第04講一元二次方程的解法（因式分解法）（2個知識點+5

個考點+易錯分析）

T模塊導航AT素養目標A

模塊一思維導圖串知識1.認識用因式分解法解方程的依據.

模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）2.會用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.

模塊三核心考點舉一反三

模塊四小試牛刀過關測

6樟塊一思堆導圖用知識-

適典理論___

費藤二::因式分解法一一娛6_4）.一彷=0＞再=012=6}^^{若@6=0,則

知識點1：因式分解法（重難點）

（1）用因式分解法解一元二次方程的步驟

①將方程右邊化為0；

②將方程左邊分解為兩個一次式的積；

③令這兩個一次式分別為0,得到兩個一元一次方程；

④解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解.

（2）常用的因式分解法

提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.

要點詮釋：

（I）能用分解因式法來解一元二次方程的結構特點：方程的一邊是0,另一邊可以分解成兩個一次因式

的積；

（2）用分解因式法解一元二次方程的理論依據：兩個因式的積為0,那么這兩個因式中至少有一個等于

0；

（3）用分解因式法解一元二次方程的注意點：①必須將方程的右邊化為0；②方程兩邊不能同時除以含

有未知數的代數式.

知識點2：靈活運用合適的方法解一元二次方程（難點）

（1）在一元二次方程的四種解法中，優先選取順序依次為直接開平方法一因式分解一公式法一配方法,若沒有

特別說明,一般不采用配方法.

（2）對于復雜的一元二次方程，一般不急于化為一般形式，應先觀察其特點,看能否用直接開平方法或因式分解

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法,若不能，再化為一般形式用公式法求解。

O：模塊三核心考點舉一反三------------

考點1:利用提公因式法分解因式解一元二次方程

【例1］用因式分解法解下列方程：

(1)/+5*=0；(2)(x—5)(x—6)=x—5.

【變式1-1](23-24九年級上?山東聊城?期末)方程x(x+l)=x的解是()

A.x=-\B.x=l

C.x=0D.x=l或x=0

【變式1-2](23-24九年級上?遼寧丹東?階段練習)一元二次方程/一6x=0的根是()

A.X1=X2=6B.Xj=x2=-6

C.X]=6,%2=0D.X]=-6,x?~0

【變式1-3]解關于x的方程(因式分解方法)：

(1)3x2-氐=0；(2)7Mx-3)=3x-9.

考點2：利用公式法分解因式解一元二次方程

【例2】用因式分解法解下列方程：

(1)第一6矛=一9；(2)4(X-3)2—25(X—2)2=0.

【例2-1】用因式分解法解下列方程：(2X+3)2-25=0.

【變式2-2］解下列一元二次方程：(2X+1)2+4(2X+1)+4=0；

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【變式2-3](23-24九年級上?四川成都?階段練習)一個菱形的邊長是方程x2-9x+18=0的一個根其中一

條對角線長為6,則該菱形的面積為.

【變式2-4].(23-24九年級上?廣西南寧?階段練習)解方程：X2-5X+6=0.

【變式2-5]解下列關于尤的方程：

(1)(l+V2)x2-(3+V2)x+^2=0；(2)(3x+5)2-5(3x+5)+4=0；

考點3：選擇合適的方法解一元二次方程

【例3】用適當的方法解下列方程：

(1)(x+>/2)2=(1-72)2；(2)x2=x;

(3)(x+3)(x—1)=5；(4)(b-a)x2+(a-c)x+c-b=0(ab).

【變式3-1].解關于x的方程(合適的方法)：

1122

(1)-x-\---=0；(2)(x+V2)=(1+A/2).

464

【變式3-2］解關于x的方程(合適的方法)：

(1)36X2+X-35=0；(2)(4X-1)2+10(1-4X)-24=0.

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【變式3-3]（23-24九年級上?河南許昌?階段練習）用合適的方法解下列方程:

(1)2X2-9X+8=0(2)X2-2X-99=0

(3)x2—4x+l=0(4)2尤2-3X+1=0

考點4:用因式分解法解決問題

【例4】若a、b、c為△/比1的三邊，且a、b、c滿足，一ac-a6+6c=0,試判斷△4%的形狀.

【變式4-1]（23-24九年級上?重慶江津?期中）已知直角三角形的兩條直角邊的長恰好是方程/-5x+6=0

的兩根，則此直角三角形的面積為（）

A.2B.3C.V13D.6

【變式4-2].（23-24九年級上?新疆昌吉?階段練習）已知一個直角三角形的兩條直角邊的長恰好是方程

--7x+12=0的兩個根，則這個直角三角形的斜邊長是（）

A.V3B.3C.5D.9

【變式4-3】.（23-24九年級上?四川成都?階段練習）已知等腰三角形的兩邊長分別是一元二次方程

/一5x+4=0的兩根，則該等腰三角形的周長為（）

A.9B.6C.1或4D.9或6

【變式4-4】.（23-24九年級上?江蘇揚州?階段練習）若菱形兩條對角線的長度是方程Y一%+20=0的兩根,

則該菱形的面積為.

考點5：新定義問題

【例5】.（23-24九年級上?廣東汕頭?期末）對于兩個不相等的實數.、b,我們規定符號min{a,6}表示°、

臺中的較小值.如：min{2,-3}=-3,按照這個規定，方程〃加=/-3的解為

【變式5-1].（23-24九年級上?山東聊城?期末）若規定兩數。，b,通過運算“A”可得3",BPaNb=3ab,

如2A6=3x2x6=36,若xAr+2Ax-2A4=0,貝!Jx的值為.

、、—Ia-b（a>b）

【變式5-2].（23-24九年級上?山東棗莊?期末）對于實數a,b,定義運算“※”：。※方=?\（例

vlb-a^a<b）

如4X2,因為4〉2,所以俅2=4-2=2.若為，巧是一元二次方程-—5x+6=0的兩個根，貝U

網※X?=.

【變式5-3].（23-24九年級上?河北保定?期末）新定義：如果關于X的一元二次方程a/+6x+c=0有兩

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個實數根，且其中一個根為另一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”.

（1）方程--6x+8=0"倍根方程”（填“是”或“不是”）；

（2）若（x-8）（尤一“）=0是“倍根方程"，貝|〃=.

易錯點1:在方程兩邊同時除以含有未知數的式子，導致丟根。

【例6】解關于x的方程：

(1)x~—2ax+—b~—0；(2)(a2-b2)x2-4abx-(a2-b2)=Q

(3)m2x2—mx1+x—2mx+1=0.

易錯點2：用因式分解法解一元二次方程時，忽略整體取值范圍導致出錯

【例7】如果（/+/）（/+/—2）=3,請你求出一+好的值.

6模塊四小試牛刀過關測-------------------------------

一、單選題

1.（23-24九年級上?山東濟寧?期末）方程（》-3乂2》-4）=0的根是（）

A.巧=-3,超=-2B.%=3,芻=2

C.再=3,々=—2D.玉=—3,—2

2.（23-24九年級上?江蘇南京?期末）一元二次方程一一3%=0的解是（）

A.x=3B.x=0

C.再=3,x?—0D.再=—3,%2=。

3.（23?24九年級上?云南昭通?階段練習）方程x（x-3）=6（x-3）的根是（）

A.x=3B.x=6C.X[=3,X2=6D.=-3,x2=-6

4.（23?24九年級上?四川瀘州?階段練習）如果方程V—以+3=0的兩個根分別是Rt△力3C的兩條邊的長,

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那么AASC的面積為（）

A.yB.-C.；或；D.彳或也

22222

5.（23-24九年級上?山東濟寧?階段練習）已知3是關于x的方程加+l）x+2加=0的一個實數根，并且

這個方程的兩個實數根恰好是等腰小3C的兩條邊的邊長，則“3C的周長為（）

A.7B.10C.IID.10或11

6.（23-24九年級上?河南許昌?階段練習）若a+c=6,則關于x的方程依2+樂+。=0（°片0）必有一根是（）

A.x=2B.x=1C.x=-lD.x=0

二、填空題

7.（23-24九年級上?重慶沙坪壩?期末）如圖，圖中展示了某位同學解方程的步驟，他是在第步開始

出錯.（填序號）

解方程：2f+8x=-4-x

解：2x（x+4）=-（x+4）…①

2x=-l…②

“一^…③

8.（23-24九年級上?遼寧盤錦?階段練習）方程x（x-l）=2的兩個根是.

9.（23-24九年級上?云南昭通?階段練習）關于x的一元二次方程（加-3）尤2+5》+療-4m+3=0的常數項為

0,則冽等于.

10.（23-24九年級上?四川涼山?階段練習）已知等腰三角形的一邊長是7,另一邊長是方程f-8x+16=0的

根，則該等腰三角形的周長為.

11.（23-24九年級上?寧夏吳忠?階段練習）規定運算。伍-1）,即l*2=lx（2-l）,若/*（/-1）=0則

y=.

12.（22-23九年級上?黑龍江?期中）實數x滿足方程（f+4一（/+力-2=0,則f+x的值等于.

三、解答題

13.（23-24九年級上?廣東揭陽?期末）解方程：X2-X-12=0.

14.（23-24九年級上?湖北