專題41概率【十二大題型】

?題型梳理

【題型1事件的分類】.........................................................................2

【題型2根據概率公式計算概率1...............................................................................................3

【題型3由概率求數量1............................................................................................................4

【題型4列舉法求概率】.......................................................................4

【題型5畫樹狀圖法/列表法求概率1...........................................................................................5

【題型6幾何概率】...........................................................................6

【題型7由頻率估計概率1........................................................................................................8

【題型8放回實驗概率計算方法】..............................................................9

【題型9不放回實驗概率計算方法】............................................................9

【題型10游戲公平性】........................................................................10

【題型11概率的實際應用】....................................................................11

【題型12概率與統計綜合】....................................................................13

，舉一反三

【知識點概率】

1.隨機事件

必然事件：在一定條件下，一定會發生的事件稱為必然事件。

不可能事件：在一定條件下，一定不會發生的事件稱為不可能事件。

必然事件和不可能事件統稱確定性事件。

隨機事件：在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件稱為隨機事件。

2.概率

(1)概率的性質：P(必然事件)=1；P(不可能事件)=0；0<P(不確定事件)<1。

(2)一般地，如果在一次試驗中，有“種可能的結果，并且它們發生的可能性都相等，事件A包括其中

的m種結果，那么事件A發生的概率尸(Z)=竺。

n

3冽表法

用列出表格的方法來分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。

列表法的應用場合

當一次試驗要設計兩個因素，并且可能出現的結果數目較多時，為不重不漏地列出所有可能的結果,

通常采用列表法。

4.樹狀圖法求概率

通過列樹狀圖列出某事件的所有可能的結果，求出其概率的方法叫做樹狀圖法。

運用樹狀圖法求概率的條件

當一次試驗要設計三個或更多的因素時，用列表法就不方便了，為了不重不漏地列出所有可能的結果,

通常采用樹狀圖法求概率。

5.利用頻率估計概率

在同樣條件下，做大量的重復試驗，利用一個隨機事件發生的頻率逐漸穩定到某個常數，可以估計這

個事件發生的概率。

在統計學中，常用較為簡單的試驗方法代替實際操作中復雜的試驗來完成概率估計，這樣的試驗稱為模擬

實驗。

【題型1事件的分類】

【例1】（2023?廣東中山?二模）如圖，電路圖上有4個開關，、B、C、。和1個小燈泡，同時閉合開關/、

B或同時閉合開關C、D都可以使小燈泡發光.下列操作中，"小燈泡發光”這個事件是隨機事件的是（）

______/______/—

AB

―/______/—

CD

A.只閉合1個開關B.只閉合2個開關

C.只閉合3個開關D.閉合4個開關

【變式1-1］（2023?浙江寧波?二模）下列事件中屬于不可能事件的是（）

A.投擲一枚骰子，朝上的點數為3

B.13個人中有兩個人生日在同一個月份

C.從只裝有紅球和白球的袋子中摸出黑球

D.兩點之間，線段最短

【變式1-2］（2024?山西朔州?一模）如圖，擲兩枚質地均勻、大小完全相同的骰子，則下列事件是必然事

件的是（）

A.擲得的點數和為5B.擲得的點數和為9

C.擲得的點數和大于15D.擲得的點數和小于13

【變式1-3]（17-18七年級下?江西萍鄉?期末）某一超市在"五?一”期間開展有獎促銷活動，每買100元商

品可參加抽獎一次，中獎的概率為，小張這期間在該超市買商品獲得了三次抽獎機會，則小張（）

A.能中獎一次B.能中獎兩次

C.至少能中獎一次D.中獎次數不能確定

【題型2根據概率公式計算概率】

【例2】（2023?山東濟寧?三模）從有理數-1,0,1,2中任選兩個數作為點的坐標，滿足點在直線y=-久+1

上的概率是（）

A1-CiDi

6B5J4U-3

【變式2-1]（2023?海南省直轄縣級單位?二模）某路口的交通信號燈每分鐘紅燈亮72秒，綠燈亮25秒，

黃燈亮3秒，當小明到達該路口時，遇到綠燈的概率是（）

1115

A.5B.疝C.-D.-

【變式2-2]（2023?安徽合肥?二模）平行四邊形48CD的對角線NC、5。相交于。，給出的四個條件

①4B=BC；②442c=90。；③OA=OB；@ACLBD,從所給的四個條件中任選兩個，能判定平行四邊形ABCD

是正方形的概率是（）

【變式2-3]（2023?江蘇?模擬預測）一只不透明的袋子中裝有2個白球和3個黃球，這些球除顏色外都相

同.現按下列方案向袋中增加或減少相應顏色的球，將球攪勻，從中任意摸出1個球，能使摸到白球、黃

球的概率相等的方案是（）

A.增加2個白球B.減少2個黃球

C.增加1個白球、減少1個黃球D.增加4個白球、3個黃球

【題型3由概率求數量】

【例3】（2023?浙江寧波?模擬預測）小明將如圖所示的轉盤分成n（n是正整數）個扇形，并使得各個扇形

的面積都相等，然后他在這些扇形區域內分別標連接偶數數字2,4,6,....2n（每個區域內標注1個數字，

且各區域內標注的數字互不相同），轉動轉盤1次，當轉盤停止轉動時，若事件"指針所落區域標注的數字

大于8"的概率是1則n的取值為（）

0

A.10B.8C.12D.4

【變式3-1]（2023?遼寧葫蘆島?一模）在一個不透明的口袋里有紅、黃、藍三種顏色的小球，這些球除顏

色外都相同，其中有5個紅球，4個藍球.若隨機摸出一個藍球的概率為g則隨機摸出一個黃球的概率為

（）

A1-C-D

4B3J12U-2

【變式3-2]（2023?福建福州?一模）不透明的袋子里有50張2022年北京冬奧會宣傳卡片，卡片上印有會

徽、吉祥物冰墩墩、吉祥物雪融融圖案，每張卡片只有一種圖案，除圖案不同外其余均相同，其中印有冰

墩墩的卡片共有"張.從中隨機摸出1張卡片，若印有冰墩墩圖來的概率是:則”的值是.

【變式3-3]（2023?山東濟南?中考真題）圍棋起源于中國，棋子分黑白兩色.一個不透明的盒子中裝有3

個黑色棋子和若干個白色棋子，每個棋子除顏色外都相同，任意摸出一個棋子，摸到黑色棋子的概率是:，

則盒子中棋子的總個數是.

【題型4列舉法求概率】

【例4】（2023?廣東肇慶?三模）暑假里5名同學結伴乘動車外出旅游，實名制購票，每人一座，恰在同一

排4B,C,D,￡五個座位（一排共五個座位），上車后五人在這五個座位上隨意坐，則恰有一人坐對與

自己車票相符座位的坐法有（）

A.40B.45C.50D.55

【變式4-1]（2023?山西太原?一模）在物理實驗課上，同學們用三個開關、兩個燈泡、一個電源、一個電

阻及若干條導線連接如圖所示的電路圖，隨機閉合圖中的兩個開關，有一個燈泡發光的概率是.

【變式4-2］（2023?江蘇蘇州?一模）如圖，三根同樣的繩子4&、BB］、穿過一塊木板，姐妹兩人分別

站在木板的左、右兩側，每次各自選取本側的一根繩子，每根繩子被選中的機會相等.

⑴姐姐從這三根繩子中隨機選一根，恰好選中繩子的概率為;

⑵在互相看不見的條件下，姐姐從左端/、B、C三個繩頭中隨機選兩個打一個結，妹妹從右端&、Bi、Ci

三個繩頭中隨機選兩個打一個結，求這三根繩子能連接成一根長繩的概率.

【變式4-3］（2023?安徽蚌埠?一模）某地區2月上旬的空氣質量指數（AQI）（單位：ug/n?）如下表所示:

日期12345678910

AQI/(ug/m3)283144374178451135029

AQI不高于75ug/m3表示空氣質量優良.如果小李2月上旬在該地區度假三天，那么在他度假期間該地區的

空氣質量都是優良的概率是.

【題型5畫樹狀圖法/列表法求概率】

【例5】（2023?江蘇鹽城?一模）把算珠放在計數器的3根插棒上可以構成一個數，例如：如圖擺放的算珠

表￡示數1210.1

百十個

（1）若將一顆算珠任意擺放在這3根插棒上，則構成的數是三位數的概率是二

⑵現將兩顆算珠任意擺放在這3根插棒上，先放一顆算珠，再放另一顆，請用列表或畫樹狀圖的方法，求

構成的數是三位數的概率.

【變式5-1］（2024?陜西西安?一模）周至縣歷史悠久，山川秀麗，風景名勝與文物古跡頗多，人文和自然

景觀十分豐富，漢家離宮唐家園林，星羅棋布.小剛和小強兩人準備從4樓觀臺國家森林公園，B.黑河

國家森林公園，C.沙河濕地公園，D.終南山鼓樓觀景區中各自任意選擇一景點游玩.

樓觀臺國家森林公園黑河國家森林公園沙河濕地公園終南山鼓樓觀景區

⑴小剛選擇的景點是"沙河濕地公園”的概率為」

（2）請用列表法或畫樹狀圖的方法求兩人選擇的景點不同的概率.

【變式5-2］（2023?安徽?模擬預測）奧地利遺傳學家孟德爾發現純種的黃豌豆和綠豌豆雜交，得到的雜種

第一代豌豆都呈黃色.他假設純種黃豌豆的基因是YY,純種綠豌豆的基因是yy,則雜種第一代豌豆的基因

是Yy,其中黃、綠基因各一個，只要兩個基因中有一個基因是黃色基因，豌豆就呈黃色，故第一代的所有

豌豆均呈黃色.將雜種第一代豌豆自交，即父本的兩個基因Y,y與母本的兩個基因Y,y再隨機配對，將產

生4種可能的結果：

第一代［Yy（父本）］|Yy（母本）

第二代［Y父丫母］|丫父端|丫,也|以父加

Y父,y父表示來自父本的基因

Y母,y母表示來自母本的基因

⑴求第二代出現黃豌豆的概率.

⑵如果在第二代中再選擇兩個品種雜交，使第三代黃豌豆出現的概率為，請列舉一種符合要求的配對方案，

并說明理由.

【變式5-3］（2023?云南昆明?三模）元旦檔刷新歷史票房紀錄，春節檔有望繼續表現優秀.春節有4部影

片在春節檔上映，分別是《熱辣滾燙》《飛馳人生2》《熊出沒?逆轉時空》《第二十條》.小亮和小麗兩

名同學分別從《熱辣滾燙》《飛馳人生2》《第二十條》三部電影中隨機選擇一部觀看，將《熱辣滾燙》表

示為4《飛馳人生2》表示為B,《第二十條》表示為C.假設這兩名同學選擇觀看哪部電影不受任何因素

影響，且每一部電影被選到的可能性相等.記小亮同學的選擇為久，小麗同學的選擇為外

⑴請用列表法或畫樹狀圖法中的一種方法，求（久,為所有可能出現的結果總數；

（2）求小亮和小麗兩名同學恰好選擇觀看同一部電影的概率.

【題型6幾何概率】

【例6】（2023?河南鄭州?三模）如圖，在矩形4BCD中，以點。為圓心，2D長為半徑畫弧，以點C為圓心，

CD長為半徑畫弧，兩弧恰好交于BC邊上的點E處，現從矩形內部隨機取一點，若AB=1,則該點取自陰影

部分的概率為.

【變式6-1]（2023?山東東營?一模）一只蜘殊爬到如圖所示的一面墻上，停留位置是隨機的，則停留在陰

【變式6-2]（2023?廣東云浮?一模）"七巧板”是古代中國勞動人民的發明，被譽為"東方魔板圖①是由

該圖形組成的正方形，圖②是用該七巧板拼成的“和平鴿”圖形，現將一個飛鏢隨機投擲到該圖形上，則飛

【變式6-3]（2023?四川成都?三模）如圖，A48C三邊的中點D,E,尸組成△￡>￡￡尸三邊的中點

M,N,P組成△AWP,將與△￡（二）涂成陰影.假設可以隨意在aZBC中取點，那么這個點取在陰影

部分的概率為

B

【例7】（2024?河南周口?一模）斯蒂芬?庫里是美國職業籃球運動員，司職控球后衛，效力于NBA金州勇士

隊，下表是庫里一段時間內在罰球線上訓練投籃的結果記錄:

罰球總數4001000160020002887

命中次數348893143218022617

罰球命中率0.870.8930.8950.9010.906

根據以上數據可以估計，庫里在罰球線上投籃一次，投中的概率為（精確到0.1）

【變式7-1］（2023?四川自貢?中考真題）為了比較甲、乙兩魚池中的魚苗數目，小明從兩魚池中各撈出100

條魚苗，每條做好記號，然后放回原魚池；一段時間后，在同樣的地方，小明再從甲、乙兩魚池中各撈出

100條魚苗，發現其中有記號的魚苗分別是5條、10條，可以初步估計魚苗數目較多的是_________魚池

（填甲或乙）

【變式7-2］（2023?內蒙古呼和浩特?三模）《賣油翁》中，翁曰："我亦無他，惟手熟爾如圖，已知銅

線的直徑為3cm,厚度為0.2cm,一枚銅錢的平均密度約為9g/cm3.為計算銅錢的質量，做如下實驗：將一

滴油隨機滴在銅錢上，重復加次，記錄下油恰好穿過中心孔的次數為九次.由此可以估計，一枚銅錢的質量

約為g（用含ni,n,兀的式子表示）.

【變式7-3］（2023?河北秦皇島?三模）在一個不透明的盒子里裝有黑、白兩種顏色的球共40個，小穎做摸

球試驗，她將盒子里面的球攪勻后從中隨機摸出一個球，記下顏色，然后把它放回盒子中，不斷重復上述

過程.如圖所示為"摸到白球"的頻率折線統計圖.

（1）請估計：當"足夠大時，摸到白球的頻率將會接近（結果精確到0.1）,假如小李摸一次球，

小李摸到白球的概率為;

（2）試估算盒子里白、黑兩種顏色的球各有多少個；

⑶在（2）的條件下，如果要使摸到白球的頻率穩定在|,需要往盒子里再放入多少個白球？

【題型8放回實驗概率計算方法】

【例8】（2023?廣東深圳?模擬預測）一個不透明的口袋中有五個完全相同的小球，把它們分別標號為1,

2,3,4,5.隨機摸取一個小球然后放回，再隨機摸出一個小球.兩次取出的小球標號之和為偶數的概率

是（）

213312

A-iB.元C,-D.-

【變式8-1]（2023?北京順義?二模）不透明的袋子中有四個完全相同的小球，上面分別寫著數字1,2,3,

4.隨機摸出一個小球，記錄其數字，放回并搖勻，再隨機摸出一個小球，記錄其數字，則兩次記錄的數字

不相同的概率是.

【變式8-2]（2023?河南南陽?二模）甲、乙、丙三位同學分別用背面完全相同、大小一致的卡片在下面制

成了表示自己生肖的圖案，將三張卡片背面朝上洗勻，三人各抽一次（抽后放回，洗勻后第二人再抽），

三個人抽到的生肖卡恰好是自己制作的卡片的概率為（）

1111

A.目B,-C--D.—

【變式8-3]（2023?重慶江北?二模）有四張完全相同且不透明的卡片，正面分別標有數字-1、-2、1、2,

將四張卡片背面朝上，任抽一張卡片，卡片上的數字記為a,放回后洗勻，再抽一張，卡片上的數字記為人

則函數y=ax+b的圖像不經過第二象限的概率是.

【題型9不放回實驗概率計算方法】

【例9】（2023?河南周口?模擬預測）豫劇，又叫河南梆子、河南謳、土梆子等，是發源于河南省的一個戲

曲劇種.如圖，豫劇愛好者小華購買了《豫劇》特種郵票1套3枚，第1枚《花木蘭》，第2枚《七品芝

麻官》，第3枚《朝陽溝》，并計劃把其中的兩枚送給好朋友樂樂和妙妙.小華將它們背面朝上放在桌面

上（郵票背面完全相同），先讓樂樂從中隨機抽取一枚（不放回），再讓妙妙從中隨機抽取一枚，則妙妙

抽到第三枚《朝陽溝》的概率是（）

【變式9-1]（2023?湖北武漢?模擬預測）甲、乙、丙三位同學把自己的數學課本放在一起，每人從中隨機

抽起一本（不放回），三位同學抽到的課本都是自己課本的概率是（）

1121

A-36C,5D，4

【變式9-2]（2023?河南南陽?一模）"二十四節氣”是中華上古農耕文明的智慧結晶，被國際氣象界譽為"中

國第五大發明”.小文購買了“二十四節氣”主題郵票，他要將"立春""立夏""秋分""大寒"四張郵票中的兩張送

給好朋友小樂.小文將它們背面朝上放在桌面上（郵票背面完全相同），讓小樂從中隨機抽取一張（不放

回），再從中隨機抽取一張，則小樂抽到的兩張郵票恰好是"立春'和"立夏"的概率是.

【變式9-3]（2023?廣東梅州?一模）一個不透明的箱子里裝有2個黃球和3個紅球，這些球除顏色不同外

其他都相同，則從箱子中先后不放回摸出兩個球，則摸出的兩球是1個黃球和1個紅球的概率為.

【題型10游戲公平性】

[例10]（2023?河北石家莊?模擬預測）甲、乙兩人一起玩如圖4的轉盤游戲，將兩個轉盤各轉一次，指針

A.公平B.對甲有利C.對乙有利D.公平性不可預測

【變式10-1】（2023?河南?三模）哥哥與弟弟玩一個游戲：三張大小、質地都相同的卡片上分別標有數字1,

2,3,將標有數字的一面朝下，哥哥從中任意抽取一張，記下數字后放回洗勻，然后弟弟從中任意抽取一

張，計算抽得的兩個數字之和，若和為奇數，則弟弟勝；若和為偶數，則哥哥勝，該游戲對雙方—?（填"公

平"或"不公平"）

【變式10-2】（2023,湖北咸寧?模擬預測）桌面上放有形狀大小相同的甲、乙兩組撲克牌，它們背面朝上，

甲組撲克牌是紅桃2,紅桃3和黑桃4；乙組撲克牌是黑桃5、黑桃6、紅桃7,

（1）洗勻后隨機從甲組撲克牌中摸出一張牌以上面的數作為個位數字，從乙組撲克牌中摸出一張以其上的數

作為十位數字，組成的兩位數是偶數的概率是一；

（2）黃震和程祥約定了一個游戲規則：從洗勻后的甲、乙兩組撲克牌中各隨機摸出一張牌，若摸出的兩張牌

花色相同，則黃震勝；若花色不同，則程祥獲勝，這個游戲規則是否對雙方公平？請用列表法或樹狀圖法

說明.

【變式10-3】（2023?安徽?二模）甲、乙兩名同學正在玩下表中的三個游戲，游戲規則如表所示，游戲過程

中應不放回地取球.下列說法正確的是（）

游戲1游戲2游戲3

袋子中球的數量和顏色2個紅球和2個白球2個紅球和2個白球3個紅球和1個白球

取球規則取1個球依次取2個球依次取2個球

取到紅球好甲勝兩個球同色好甲勝兩個球同色好甲勝

獲勝規則

取到白球好乙勝兩個球不同色玲乙勝兩個球不同色玲乙勝

A.甲在游戲1取勝的概率為:B.甲在游戲3取勝的概率為:

4o

C.游戲2對甲、乙雙方都公平D.乙在游戲2中最容易取勝

【題型11概率的實際應用】

【例11】（2023?廣東二模）某船隊要對下月是否出海作出決策，若出海后是好天氣，可得收益5000元；

若出海后天氣變壞，將要損失2000元；若不出海，無論天氣好壞都要承擔1000元的損失費，船隊隊長通

過上網查詢下月的天氣情況后，預測下月好天氣的機會是60%,壞天氣的機會是40%,則作出決策為

（填"出海"、"不出海"）.

【變式11-1】（2023?山西?一模）某商場，為了吸引顧客，在"元旦”當天舉辦了商品有獎酬賓活動，凡購物

滿200元者，有兩種獎勵方案供選擇：

方案一：是直接獲得20元的禮金卷；

方案二：是得到一次搖獎的機會.規則如下：己知如圖是由轉盤和箭頭組成的兩個轉盤/、B,這兩個轉盤

除了顏色不同外，其它構造完全相同，搖獎者同時轉動兩個轉盤，指針分別指向一個區域（指針落在分割

線上時重新轉動轉盤），根據指針指向的區域顏色（如表）決定送禮金券的多少.

指針指向兩紅一紅一藍兩藍

禮金券（元）18918

/款8款⑴請你用列表法（或畫樹狀圖法）求兩款轉盤指針

分別指向一紅區和一藍區的概率.

⑵如果一名顧客當天在本店購物滿200元，若只考慮獲得最多的禮品券，請你幫助分析選擇哪種方案較為

實惠.

【變式11-2】（2023?江蘇連云港?一模）在讀書月活動中，學校準備購買一批課外讀物，為使課外讀物滿足

同學們的需求，學校就“我最喜愛的課外讀物"從文學、藝術、科普和其他四個類別進行了抽樣調查文化藝術

節上，小明參加學校組織的“一站到底”活動，答對最后兩道單選題就通關：第一道單選題有/、B,C共3

個選項，第二道單選題有N、B、C、。共4個選項，這兩道題小明都不會，不過小明還有一次"求助"的機

會沒有用（使用"求助可以讓主持人去掉其中一題的一個錯誤選項）.

（1）如果小明第一題不使用"求助"，那么小明答對第一道題的概率是—;

⑵如果小明決定第一題不使用"求助"，第二題使用"求助"，請用樹狀圖或者列表來分析小明通關的概率；

⑶從概率的角度分析，你建議小明在第幾題使用“求助（直接寫出答案）

【變式11-3】（2023?遼寧營口?一模）某體育館有/,8兩個入口，每個入口有3個通道可同時通行，C,

D,E三個出口，其中C、D出口有2個通道，￡出口只有一個通道，每個通道在規定時間內可通行100人，

規定：觀眾進館時須持票任意從兩個入口進入，出館時只可任意從三個出口離開.甲、乙、丙三名觀眾分

別從兩個入口中隨機選擇一個入口進入.

（1）求甲從/口進入，C口離開的概率；

（2）求甲、乙、丙三名觀眾選擇同一入口進館的概率.

⑶學校有七、八、九三個年級的學生進場觀看比賽，七年級80人，九年級150人，九年級160人，比賽結

束后，為了能夠在規定時間內使所有同學都能有序離開，請你合理安排七、八、九三個年級的學生從C、

。、E三個出口（每個年級的學生走同一個出口）離開（安排一種即可），并說明理由.

【題型12概率與統計綜合】

【例12]（2023?遼寧丹東?中考真題）為提高學生的安全意識，某學校組織學生參加了"安全知識答題”活

動.該校隨機抽取部分學生答題成績進行統計，將成績分為四個等級：A（優秀），B（良好），C（一

般），D（