球溪高級中學(xué)學(xué)年（上）高二期末考試（普通班）數(shù)學(xué)考生注意：本試卷分選擇題和非選擇題兩部分上.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題紙上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號寫在本試卷上無效回答非選擇題時，將答案寫在答題紙上寫在本試卷上無效.考試結(jié)束后，將本試卷與答題卡一并由監(jiān)考人員收回.85分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求.1.拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】計算出的值，由此可知準(zhǔn)線方程.【詳解】因為拋物線，所以，因為準(zhǔn)線方程為，所以準(zhǔn)線方程為，故選：D.2.若構(gòu)成空間的一個基底，則下列選項可構(gòu)成空間的另一個基底的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間向量基底的概念進(jìn)行判斷.A不能構(gòu)成空第1頁/共17頁間向量的基底；對B：因為，所以向量共面，所以不能構(gòu)成空間向量的基底；對C：因為，所以共面，所以不能構(gòu)成空間向量的基底；對D：因為不存在，使得，所以不共面，所以可以作為空間的另一組基底.故選：D3.若直線與圓只有一個公共點，則（）A.2B.1C.0D.【答案】C【解析】【分析】分析直線與圓的位置關(guān)系，結(jié)合點到直線的距離公式可求的值.【詳解】因為直線與圓只有一個公共點，所以直線與圓相切.又，所以圓心為，半徑為1.由.故選：C4.已知為等比數(shù)列的前項和，且，，則數(shù)列的公比為（）A.1B.C.1或2D.1或【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)列前項和的意義，結(jié)合等比數(shù)列通項列式求解.【詳解】在等比數(shù)列中，由，，得，則，所以或.故選：D第2頁/共17頁5.已知直線，直線，則“”是“”的（）A.充分條件但不必要條件B.必要條件但不是充分條件C.充要條件D.既不是充分條件也不是必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)求出，再由必要但不充分條件定義判斷可得答案.【詳解】若，則，解得，或，當(dāng)時，，，，符合題意，當(dāng)時，，，，符合題意，所以若“”，則“，或”，則“”是“”必要條件但不是充分條件.故選：B.6.（）A.55B.120C.165D.220【答案】C【解析】【分析】利用組合數(shù)的性質(zhì)計算得解.【詳解】.故選：C7.在正方體中，分別為棱上的點，與的夾角為與的夾角也為．則（）A.B.C.D.第3頁/共17頁【答案】B【解析】，最后利用余弦定理求角即可.【詳解】設(shè)，，則，，，因為，所以，解得，同理可得，連接，，，.故選：B.8.已知，動點與點的距離是它與點的距離的倍．動點的軌跡與直線交于兩點，則的最小值為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】第4頁/共17頁的方程得到直線恒過定點，根據(jù)幾何知識可得當(dāng)時，最小，最后求弦長即可.【詳解】設(shè)，則，整理得，所以動點的軌跡為圓心為，半徑為的圓，直線的方程可整理為，令，解得，所以直線恒過定點，有幾何知識可得當(dāng)時，最小，，所以.故選：A.【點睛】方法點睛：求動點軌跡的方法：①定義法：根據(jù)曲線定義得到曲線類型，然后計算；②列等式法：設(shè)動點坐標(biāo)，然后根據(jù)題設(shè)列等式，整理即可.本題共36符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知曲線．則下列說法中正確的是（）A.若，則是單位圓B.若，則是焦點在軸上的橢圓C.若，則是平行于軸的兩條直線D.若，則是雙曲線且漸近線方程為【答案】ABD【解析】第5頁/共17頁【分析】根據(jù)的取值范圍，將曲線化為標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而進(jìn)行判斷即可.【詳解】對于A時，：，表示以為圓心，以1為半徑的單位圓，故A正確；對于B：當(dāng)時，，，曲線：，表示焦點在軸上的橢圓，故B正確；對于C：當(dāng)，，曲線：或，表示平行于軸的兩條直線，故C錯誤；對于D時，：，表示焦點在軸上的雙曲線，且其漸進(jìn)性方程為：，故D正確.故選：ABD10.已知是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為，前項和為，且，，，則下列說法正確的是（）A.B.數(shù)列是等比數(shù)列C.數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列D.數(shù)列的前項和不超過【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出數(shù)列首項公比，再逐項求解判斷得解.【詳解】等比數(shù)列中，，而，則數(shù)列單調(diào)遞減，由，得，又，解得，對于A，，解得，A正確；對于B，，數(shù)列不是等比數(shù)列，B錯誤；對于C，，則，第6頁/共17頁，數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，C正確；對于D，，數(shù)列的前項和，，D正確.故選：ACD已知，兩點的坐標(biāo)分別是，，直線，相交于點，且它們的斜率之和是2，動點形成軌跡為曲線，為坐標(biāo)原點，則下列說法正確的是（）A.曲線是中心對稱圖形B.C.直線斜率的取值范圍為D.若，則的面積為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)斜率公式即可求解方程，代入可判定A,根據(jù)兩點距離公式即可求解B，根據(jù)斜率公式即可求解C，根據(jù)垂直的坐標(biāo)關(guān)系，求解，，即可求解D.【詳解】設(shè)，則，化簡可得，由于，故，對于A，滿足，故曲線是中心對稱圖形，A正確，對于B,，當(dāng)且僅當(dāng)取到等號，由于，故B錯誤，對于C,，故C正確，第7頁/共17頁對于D，由可得，故，聯(lián)立與可得，故，故,故D正確，故選：ACD【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)可得，故，求，.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.直線的一個方向向量為_______．【答案】答案不唯一【解析】【分析】根據(jù)直線的斜率寫方向向量即可.【詳解】斜率，所以直線的方向向量可以為.故答案為：答案不唯一.13.已知雙曲線的一條漸近線與圓交于兩點，若，則雙曲線的離心率為_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)弦長得到圓心到漸近線的距離，然后利用點到直線的列等式，整理得到離心率.【詳解】設(shè)圓的圓心為，則，半徑，第8頁/共17頁因為，所以圓心到漸近線的距離為，由雙曲線方程可得一條漸近線方程為，整理得，則，整理得.故答案為：.14.如圖，在紙上畫一個半徑為2的圓，（為了看清楚，可把直線.的輪廓構(gòu)成曲線.若點在曲線上，且，則的面積為________.【答案】3【解析】【分析】設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為點，延長交直線于點，根據(jù)對稱性分可知，進(jìn)而結(jié)合勾股定理求面積.【詳解】解：設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為點，延長交直線于點，由題意可知，點在圓上，直線為線段的垂直平分線，則，可得，可知點軌跡是以點、為焦點的雙曲線，靠近點的一支，第9頁/共17頁因為，若，則，可得，即，可得，所以的面積為.故答案為：3.的軌跡是以點、為焦點的雙曲線，靠近點的一支，進(jìn)而可得面積.四、解答題：本題共5小題，共分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列為等差數(shù)列，記分別為數(shù)列的前項和．．（1）求的通項公式；（2）求．【答案】（1）（2）【解析】1）根據(jù)條件，可求與，可明確數(shù)列的通項公式.（2）利用分組求和法結(jié)合等差、等比數(shù)列的求和公式求解.【小問1詳解】設(shè)的公差為．可得．由，解得.第10頁/共17頁所以．【小問2詳解】．16.已知.（1）若，求的值；（2）若，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）9；（2）.【解析】1）利用二項式定理求出，進(jìn)而列式求出值.（2）利用賦值法求出，再利用分組求和法，結(jié)合等差、等比數(shù)列前項和公式求出.【小問1詳解】依題意，，所以.【小問2詳解】當(dāng)時，，則，，所以數(shù)列的前項和.17.某研究所研究耕種深度（單位：）與水稻每公頃產(chǎn)量（單位：）的關(guān)系，所得數(shù)據(jù)資料如下表.耕種深度81012141618第11頁/共17頁每公頃產(chǎn)量678913（1）求樣本相關(guān)系數(shù)（2）求經(jīng)驗回歸方程.參考數(shù)據(jù)：；參考公式：，，.【答案】（1），有較強(qiáng)的線性相關(guān)性，（2）【解析】1）根據(jù)相關(guān)系數(shù)的公式即可求解，（2）利用最小二乘法即可求解.【小問1詳解】由題意可知，，故，故有較強(qiáng)的線性相關(guān)性，【小問2詳解】，第12頁/共17頁故，將代入可得，故回歸直線方程為18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知是橢圓上的一點，從原點向圓作兩條切線分別交于兩點．（1）若點在第二象限，且，求和圓的方程；（2）若直線的斜率存在，并分別記為，求證：為定值．【答案】（1），（2）證明見解析【解析】1）先根據(jù)條件，判斷出四邊形為正方形，再結(jié)合正方形的對角線和邊長的長度關(guān)系，可求點坐標(biāo)，進(jìn)而可得和圓的方程.（2）設(shè)切線方程為，根據(jù)直線與圓相切，可得關(guān)于的一元二次方程，利用韋達(dá)定理，可得，再結(jié)合在橢圓上，可證為定值.【小問1詳解】過作于，于，連接．如圖：第13頁/共17頁由圓的方程，知圓的半徑．由，知．又因為和圓相切，所以四邊形為正方形．所以．由，解得．所以圓的方程為．【小問2詳解】設(shè)過點的圓的切線方程為：，即.則．兩邊同時平方，化簡得.則，為方程的兩解.由韋達(dá)定理：.又因，所以．第14頁/共17頁所以，為定值．19.已知對任意平面向量，把繞其起點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到向量，叫做把點繞點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到點．將雙曲線上的每一點繞坐標(biāo)原點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)后得到曲線．點在上，其橫坐標(biāo)為．再按照如下方式依次構(gòu)造點：過作斜率為的直線與曲線交于另一點，令為關(guān)于直線的對稱點，記的坐標(biāo)為．（1）求曲線的方程；（2）求數(shù)列通項公式；（3）求證：．【答案】（1）（2），（3）證明見解析【解析】1）根據(jù)定義得到和坐標(biāo)的關(guān)系，然后代入雙曲線方程中，化簡即可得到曲線的方程；（2）根據(jù)與關(guān)于原點對稱得到，然后將點代入曲線中，然后結(jié)合整理可得，即可得到為等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項公式計算即可；（3）利用斜率公式得到，，然后根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到，即可證明平行.【小問1詳解】設(shè)雙曲線上任意一點，將其繞坐標(biāo)原點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)后得到點．則第15頁