遨）>模型講解

2

【證明】：

,.,CD是△ABC的中線

：.AD=BD=1.AB,

2

?：CD=^AB,

2

:.AD=CD=BD,

：.ZA=ZACDf/B=/DCB,

在△ABC中，NA+N5+NACD+N0C3=18O°

ZA+ZB+ZA+ZB=180°,

ZA+ZB=90°,

AZACB=ZACD+ZDCB=90°,

???△ABC為直角三角形.

4模型一】

在RtaABC中，AB=BC；在RtaADE中，AD=DE；連接EC,取EC的中

點M,連接DM和BM.若點D在邊AC上，點E在邊AB上且與點B不重合,

強圖，求證:，且.貝！J：(1)BM=DM(2)BM±DM

y

【證明】:

VZABC=ZAD￡=90°,

：.ZEDC=9Q°,

:點/是CE的中點,

：.BM=1.CE,DM^l-CE,

22

：.BM=DM,

；.N1=N2,N3=/4,

'：ZBME=Z1+Z2,ZEMD=Z3+Z4,

；.NBMD=2(Z1+Z3),

,/AABC等腰直角三角形,

...NBCA=45°,

ZBMD=90°,

BM=DM且BMLDM.

3

A

【模型二】

已知：在RtZkABC中，ZACB=90°,且AB的長度恒定，CD是斜邊AB

的中線，P為平面內一定點（在C運動軌跡之外），連接PC,貝!I：PC+CD的

相小值為PD.J

A

【證明工

?.,AD是斜邊BC的中線

：.BD=CD=AD,且長度一定

；.C的運動軌跡為：以D為圓心，CD為半徑的圓上。

?.,當P、C、D三點不共線時，PC+CD>PD

...當P、C、D三點共線時，PC+CD=PD

/.PC+CD的最小值=PD

4

例題演練

1.如圖，在四邊形ABC。中，NBCD=/BAD=90°,AC,8。相交于點E,

點G,”分別是AC,8。的中點，若N8EC=80°,那么/GHE等于（）

【解答】解：連接AH,CH,

:在四邊形ABC。中，ZBCD^ZBAD=90°,反是3。的中點,

：.AH=CH=1-BD.

2

:點G時AC的中點，

：.HG是線段AC的垂直平分線，

；./EGH=90°.

：/BEC=80°,

：.ZGEH=ZBEC=80°,

：.ZGHE=90°-80°=10°.

故選：B.

2.如圖，在△ABC中，點。是邊A8上的中點，連接CD,將△BCD沿著CO

翻折，得到△￡<?￡>,CE與AB交于點F,連接AE.若48=6,C￡）=4,AE

=2,則點C到AB的距離為（）

5

/

V

A.-LB.4/2C.D.2V2

3

【解答】解：連接BE,延長CD交BE于點G,作CHLAB于點H,如圖所

示，由折疊的性質可得：BD=DE,CB=CiE,則CG為BE的中垂線，故BG

=yBE-

?.?。為AB中點，

BD=AD,SACBD=SACAD,AD—DE,

；?/DBE=/DEB,/DEA=/DAE,

VZEDA+ZDEA+ZDAE=18O°,

BP2ZZ)EB+2ZZ)EA=180o,

：.ZDEB+ZDEA=90°,

即NBEA=90°,

在直角三角形A班中，由勾股定理可得：

BE=dAB?-AE2=A/36-4=

：.BG=2V2，

*.*SAABC=2S^BDC,

???2X?D?BG=/AB?CH，

.CH=2CD?BG=2x4x2證=訴

AB63

故選：c.

A

6

3.如圖，在等邊△ABC中，AB=6,ZAFB^90°,則CF的最小值為（）

C.6遭-3D.3a

-3

【解答】解：如圖取45的中點E,連接EF、EC.

「△ABC是等邊三角形，AE=EB,

：.AB=BC=6,ZCBE=6Q°,

：.CE=BC'sm600=3?,

VZAFB=90°,AE=EB,

.-.EF=AAB=3,

2

CFNEC-EF,

...當E、F、C共線時，PC的值最小，最小值為3T-3,

故選：D.

7

法強化訓練

1.如圖，在Rt^ABC中，ZABC=90°,BDLAC,點E為AC的中點，ZDBE=30°,

BD=2M，則BC的長為上

【解答】解：：BO_LAC,NDBE=30：2。=2?，

：.DE=2,BE=4,

:在Rt/VIBC中，ZABC=90°，點E為AC的中點，

；.EC=AE=BE=4,

：.CD=CE+DE=6,

BC=VDC2+BD2=762+（2V3）2=4V3,

故答案為：4/3-

2.如圖，在△ABC中，AB=6,。、E分別是AB、AC的中點，點尸在OE上，且。尸=

3FE,當時，BC的長是8.

AZAFB=90°,又。是A8的中點,

.-.DF=AAB=3,

2

,:DF=3FE,

：.EF=1,

：.DE=4,

：￡）、E分別是A3、AC的中點，

：.BC=2DE=S,

故答案為：8.

二.選擇題（共6小題）

3.如圖，在四邊形ABCZ）中，ZBCD=ZBAD=90°,AC,8。相交于點E,點G,4分

別是AC,8。的中點，若/BEC=80°,那么等于（）

【解答】解：連接AH,CH,

:在四邊形ABCD中，ZBCD=ZBAD=90°,”是8。的中點,

/.AH=CH=AB￡).

2

:點G時AC的中點，

HG是線段AC的垂直平分線，

ZEGH=9Q°.

VZB￡C=80°,

：./GEH=NBEC=80°,

:.NGHE=90°-80°=10°.

故選：B.

4.如圖，△ABC中，BC=18,若BD_LAC于。點，CE_LA8于后點，F,G分別為8C、

的中點，若E￡）=10,則PG的長為（）

9

A

A.2^14B.V106

【解答】解：連接EF、DF,

\'BD±AC,P為8c的中點,

;.DF=^BC=9,

2

同理，EF=%C=9,

：.FE=FD,又G為。E的中點，

：.FG±DE,GE=GD=1~DE=5,

由勾股定理得，rc=JEF2_EG2=2Vi4,

故選：A.

BFC

5.如圖，在矩形ABC。中，E,尸分別是邊A8,C￡＞上的點，AE=CF,連接EF,BF,EF

與對角線AC交于點。，且NBEF=2/BAC,FC=2,則AB的長為（）

D.___________P____C

A.8?C.4爪

【解答】解：如圖，連接8。,

:四邊形ABC。是矩形，

J.DC//AB,ZDCB=90°

J.ZFCO^ZEAO,

10

在△AOE1和△口?尸中，

，ZA0E=ZF0C

'ZFC0=ZEA0*

AE=CF

AAOE會△COF,

：.OE=OF,OA^OC,

?；BF=BE,

：.BO.LEF,ZBOF=90°,

,?/FEB=2/CAB=NCAB+NAOE,

J.ZEAO^ZEOA,

：.EA=EO=OF=FC=2,

在RTABFO和RT^BFC中，

[BF=BF,

lFO=FC，

RTABFO咨RTABFC,

:.BO=BC,

在RTAMC中，\'AO=OC,

：.BO=AO=OC=BC,

；.ABOC是等邊三角形，

/.ZBCO^6Q°,ZBAC=30°,

：.ZFEB=2ZCAB=6Q°,"：BE^BF,

...△BEP是等邊三角形，

：.EB=EF=4,

：.AB=AE+EB=2+4=6.

故選：D.

Dt---------------

6.如圖，在△ABC中，ZC=90°,AC=4,BC=2,點A、。分別在x軸、y軸上，當點A

在x軸上運動時，點C隨之在y軸上運動，在運動過程中，點B到原點的最大距離是

()

11

C.2，^D.6

【解答】解：取AC的中點。，連接。。、DB,

"：OB^OD+BD,

...當。、D、8三點共線時08取得最大值，

?。是AC中點，

：.0D=^AC=2,

2

在Rt/XBCZ）中，BD==722+22=2^2-OD=X.AC=2,

：.點B到原點0的最大距離為2+2立，

故選：A.

7.如圖，在△ABC中，ZACB=90°,ZCAB=3Q°,BC=6,。為AB上一動點（不與點

A重合），△AE。為等邊三角形，過。點作OE的垂線，尸為垂線上任一點，G為跖的

中點，則線段8G長的最小值是（）

C.D.6

【解答】解：如圖，連接。G,AG,設AG交。E于點H,

12

?：DE±DF,G為跖的中點，

：.DG=GE,

...點G在線段DE的垂直平分線上，

：44即為等邊三角形，

C.AD^AE,

點A在線段DE的垂直平分線上，

：.AG為線段DE的垂直平分線，

：.AG±DE,ZDAG=1ZDAE=3O°,

2

...點G在射線AH上，當8GLAH時，8G的值最小，如圖所示，設點G，為垂足，

VZACB=90°,ZCAB=3Q°,

ZACB=ZAG'B,ZCAB=ZBAG,

則在△BAC和△BAG中，

,ZACB=ZAG/B

'ZCAB=ZBAG?，

AB=AB

（AAS）.

.?.BG=BC=6,

故選：D.

8.如圖，G）M的半徑為2,圓心M的坐標為（3,4）,點P是。M上的任意一點，PAL

PB,且B4、PB與x軸分別交于A、8兩點，若點A、點B關于原點。對稱，則48的最

小值為（）

13

【解答】解：連接0P,

'：PA±PB,

：.ZAPB=90°,

\'AO=BO,

：.AB=2PO,

若要使AB取得最小值，則PO需取得最小值，

連接OM，交OM于點P,當點P位于P位置時，OP'取得最小值,

過點M作MQLx軸于點Q,

：.OM^5,

又〈MP'=2,

：.OP'=3,

：.AB=2OP'=6,

故選：D.

三.解答題（共3小題）

9.如圖，RtZkABC中，ZCAB=90°,ZACB=30°,。是A8上一點（不與A、8重合）,

DE,BC于E,若尸是CD的中點，請判斷的形狀，并說明理由.

14

【解答】解：△幺E的形狀為等邊三角形；理由如下：

:在RtzXCA。中，ZCAD=90°,尸是斜邊C。的中點,

：.PA^PC^1-CD,

2

，ZACD=Z.PAC,

：.ZAPD=ZACD+ZPAC=2ZACD,

同理：在RtZ\CED中，PE=PC=1~CD,/DPE=2NDCB,

2

J.PA^PE,即△出￡是等腰三角形，

AZAPE=2ZACB=2X30°=60°,

/.△B4E是等邊三角形.

10.已知：在RtZXABC中，AB=BC；在中，AD=DE；連接EC,取EC的中點

M,連接。M和

（1）若點。在邊AC上，點E在邊AB上且與點B不重合，如圖（1）,求證：BM=DM,

且

（2）如果將圖（1）中的△AOE繞點A逆時針旋轉小于45°的角，如圖（2）,那么（1）

中的結論是否仍成立？如果不成立，請舉出反例；如果成立，請給出證明.

【解答】解：（1）是等腰三角形,

理由是：VZABC=ZADE=90°,

AZ￡￡)C=90°,

15

:點M是CE的中點，

：.BM=^CE,DM=LCE,

22

：.BM=DM,

.?.N1=N2,N3=/4,

ZBME=Z1+Z2,ZEMD=Z3+Z4,

：./BMD=2(Z1+Z3),

ZVIBC等腰直角三角形，

AZBCA=45°,

：.NBMD=90°,

/.BM=DM且BM1DM；

故答案為：8加=。用且8〃_1。加.

(2)：(1)中的結論仍成立，

延長。M至點R使得。連接C。和ER連接8。，連接BP、FC,延長即交

AC于點H.

?：DM=MF,EM=MC,

/.四邊形CDEF是平行四邊形，

J.DE//CF,ED=CF,

'：ED=AD,

：.AD=CF.

'.,DE//CF,

ZAHE^ZACF.

VZBA￡>=45°-ZDAH=45°-(90°-ZAHE)=/AHE-45°,NBCF=NACF

-45。，

：.ZBAD=ZBCF.

y."：AB=BC,

：.AABD沿4CBF,

：.BD=BF,ZABD=ZCBF,

ZABD+ZDBC^ZCBF+ZDBC,

16

；.NDBF=/ABC=90°.

在RtZXOBF中，由DM=MF,得8M且8M_LZ)M.

1.△ABC為等邊三角形，AB=S,AOLBC于點。，E為線段A。上一點，A￡=2?.以

AE為邊在直線A。右側構造等邊三角形AER連接CE,N為CE的中點.

(1)如圖1,EP與AC交于點G,連接NG,求線段NG的長；

(2)如圖2,將△AEP繞點A逆時針旋轉，旋轉角為a,M為線段跖的中點，連接。N,

MN.當30°<a<120°時，猜想的大小是否為定值，并證明你的結論；

(3)連接8N,在繞點A逆時針旋轉過程中，當線段8N最大時，請直接寫出△

AOV的面積.

【解答】解：(1)如圖1中，連接BE,CF.

17

「△ABC是等邊三角形，AD±BC,

.?.AB=BC=AC=8,BD=CD=4,ZBAD=ZCAD^30°,

：.AD=『iBD=4危,

「△AM是等邊三角形，

：.ZEAF^60°,

，NEAG=/GAP=30°,

:.EG=GF,

,:AE=2冊,

：.DE=AE=2-/j,

B￡=VBD2+DE2=742+(2V3)2=2^

「△ABC,△?!￡/是等邊三角形，

：.AB=AC,AE=AF,ZBAC=ZEAF=60°,

：.ZBAE=ZCAF,

：.^\BAE^/\CAF(SAS),

：.CF=BE=2板,

:EN=CN,EG=FG,

；.GN=1CF=47-

2

(2)結論：ZDNM=120°是定值.

18

圖2