9.2.4總體離散程度的估計【學習目標】1.結合實例,能用樣本估計總體的離散程度參數(標準差、方差、極差).2.理解離散程度參數的統計含義.【素養達成】數學抽象、數學運算數據分析一、總體離散程度的估計1.方差:給定一組數據x1,x2,…,xn,用x表示這組數據的平均數,則s2=1n∑i=1n(xix)2=1n[(x1x)2+(x2x)2+…+(xnx)2.標準差:方差的算術平方根,即1n∑3.總體方差、總體標準差如果總體中所有個體的變量值分別為Y1,Y2,…,YN,總體平均數為Y,則總體方差為S2=1N∑i=1N(YiY)2如果總體的N個變量值中,不同的值共有k(k≤N)個,不妨記為Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出現的頻率為fi(i=1,2,…,k),則總體方差為S2=1N∑i=1【版本交融】(湘教P243)方差越大表示什么含義?提示:方差刻畫的是總體中個體的穩定或波動的程度,方差越大,說明波動越大.【教材挖掘】(P212)數據x1,x2,…,xn的平均數是x,方差為s2,數據x1,x2,…,xn,x的方差為s12,那么s2與提示:因為數據x1,x2,…,xn,x比數據x1,x2,…,xn更加相對集中,所以方差變小了,即s12<s二、分層隨機抽樣的方差假設第一層有m個數,分別為x1,x2,…,xm,平均數為x,方差為s2;第二層有n個數,分別為y1,y2,…,yn,平均數為y,方差為t2,則x=1m∑i=1mxi,s2=1m∑i=1m(xix)2,y=1n∑i=1若記樣本平均數值為a,樣本方差為b2,則可以算出a=1m+n(∑i=1mxi+∑i=1nyi)=mx+nym+n,b2=m[s【教材深化】1.方差的簡化計算公式:s2=1n[(x12+x22+…+xn2)nx2]或寫成s2=1n(x2.平均數、方差公式的推廣(1)若數據x1,x2,…,xn的平均數為x,那么mx1+a,mx2+a,…,mxn+a的平均數是mx+a.(2)若數據x1,x2,…,xn的方差為s2,那么①數據x1+a,x2+a,…,xn+a的方差也是s2;②數據ax1,ax2,…,axn的方差是a2s2.【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)標準差越大,表明各個樣本數據在樣本平均數周圍越集中;標準差越小,表明各個樣本數據在樣本平均數周圍越分散.(×)提示:標準差越大,表明各個樣本數據在樣本平均數周圍越分散;標準差越小,表明各個樣本數據在樣本平均數周圍越集中.(2)在兩組數據中,平均值較大的一組方差較大.(×)提示:方差是描述數據圍繞平均數波動的大小的量,與兩組數據平均數的大小無關.(3)若樣本數據的標準差為0,則數據沒有離散性.(√)提示:若樣本數據的標準差為0,則樣本各數據相等,說明沒有離散性.類型一方差、標準差(數學運算)【典例1】(1)(2024·榆林高一檢測)已知一組數據6,6,8,8,10,10,則該組數據的方差是()A.43 B.2 C.83 D【解析】選C.該組數據的平均數為16所以該組數據的方差是16[2×(68)2+2×(88)2+2×(108)2]=8(2)甲、乙兩機床同時加工直徑為100mm的零件,為檢驗質量,從中各抽取6件測量,數據為甲:9910098100100103乙:9910010299100100①分別計算兩組數據的平均數及方差;②根據計算結果判斷哪臺機床加工零件的質量更穩定.【解析】①x甲=16×(99+100+98+100+100+103)=100,x乙=s甲2=16×[(99100)2+(100100)2+(98100)2+(100100)2+(100100)2+(103100)2s乙2=16×[(99100)2+(100100)2+(102100)2+(99100)2+(100100)2+(100100)②兩臺機床所加工零件的直徑的平均數相同,又因為s甲2>s【總結升華】1.計算方差、標準差的步驟(1)計算樣本的平均數x;(2)計算每個樣本數據與樣本平均數的差xix(i=1,2,…,n);(3)計算(xix)2(i=1,2,…,n);(4)計算(xix)2(i=1,2,…,n)這n個數據的平均數,即為樣本方差s2;(5)計算方差的算術平方根,即為樣本的標準差s.2.在實際問題中,僅靠平均數不能完全反映問題,還要研究方差,方差描述了數據相對平均數的離散程度.在平均數相同的情況下,方差越大,離散程度越大,數據波動性越大,穩定性越差;方差越小,離散程度越小,數據越集中,越穩定.【即學即練】1.(2024·寧波高一期中)甲乙丙丁四位同學各擲5次骰子并記錄點數,方差最大的是()甲:45455乙:42343丙:23234丁:61261A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【解析】選D.由題知x甲=235,所以s甲2=1542352+52352+42352+52352+52352=625,x乙=165,所以s乙2=1541652+21652+(3-165)2+41652+3165x丙=145,所以s丙2=1521452+31452+(2-145)2+31452+4145x丁=165,所以s丁2=1561652+11652+(2-165)2+61652+1165所以方差最大的是丁.2.對甲、乙兩名自行車賽手在相同條件下進行了6次測試,測得他們的最大速度(單位:m/s)的數據如下:甲273830373531乙332938342836(1)分別求出甲、乙兩名自行車賽手最大速度的平均數和方差;(2)比較兩個人的成績,你認為選誰參加比賽比較合適.【解析】(1)x甲=16x乙=16s甲2=16×[(2733)2+(3833)2+(3033)2+(3733)2+(3533)2+(3133)2s乙2=16×[(3333)2+(2933)2+(3833)2+(3433)2+(2833)2+(3633)2(2)由(1)知甲和乙的平均數相等,因為s甲2>所以乙更穩定,選乙參加比賽比較合適.類型二方差、標準差統計圖的綜合應用(數學運算)【典例2】對甲廠、乙廠、丙廠所生產的袋裝食品各抽檢了20袋,稱得質量如條形圖所示.s1,s2,s3分別表示甲廠、乙廠、丙廠這次抽檢質量的標準差,則有()A.s2>s1>s3 B.s1>s3>s2C.s3>s1>s2 D.s3>s2>s1【解析】選C.根據題意,甲廠的平均數x1=120×(5×7+5×8+5×9+5×10)=8.5,方差s12=120×[5×(78.5)2+5×(88.5)2+5×(98.5)2+5×(108.5)2]=1.25,標準差乙廠的平均數x2=120×(4×7+6×8+6×9+4×10)=8.5,方差s22=120×[4×(78.5)2+6×(88.5)2+6×(98.5)2+4×(108.5)2]=1.05,標準差丙廠的平均數x3=120×(6×7+4×8+4×9+6×10)=8方差s32=120×[6×(78.5)2+4×(88.5)2+4×(98.5)2+6×(108.5)2]=1.45,標準差s3=1.45.所以s3>s【總結升華】根據統計圖表確定方差(標準差)的大小關系有兩種方法:(1)根據統計圖表中所提供的數據與方差(標準差)的計算公式求出其數值,然后比較大小;(2)若統計圖表中沒有反映出具體的數據或計算較為煩瑣,可根據統計圖表所反映的數據的波動性大小來比較大小.【即學即練】如圖所示是小王與小張二人參加某射擊比賽的預賽的五次測試成績的折線圖,設小王與小張成績的樣本平均數分別為xA和xB,方差分別為sA2和A.xA<xB,sA2>sB2 B.xC.xA>xB,sA2>sB2 D.x【解析】選C.由題圖可知,實線中的數據都大于或等于虛線中的數據,所以小王成績的平均數大于小張成績的平均數,xA>x顯然實線中的數據波動較大,所以小王成績的方差大于小張成績的方差,即sA2>類型三分層隨機抽樣的方差(數據分析、數學運算)【典例3】(教材P213例6)在對某中學高一學生體重的調查中,采取按樣本量比例分配的分層隨機抽樣,如果不知道樣本數據,只知道抽取了男生30人,其平均數和方差分別為55和15,抽取了女生20人,其平均數和方差分別為45和20.你能由這些數據計算出總樣本的平均數和方差嗎?若能,則求出,不能,請說明理由.【解析】設男生的平均體重為x,方差為sx則x=55,sx2=15,男生占的比例為3050設女生的平均體重為y,方差為sy則y=45,sy2=20,女生占的比例為2050所以總樣本的平均數z=35×55+2總樣本的方差s2=35[sx2+(x51)2]+25[sy2+(y51)2]=35×(15+42【總結升華】分層隨機抽樣的方差設樣本中不同層的平均數分別為x1,x2,…,xn,方差分別為s12,s22,…,sn2,相應的權重分別為w1,w2,…,wn,則這個樣本的方差為s2=∑i=1nw【即學即練】某班為了了解學生每周購買零食的支出情況,利用分層隨機抽樣抽取了一個15人的樣本統計如下:項目學生數平均支出(元)方差男生9406女生6354估算全班學生每周購買零食費用的平均值和方差.【解析】男生占的比例為915=3女生占的比例為615=25,所以全班學生每周購買零食費用的平均值為x=35方差s2=35×[6+(4038)2]+25×[4+(3538)2]=11.【補償訓練】某高校新增設的“人工智能”專業,共招收了兩個班,其中甲班30人,乙班40人,在2023年高考中,甲班學生的平均分為66