案為4,7.

函數圖象如圖所示:

⑵

解:①關于直線x=2對稱，②當xV2時，y隨x的增大而增大，當x>2時，y隨x的增大而減小;

故答案為：關于直線x=2對稱；當x<2時，y隨x的增大而增大，當x>2時，y隨x的增大而減

小.

【點睛】本題考查反比例函數的圖象與性質，理解題意，利用數形結合的思想解決問題是解題的關鍵.

2

6.某校九年級數學興趣小組對函數>==+2的圖象和性質進行探究，通過描點、連線的方式畫

X-L

出了該函數的圖象如圖所示.請結合圖象回答下列問題:

2

(1)①函數>=―7+2的自變量x的取值范圍是______

x-l

第9頁共39頁

2

②請嘗試寫出函數》=-7+2的一條性質：______.

x-1

22

(2)經觀察發現，將函數>=—的圖象平移后可以得到函數〉=—；+2的圖象，請寫出一種平移方法.

xx-1

2

(3)在上述平面直角坐標系中，畫出V=x+2的圖象，并結合圖象直接寫出不等式一；+2Kx+2的

x-1

解集.

【答案】(1)①XW1；②在第一象限內，V隨X的增大而減小.(答案不唯一)

(2)將y=4的圖象先向右平移1個單位，再向上平移2個單位(答案不唯一)

x

(3)見解析，-l<x<l^x>2

【分析】(1)①根據分母不為零可求；

②根據反比例函數圖象的性質可得；

(2)按照函數平移規律即可求得；

(3)描點，連線畫出該函數的圖象，結合圖象即可求得.

(1)

①xwl；

②在第一象限內，了隨X的增大而減小.(答案不唯一，正確合理即可)；.

(2)

將>=—2的圖象先向右平移1個單位，再向上平移2個單位，即可得到函數卜2=三+2的圖象；(答

x尤一1

案不唯一，正確合理即可)；

(3)

在平面直角坐標系內畫出y=x+2的圖象:

第10頁共39頁

【點睛】本題考查的是反比例函數圖象及其性質，掌握描點法畫函數圖象的方法，數形結合是解本

題的關鍵.

7.探究函數性質時，我們經歷了列表、描點、連線畫出函數圖象，觀察分析圖象特征，概括函數

性質的過程.結合已有經驗，請畫出函數y=的圖象，并探究該函數性質.

(1)繪制函數圖象

①列表：下列是X與y的幾組對應值，其中0=.

X......-5-4-3-2-112345......

y......-3.8-2.5-1155a-1-2.5-3.8......

②描點：根據表中的數值描點(x,y),請補充描出點(2,a)；

③連線：請用平滑的曲線順次連接各點，畫出函數圖象；

(丁國的一條性質:

(2)探究函數性質，請寫出函數＞=

(3)運用函數圖象及性質

①寫出方程?

-網=5的解.

②寫出不等式義-卜區1的解集

【答案】(1)①1；②見解析，③見解析

(2)y=《-1x|的圖象關于了軸對稱軸(答案不唯一)

IXI

(3)①x=l或x=-l；②xW-2或xN2

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【分析】(1)①把02代入解析式即可得。的值；②③按要求描點，連線即可;

(2)觀察函數圖象，可得函數性質；

(3)①由函數圖象可得答案；②觀察函數圖象即得答案.

(1)

①列表：當x=2時，a=~~|21=1,

I，I

故答案為：1;

②描點，③連線如下：

(2)

觀察函數圖象可得：y=的圖象關于y軸對稱，

故答案為：>=；7刈的圖象關于V軸對稱；

(3)

①觀察函數圖象可得：當y=5時，x=l或％=-1,

同一國=5的解是》=1或x=-l,

故答案為：x=l或x=-l,

②觀察函數圖象可得，當爛-2或后2時，^<1,

：.^-\x\<l的解集是爛-2或x>2,

故答案為：立-2或眾2.

【點睛】本題考查了列表描點畫函數圖象，根據函數圖象獲取信息，畫出函數圖象，從函數圖象獲

取信息是解題的關鍵.

第12頁共39頁

8.“卓越數學興趣小組”準備對函數>=—三-3圖像和性質進行探究，他們制定了以下探究步驟：

(1)該小組認為此函數與反比例函數有關，于是他們首先畫出了反比例函數y=9的圖像(如圖1),

然后畫出了>=—工-3的圖像，請在圖1中畫出此圖像(草圖).

X+1

圖①

(2)他們發現函數了=二-3圖像可以由y=9的圖像平移得到，請寫出平移過程.

x+1X

(3)他們發現可以根據函數y=—1-3圖像畫出函數y=—J-3的圖像，請在圖2中畫出此圖像(草

x+1x+1

圖)，并寫出其中的兩條函數性質.

第13頁共39頁

8

6

4

2

11Ii1IIA

—8—6—4—202468x

—2

—4

—6

-8

圖②

(4)他們研究后發現，方程二-3="中，隨著。的變化，方程的解的個數也會有所變化，請結合

圖像，就。的取值范圍討論方程解的情況.

【答案】(1)見解析

(2)向左平移1個單位，再向下平移3個單位

⑶見解析

(4)當。<0時，方程無解；當。>3或0<。<3時，方程有兩個解；當。=0或。=3時，方程有一個

解

【分析】(1)畫出函數y=-3的圖像即可；

(2)觀察圖像即可得到結論；

(3)作出函數值小于零的部分圖像關于x軸的軸對稱圖形得到函數圖像，然后根據圖像寫出兩條

性質即可；

(4)分a<0,a=0或a=3,0<a<3或a>3三種情況，分別根據函數圖像求解即可.

(1)

解：如圖①所示即為所求.

第14頁共39頁

解：將y=9的圖像向左平移1個單位，再向下平移3個單位可得V,

-3的圖像.

xx+i

(3)

解：函數圖像如圖②，性質如下(不唯一)：

①函數有最小值，最小值為0,

②當x>l時，y隨著x的增大而增大，x<-l時，y隨著x的增大而增大.

第15頁共39頁

圖②

（4）

解：方程=-3=。中，隨著a的變化，方程的解的個數也會有所變化

當a＜0時，方程——-3=a無解；

x+1

當。＞3或0＜。＜3時，方程3二。有兩個解；

當4=0或4=3時，方程37-3=。有一個解.

【點睛】本題主要考查了函數圖像的平移、反比例函數圖像和性質、函數與方程的關系等知識點，

正確畫出函數圖像是解答本題的關鍵.

9.我們研究反比例函數圖像平移后的性質.初步探究

44

（1）將反比例函數歹=—的圖像向左平移一個單位，可以得到函數歹=—；的圖像（如圖①）,觀察

圖像，判斷以下結論是否正確（正確的打y"，錯誤的打“X”）：

①該函數圖像與〉軸的交點坐標是（0,4）；（）

②該函數圖像是中心對稱圖形，對稱中心是（一1,0）；（）

③當時，歹隨X的增大而減小.（）

第16頁共39頁

①②

4

(2)在圖②中畫出函數歹=；-1的圖像，根據圖像寫出其兩條不同類型的性質;

x+1

(3)問題解決：若函數y=的圖像可以由函數>=)的圖像通過平移得到，求"?的值；

(4)深入思考：當心0時，對于任意正數比方程履+6=々均無解，直接寫出a,b,左滿足的數

量關系.

【答案】(1)①對；②對；③錯

(2)圖見解析，性質見解析

⑶加=6

(4)。-6+左=0

【分析】(1)通過觀察圖象，分析圖象性質即可判斷是否正確；

(2)利用5點作圖法在坐標軸上描點即可作圖；

(3)通過化簡運算，結合題意，即可求證的值；

(3)由反比例函數無解時的性質，即可寫出a,b,左滿足的數量關系.

(1)

觀察圖可得，該函數圖象與y軸的交點坐標是(0,4),故①Y；

該函數是反比例函數，是中心對稱圖形，對稱中心易知是(-1,0),故②《

當時，y隨x的增大而減小，當x<-l,y隨x的增大而減小，但并不連續區間，故不為單

調遞減，③錯誤；

故答案為：①4；②T；③x；

(2)

第17頁共39頁

函數圖像如圖所示.

>A

兩條不同類型的性質是：

例如：

①當X＜一1時，y隨x的四大而被小，當X＞一1時，y%的增大而減小;

②無論x取何值，圖數值不等于一1;

③該圖數圖像與y軸的交點坐標是（0,3）；

④該圖數圖像與x軸的交點坐標是（3,0）；

⑤該函數圖像是中心對稱圖形，對稱中心是（一1,—1

⑥該函數圖像是軸對稱圖形，對稱軸是直線y=x和y—x—2.

（3）

2x+m2x+2+m—22x+2m-2_m-2

y=--------=-----------------=---------1--------=2-1--------

x+1x+1x+1x+1x+1

根據題意，得冽-2=4,

解得m=6.

(4)

,7ax

kx+b=-----

x+1

77ax+a-a-a

KX+17-------------6ZH--------,

X+lX+l

kx+6=qH-------,

x+1

,對于任意左，方程均無解，當x=?l時分式無意義,

/.a+k-b=0

第18頁共39頁

【點睛】本題考查了反比例函數的圖象與性質；正確作圖、理解題意、綜合分析是本題解題的關鍵.

10.商丘市睢縣古稱襄邑，西漢時期為全國織錦生產供應中心，朝廷專門在此設服官，負責文武大

臣官服供應.已知一塊長方形織錦的兩邊長分別是2米與3米，現在要把這個長方形織錦按照如圖

1的方式擴大到面積為原來的2倍，設原長方形織錦的一邊加長。米，另一邊加長6米，可得。與

12

6之間的函數關系式6=---2,某班“數學興趣小組”對此函數進一步推廣，得到更一般的函數y

。+3

12

=---2,現對這個函數的圖象和性質進行了探究，研究過程如下，請補充完整：

x+3

12

(1)類比反比例函數可知，函數歹=——一2的自變量x的取值范圍是________，這個函數值y的取

x+3

值范圍是.

1212

(2)“數學興趣小組”進一步思考函數y=|——2］的圖象和性質，請根據函數y=-^—2的圖象(圖

x+3x+3

12

2),畫出函數》=|—2］的圖象；

x+3

12

⑶根據函數y=|―—2］的圖象，寫出兩條函數的性質；

x+3

12

(4)根據函數》=|—^—2］的圖象解答下列問題：

x+3

12

①方程|——2|=0有個解，該方程的解是；

x+3

12

②如果方程|—一2|=。有兩個不相等解，則a的取值范圍是________.

尤+3

【答案】(1)**-3；-2

(2)見解析

(3)①函數有最小值，最小值為0；②當x>3時，了隨x的增大而增大

(4)01,x=3；②40且存2

第19頁共39頁

12

【分析】(1)根據分式有意義的條件確定自變量x的取值范圍，根據--^0,確定y的值即可;

x+3

(2)描點法作出函數圖象；

(3)根據函數的圖象，可得結論；

(4)①根據函數圖象即可求解；②根據函數圖象以及y的取值范圍分析求解.

(1)

解:根據分式有意義的條件得，x+3/O,

12

所以X的取值范圍為:工~3；因為「彳12=0,所以y=---2^-2,

x+3x+3

因此V的取值范圍為:y工-2,

故答案為：**-3；yW-2.

(2)

由絕對值定義，將函數夕=12--2的圖像在x軸下方的部分，

-x+3

觀察函數圖象可知:①函數有最小值，最小值為0；②當x>3時J隨x的增大而增大.

(4)

12

①根據函數圖象可知，|——一2|=0與x軸有1個交點，交點坐標為3,0),

x+3

12

?,?方程］——2|=0有1個解，該方程的解是％=3；

x+3

12

②故函數圖象可得，如果方程|—有兩個不相等解，

x+3

第20頁共39頁

由（1）可知-----2x2,貝［|。片2,

x+3

則a的取值范圍是。＞0且存2.

【點睛】本題屬于反比例函數綜合題，考查了反比例函數的性質，函數圖象等知識，解題的關鍵是

正確畫出函數圖象，學會利用圖象法解決問題.

11.參照學習函數的過程與方法，探究函數夕=土上丘加）的圖象與性質，因為y=土上=1-4,

XXX

22

即＞=—4+1,所以我們對比函數》=—-來探究.

列表:

j_

X-4-3-2-11234

~27

__2j_2_2

124-4-2-1

yX3~2

_x-235]_

235-3-10

y%233~2

Y—2

描點：在平面直角坐標系中以自變量X的取值為橫坐標，以＞=?相應的函數值為縱坐標，描出

X

相應的點如圖所示；

（1）請把y軸左邊點和右邊各點分別用一條光滑曲線，順次連接起來；

（2）觀察圖象并分析表格，回答下列問題：

①當x＜0時，y隨x的增大而；（“增大”或“減小”）

Y—22

②的圖象是由＞=—-的圖象向平移個單位而得到的：

xX

③圖象關于點中心對稱.（填點的坐標）

第21頁共39頁

x—2

(3)函數y=——與直線y=-2x+l交于點/,B,求A4O3的面積.

X

【答案】(1)見解析

(2)①增大；②上，1；③(0,1)

(3)1

【分析】(1)用光滑曲線順次連接即可；

(2)①②③利用圖象法即可解決問題；

(3)聯立方程求出點/、8的坐標，由此即可解決問題.

(1)

解：函數圖象如圖所示：

(2)

①當x<0時，y隨x的增大而增大；

②r-±2的圖象是由的2圖象向上平移1個單位而得到;

x尤

③圖象關于點(0,1)中心對稱.

故答案為：增大，上，1,(0,1)；

(3)

如圖，記直線y=-2x+l與x軸的交點為0,

第22頁共39頁

y—2

根據題意得：—=~2x+l,解得：x=±l,經檢驗符合題意，

X

當x=1時,y=-2x+1=-1,

當x=-1時，y=-2x+l=3,

???交點為4(1,-1),5(-1,3),

當y=0時，-2x+l=0,%=；，

則。加，

1,,、1

：.SAAOB=-X(3+1)x-=l.

22

【點睛】本題考查的是畫反比例函數的圖象，反比例函數圖象的平移，反比例函數的性質，坐標與

圖形，一元二次方程的解法，熟練利用反比例函數的圖象與性質解題是解本題的關鍵.

12.已知函數y=x+；(x>0),它的圖象猶如老師的打鉤，因此人們稱它為對鉤函數(的一支).下

表是〉與x的幾組對應值：

j_]_j_

X1234

43T

3131

y4-2-m2-4-

432234

請你根據學習函數的經驗，利用上述表格所反映出的y與x之間的變化規律，對該函數的圖象與性

質進行探究.

(1)其中加=.

(2)如圖，在平面直角坐標系xOy中，已描出了上表中各對對應值為坐標的點，請根據描出的點，畫

第23頁共39頁

出該函數的圖象:

5

4

3

2

1

->

O12345

(3)根據畫出的函數圖像特征，仿照示例，完成下列表格中的函數變化規律:

序號函數圖像的特征函數變化規律

示例在直線x=l右側，函數圖像當尤＞1時，了隨X的增

1是呈上升狀態大而增大

1111

5111

?111d

???C1\

4???卜2萬］

???y=2-

*???當戶2時，.2

2函數預想經過點12)

3?111

??'

111

2T??

???

???①函數圖像的最低點是(L2)

1???

???

???______4

O123/L5x在直線x=l左側，函數圖像

②

呈下降狀態

【答案】⑴2

(2)作圖見解析；

⑶①當x=l時，求得y有最小值2；②當0X1時，y隨x的增大而減小.

【分析】(1)把x=l代入y=x+，即可求得加的值；

X

(2)根據圖中的關鍵點用平滑的曲線畫出圖形即可；

(3)根據示例及圖像即可得出答案.

(1)

第24頁共39頁

解：當x=l時，/=1+；=2,

故答案為2；

(2)

解：①。?,函數圖像的最低點是。,2),

...當時，y有最小值2；

②由圖像可得當0<xWl時，y隨x的增大而減小.

【點睛】本題考查了反比例函數的性質，函數圖象的畫法，畫出函數圖象是解本題的關鍵.

13.某初中數學社團類比反比例函數的性質，利用網格坐標系對函數了=一寸的圖像與性質進行

探究.其報告冊上探究過程如下(小正方形的單位長度為0.5)：

(1)繪制函數圖像，具體操作過程如下：

①列表：下表是x與的幾組對應值，計算并填空；

]_35

X-2-10234

3T23

2

m123n4321

y3

②描點：根據表中各組對應值(x/),描出各點；

③連線：用平滑的曲線順次連接各點，畫出圖像;

第25頁共39頁

y\.

(2)通過觀察圖像，補全函數的部分性質：

①函數圖像關于直線對稱；

②函數圖像與y軸的交點坐標是(，)；

2

③方程!一^=2022有個實數根；

1^-1|

2

(3)若直線N=1交函數y=~^的圖像于4,3兩點，連接CU,過點8作8C〃CU交X軸于點C,

|工一1I

貝US四邊形0Z5C=?

【答案】(1)①：；4②見解析；③見解析；

⑵①x=l②(0,2)③2

(3)4

【分析】(1)①分別將當％=-2,尸g代入求解即可；②直接描點即可；③將點用光滑的曲線連接即

可；

(2)①根據所作的函數圖像即可得出；②根據所作的函數圖像即可得出；③根據所作的函數圖像

即可得出；

(3)結合圖像，得出四邊形。N8C為平行四邊形，求面積即可.

(1)

解：當％=-2時，

22

7-|-2-1|-3,

/.?=-；

3

第26頁共39頁

當x=；時,

:?〃=4；

(2)

①根據圖像可得：函數圖像關于直線尸1對稱；

②函數圖像與y軸的交點坐標為(0,2)；

③結合圖像可得：當y=2022時，存在兩個實數根;

故答案為：①x=l;②(0,2)；③2；

(3)

解：如圖所示，

第27頁共39頁

四邊形O/8C為平行四邊形，

面積S=4xl=4,

故答案為：4.

【點睛】題目主要考查利用描點法畫函數圖像及探究新的函數圖像的性質，網格求面積等，理解題

意，運用學過的知識點進行求解是解題關鍵.

14.探究函數性質時，我們經歷了列表、描點、連線畫函數圖象，觀察分析圖象特征，概括函數性

4

質的過程.以下是我們研究函數了=—；性質及其應用的部分過程：

x-1

(1)畫函數圖象：

列表：

X-3-2-102345

_4

y-1-2a42b1

直接寫出上表中。，6的值：a=；b=；并描點、連線得到函數圖象:

第28頁共39頁

4

(2)觀察函數了=—；的圖象，判斷下列關于該函數性質的命題：

①該函數圖象由兩支曲線組成，兩支曲線分別位于第一、三象限內;

②該函數圖象既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形；

③y的值隨x值的增大而減小；

④該函數最小值為-4,最大值為4.

其中錯誤的是;(請寫出所有錯誤命題的序號)

(3)結合圖象，直接寫出不等式‘>-1的解集：______.

x-1

4

【答案】(1)-4,函數圖象見解析

⑵①③④

(3)x<-3或x>l

【分析】(1)利用函數解析式分別求出x=0和x=4對應的函數值；然后利用描點法畫出圖象即可;

(2)依據函數圖象，即可得到函數的性質;

(3)利用圖象即可解決問題.

(1)

4

解：把x=0代入y=——;得，y=-4,

x-l

4,4

把x=4代入y=----^得，y=—,

x-l3

4

??q=-4，b=一,

3

第29頁共39頁

畫出函數圖象如圖:

4

故答案為：-4,—；

(2)

4

解：觀察函數歹=—7的圖象，

①該函數圖象由兩支曲線組成，兩支曲線分別位于第一、三、四象限內；原命題錯誤；

②該函數圖象既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形；命題正確；

③函數的增減性不是連續的；原命題錯誤；

④該函數既無最大值也無最小值.原命題錯誤；

綜上，錯誤命題有：①③④；

故答案為：①③④；

(3)

4

解：由圖象可知，函數了=—；與直線y=-l的交點為(-3,-1),

x-l

；?不等式弓4>-1的解集為x<-3或1.

x-1

故答案為：x<-3或x>l.

【點睛】本題主要考查了反比例函數的圖象與性質，用描點法畫反比例函數的圖象，數形結合是解

題的關鍵.

15.某班數學興趣小組對函數y=x+，的圖象和性質進行了探究，探究過程如下：

X

(1)繪制函數圖象

①列表：下面是X與y的幾組對應值，其中〃7=.

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_1_￡

X-4-2-1124

~25

y-4--2--2-2--5-2-m2-4-

42255224

②描點：根據表中的數據描點（尤/）,請補充描出點（1,加）;

③連線：用平滑的曲線順次連接各點，請把圖象補充完整;

（2）探究函數性質

按要求填寫函數性質：

①對稱性：.

②最值：x<0時，此函數有最值（填大或小）

③增減性：若夕隨x增大而減小，則x的值范圍是.

（3）函數圖象和性質的運用

已知矩形一邊的長為x,面積為1,相鄰兩邊之和為乃當尤=時，y有值最小.

【答案】（1）①2；②描點見解析；③畫圖見解析；

（2）①函數y=x+，的圖象關于原點成中心對稱；②大；③-l<x<0或0<x<l.

X

（3）1

【分析】（1）①把x=l代入函數解析式丫=*+工進行計算即可；②直接在坐標系內描點即可，③利

X

用平滑的曲線連第一象限接各點即可，

第31頁共39頁

（2）①根據函數的圖象可得答案；②根據函數在第二象限的圖象可得答案；③根據函數的圖象可

得x<-l或0<x<l時，y隨x增大而減小；

（3）先表示矩形的另外一邊，再得到函數關系式為y=x+,，再結合（1）（2）可得答案.

X

（1）

解：①當X=1時，”2=1+1=2.

②描點如圖，

③利用平滑的曲線連接各點如下圖，

⑵

解：①對稱性：函數y=x+L的圖象關于原點成中心對稱；

X

②最值：x<0時，此函數有最大值；

③增減性：若y隨x增大而減小，則x的值范圍是-l<x<0或0<x<l.

（3）

解：；矩形N3CD一邊的長為x,面積為1,

???矩形的另一邊為工，

X

\1

\y=x+-,

X

由（1）得：當x>0時，當x=l時，函數V的最小值為2.

【點睛】本題考查的是畫函數的圖象，根據函數的圖象總結函數的性質，以及利用函數的圖象解決

問題，掌握“畫函數圖象的基本步驟”是解本題的關鍵.

16.若一個函數當自變量在不同范圍內取值時，函數表達式不同，我們稱這樣的函數為分段函數.下

第32頁共39頁

面我們參照學習函數的過程與方法，探究分段函數

_2

y=\x的圖象與性質.列表:

k-11

_5_335

X-3-2-10123

~2~2~222

2443j_3

y121012

35322

描點：在平面直角坐標系中，以自變量X的取值為橫坐標，以相應的函數值y為縱坐標，描出相

應的點，并連線，如圖所示.

研究函數并結合圖象與表格，回答下列問題：

75

(1)點/(-5,yi),5(--,y2),C(xi，-DCx2,6)在函數圖象上，則yi__________竺,

XI位;(填“>”，"=”或“<”)

(2)當函數值y=2時，自變量x的值為；

(3)在直線X=—\的右側的函數圖象上有兩個不同的點P(%3，>3)，Q(X4,丫4)，且，貝UX3

+X4的值為；

(4)若直線>與函數圖象有三個不同的交點，則。的取值范圍為.

【答案】(1)<，<

(2)工=3或尤=—1

(3)2

(4)0<〃<2

725

【分析】(1)分別確定點N(―5,以)，B(—―,y2)在函數歹=—圖象上，點C(xi,—),D

2x2

(X2,6)在函數v=|x-l|圖象上，再根據函數的性質進行判斷即可；

(2)當函數值y=2時，分別帶到分段函數中進行計算即可；

第33頁共39頁

(3)由圖可知，當T〈x〈3時，點關于直線x=l對稱，即可進行求解；

(4)根據圖象作答即可.

(1)

7?

點/(―5,竺)，B(--,y)在函數了=-一圖象上，y隨x的增大而增大

22x

必<〉2

點C(X/,|),D(X2,6)在函數>圖象上，當X>1時，了隨X的增大而增大

/.演<x2

故答案為：<,<

(2)

2

當函數值y=2時，2=—,解得x=T

x

當函數值y=2時，2=|x-l|,解得x=3或x=-l

綜上，自變量x的值為x=3或x=-l

故答案為：x=3或尤=-1

(3)

???在直線x=~l的右側的函數圖象上有兩個不同的點P(右，/)，Q(打，以)

...當T<x<3時，點關于直線x