專題09代數式化簡求值壓軸題五種模型全攻略

.【考點導航】

目錄

1

修【典型例題】.............................................................................1

【類型一整體代入求值】...................................................................1

【類型二特殊值法代入求值】...............................................................2

【類型三降累思想運算求值】...............................................................5

【類型四整式的加減中的化簡求值】........................................................6

【類型五整式加減的應用化簡求值】........................................................7

1[

------1【過關檢測】........................................................................10

尸

LB【典型例題】

【類型一整體代入求值】

例題：(2023春?四川雅安?七年級?？计谀?已知：3爐+2尤-1=0,貝U6/+4X-5的值為()

A.—7B.—3C.7D.3

【答案】B

【分析】由3%2+2%—1=0知3%2+2X=1,代入6爐+4%—5=2(3兀2+2%)—5計算可得.

【詳解】解：當3f+2x—1=0,即3—+2%=1時，

6x2+4x-5

=2(3/+2x)-5

=2x1-5

=2-5

=—3,

故選：B.

【點睛】本題主要考查代數式求值，解題的關鍵是掌握整體代入思想的運用.

【變式訓練】

1.(2023秋?福建寧德?七年級?？计谀?己知病=1+2"’,貝|2屆一4加的值為()

A.0B.-1C.1D.2

【答案】D

【分析】根據題意可得2m2-4加=2(7/一2加)，即可求解.

【詳解】解：0/n2=1+2m>

0m2-2m=1，

132m2—4m=2(^m2—2mj=2x1=2,

故選：D.

【點睛】本題考查的是代數式求值，找到已知式子和所求式子之間的關系是解題關鍵.

2.(2023秋?山東聊城?七年級統考期末)若a—3b=—5,貝!12(。-36)2+36-。-15=.

【答案】40

【分析】根據a-36=-5,把代數式化成含有a-36的形式，然后整體代入進行求解.

【詳解】2(a-3b)z+3b-a-15可化為：2(a-3Z?)2-(a-3Z?)-15

把a—3。=—5整體代入可得：原式=2x(—5)"—(—5)—15=40；

故答案是：40.

【點睛】本題主要考查代數式的求值，根據題意把代數式化為含有已知條件的形式再進行求解.

【類型二特殊值法代入求值】

c

例題：(2023秋,全國,七年級專題練習)已知關于x的多項式ax,+法3+巾2+公+?3,其中a,b,,d為

互不相等的整數.

⑴若a6cd=4,求a+b+c+d的值；

⑵在(1)的條件下，當x=l時，這個多項式的值為27,求e的值；

⑶在(1)、(2)條件下，若x=-l時，這個多項式ax4+加；3+。才2+公+63的值是］4,求a+c的值.

【答案】⑴0

⑵e=3

(3)-6.5

【分析】(1)由。、b、c、d是互不相等的整數，"cd=4可得這四個數由-1,1,-2,2組成，再進行計算

即可得到答案；

(2)x=1ax4+bx3+ex2+dx+e3=27,即可求出《的值；

(3)把冗二一1代入o/+法3+。/+公+/=]4,再木艮據a+b+c+d=o,即可求出Q+C的值.

【詳解】(1)解：abed=4,且以氏c、d是互不相等的整數，

??a、b、c、d為j—1,1,—2,2,

.?.a+b+c+d=0；

(2)解：當x=l時，

ax4+bx3+ex2+dx+e3

=?xl4+Z?xl3+cxl2+rfxl+e3

=a+b+c+d+e3

=0+/

=27,

e=3；

(3)解：當x=-l時，

ax4+加+4+辦+/

=tzx(-l)4+Z?x(-1)3+cx(-l)2+rfx(-l)+^3

=a—Z?+c—d+/

=14,

:.a—h-\-c—d——13,

a+b+c+d=Q,

(j-\-c=-6.5.

【點睛】本題主要考查了求代數式的值，解題的關鍵是得出〃、反c、d這四個數以及。、b、c、2之間的關

系.

【變式訓練】

5432

1.若(2%—I?=+a5x+a4x+a3x+a2x+axx+a0,則。5+4+%-%=.

【答案】-365

【詳解】解：令后0,代入等式中得到：(—1)6=〃。，回％=1,

令X=l,代入等式中得到：1=。6+。5+。4+〃3+〃2+。1+。0①，

令X=-l,代入等式中得到：（―3）6=%—%+。4一。3+%-4+。0②，

將①式減去②式，得到：1-（-3）6=2（%+%+4）,

1-36

團（4+q+%）=———=-364,

團。5+/+%—%=—364—1——365,

故答案為：-365.

2.特殊值法，又叫特值法，是數學中通過設題中某個未知量為特殊值，從而通過簡單的運算，得出最終答案

432

的一種方法,例如：已知:a4x+a3x+a2x+axx+tz0=6x,則

（1）取x=0時，直接可以得到〃o=O；

（2）?。?］時,可以得到。4+。3+%+%+。0=6；

（3）取x=—1時，可以得至！J。4—。3+。2—+。0=-6；

（4）把（2）,（3）的結論相加，就可以得至!J2%+20+2%=。，結合（1）%=0的結論，從而得出。4+。2=。.

請類比上例，解決下面的問題：已知

%（%—I）,+%（X—I）,+。4（%—I）,+%（%—1）^+%（*—1）2+%（X—1）+=4%.：

⑴旬的值；

（2）4+。5+〃4+〃3+。2++。0的；

⑶。6+。4+〃2的值.

【答案】（1）4；（2）8；（3）0

【解析】⑴解：當尤=1時，

團％（%—I）6+%（%—I）'+%（%—I）,+%（%—1）^+出（％—1）^+%（%—D+=4x,

回%=4x1=4；

（2）解:當％=2時,

團名（％—1）6+%（%—1）5+Q4（X—1）4+/（X—1）^+%（%—1）^+〃］（X—1）+=4x,

團6+%+〃4+。3+%++〃0=8；

（3）解:當龍=2時,

團/（X—I）,+%（X—I）,+%（%—l）,+%（%—1）^+出（％—1）2+6（X—1）+4—4x,

當％=0時，

團〃6（%—I）,+%（%—I）5+&（X—I）,+%（%—I?+%（%—I）2+%（%—1）+%—4-X,

回—〃5+%—。3+%-+〃0=0（2^;

用①+②得：2a6+2〃4+2a2+2ao=8,

回。6+。4+。2=4一%=0.

【類型三降幕思想運算求值】

例題：（2023春?山東荷澤?八年級統考期末）已知/+%=6,貝IJ代數式d+f—6%+2023的值為

【答案】2023

【分析】由已知條件兩邊都乘九，整理得d+d=6x,再整體代入即可.

【詳解】解：回爐+%=6,

團x（f+x）=6x,即d+fuGx,

團尤3+尤2-6^+2023

=6x-6x+2023

=2023,

故答案為：2023.

【點睛】本題主要考查了代數式的求值問題，解題關鍵是把已知整理得V+f=6x,再整體代入求解.

【變式訓練】

1.（2023春?湖南岳陽?七年級統考期中）已知無2+x=l,那么/+2尤2+2021的值為.

【答案】2022

【分析】先將/降次為-元2+巧然后代入代數式，再根據已知條件求解.

【詳解】解：x2+x=l,

無~——X+1，

x3=x-JC=%（-%+1）=-^+x,

X3+2X2+2021

=—尤2+x+2x2+2021

=x2+X+2021

=1+2021

=2022,

故答案為：2022.

【點睛】本題考查了因式分解的應用，將Y降次為-f+x是解題關鍵.

2.已知￡+》=1,求_?+/一2/—了+2（）23的值.

【答案】2022

【分析】把所求式子變形成含已知的代數式，結合整體代入的思想解答即可.

【詳解】解：回Y+x=i,

0A：4+X3-2A：2-X+2O23

=廠（x?+x）-2%2-x+2023

=x2—2尤2—x+2023

=一x~—x+2023

=-（%2+x）+2023=-1+2023=2022.

【點睛】本題考查了代數式求值和整式的乘法，正確變形，靈活應用整體思想是解題的關鍵.

【類型四整式的加減中的化簡求值】

例題：（2023秋?福建福州?七年級統考期末）化簡，再求值：2/-2（x-/）+（6x-5/）,其中戶1，尸—

2

【答案】4JC-y--

f4

【分析】先去括號，再合并同類項，然后把x=Ly=代入化簡后的結果，即可求解.

【詳解】解：原式=2/一2工+2丁+6%-5y2

=4x-y2

當無=l,y=_g時,原式=4x]_15

~4

【點睛】本題主要考查了整式加減中的化簡求值，熟練掌握整式混合運算法則是解題的關鍵.

【變式訓練】

1.(2023秋,重慶南岸?七年級?？计谀?先化簡，再求值：3/b-[a/一2(2/匕-仍?-a/?,其中a=2/=3.

【答案】702b-4曲,12

【分析】去括號，合并同類項把所求式子化簡，再將。=2,6=3代入計算即可.

【詳解】原式=302b-(ab2-4a2b+2ab2)-ab2

-3c^b+4a%—3ab之—ab?

=la2b-4ab2

當。=2,/?=3時，原式=7x22x3—4x2x32=84—72=12.

【點睛】本題考查整式化簡求值，解題的關鍵是掌握去括號，合并同類項法則，把所求式子化簡.

2.(2023秋?湖南永州?七年級統考期末)先化簡，再求值：2(3m2n-mn2^-4^5m2n-^mn2j,其中

1

m+—+(〃-2)29=0.

【答案】-14m2n,-7

【分析】根據去括號法則，合并同類項法則，進行化簡，根據非負性求出私”的值，再進行計算即可.

【詳解】解：原式=6m2n—2mn2-20m2n+2mn2

=-14m2n;

1

[?]m+—+(n-2)9=0,

1c

回機二——,n-2

2

原式=T4x(一g)x2=-7.

【點睛】本題考查整式加減中的化簡求值.熟練掌握去括號法則，合并同類項法則，以及非負數的和為0,

每一個非負數均為0,是解題的關鍵.

【類型五整式加減的應用化簡求值】

例題：(2023秋?全國?七年級專題練習)如圖，四邊形A3CO是一個長方形.

⑴根據圖中數據，用含尤的代數式表示陰影部分的面積S；

⑵當x=4時，求S的值.

【答案】⑴18+3”；

（2）30.

【分析】（1）由于陰影部分不規則，所以可考慮用△ADC的面積減去砂的面積;

（2）代入計算即可.

【詳解】（1）回四邊形ABC。是一個長方形，

BCD=AB=6,AD=BC=12,

團DE=6,DF=6—x,

團

S=SACD—SDEF，

=-ADCD--EDDF

22f

=36—18+3%,

=18+3x,

（2）由（1）得：S=18+3x,

當x=4時，5=18+3x4=30.

【點睛】此題考查了列代數式和代數式的求值，解題的關鍵是結合圖形列出代數式.

【變式訓練】

1.（2023秋?山東濟南?六年級統考期末）如圖，某長方形廣場的四個角都有一塊半徑相同的四分之一圓形的

草地若圓形的半徑為廠，長方形的長為m寬為無

7---------------------------

________________U

⑴分別用代數式表示草地和廣場空地的面積.

⑵若長方形的長為300米，寬為200米，圓形的半徑為10米，求廣場空地的面積（加取3.14）

【答案】⑴草地：4、!”2=萬產；廣場空地：ab-Trr2

4

（2）59686平方米

【分析】（1）根據圓形面積公式和長方形面積公式，即可進行解答；

（2）把。=300,6=200代入（1）中廣場空地的面積的代數式，即可求解.

【詳解】（1）解：草地：4、工萬戶=萬戶，

4

廣場空地：ab-jrr1.

（2）解：由（1）可得廣場空地的面積萬產，

當a=300,b=200時，

ab-^r2=300x200-3.14xl02=59686（平方米）.

答：廣場空地的面積是59686平方米.

【點睛】本題主要考查了列代數式，解題的關鍵正確理解題意，根據題意列出代數式.

2.（2023秋?全國?七年級專題練習）小高家買了一套新房，其結構如圖所示（單位：機）.他打算將臥室鋪

上木地板，其余部分鋪上地磚.

26一U

廚房

臥室1餐廳

衛生間

T

客廳臥室23a

5b

⑴木地板和地磚分別需要多少平方米？

⑵如果地磚的價格為每平方米40元，木地板價格為每平方米70元.當a=2*=2.5時，小高一共需要花多

少錢？

【答案】⑴木地板和地磚分別需要1。必、15"平方米

（2）6500元

【分析】（1）由題意知，臥室的面積為2》x（5a-3a）+3ax（56-M-6）=10必平方米，新房面積為

5ax5Z?=25"平方米，則木地板需要10必平方米，地石專需要25必-10必=15必平方米；

（2）由題意知，小高一共需要10必x70+15必x40元，將a=2,/?=2.5代入求解即可.

【詳解】（1）解：由題意知，臥室的面積為2》x（5a-3a）+3〃x（5A-必-6）=10必平方米，

新房面積為5ax5b=25"平方米，

團木地板需要1。必平方米，地磚需要25必-10必=15必平方米，

回木地板和地磚分別需要10"、15"平方米；

（2）解：由題意知，小高一共需要10a6x70+15a6x40元，

將。=2,6=2.5代入得，10x2x2.5x70+15x2x2.5x40=6500,

團小高一共需要花6500元.

【點睛】本題考查了列代數式，代數式求值.解題的關鍵在于根據題意正確的列代數式.

【過關檢測】

一、單選題

1.（2023春?云南昆明?七年級統考期末）若x+2y=2,貝i」2x+4y的值是（）

A.-2B.2C.-4D.4

【答案】D

【分析】把代數式的兩項提出2后得出已知條件中的尤+2y,整體代入元+2y=2即可求得代數式的值.

【詳解】解：x+2y=2,

r.2x+4y=2（x+2y）=2x2=4.

故選：D.

【點睛】根據已知條件求得代數式中有關字母或式子的值，再代入代數式求解.

2.（2023秋?云南昭通?七年級統考期末）若。=5,網=3,貝的值為（）

A.-2或88.2或8C.2或-8D.-2或-8

【答案】B

【分析】根據網=3,求出6=±3,再把a與b的值代入進行計算，即可得出答案.

【詳解】解：回網=3,

「2=±3.

又。=5,貝!J。-6=5-3=2或。一6=5-（-3）=5+3=8,故2正確.

故選：B.

【點睛】此題考查了有理數的加法、減法運算和絕對值的意義，解題的關鍵是根據絕對值的意義求出6的

值.

3.（2023秋?河南駐馬店?八年級統考期末）如果代數式/一3^-1=7,那么代數式6+6y-2丁的值是（）

A.22B.18C.-8D.-10

【答案】D

【分析】先將6+6y-2y2變形為6-2卜2一3H，然后利用整體代入的方法計算即可.

【詳解】解：0y2-3y-l=7,

0y2—3y=8,

06+6y-2y2=6-2（/-3y）=6-2x8=-10,

回代數式6+6y-2/的值是TO.

故選：D.

【點睛】本題考查代數式求值：求代數式的值可以直接代入計算.如果給出的代數式可以化簡，要先化簡

再求值.整體代入法靈活運用是解題的關鍵.

4.（2023秋，重慶黔江,七年級統考期末）當x=l時，代數式pd+qx+l的值為2024,貝U當x=-1時，代數式

p/+qx+l的值為（）

A.-2022B.2022C.-2024D.-2023

【答案】A

【分析】將尤=1代入P/+gx+l,得到p+q=2023,再利用整體思想進行求值即可.

【詳解】解：由題意，得：。+4+1=2024,

回p+q=2023,

回x=—1時，px*+qx+1=—（p+q）+l=—2023+1=—2022；

故選A.

【點睛】本題考查代數式求值.解題的關鍵是求出2+4=2023,再利用整體思想進行求解.

abab

5.（2023秋?重慶黔江?七年級統考期末）已知。、6是有理數，且就＜0,若苫=「+所+^,則代數式

|a\|b||ab\

x?+2尤+1的值為（）

A.-1B.1C.0D.2

【答案】C

【分析】根據必＜0,得到。乃異號，設。＞0/V0,求出工的值，再求代數式的值即可.

【詳解】解：回。、是有理數，且必＜0,

回〃涉異號，設

abababab,

團x=1------1------=—I------1-------=14—1—1=—1,

Ia|\b\\ab\a-b-ab

0X2+2X+1=（-1）2+2X（-1）+1=O,

故選:C.

【點睛】本題考查代數式求值.解題的關鍵是根據必＜0,得到b異號，正確的求出尤的值.

二、填空題

6.（2023秋?河南許昌?七年級統考期末）若兇=3,y=\,且x＜y,則x+y=.

【答案】-2

【分析】根據兇=3可得x=±3,再利用x＜y確定％的值，即可求解.

【詳解】解：回國=3,

回》=±3,

回x＜y,y=l

團x=-3,

回1+,=一3+1=—2,

故答案為：-2.

【點睛】本題考查絕對值的運算以及有理數的大小比較，掌握絕對值的定義是解題的關鍵.

7.（2023秋,湖南岳陽?七年級統考期末）已知4+3。=2,貝。21+64+1的值為.

【答案】5

【分析】將"+3。=2代入至U2a2+6.+1中，即可解答.

【詳解】解：團/+3々=2

回2a2+6〃+1

=2（/+3a）+1

=2x2+1

=5,

故答案為：5.

【點睛】本題考查了求代數式的值，解題的關鍵是整體代入.

8.（2023秋?山東濟南?七年級?？计谀┊攛-y=2時，代數式2（*-?+3*-3丁+1=

【答案】23

【分析】將原代數式化簡，然后整體代入求解即可.

【詳解】解：Blx-y=2,

=2（x—y）3+3（x—y）+l

=2?233?21

=16+6+1

=23,

故答案為：23.

【點睛】本題主要考查了求代數式的值，利用整體法代入是解題的關鍵.

9.（2023秋?山東臨沂?八年級統考期末）己知。+3b=0,則/+3/5-2。-66-5的值為.

【答案】-5

【分析】原式變形后，將已知代數式的值代入計算即可求出值.

【詳解】解：Bla+3b=O,

回+3a~b—2a—6b—5

="（a+3b）-2（a+3。）—5

=-5.

故答案為：-5.

【點睛】本題考查了代數式求值，掌握整體代換的思想是關鍵.

10.（2023秋?江西吉安?七年級統考期末）當x=3時，整式pY+qx+l的值等于2021,那么當x=-3時，整

式浮+/_2的值為.

【答案】-2022

【分析】由題意得27p+3q=2021,可得無=一3時，整式pV+/-2=-（27〃+3g）-2,然后將27"+3q=202。整

體代入即可.

【詳解】解：當x=3時，

px3+/+1

=33XT?4-3X^+1

=27p+3q+1

=2021,

可得27p+3q=2020,

???當x=—3時，

px'+qx-2

=（—3）3xp+（—3）xq-2

=—27p-3q-2

=-（27p+3^）-2

=-2020-2

=-2022,

故答案為：-2022.

【點睛】此題考查了求代數式值問題的解決能力，關鍵是能進行準確化簡和運用整體思想.

三、解答題

11.（2023秋?重慶開州?七年級統考期末）先化簡，再求值：5--孫+2）+5/，其中x=3,y=4.

【答案】-孫+6,-6

【分析】去括號，合并同類項把所求式子化簡，再將x=3,y=4代入計算即可.

【詳解】解：原式=5d—[2個一個一6+5尤2]

=5x2-2xy+xy+6-5x2

=—xy+6,

當x=3,y=4時，原式=-3x4+6=-6.

【點睛】本題考查整式化簡求值，解題的關鍵是掌握去括號，合并同類項法則，把所求式子化簡.

12.（2023秋?河南駐馬店?七年級統考期末）己知尤+y=5,xy=-3,求整式（6盯+10y）+[5x-（2型+2y

一3初的值.

【答案】28

【分析】先去括號，然后合并同類項，最后將式子的值代入即可求解.

【詳解】解：（6孫+Wy）+[5x-（2xy+2y—3尤）]

=6xy+lOy+(5x-2xy-2y+3x)

=6xy+lOy+8x-2孫-2y

=4肛+8x+8y

當x+y=5,孫=一3時，

原式=4孫+8尤+8y

=4xy+8(x+y)

=4><(-3)+8x5

=-12+40

=28

【點睛】本題考查了整式的加減與化簡求值，熟練掌握去括號法則與合并同類項是解題的關鍵.

13.(2023秋,河南新鄉,七年級統考期末)已知,+(2a+6)2=0,求7a”—4<7"+5a62)—2(2礦6—3°k)

的值.

【答案】-10

【分析】先去括號，然后合并同類項把所求的式子化簡，再根據非負數的性質求出。、b的值，最后代值計

算即可.

【詳解】解：7a2b-(-4a2b+5ab2)-2(^2a2b-3ab2)

=la2b+4a2b-5ab2—4a2b+6ab2

=(7+4-4)匹+(6—5)/

=la2b+ab2,

團,-1|+(2〃+域=0,|tz-l|>0,(2?+&)2>0,

回-1|=(2Q+Z?)2=0,

.,.a—l=0,2a+Z?=0,

Q=1,b=—2,

二原式=7xlx(-2)+lx(-2)2=-10.

【點睛】本題主要考查了整式的化簡求值，非負數的性質，熟知整式的加減計算法則是解題的關鍵.

14.(2023秋?河南南陽,七年級統考期末)求值

⑴化簡求值：4xy2-2x2y-3^-^xy2+^x2yj+xy2,其中x,y滿足|x+2|+(y-l)2=0；

(2)已矢口多項式(f+依一>+6)與他/一3苫+6>—3)差的值與字母x無關，求代數式3(/一2。6一片)一。的值.

【答案】⑴—孫2尤為，。

(2)45

【分析】(1)有兩重括號，從里往外去括號，每去掉一層括號后合并同類項，最后化簡；再根據非負數的

和為零，這幾個非負數全為零求出尤與y的值，代入化簡后的代數式中求值即可；

(2)先作差，整理成關于x的多項式，根據題意可求得。與6的值，再代入所求代數式中求值即可.

「3-

【詳解】(1)解：原式=4沖2-2x^+4^--x2y+xy2

=4xy2-—x2y+5xy

2

=4xy——無2>_5Ay

-xy2--x2y；

|x+2|>0,(y-1)2>0,|x+2|+(y-l)2=0,

.,.x+2=0,y—1=0,

團x=-2,y=1,

?二原式=-(-2)x12—5x(—2)%]

=2-2

=0;

(2)解：原式=(兀2+改—y+匕)一(法2-3兀+6'—3)

=x^+ax-y+b-bx2+3%-6y+3

=(1-Z7)x2+(〃+3)x-7y+b+3；

差的值與字母x無關，

/.1—b=09a+3=0,

.\b=l9Q=—3,

/.3(〃—2ab-Z?2)-a

=3x[(-3)2-2x(-3)xl-l2]+3

=3x[9+6-l]+3=42+3=45.

【點睛】本題是整式加減混合運算，求代數式的值，正確運算是解題的關鍵.

15.（2023秋?山東東營?六年級統考期末）李紅同學家的住房戶型呈長方形，平而圖如下（單位：米），現準

備鋪設地面，三間臥室鋪設木地板，其它區域鋪設地磚.

衛生間3^4X-2*2x-

、廚房

臥室

2臥室1

餐廳

客廳臥室3

H------10------***—7—

⑴。的值=,所有地面總面積為平方米：

⑵鋪設地而需要木地板平方米，需要地磚平方米：（含x的代數式表示）

⑶已知臥室2的面積為15平方米，按市場價格，木地板單價為200元/平方米，地磚單價為80元/平方米,

求小明家鋪設地面總費用為多少元.

【答案】⑴3；136；

（2）（85-13