專題16二次函數的應用【十大題型】

＞題型梳理1

【題型1方案選擇問題】.......................................................................1

【題型2拱橋問題】...........................................................................3

【題型3隧道問題】...........................................................................5

【題型4噴泉問題】...........................................................................7

【題型5球類飛行軌跡問題】...................................................................8

【題型6空中跳躍軌跡問題】..................................................................10

【題型7最大利潤問題】......................................................................12

【題型8圖形運動問題】......................................................................14

【題型9圖形面積問題】......................................................................16

【題型10現實生活問題】......................................................................17

，舉一反三

【知識點二次函數的應用】

在研究有關函數的實際問題時，要遵循一審.二設.三列.四解的方法：

第1步：審題。認真讀題，分析題中各個量之間的關系；

第2步：設自變間的關系設滿量。根據各個量之足題意的自變量；

第3步：列函數。根據各個量之間的關系列出函數；

第4步：求解。求出滿足題意的數值。

【題型1方案選擇問題】

【例1】(2023?山東濰坊?統考二模)2023年國際風箏會期間，某經銷商準備采購一批風箏，已知用20000

元采購A型風箏的只數是用8000元采購B型風箏的只數的2倍，一只A型風箏的進價比一只B型風箏的

進價多20元.

(1)求一只48型風箏的進價分別為多少元？

(2)經市場調查發現：A型風箏售價的一半與/型風箏銷量的和總是等于130,B型風箏的售價為120元/

只.該經銷商計劃購進3型風箏共300只，其中/型風箏機(50WmW150)只，若兩種風箏能全部售出，

求銷售這批風箏的最大利潤，并寫出此時的采購方案.

【變式1-1](2023?河北邯鄲??？既?九年級某班計劃在勞動實踐基地內種植蔬菜，班長買回來8米長

的圍欄，準備圍成一邊靠墻(墻足夠長)的菜園，為了讓菜園面積盡可能大，同學們提出了圍成矩形、等

腰直角三角形（底邊靠墻）、半圓形這三種方案，如圖所示，最佳方案是（）

方案1方案3

A.方案1B.方案2C.方案3D.面積都一樣

【變式1-2］（2023?安徽合肥?統考三模）為響應政府鞏固脫貧成果的號召，某商場與生產水果的脫貧鄉鎮

簽訂支助協議，每月向該鄉鎮購進甲、乙兩種水果進行銷售，根據經驗可知：銷售甲種水果每噸可獲利0.4

萬元，銷售乙種水果獲利如下表所示：

銷售工（噸）34567

獲利y（萬元）0.91.11.31.51.7

（1）分別求銷售甲、乙兩種水果獲利力（萬元）、及（萬元）與購進水果數量％（噸）的函數關系式；

（2）若只允許商場購進并銷售一種水果，選擇哪種水果獲利更高？

（3）支助協議中約定，商場每個月向鄉鎮購進甲、乙兩種水果的數量分別為血、n噸，且6，n滿足幾=20-：

m2,請幫忙商場設計可獲得的最大利潤的進貨方案.

【變式1-3］（2023?四川達州?模擬預測）如圖1,隧道截面由拋物線的一部分/磯）和矩形/3CD構成，矩

形的一邊為12米，另一邊為2米.以8c所在的直線為x軸，線段8C的垂直平分線為y軸，建立

平面直角坐標系了辦，規定一個單位長度代表1米.E（0,8）是拋物線的頂點.

B0|P.。山PiC

圖1圖3（方案一）圖3（方案二）

（1）求此拋物線對應的函數表達式；

（2）在隧道截面內（含邊界）修建“E”型或“R”型柵欄，如圖2、圖3中粗線段所示，點Pi，24在工軸

上，"N與矩形P1P2P3P4的一邊平行且相等.柵欄總長/為圖中粗線段P1P2,P2P3,P3P4,"N長度之

和.請解決以下問題：

（i）修建一個“m”型柵欄，如圖2,點P2，P3在拋物線上.設點P1的橫坐標為爪（0<mW6）,求

柵欄總長/與m之間的函數表達式和/的最大值;

（ii）現修建一個總長為18的柵欄，有如圖3所示的修建“E”型或“型柵型兩種設計方案，請你從

中選擇一種，求出該方案下矩形P1P2P3P4面積的最大值，及取最大值時點尸1的橫坐標的取值范圍（Pl在P4

右側）.

【題型2拱橋問題】

【例2】（2023?四川?統考中考真題）三孔橋橫截面的三個孔都呈拋物線形，兩小孔形狀、大小完全相同.當

水面剛好淹沒小孔時，大孔水面寬度為10米，孔頂離水面L5米；當水位下降，大孔水面寬度為14米時，

單個小孔的水面寬度為4米，若大孔水面寬度為20米，則單個小孔的水面寬度為（）

A.4VI米B.5魚米C.2癡米D.7米

【變式2-1］（2023?浙江?統考中考真題）如圖1是一座拋物線型拱橋側面示意圖.水面寬與橋長CD均

為24m,在距離。點6米的E處，測得橋面到橋拱的距離即為1.5m,以橋拱頂點。為原點，橋面為x軸

建立平面直角坐標系.

（1）求橋拱項部。離水面的距離.

（2）如圖2,橋面上方有3根高度均為4m的支柱CG,OH,DI,過相鄰兩根支柱頂端的鋼纜呈形狀相同

的拋物線，其最低點到橋面距離為1m.

①求出其中一條鋼纜拋物線的函數表達式.

②為慶祝節日，在鋼纜和橋拱之間豎直裝飾若干條彩帶，求彩帶長度的最小值.

【變式2-2］（2012?湖北武漢?中考真題）如圖，小河上有一拱橋，拱橋及河道的截面輪廓線由拋物線的一

部分和矩形的三邊4E、ED、DB組成，已知河底ED是水平的，ED=16m,AE=8m,拋物線的頂點C

到ED的距離是11m,以ED所在的直線為x軸，拋物線的對稱軸為y軸建立平面直角坐標系.

（1）求拋物線的解析式；

⑵已知從某時刻開始的40h內，水面與河底ED的距離九（單位：m）隨時間t（單位：h）的變化滿足函數

關系八=一擊（~19）2+8（0<t<40）且當水面到頂點C的距離不大于5m時，需禁止船只通行，請通過計算

說明：在這一時段內，需多少小時禁止船只通行？

【變式2-3］（2023?北京西城??？寄M預測）如圖，有一座拋物線形狀的拱橋，對拱橋在水面以上的部分

進行測量，得到橋洞的跨度為12米，并且以橋洞拱頂為坐標原點，水平向右為x軸正方向，豎直向上為y

軸正方向，建立平面直角坐標系，把測量得到的數據記入下表：

X（米）-6-4-20246

y（米）-3.02-1.33-0.310-0.32-1.33-2.99

（1）請在下面的坐標系中根據已知數據描點，并用平滑的曲線連接;

56x

--11

（2）請結合圖象，寫出拱橋的橋洞在拱頂下方1米的位置寬度是米（結果精確到0.1）；

（3）現有一艘寬4米，高2米的游船要穿過拱橋的橋洞.為保證安全，要求船頂到豎直方向上拱橋橋洞對應

點的距離不小于0.5米，那么這艘船（填“能”或者“不能”）安全通過.

【題型3隧道問題】

【例3】（2023?山東?統考中考真題）如圖所示是隧道的截面由拋物線和長方形構成，長方形的長是12m,

寬是4m.按照圖中所示的直角坐標系，拋物線可以用產-熹2+6x+c表示，且拋物線上的點C到的水平

距離為3m,到地面OA的距離為與m.

（1）求拋物線的函數關系式，并計算出拱頂。到地面。/的距離；

（2）一輛貨運汽車載一長方體集裝箱后高為6m,寬為4m,如果隧道內設雙向車道，那么這輛貨車能否安

全通過？

（3）在拋物線型拱壁上需要安裝兩排燈，使它們離地面的高度相等，如果燈離地面的高度不超過8m,那

么兩排燈的水平距離最小是多少米？

【變式3-1］（2023?陜西?統考中考真題）現要修建一條隧道，其截面為拋物線型，如圖所示，線段OE表示

水平的路面，以。為坐標原點，以。E所在直線為x軸，以過點。垂直于x軸的直線為y軸，建立平面直角

坐標系.根據設計要求：OE=10m,該拋物線的頂點尸至（JOE的距離為9m.

（1）求滿足設計要求的拋物線的函數表達式;

(2)現需在這一隧道內壁上安裝照明燈，如圖所示，即在該拋物線上的點/、3處分別安裝照明燈.已知點

/、3至1JOE的距離均為6m,求點/、3的坐標.

【變式3-2](2023?安徽合肥?合肥市第四十五中學校考一模)如圖是某隧道截面示意圖，它是由拋物線和

長方形構成，已知。4=12米，0B=4米，拋物線頂點。到地面。4的垂直距離為10米，以。力所在直線為久

軸，以08所在直線為y軸建立直角坐標系,

(1)求拋物線的解析式；

(2)一輛特殊貨運汽車載著一個長方體集裝箱，集裝箱寬為4米，最高處與地面距離為6米，隧道內設雙向

行車道，雙向行車道間隔距離為2米，交通部門規定，車載貨物頂部距離隧道壁的豎直距離不少于0.5米，

才能安全B通行，問這輛特殊貨車能否安全通過隧道?

【變式3-3](2023?北京朝陽?清華附中?？寄M預測)如圖1是某條公路的一個具有兩條車道的隧道的橫

斷面.經測量，兩側墻4。和BC與路面AB垂直，隧道內側寬4B=8米，為了確保隧道的安全通行，工程人員

在路面上取點E,測量點E到墻面4D的距離力E,點E到隧道頂面的距離EF.設4E=x米，EF=y米.通

過取點、測量，工程人員得到了x與y的幾組值，如下表：

X(米)02468

y(米)4.05.56.05.54.0

圖1

面到路面AB的最大距離為米，并求出滿足的函數關系式y=a(x—h)2+fc(a<o)；

(2)請你幫助工程人員建立平面直角坐標系.描出上表中各對對應值為坐標的點，畫出可以表示隧道頂面的

函數的圖像.

（3）若如圖2的汽車在隧道內正常通過時，汽車的任何部位需到左側墻及右側墻的距離不小于1米且到隧道

頂面的距離不小于0.35米.按照這個要求，隧道需標注的限高應為多少米（精確到0.1米）？

【題型4噴泉問題】

【例4】（2023?吉林長春?統考中考真題）2023年5月8日，C919商業首航完成——中國民商業運營國產大

飛機正式起步.12時31分航班抵達北京首都機場，穿過隆重的“水門禮”（寓意“接風洗塵”、是國際民航中

高級別的禮儀）.如圖①，在一次“水門禮”的預演中，兩輛消防車面向飛機噴射水柱，噴射的兩條水柱近

似看作形狀相同的地物線的一部分.如圖②，當兩輛消防車噴水口/、8的水平距離為80米時，兩條水柱

在物線的頂點〃處相遇，此時相遇點H距地面20米，噴水口/、2距地面均為4米.若兩輛消防車同時后

退10米，兩條水柱的形狀及噴水口4、夕到地面的距離均保持不變，則此時兩條水柱相遇點方距地面_____

米.

圖①圖②

【變式4-1］（2023?安徽亳州?校聯考模擬預測）如圖，某小區的景觀池中安裝一雕塑。4。4=2米，噴出

兩股水流，兩股水流可以抽象為平面直角坐標系中的兩條拋物線（圖中的G，C2）的部分圖象，兩條拋物

線的形狀相同且頂點的縱坐標相同，且經測算發現拋物線C2的最高點（頂點）C距離水池面2.5米，且與。2

的水平距離為2米.

（1）求拋物線C2的解析式；

（2）求拋物線的與x軸的交點B的坐標；

（3）小明同學打算操控微型無人機在Ci，之間飛行，為了無人機的安全，要求無人機在豎直方向上的活動

范圍不小于0.5米，設無人機與。4的水平距離為加，求加的取值范圍.

【變式4-2］（2023?廣東深圳?深圳市龍崗區深圳中學龍崗初級中學校考模擬預測）如圖1,一個圓形噴水池

的中央豎直安裝了一個柱形噴水裝置044處的噴頭向外噴水，水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路

徑落下，按如圖所示的直角坐標系，水流噴出的高度y（m）與水平距離久（機）之間的關系式是y=-/+2久+：

圖2

（1）柱子。4的高度是多少米？若不計其他因素，水池的半徑至少為多少米，才能使噴出的水流不至于落在池

外？

（2）如圖2,為了吸引更多的游客前來參觀游玩，準備在水池的邊緣增設彩光燈，彩光燈的底座為RtZsBCD形

狀，其中BC邊在地面上，點C離柱子的距離為2.1米，ACBD=90°,燈孔P在CD邊上，燈孔P離地面的距離

為!米，若水流恰好落在燈孔P處，求tan/DCB的值.

【變式4-3]（2023?北京?北京四中校考模擬預測）某游樂園有一個直徑為16米的圓形噴水池，噴水池的周

邊有一圈噴水頭，噴出的水柱為拋物線，高度為5米，且各方向噴出的水柱恰好在噴水池中心的裝飾物處

匯合.如圖所示，噴水池中心為原點建立直角坐標系.

（1）求水柱所在拋物線（第二象限部分）的函數表達式;

（2）主師傅在噴水池內維修設備期間，噴水管意外噴水，為了不被淋濕，身高1.8米的王師傅站立時必須在離

水池中心多少米以內？

（3）經檢修評估，游樂園決定對噴水設施做如下設計改進：在噴出水柱的形狀不變的前提下，把水池直徑擴

大到24米，各方向噴出的水柱仍在噴水池中心保留的原裝飾物（高度不變）處匯合，請探究擴建改造后噴

水池水柱的最大高度.

【題型5球類飛行軌跡問題】

【例5】（2023?河南?統考中考真題）小林同學不僅是一名羽毛球運動愛好者，還喜歡運用數學知識對羽毛

球比賽進行技術分析，下面是他對擊球線路的分析.

如圖，在平面直角坐標系中，點4,C在X軸上，球網力B與7軸的水平距離。4=3m,CA=2m,擊球點P

在y軸上.若選擇扣球，羽毛球的飛行高度y(m)與水平距離久(m)近似滿足一次函數關系y=-0.4x+2.8；

若選擇吊球，羽毛球的飛行高度y(m)與水平距離久(m)近似滿足二次函數關系y=a(x-l)2+3.2.

(2)小林分析發現，上面兩種擊球方式均能使球過網.要使球的落地點到C點的距離更近，請通過計算判斷

應選擇哪種擊球方式.

【變式5-1](2023?浙江溫州?統考中考真題)一次足球訓練中，小明從球門正前方8m的/處射門，球射向

球門的路線呈拋物線.當球飛行的水平距離為6m時，球達到最高點，此時球離地面3nl.已知球門高OB為

2.44m,現以O為原點建立如圖所示直角坐標系.

(1)求拋物線的函數表達式，并通過計算判斷球能否射進球門(忽略其他因素).

(2)對本次訓練進行分析，若射門路線的形狀、最大高度均保持不變，則當時他應該帶球向正后方移動多少

米射門，才能讓足球經過點。正上方2.25m處？

【變式5-2](2023?甘肅蘭州?統考中考真題)擲實心球是蘭州市高中階段學校招生體育考試的選考項目.如

圖1是一名女生投擲實心球，實心求行進路線是一條拋物線，行進高度y(加)與水平距離x(%)之間的函

數關系如圖2所示，拋出時起點處高度為|m,當水平距離為3加時，實心球行進至最高點3加處.

圖1圖2

⑴求V關于x的函數表達式;

（2）根據蘭州市高中階段學校招生體有考試評分標準（女生），投擲過程中，實心球從起點到落地點的水平

距離大于等于6.70相，此項考試得分為滿分10分.該女生在此項考試中是否得滿分，請說明理由.

【變式5-3］（2023?浙江紹興?統考中考真題）如圖1,排球場長為18加，寬為9加，網高為2.24加.隊員站

在底線。點處發球，球從點。的正上方19〃的C點發出，運動路線是拋物線的一部分，當球運動到最高

點/時，高度為2.88%即氏4=2.88〃?.這時水平距離。8=7相，以直線為x軸，直線。C為y軸，建

立平面直角坐標系，如圖2.

（1）若球向正前方運動（即x軸垂直于底線），求球運動的高度＞（“）與水平距離x（%）之間的函數關

系式（不必寫出x取值范圍）.并判斷這次發球能否過網？是否出界？說明理由；

（2）若球過網后的落點是對方場地①號位內的點P（如圖1,點尸距底線1加，邊線0.5%）,問發球點。

【題型6空中跳躍軌跡問題】

【例6】（2023?甘肅蘭州?統考中考真題）一名運動員在10m高的跳臺進行跳水，身體（看成一點）在空中

的運動軌跡是一條拋物線，運動員離水面OB的高度y（m）與離起跳點/的水平距離久（m）之間的函數關系如圖

所示，運動員離起跳點/的水平距離為1m時達到最高點，當運動員離起跳點N的水平距離為3m時離水面

的距離為7m.

(

跳

臺

支

柱

x

-----o\4B

(1)求y關于X的函數表達式；

(2)求運動員從起跳點到入水點的水平距離。B的長.

【變式6-1](2023?四川攀枝花?統考中考真題)第24屆冬奧會(也稱2022年北京冬奧會)于2022年2

月4日至2月20日在中國北京舉行，北京成為了歷史上第一座既舉辦過夏奧會又舉辦過冬奧會的城市.冬

奧會上跳臺滑雪是一項極為壯觀的運動.運動員經過助滑、起跳、空中飛行和著陸，整個動作連貫一致，

一氣呵成，如圖，某運動員穿著滑雪板，經過助滑后，從傾斜角。=37。的跳臺/點以速度為沿水平方向跳

出，若忽略空氣阻力影響，水平方向速度將保持不變.同時，由于受重力作用，運動員沿豎直方向會加速

下落，因此，運動員在空中飛行的路線是拋物線的一部分，已知該運動員在8點著陸，4B=150m,且sin

37°=0.6.忽略空氣阻力，請回答下列問題：

(1)求該運動員從跳出到著陸垂直下降了多少m?

(2)以/為坐標原點建立直角坐標系，求該拋物線表達式；

(3)若該運動員在空中共飛行了4s,求他飛行2s后，垂直下降了多少m?

【變式6-2】(2023?河南南陽?校考三模)某校為加強學生的身體素質，舉行了豐富多彩的體育活動，本周

末，將舉行“跳大繩”比賽，比賽規則：每班選擇兩名學生在距離10m的位置搖動大繩，大繩下至少有10名

學生同時跳繩，按同時跳繩的時間計算名次.九(2)班選擇小明和小亮搖動大繩，在訓練中發現，他們持

繩點距地面均為1m,大繩在最高處時，大繩的形狀可近似看作拋物線，如圖，以小明的持繩點的豎直方向

為y軸，以水平地面為x軸建立平面直角坐標系，小明和小亮的持繩點分別為點/和點8,在離點。的水

平距離為5m時，大繩的最大高度為2m.

(1)求該拋物線的函數解析式；

(2)為增加比賽的觀賞性，九(2)班準備選擇若干名身高均為1.75m的同學參與跳繩，已知每位同學在繩下

的距離均為0.5m,請問，九(2)班這樣的設計是否能夠達到比賽的要求？請說明理由.

【變式6-3](2023?河北保定?統考二模)如圖，某跳水運動員在10米跳臺上進行跳水訓練，水面邊緣點E

的坐標為(-1,-10),運動員(將運動員看成一點)在空中運動的路線是經過原點。的拋物線.在跳某個規定

動作時，運動員在空中最高處4點的坐標為0,2).正常情況下，運動員在距水面高度5米之前，必須完成

規定的翻騰、打開動作，并調整好入水姿勢，否則就會失誤，運動員入水后，運動路線為另一條拋物線.

(1)求運動員在空中運動時對應拋物線的解析式，并求出入水處點B的坐標.

(2)若運動員在空中調整好入水姿勢時，恰好距點E的水平距離為4米，問該運動員此次跳水會不會失誤？通

過計算說明理由.

(3)在該運動員入水點的正前方有M,N兩點，且EM=7,EN=9,該運動員入水后運動路線對應的拋物線解析

式為y=(久-%)2+匕若該運動員出水點。在MN之間(包括M,N兩點)，請直接寫出k的取值范圍.

【題型7最大利潤問題】

【例7】(2023?安徽合肥?合肥壽春中學?？既?冰墩墩和雪容融是2022年北京冬季奧運會的吉祥物，據

反饋冰墩墩、雪容融玩偶一經上市，非常暢銷，小許選兩款玩偶各50個，決定在網店進行銷售.售后統計，

一個冰墩墩玩偶利潤為30元/個，一個雪容融玩偶利潤為5元/個，調研發現：冰墩墩的數量在50個的基礎

上每增加3個，平均每個利潤減少1元；而雪容融的利潤始終不變；小許計劃第二次購進兩種玩偶共100

個進行售賣.設冰墩墩的數量比第一次增加久個，第二次冰墩墩售完后的利潤為y元.

（1）用含％的代數式表示第二次冰墩墩售完后的的利潤y；

（2）如何安排購買方案，使得第二次售賣兩種玩偶的銷售利潤最大，最大利潤是多少？

【變式7-1］（2023?湖北咸寧?統考模擬預測）“櫻花紅陌上，邂逅在咸安”，為迎接我區首屆櫻花文化旅游

節，某工廠接到一批紀念品生產訂單，要求在15天內完成，約定這批紀念品的出廠價為每件20元，設第x

天（0〈久W15）每件產品的成本價是y元，y與x之間關系為：y=0.5%+7,任務完成后，統計發現工人

小王第x天生產產品產（件）與x（天）之間的關系如下圖所示，設小王第x天創造的產品利潤為少元.

（1）直接寫出P與x之間的函數關系；

（2）求少與x之間的函數關系式，并求小王第幾天創造的利潤最大？最大利潤是多少？

（3）最后，統計還發現，平均每個工人每天創造的利潤為288元，于是，工廠制定如下獎勵方案：如果一個

工人某天創造的利潤超過該平均值，則該工人當天可獲得20元獎金，請計算，在生產該批紀念過程中，小

王能獲得多少元的獎金？

【變式7-2］（2023?湖北孝感?統考三模）2022年2月20日，北京冬奧會順利閉幕，冬奧會帶來了冰雪消

費熱.最美志愿者陳老師決定購進“冰墩墩”和“雪容融”兩種紀念品進行銷售，已知每件“冰墩墩”比每件“雪

容融”的進價高30元，用1500元購進“冰墩墩”的數量和用600元購進“雪容融”的數量相同.經市場調查，

整理出“冰墩墩”的售價x（元/件）與銷量y（件）的關系如表：

50<%60<%

售價X（元/件）

<60<80

銷售量（件）100400-5%

（1）求“冰墩墩”和“雪容融”每件的進價分別為多少元？

（2）求當x為何值時，陳老師售出“冰墩墩”所獲利潤w最大，最大利潤為多少？

（3）陳老師非常熱愛公益事業，決定在（2）中售出“冰墩墩”獲利最大的銷售方案下每銷售1件“冰墩墩”就捐

獻加元給“體育公益項目”，且希望利潤不低于975元以維持各種開支，則加的最大值為

【變式7-3](2023?遼寧丹東?統考中考真題)某品牌大米遠近聞名，深受廣大消費者喜愛，某超市每天購

進一批成本價為每千克4元的該大米，以不低于成本價且不超過每千克7元的價格銷售.當每千克售價為5

元時，每天售出大米950kg；當每千克售價為6元時，每天售出大米900kg,通過分析銷售數據發現：每天

銷售大米的數量y(kg)與每千克售價%(元)滿足一次函數關系.

(1)請直接寫出y與x的函數關系式；

(2)超市將該大米每千克售價定為多少元時，每天銷售該大米的利潤可達到1800元？

(3)當每千克售價定為多少元時，每天獲利最大？最大利潤為多少？

【題型8圖形運動問題】

【例8】(2023?吉林松原?校聯考二模)如圖，在△力BC中，^ACB=90°,BC=9cm,AB=15cm.動點P從

點力出發，以4cm/s的速度沿邊AB向終點B勻速運動.以24為一邊作乙4PQ=90。，另一邊PQ與射線4c相交

于點Q,以4P/Q為邊作平行四邊形4PMQ.設點P的運動時間為x(s),平行四邊形4PMQ與△ABC重疊部分

圖形的面積為y(cm2).

備用圖

(1)當點Q在邊4C上時，2Q的長為cm；(用含x的代數式表示)

(2)當點M落在邊BC上時，求x的值；

(3)求y關于x的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍.

【變式8-1](2023?吉林白城??？级?如圖，在RtZiABC中，zC=90°,AC=8,BC=6,。是邊4B的

中點.動點尸從點3出發.沿BD以每秒3個單位長度的速度向終點。運動.點尸出發后，過點尸作PQ14B

交折線BC-C力于點°,以PQ,PD為鄰邊作矩形PDEQ.設矩形PDEQ與△4BC重疊部分圖形的面積為S.點P

的運動時間為/秒.

A

⑴當點。與點C重合時，求t的值；

(2)當點￡落在4C邊上時；求/的值；

(3)求S關于/的函數關系式.

【變式8-2](2023?江蘇連云港?連云港市新海實驗中學?？级?如圖①，動點尸從矩形力BCD的頂點/

出發，以巧的速度沿折線力-B-C向終點C運動；同時，一動點。從點。出發，以以的速度沿DC向終點C

運動，當一個點到達終點時，另一個點也停止運動.點E為CD的中點，連接PE,PQ,記的面積為

S,點P運動的時間為3其函數圖像為折線MN—NF和曲線FG(圖②)，已知，ON=4,NH=1,點G的

坐標為(8,0).

圖①圖②

(1)點尸與點。的速度之比2的值為;黑的值為

⑵如果?！?15.

①求線段NF所在直線的函數表達式；

②求FG所在曲線的函數表達式；

③是否存在某個時刻3使得S29？若存在，求出,的取值范圍；若不存在，請說明理由.

【變式8-3](2023?吉林松原?校聯考三模)如圖，在矩形4BCD中，AB=4,AD=3cm,動點、P,0同時

出發，點尸從點/出發以2cm/s的速度沿折線ZB-BC-CD運動，點。從點/出發以lcm/s的速度沿"向終

點C運動，當點0到達點C時，P,0兩點同時停止運動，連結4P,PQ.設點尸的運動時間為t(s)

(t>0),△P2Q的面積為S(cm2).

(1)當點尸與點C重合時，t=s；

(2)求S與f之間的函數關系式；

(3)當CP=CQ時，直接寫出/的值.

【題型9圖形面積問題】

【例9】(2023?湖北武漢?模擬預測)為落實國家《關于全面加強新時代大中小學勞動教育的意見》，某校

準備在校園里利用圍墻(墻長12m)和21m長的籬笆墻，圍成I、II兩塊矩形勞動實踐基地.某數學興趣小組

設計了兩種方案(除圍墻外，實線部分為籬笆墻，且不浪費籬笆墻)，請根據設計方案回答下列問題：

41〃/〃〃〃〃〃/〃〃//〃〃////〃，.fi

H

F

I區a區

DG

圖（1圖2

(1)方案一：如圖①，全部利用圍墻的長度，但要在I區中留一個寬度4E=1m的水池且需保證總種植面積為

32m2,試分別確定CG、DG的長；

(2)方案二：如圖②，使圍成的兩塊矩形總種植面積最大，請問BC應設計為多長？此時最大面積為多少？

【變式9-1](2023?湖北武漢?校考模擬預測)如圖，利用一面墻(墻的長度為20m),用34m長的籬笆圍成

兩個雞場，中間用一道籬笆隔開，每個雞場均留一道1m寬的門，設力B的長為萬米.

?<-----------20m-------------->

A\^1p-

BFC

(1)若兩個雞場的面積和為S,求S關于x的關系式;

(2)兩個雞場面積和S有最大值嗎？若有，最大值是多少？

【變式9-2](2023?安徽合肥?合肥壽春中學校考三模)植物園有一塊足夠大的空地，其中有一堵長為6米

的墻，現準備用20米的籬笆圍兩間矩形花圃，中間用籬笆隔開.小俊設計了如圖甲和乙的兩種方案：方案

甲中4D的長不超過墻長；方案乙中