云南省下關第一中學2024-2025學年高二上學期12月聯考數

學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

Z72

1.設復數滿足」=l+3i,則它的共粗復數的虛部為（）

l-2i

A.1B..C.〔D.;

i—i—i

2.設等差數列｛%｝的前〃項和為，且a,+%=-22,凡=-110，則S“取最小值時，〃的

值為（）

A.14B.15C.16D.15或16

3.已知函數外外=卜/-2辦-。戶<°在區上單調遞增，則”的取值范圍是（）

[er+ln（x+l）,x>0

A.(-oo,0]B.[-1,0]C,[-1,1]D.[0,+oo)

4.在等比數列｛%｝中，°5,%=6M2+〃io=5,則&_等于()

。10

A2T3D2c.2

A.一或一B.D.—2或—3

323232

5.如圖所示，一個底面半徑為6的圓柱被與其底面所成的角為45。的平面所截,

截面是一個橢圓，則下列結論錯誤的是（）

試卷第11頁，共33頁

A.橢圓的長軸長為4

B.橢圓的離心率為走

4

22

C.橢圓的方程可以為二+匕=1

42

D.橢圓上的點到焦點的距離的最小值為2.百

6.一條光線從點/（_2,3）射出，經x軸反射后，與圓C：（x_3＞+3_2）2=1相切，則反射

后光線所在直線的斜率為（）

A.34或3士B.S2或43C.士3或24D.52或3士

34452335

7.元代數學家朱世杰編著的《算法啟蒙》中記載了有關數列的計算問題：“今有竹七節，

下兩節容米四升，上兩節容米二升，各節欲均容，問逐節各容幾升？”其大意為：現有一

根七節的竹子，最下面兩節可裝米四升，最上面兩節可裝米二升，如果竹子裝米量逐節等

量減少，問竹子各節各裝米多少升？以此計算，這根竹子的裝米量為（）

A.9升B.]0.5升C.[2升口.]3.5升

8.已知雙曲線c..一片=1缶＞06＞0）的左焦點為為坐標原點，若在C的右支上存

'a1b1V'

在關于x軸對稱的兩點p,0,使得△尸為正三角形，且OQ_L片尸，則C的離心率為

（）

A.41B-1+V2C.gD-1+V3

二、多選題

9.己知等差數列｛q,｝的前八項和為s“，且席＞幾＞又，則下列結論中正確的是（）

試卷第21頁，共33頁

A..J是遞增數列B.%>o時，”的最大值為13

C.數列｛$“｝中的最大項為用D.>0時，〃的最大值為27

10.已知點尸是拋物線了2=2x的焦點，過點下的直線交拋物線于M、N兩點,則下列結

論正確的是（）

A.點加■到焦點尸的最小距離為1B.若點尸的坐標為（2,1），貝1取F|的最

小值為*

2

C.以為直徑的圓與拋物線的準線相切D.4+」=2

\MF\|Ay|

1L八卦是中國文化的基本哲學概念，如圖1是八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正

B-OA+OC=-y/2OF

C-刀在礪上的投影向量為自砒

D.若點尸為正八邊形邊上的一個動點，則而的最大值為4.

試卷第31頁，共33頁

三、填空題

12.設等差數列｛.“｝的前〃項和為S.，若品-S3=35,%+%。=7,則數列｛%｝的公差為一

13.如圖所示，CD是某校園內一標志性雕像，小明同學為了估算該雕像的高度，在學校

教學樓N2（高為（15百-15）米）與雕像之間的地面上的點屈處（B,M,。三點共線）測

得樓頂/及雕像頂C的仰角分別是15。和60°,在樓頂/處又測得雕塑頂C的仰角為30°,

假設/2、CD和點M在同一平面內，則小明估算該雕像的高度為米.

14.侏羅紀蜘蛛網是一種非常有規律的蜘蛛網，如圖是由無數個正方形環繞而成的，且每

一個正方形的四個頂點都恰好在它的外邊最近一個正方形四條邊的三等分點上.設外圍第

一個正方形4片￡口的邊長為1,往里第二個正方形為42c…，往里第〃個正方形

為44Goi?那么第7個正方形的周長是______，至少需要前個正方形的面積之和

超過2.（參考數據：lg2=0.301，lg3=0.477）.

試卷第41頁，共33頁

四、解答題

15.已知｛《,｝是各項均為正數的等比數列，為=1,且能,3%，4成等差數歹1r

(1)求｛6｝的通項公式.

⑵設勿=。"+108洱，求數列也“｝的刖”項和.

16.在四邊形48c。中,ZA=45°,ZABC=105°,ZC=60°,BC=1,CZ>=2-

(1)求NC8Z)的大小；

(2)求ZB的值.

17.在等差數列｛a,｝中，%=7,%=-5,｛0“｝的前”項和為5“?

(1)求數列｛%｝的通項公式;

(2)求￡的最大值;

(3)設/=同+同+同+…+同，求4

試卷第51頁，共33頁

18.如圖，在四棱錐中，底面N8C￡)為矩形,PZ)底面/8CZ)，

(1)求證：尸么〃平面￡2必；

(2)求平面石1M與平面尸/D夾角的余弦值；

(3)在棱上是否存在一點“，使直線屏'與平面互沙所成角的正弦值為逅，若存在，求

3

出求線段存尸的長；若不存在，說明理由.

Dr

19.已知圓「：/+/=4,點0在圓「上，過。作y軸的垂線，垂足為0,動點尸滿足

_o__.PC

國不，設動點的軌跡為曲線.

⑴求曲線C的方程；

(2)斜率存在且不過"o,2)的直線/與曲線C相交于M、N兩點，8M與3N的斜率之積為

20

~9'

①證明：直線/過定點;

試卷第61頁，共33頁

②求1W面積的最大值.

試卷第71頁，共33頁

參考答案:

題號12345678910

答案CDBABABDBCBD

題號11

答案BCD

1.C

【分析】由題目條件可直接求出復數4Z，從而寫出共輾復數Z即可得到共軌復數^Z的虛

部.

【詳解】依題意，z=(l+3i)(l-2i)=7+i>因此彳=7-i，所以7的虛部為-L

故選：C.

2.D

【分析】根據已知及等差數列的通項公式、前〃項和公式求基本量，結合%=0及數列單

調性確定Sn取最小值時〃的值.

【詳解】由凡=11(%；為)=1=一1100&=T0，

由〃2+=2。5=—22=>%=—11，

所以數列｛〃“｝的公差d=七一%=>且。6=%+5d=6+5=-10=>%=-15，

所以須=%+15"=0,且數列｛%｝單調遞增，

n

故Sn取最小值時，的值為15或16.

故選：D.

3.B

【分析】根據二次函數的性質和分界點的大小關系即可得到不等式組，解出即可.

【詳解】因為/(x)在R上單調遞增，且xNO時，/(力=砂+111(》+1)單調遞增，

答案第11頁，共22頁

'-2aC-1V。V0

則需滿足一云而2。，解得，

-a<e°+In1

即。的范圍是

故選：B.

4.A

【分析】根據題設知出和須為方程x2-5x+6=0的兩個根，即可求得%=2,1。=3或

電=3,%。=2，結合等比數列通項公式求目標式的值?

【詳解】因為｛g｝是等比數列，所以％?%=出"。=6,又生+%。=5，

所以電和為。為方程一-5x+6=0的兩個根，解得。2=2,4。=3或%=3,%。=2?

若等比數列｛°，的公比為‘，則組=%。，=組,所以組=。或2.

Ol0。2,q'23

故選：A.

5.B

【分析】結合圖象根據橢圓的長軸，短軸的幾何意義求橢圓的凡6，由此判斷各選項.

【詳解】設橢圓的長半軸長為“，橢圓的長半軸長為人，半焦距為c，

由圖象可得2acos450=2/，,a=2，

又6=拒，c2=a2-b2'

,c=6

二橢圓的長軸長為4,A對，

橢圓的離心率為也，B錯,

2

答案第21頁，共22頁

22

圓的方程可以為二+匕=1，C對,

42

橢圓上的點到焦點的距離的最小值為2_0，D對，

故選：B.

6.A

【分析】求出圓心坐標與半徑，點/(_2,3)關于x軸對稱點的坐標，設過對稱點與圓相切

的反射光線所在直線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑即可求出答案.

【詳解】圓0：(；(:-3)2+(/-2)2=1的圓心坐標為(3,2)，半徑為1,

點(-2,3)關于x軸對稱點的坐標為(-2,-3)，

根據題意可得，點(一2,-3)在反射光線所在的直線上，

設反射光線所在的直線方程為夕+3=后卜+2)，即履-y+2?-3=0,

因為反射光線所在直線與圓a_3)2+(y-2)2=1相切，

所以d=色心竺121=1，解得左，或左=3,

7F7T34

故選：A.

7.B

【分析】根據給定條件，利用等差數列前〃項和公式計算即得.

【詳解】依題意，竹子自下而上的各節裝米量構成等差數列

則％+出=4,+%=2，%+%=。2+〃6=3，

所以這根竹子的裝米量為邑=7(?+%)=10.5(升)

72

故選：B

答案第31頁，共22頁

8.D

【分析】連接尸工，利用中位線性質得到△尸久招是/耳片「=巳的直角三角形，在焦點三角

形中利用雙曲線定義即可建立風。的關系，從而求得離心率.

【詳解】設雙曲線的焦距為2c(c>0)，右焦點為F,，直線交片產于點連接尸巴，

因為△尸4°為正三角形，OQLFlP所以〃為打尸的中點，所以(W//gP，

故";/迅=工，易知乙工片尸=工，所以「用=4尸4=出。，

26

由雙曲線的定義知附曰叫=2。，即Gc-c=2a,得e，==i+6

aJ3T

【分析】利用等差數列的前附項和公式和等差數列的性質得到％3>0嗎4<0,從而逐項判

斷.

【詳解1由己知,SQ>S[2=Sl2+a13>Sl2=al3>0,Sl3>514=513+a14a14<0，

所以等差數列｛見｝的前13項大于0,從第14項開始小于0,故B正確；

設等差數列｛4,｝的公式為d，則％>0,d<0，

答案第41頁，共22頁

所以｛%｝是遞減數列，故A錯誤；

且與為等差數列｛%｝的前〃項和的最大值，故C正確；

因為邑7城里產!a7％,勵，故D錯誤?

故選：BC.

10.BD

【分析】A由焦點弦的性質，結合拋物線上點到焦點距離的范圍即可判斷；B由拋物線定

義知共線，|〃巴單平|最小；C由拋物線焦點弦的性質判斷正誤；D設直線方程，

聯立拋物線，應用韋達定理求人+4.

\MF\|AY|

【詳解】如下圖：嗎,0）且準線為x=-g,

A：過尸的直線交拋物線于河、N，則該直線斜率存在時不為0，由拋物線性質知:

\MF\>\OF^,即"到焦點/沒有最小距離，錯誤；

B：如上圖，M4_L拋物線準線，要使性⑶印團^的最小，則共線，即

答案第51頁，共22頁

\MP\+\MF\=l^l=|>正確；

C：以v為圓心，??為半徑的圓或以MN為直徑的圓與拋物線的準線相切，而以〃/為

直徑的圓不與拋物線的準線相切，錯誤；

D：令MN為丫=蚊+；,聯立拋物線可得：;20-1=0,則加+為=2仆加%=-1,

?」〃+XN"(%+B)+1=2左2+1,工/、=公加%+3%+6)+(=:

1,1.IW+MI=X.+/+1=2

叫肥阿IWH^I+；%+/)+；，正確.

故選：BD.

11.BCD

【分析】根據正八邊形圖形特征應用數量積公式得出A,應用和向量判斷B,應用投影向

量判斷C,應用數量積投影最大求解D.

【詳解】由題意可知，正八邊形每條邊所對的角都是45。，中心。到各頂點的距離為2,

對于A,OB-OE^^0B\[0E\xCOSZBOE=2X2Xcosl350=-272；故A錯誤;

對于B,ZAOC=90^則以。4。。為鄰邊的正方形對角線長是|Q4|的近倍，

可得厲+反=夜礪=-夜麗，故B正確;

答案第61頁，共22頁

次在礪上的投影向量為再空礪=2x2cos45。痂=正加,故C正確;

對于c,

3『42

對于D,設正方的夾角為°,則而存=網網cos。,

其中|方|為定值，只需|"k°sO最大即可，DC1AB

延長℃交"'延長線于°，當,在線段℃上運動時，|"1c°s。最大,

易知"°AC為等腰直角三角形，且ZOAB=180°-45。=67.5。，

2

則在RtAG4。中，AQ=AC-COSZCAQ=ACCOS(67.5°-45°)=NC?cos22.5°>

在等腰三角形048中，AB=20A-sin22.5°>

則43)1nMe=/C-cos22.5°x2CU?sin22.5°=/CxO/xsin45°=2>/^x2x-^-=4'

綜上，BCD正確.

故選：BCD.

12.3

【分析】根據題意，由等差數列下標和的性質代入計算，即可得到為+%。=10,從而得到

結果.

H

【詳解1由S1o-S3=35n&+05-----Fq。=35n彳"2——=35a4+al0=10>

所以公差d=(a4+a10)-(a3+a10)=a4-a3=10-7=3,

故答案為：3

13-3073

答案第71頁，共22頁

【分析】在中利用銳角三角函數求出/M，再由正弦定理求出CM，最后根據銳

角三角函數求出Co；

Rt^ABM.AB里—=3。/

【詳解】解：在中，sm=7M,解得"”=而正

4

其中sinl5°=sin（45。-30。）=sin45°cos30°-cos45°sin30°

V2V3V21V6-V2

---X--------X—=--------

22224

在△/CM中，ZCAM=30°+\5°=45°,ZAMC=180°-15°-60°=105°,

所一”8—,由正弦定理得，

—x30V2

sinNCAM.__sin45°?30后

故CM=---------------AM=-------------------^―j——=60.

sinZACMsin30°

2

在中，"M)=60;所以。=CMsin60'60x"=305估算該雕像的高度

2

為306米?

故答案為：30A/3

14,迎4

729

【分析】根據已知，利用勾股定理、正方形的周長公式、面積公式以及等比數列的通項、

前〃項和公式進行求解.

【詳解】

答案第81頁，共22頁

B

//

D,4n

因為每一個正方形的四個頂點都恰好在它的外邊最近一個正方形四條邊的三等分點上,

所以44

由勾股定理有：45「加甌HA*

設第〃個正方形ARCR的邊長為/“，則

上一尉可率?

/+,/“/=TL1

所以仆圖：樗:

\J7kJ7

//-\6

=4《=4></=迎

所以第7個正方形的周長是44=4x

6

\373729729'

⑸7-1

,2=

第〃個正方形的面積為＜=[3)[9)

則第1個正方形的面積為片干：=1,

答案第91頁，共22頁

則第2個正方形的面積為二二戶］=9,

則第3個正方形的面積為個=,

n-1

則第〃個正方形的面積為/25

9

5

n-i1一

前〃個正方形的面積之和為s“=i+f|595

+…+9

949

2

當〃=1=p當"=2時，邑［514

時,5141-___,

9一9

當〃=33151,當〃=45丫1484-

時,時,1------->2'

81St9729

所以至少需要前4個正方形的面積之和超過2.

故答案為：—,4.

729

6(I)。-"-

⑵2々一1

【分析】（1）根據等比數列定義構造方程解得公比qQ2,可得其通項公式；

（2）代入%=2"T得到也,｝的通項公式，利用分組求和計算可得結果.

【詳解】（1）因為數列｛”"｝是各項均為正數的等比數列，%=1，且％,3%,%成等差數歹人

答案第101頁，共22頁

所以6%=%+?

設數列｛%｝的公比為q>0,則q2+g_6=0，

解得《用2,或g=-3（舍），

所以=a\Qn1=2"-—

（2）由（1）知0_2"-',

因為6,=a“+log2a“，所以"=2'T+〃-1，

設數列也｝的前”項和為S“，

121

則S“=61+Z?2+Z>3+---+Z>?=（2°+0）+（2+1）+（2+2）+---+（2"-+?-1）

=（2°+2'+22+L+2"-'）+（O+l+2+L+M-1）

"0+〃-1）*一，

-I—乙\1

1-222

即數列｛4｝的前〃項和為S=2〃+止2一1.

〃2

16.⑴90°

⑵逑

2

【分析】（1）根據題意利用余弦定理可得出，結合勾股定理分析求解;

（2）分析可知N/D8=120。，利用正弦定理運算求解即可?

【詳解】（1）在△80中，由余弦定理得

答案第111頁，共22頁

BD=dCD2+BC2-2CD-BCcosC=,+1?一2x2xlxg=5

由8C=1,CD=2，^BC2+BD-=CD-'可得NC5O=90;

(2)因為//。。=360。-//-//8。-/。=360--45°-105°-60°=150°，

由(1)得NCAD=90°，且NC=60°，

所以NBDC=30°>ZADB=/ADC-/BDC=150°-30°=120°-

在中，由正弦定理得_絲_=_"，

sinZADBsin//

BDsinNADB3A/2

所以48=

sinZAr

2

17.（Da“=13-2”

（2）36

⑶T\12n-n2,n<6,neN*

"\n2-I2.n+72,n>7,neN*

【分析】（1）求出等差數列的公差和首項，即可求得通項公式；

（2）利用等差數列的前〃項和公式，即可求得答案；

（3）判斷數列也,｝的項的正負情況，討論〃的取值，結合等差數列的前”項和公式，即可

求得答案.

【詳解】（1）由題意知在等差數列｛與｝中，％=7,09=-5,設公差為d，

貝U%—%=6d=—12，解得"=-2，貝q=4-2"=11，

故a,,=q=13-2”，

答案第121頁，共22頁

所以通項公式為=13一2"(〃€1\)

(2)由(1)可得前項和S“=11"+x(-2)=12〃-=—(〃-6)2+36,

所以當〃=6時，Sn取最大值36.

(3)因為=13—2〃,

所以當13-2〃20時,得“0,

2

即當〃<6時有%>0；當“27時有<0；

當時，Tn=同+同+同+…+|。“卜％+電+%+…+%=S.=12〃一〃2，

a

當〃27時,Tn=ax+a2-\---卜％一%----n

=2(4+Q2H—++電+。3+—[■4“)

=256-5〃=2(12x6-36)-(⑵-叫="_12〃+72，

綜上，<6,〃￡N*

7rT"-[n2-12?+72,M>7,neN*

18.(1)證明見解析

⑵逅

6

(3)存在；分BF的長為上3或？9

24

【分析】(1)利用線面平行的判定定理證明即可；

(2)建立空間直角坐標系，用空間向量數量積公式求解二面角；

(3)假設棱PB存在一點尸使得麗=幾而，且潴=昂+潴，即可求出而，利用向量的

答案第131頁，共22頁

夾角公式列出關于2的方程求解即可?

【詳解】(1)連接/c,父3。于點0,連接OE，

點E是尸°的中點，點0是4c的中點，

所以尸///0￡，0￡^平面瓦＞8，己4＜2平面瓦＞2，

所以PA〃平面瓦(8；

(2)如圖，以向量房，后,而為x，N，z軸的正方向建立空間直角坐標系,

即。(0,0,0)，S(1,2,0)-￡(0,1,1)>則麗=(1,2,0),反=(0,1,1)，

EDBrn=(xvz\DB?應=x+2>=0

設平面的法向量’‘，貝仁

DE?應=y+z=0'

令y=_l得X=2,z=l，所以平面應■的法向量成=(2,-1,1)，

平面P4D的一個法向量為亢=(0,1,0)，

設平面EDB和平面PAD的夾角為0，

則cosO=|E葉株￡邛

所以平面和平面""的夾角的余弦值為逅;

6

答案第141頁，共22頁

(3)由(2)知。(0,0,0)，5(1,2,0)-￡(0,1,1)'尸(0,0,2)，

麗麗=(-1,-2,2"BF=A5P=(-A,-2A,2A)(O<A<1),

￡F=EB+5F=(l,l,-l)+(-A,-2A,2A)=(l-A,l-2A,-l+2A)'

由(2)知平面的法向量加=(2,7,1)，

設直線EF與平面切澄的夾角為a，

|/釬-\||2(1-A)-(1-2A)-1+2A|c/［八

川Isinez=cos(Er,m)\=/———=-----,0<A<1

則I、，/I向而彳球EWxC3

整理得8萬-104+3=0,解得2=1.或2=3,

24

117Q

故當4=—時，BF=~；當4=±時，BF;二

2244

則B的F長為士3或？9.

24

19.(1)^+￡=1

94

⑵①7(0,-3);②5

答案第151頁，共22頁

【分析】（1）利用相關點法，結合向量的坐標運算即可得解；

（2）①聯立直線與橢圓方程，利用韋達定理與已知條件得到關于左,6的方程，解之即可得

解；②利用三角形面積公式，結合韋達定理與基本不等式即可得解.

【詳解】（1）依題意,設尸則。（。,%>

因為西=］匠，所以（x0,O）=§（x,y_%）,

,解得

因為0伉,%）圓「V+廣