第2課時直線與平面平行的性質定理【學習目標】1.理解直線和平面平行的性質定理.2.會應用直線和平面平行的性質定理證明一些空間的簡單線面關系.3.能夠綜合應用直線和平面平行的判定和性質定理進行線線、線面平行的轉化.【素養達成】數學抽象、直觀想象邏輯推理直觀想象、邏輯推理直線與平面平行的性質定理1.定理:一條直線與一個平面平行,如果過該直線的平面與此平面相交,那么該直線與交線平行.2.符號表示:a∥α,a?β,α∩β=b?a∥b.【教材挖掘】(P138)1.若直線a∥平面α,如何在平面α內找一條直線與a平行?提示:根據直線與平面平行的性質定理,只需過a作一平面與平面α相交,則交線與a平行.2.若a∥α,過a與α相交的平面有多少個?提示:過a與平面α相交的平面有無數個.【版本交融】(蘇教P178)三個平面兩兩相交,如果三條交線中兩條直線平行,那么第三條直線與它們具有怎樣的位置關系?如果三條交線中有兩條相交呢?提示:三個平面兩兩相交,如果三條交線中兩條直線平行,那么第三條直線也與它們平行;如果三條交線中有兩條相交,那么第三條直線也與它們相交.【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)如果一條直線與一個平面平行,那么這條直線與該平面內的任意一條直線都平行.(×)提示:這條直線與該平面內的直線可能是異面直線.(2)若直線a∥平面α,則平面α內有唯一一條直線與直線a平行.(×)提示:平面α內有無數條直線與直線a平行,這些直線都是相互平行的.(3)如果兩條直線都平行于一個平面,那么這兩條直線平行.(×)提示:這兩條直線也可能相交或異面.(4)若直線a∥平面α,則直線a與平面α內任意一條直線都無公共點.(√)類型一直線與平面平行性質定理的應用(邏輯推理、數學運算)角度1證明問題【典例1】如圖,用平行于四面體ABCD的一組對棱AB,CD的平面截此四面體.求證:截面MNPQ是平行四邊形.【證明】因為AB∥平面MNPQ,平面ABC∩平面MNPQ=MN,且AB?平面ABC,所以由線面平行的性質定理可知AB∥MN.同理,AB∥PQ,所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.所以截面MNPQ是平行四邊形.【總結升華】利用線面平行的性質定理解題的步驟【即學即練】如圖所示,E,F,G,H為空間四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA上的點,且EH∥FG.求證:EH∥BD.【證明】因為EH∥FG,EH?平面BCD,FG?平面BCD,所以EH∥平面BCD.又因為EH?平面ABD,平面ABD∩平面BCD=BD,所以EH∥BD.角度2求值問題【典例2】如圖,在四棱錐SABCD中,底面ABCD是菱形,點E是棱AD的中點,點F在棱SC上,且SFSC=λ,SA∥平面BEF.求實數λ的值【解析】如圖,連接AC,設AC∩BE=G,連接FG,則平面SAC∩平面EFB=FG.因為SA∥平面BEF,SA?平面SAC,平面SAC∩平面EFB=FG,所以SA∥FG,所以SFFC=AG因為AE∥BC,所以△GEA∽△GBC,所以AGCG=AECB=所以SFFC=AGGC=即SF=13SC,所以λ=1【總結升華】求值問題的三個關鍵點(1)根據已知線面平行關系推出線線平行關系;(2)在三角形內利用三角形中位線性質、平行線分線段成比例定理推出有關線段的關系;(3)利用所得關系計算求值.【即學即練】如圖,在三棱錐PABC中,點D,E分別為棱PB,BC的中點,點G為CD,PE的交點,若點F在線段AC上,且滿足AD∥平面PEF,則AFFC的值為(A.1 B.2 C.12 D.【解析】選C.由于AD∥平面PEF,AD?平面ACD,平面ACD∩平面PEF=FG,根據線面平行的性質定理可知AD∥FG.由于點D,E分別為棱PB,BC的中點,點G為CD,PE的交點,所以G是△PBC的重心,所以AFFC=DGGC=類型二線面平行關系的綜合應用(邏輯推理)【典例3】如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD是菱形,N,M,Q分別為PB,PD,PC的中點.(1)求證:QN∥平面PAD;(2)記平面CMN與底面ABCD的交線為l,試判斷直線l與平面PBD的位置關系,并證明.【解析】(1)因為N,Q分別為PB,PC的中點,所以QN∥BC.因為底面ABCD是菱形,所以BC∥AD,所以QN∥AD,因為QN?平面PAD,AD?平面PAD,所以QN∥平面PAD.(2)直線l與平面PBD平行,證明如下:因為N,M分別為PB,PD的中點,所以MN∥BD,因為MN?平面ABCD,BD?平面ABCD,所以MN∥平面ABCD.因為平面CMN與底面ABCD的交線為l,MN?平面CMN,由線面平行的性質定理可得MN∥l.又因為MN?平面PBD,l?平面PBD,所以直線l∥平面PBD.【總結升華】線面平行關系的綜合應用(1)邏輯關系:(2)應用:由線線平行判定線面平行,由線面平行可以推出線線平行,解題過程實質是這兩種平行關系的相互轉化.【補償訓練】如圖,在四棱錐PABCD中,已知底面ABCD為平行四邊形,點E為棱PD的中點.(1)求證:BC∥平面PAD;(2)設平面EBC∩平面PAD=EF,點F在PA上,求證:F為PA的中點.【證明】(1)因為底面ABCD為平行四邊形,所以BC∥AD,因為AD?平面PAD,BC?平面PAD,所