專題04二次根式

課標要求考點考向

1、了解二次根式的概念，能從具體的式子中正確識別出考點一考向一二次根式的定義和性質

二次根式。即學生需要知道形如√a（a≥0）的代數式稱為二二次根

次根式，并且理解根號內的被開方數必須是非負數。式的概

考向二二次根式有意義的條件

2、掌握用簡單的一元一次不等式解決二次根式中字母的念和性

取值問題。例如，在含有二次根式的表達式中，根據二次根質

式有意義的條件，確定字母的取值范圍。二次根式的乘除

3、利用二次根式的性質和四則運算的法則進行簡單的四

則運算。這包括對二次根式進行加、減、乘、除等運算，以考向二二次根式的加減

考點二

及在運算過程中運用二次根式的性質進行化簡。

二次根

4、通過實際生活中的問題，引導學生用含根號的式子表考向三二次根式的混合運算

式的運

示問題的結果，從而體會二次根式與實際生活的緊密聯系。

算

5、在二次根式的學習中，學生需要通過對具體問題的分

考向四二次根式的應用

析和解決，逐步建立起對二次根式的抽象認識。

易錯易混提醒

（1）被開方數的條件：1、非負性：二次根式的被開方數必須是非負實數，即a≥0。因為√a是要求開方的

數是非負的，否則就沒有實數解。2、唯一性：對于給定的非負實數a，它的二次根式√a是唯一確定的。這

是因為非負實數平方的結果只有一個非負實數。

（2）最簡二次根式的定義：如果一個二次根式符合下列兩個條件：1.被開方數中不含能開得盡方的因數或

因式；2.被開方數的每一個因式的指數都小于根指數2。那么，這個根式叫做最簡二次根式。

?考向一二次根式的定義和性質

1．（2024·河北邯鄲·三模）甲、乙、丙、丁四位同學在進行分式接力計算過程中，開始出現錯誤的同學是

（）

3x2x24x4

化簡：(1)

x22x4

x2(3x2)x24x4

甲同學：原式；

x22x4

x23x22(x2)

乙同學：；

x2(x2)2

x23x22(x2)

丙同學：；

x2(x2)2

4x

丁同學2．

x2

A．甲同學B．乙同學C．丙同學D．丁同學

【答案】B

【分析】本題考查了分式的化簡，熟練掌握分式的基本性質，化簡的基本技能是解題的關鍵．

3x2x24x4

【詳解】解：(1)

x22x4

x2(3x2)x24x4

x22x4

x23x22(x2)

x2(x2)2

2x22x2

2

x2x2

4

，

x2

∴開始出現錯誤的同學是乙同學，

故選B．

2

2．（2024·四川樂山·中考真題）已知1x2，化簡x1x2的結果為（）

A．1B．1C．2x3D．32x

【答案】B

【分析】本題考查了二次根式的性質，去絕對值，熟練掌握知識點是解題的關鍵．

先根據a2a化簡二次根式，然后再根據1x2去絕對值即可．

2

【詳解】解：x1x2x1x2，

∵1x2，

∴x10,x20，

∴x1+x2x1+2x1，

2

∴x1x21，

故選：B．

33

3．（2024·四川廣安·中考真題）已知，直線l:yx與x軸相交于點A1，以OA1為邊作等邊三角形OA1B1，

33

y

點B1在第一象限內，過點B1作x軸的平行線與直線l交于點A2，與軸交于點C1，以C1A2為邊作等邊三角

形C1A2B2（點B2在點B1的上方），以同樣的方式依次作等邊三角形C2A3B3，等邊三角形C3A4B4，則點A2024

的橫坐標為．

2023

5

【答案】

2

33

【分析】直線直線l:yx可知，點A1坐標為，可得OA11，由于OA1B1是等邊三角形，可得

33

1,0

1335

B，A

點1，把y代入直線解析式即可求得2的橫坐標，可得A2C1，由于B2A2B1是等邊三角形，

2222

5325，73

可得點A2,；同理，A3，發現規律即可得解，準確發現坐標與字母的序號之間的規律是解

2244

題的關鍵．

33

【詳解】解：∵直線l：l:yx與x軸負半軸交于點A1，

33

∴點A1坐標為，

1,0

∴OA11，

過B1，B2，作B1Mx軸交x軸于點M，B2Nx軸交A2B1于點D，交x軸于點N，

∵A1B1O為等邊三角形，

∴OB1M30

11

∴MOAO，

212

2

∴22213

B1MB1OOM1

22

13

∴，

B1，

22

33335

當y時，x，解得：x，

22332

553

∴A,

A2C1，2，

222

15

∴CDAC，

12214

22

∴5353

B2D，

244

53373

∴BN，

2424

73733325

∴當y時，x，解得：x，

44334

2573

∴，

A3；

44

2

255

而，

42

3

5125

同理可得：A4的橫坐標為，

28

2023

5

∴點A2024的橫坐標為，

2

2023

5

故答案為：．

2

【點睛】本題主要考查了一次函數圖象上點的坐標的特征，勾股定理的應用，等邊三角形的性質，特殊圖

形點的坐標的規律，最簡二次根式、掌握探究的方法是解本題的關鍵.

?考向二二次根式有意義的條件

4．（2024·云南·中考真題）式子x在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是（）

A．x0B．x0C．x0D．x0

【答案】B

【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件．根據二次根式有意義的條件，即可求解．

【詳解】解：∵式子x在實數范圍內有意義，

∴x的取值范圍是x0．

故選：B．

5．（2024·江蘇徐州·中考真題）若x1有意義，則x的取值范圍是（）

A．x1B．x1C．x1D．x1

【答案】A

【分析】本題考查的是二次根式有意義的條件，即二次根式中的被開方數是非負數．根據二次根式有意義

的條件列出關于x的不等式，求出x的取值范圍即可．

【詳解】解：二次根式x1有意義，

x10，解得x1．

故選：A．

6．（2024·上海·中考真題）已知2x11，則x．

【答案】1

【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件，掌握二次根式中的被開方數是非負數是解題的關鍵．由

二次根式被開方數大于0可知2x10，則可得出2x11，求出x即可．

【詳解】解：根據題意可知：2x10，

∴2x11，

解得：x1，

故答案為：1．

易錯易混提醒

（1）加法與減法：二次根式可以進行加法和減法運算。當兩個二次根式的被開方數相同時，它們可以相加

或相減。

（2）乘法：二次根式可以進行乘法運算。兩個二次根式相乘時，被開方數相乘，根號下的系數可以相乘。

（3）分母有理化：在分母含有根號的式子中，把分母的根號化去，叫做分母有理化

?考向一二次根式的乘除

7．（2024·湖南·中考真題）計算27的結果是（）

A．27B．72C．14D．14

【答案】D

【分析】此題主要考查了二次根式的乘法，正確計算是解題關鍵．

直接利用二次根式的乘法運算法則計算得出答案．

【詳解】解：2714，

故選：D

8．（2024·貴州·中考真題）計算23的結果是．

【答案】6

【分析】利用二次根式的乘法運算法則進行計算．

【詳解】解：原式=23=6，

故答案為：6．

【點睛】本題考查二次根式的乘法運算，掌握二次根式乘法的運算法則abab（a≥0，b＞0）是解題

關鍵．

9．（2024·重慶·中考真題）估計1223的值應在（）

A．8和9之間B．9和10之間C．10和11之間D．11和12之間

【答案】C

【分析】本題考查的是二次根式的乘法運算，無理數的估算，先計算二次根式的乘法運算，再估算即可．

【詳解】解：∵1223266，

而424265，

∴1026611，

故答案為：C

10．（2024·天津·中考真題）計算111111的結果為．

【答案】10

【分析】利用平方差公式計算后再加減即可．

【詳解】解：原式11110．

故答案為：10．

【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，掌握二次根式的混合運算法則及平方差公式是解題的關

?考向二二次根式的加減

11．（2024·重慶·中考真題）已知m273，則實數m的范圍是（）

A．2m3B．3m4C．4m5D．5m6

【答案】B

【分析】此題考查的是求無理數的取值范圍，二次根式的加減運算，掌握求算術平方根的取值范圍的方法

是解決此題的關鍵．先求出m27312，即可求出m的范圍．

【詳解】解：∵m2733332312，

∵3124，

∴3m4，

故選：B．

1

1

12．（2024·山東青島·中考真題）計算：182sin45．

3

【答案】223/322

【分析】本題主要考查了二次根式的加減計算，負整數指數冪和求特殊角三角函數值，先計算特殊角三角

函數值，負整數指數冪和化簡二次根式，再根據二次根式的加減計算法則求解即可．

1

1

【詳解】解：182sin45

3

2

3232

2

3232

223，

故答案為：223．

13．（2024·山東濟寧·中考真題）下列運算正確的是（）

A．235B．2510

C．221D．(5)25

【答案】B

【分析】此題考查二次根式的運算法則，根據二次根式的加法法則對A進行判斷；根據二次根式的乘法法

則對B進行判斷；根據二次根式的除法法則對C進行判斷；根據二次根式的性質對D進行判斷．

【詳解】A.2與3不能合并，所以A選項錯誤；

B.2510，所以B選項正確；

C.2242=2，所以C選項錯誤；

D.(5)255，所以D選項錯誤．

故選：B．

?考向三二次根式的混合運算

3

14．（2024·甘肅·中考真題）計算：1812．

2

【答案】0

【分析】根據二次根式的混合運算法則計算即可．

本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．

33

【詳解】1812181218180．

22

11

15．（2024·上海·中考真題）計算：|13|242(13)0．

23

【答案】26

【分析】本題考查了絕對值，二次根式，零指數冪等，掌握化簡法則是解題的關鍵．先化簡絕對值，二次

根式，零指數冪，再根據實數的運算法則進行計算．

11

【詳解】解：|13|242(13)0

23

23

31261

(23)(23)

3126231

26．

1

21

16．（2024·四川遂寧·中考真題）計算：sin4514．

22021

【答案】2024

【分析】此題主要考查了實數運算及二次根式的運算，直接利用負整數指數冪的性質、特殊角的三角函數

值、絕對值的性質、算術平方根分別化簡得出答案，正確化簡各數是解題關鍵．

1

21

【詳解】解：sin4514

22021

22

122021

22

2024．

0

1

17．（2024·山西·中考真題）（1）計算：2382；

3

21

（2）先化簡，再求值：4x2xx12x12x112x，其中x．

2

【答案】（1）5；（2）4x22，3．

【分析】（1）根據有理數乘法，二次根式的性質，二次根式的除法，零指數次冪運算法則進行計算即可；

（2）先算括號內的單項式乘以多項式，平方差公式，再合并同類項，最后算多項式除以單項式即可；

本題考查了實數的混合運算和整式的乘法運算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．

【詳解】解：（1）原式621，

=5；

（2）原式8x34x24x4x2112x

8x34x2x，

4x22，

1

當x時，

2

2

1

原式423．

2

?考向四二次根式的應用

18．（2024·四川德陽·中考真題）將一組數2,2,6,22,10,23,,2n,，按以下方式進行排列：

則第八行左起第1個數是（）

A．72B．82C．58D．47

【答案】C

【分析】本題考查了數字類規律探索，正確歸納類推出一般規律是解題關鍵．求出第七行共有28個數，從

而可得第八行左起第1個數是第29個數，據此求解即可得．

【詳解】解：由圖可知，第一行共有1個數，第二行共有2個數，第三行共有3個數，

歸納類推得：第七行共有123456728個數，

則第八行左起第1個數是22958，

故選：C．

1

19．（2024·四川南充·中考真題）如圖，已知線段AB，按以下步驟作圖：①過點B作BCAB，使BCAB，

2

連接AC；②以點C為圓心，以BC長為半徑畫弧，交AC于點D；③以點A為圓心，以AD長為半徑畫弧，

交AB于點E．若AEmAB，則m的值為（）

5152

A．B．C．51D．52

22

【答案】A

1

【分析】本題考查了勾股定理，根據垂直定義可得ABC90，再根據BCAB，設AB=a，然后在

2

51

Rt△ABC中，利用勾股定理可得ACa，再根據題意可得：ADAE，CDBCa，從而利用線段

22

的和差關系進行計算，即可解答．

【詳解】解：∵BCAB，

∴ABC90，

1

∵BCAB，設AB=a

2

1

∴BCa，

2

2

22215

∴ACABBCaaa，

22

1

由題意得：ADAE，CDBCa，

2

5151

∴AEADACCDaaa，

222

∵AEmAB，

51

∴m，

2

故選：A

20．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長為1，M、N是邊BC、CD上的動點．若MAN45，

則MN的最小值為．

【答案】222/222

【分析】將△ADN順時針旋轉90得到ABP，再證明MAP≌MANSAS，從而得到

MNMPBMBPBMDN，再設設CNa，CMb，得到MN2ab，利用勾股定理得到

2

CN2CM2MN2，即a2b22ab，整理得到2a2b2，從而利用完全平方公式得到

MN2ab222a2b，從而得解．

【詳解】解：∵正方形ABCD的邊長為1，

∴ADABBCCD1，BADABCCD90，

將△ADN順時針旋轉90得到ABP，則ADN≌ABP，

∴DANBAP，DABP90，ANAP，DNBP，

∴點P、B、M、C共線，

∵MAN45，

∴MAPMABBAPMABDAN90MAN45MAN，

∵APAN，MAPMAN，AMAM，

∴MAP≌MANSAS，

∴MPMN，

∴MNMPBMBPBMDN，

設CNa，CMb，則DN1a，BM1b，

∴MNBMDN2ab，

∵C90，

2

∴CN2CM2MN2，即a2b22ab，

整理得：2a2b2，

∴MN2ab

22a2b

22

22a2b

22

22a22a2b2b22a2b

2

22a2b22a2b

222a2b

222，

當且僅當2a2b，即2a2b2，也即ab22時，MN取最小值222，

故答案為：222．

【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質，正方形的性質，勾股定理，二次根式的運算，完全平方公式

等知識，證明MNBMDN和得到2a2b2是解題的關鍵．

21．（2024·河北·中考真題）情境圖1是由正方形紙片去掉一個以中心O為頂點的等腰直角三角形后得到

的．

該紙片通過裁剪，可拼接為圖2所示的鉆石型五邊形，數據如圖所示．

（說明：紙片不折疊，拼接不重疊無縫隙無剩余）

操作嘉嘉將圖1所示的紙片通過裁剪，拼成了鉆石型五邊形．

如圖3，嘉嘉沿虛線EF，GH裁剪，將該紙片剪成①，②，③三塊，再按照圖4所示進行拼接．根據嘉嘉

的剪拼過程，解答問題：

（1）直接寫出線段EF的長；

（2）直接寫出圖3中所有與線段BE相等的線段，并計算BE的長．

探究淇淇說：將圖1所示紙片沿直線裁剪，剪成兩塊，就可以拼成鉆石型五邊形．

請你按照淇淇的說法設計一種方案：在圖5所示紙片的BC邊上找一點P（可以借助刻度尺或圓規），畫出

裁剪線（線段PQ）的位置，并直接寫出BP的長．

【答案】（1）EF1；（2）BEGEAHGH，BE22；BP的長為2或22．

【分析】本題考查的是正方形的性質，等腰直角三角形的判定與性質，勾股定理的應用，二次根式的混合

運算，本題要求學生的操作能力要好，想象能力強，有一定的難度．

（1）如圖，過G作GKFH于K，結合題意可得：四邊形FOGK為矩形，可得FOKG，由拼接可得：

HFFOKG，可得AHG，HGD，△AFE為等腰直角三角形，GKH為等腰直角三角形，設

HKKGx，則HGHD2x，再進一步解答即可；

（2）由△AFE為等腰直角三角形，EFAF1；求解BE22，再分別求解GE,AH,GH；可得答案，

如圖，以B為圓心，BO為半徑畫弧交BC于P，交AB于Q，則直線PQ為分割線，或以C圓心，CO為

半徑畫弧，交BC于P，交CD于Q，則直線PQ為分割線，再進一步求解BP的長即可．

【詳解】解：如圖，過G作GKFH于K，

結合題意可得：四邊形FOGK為矩形，

∴FOKG，

由拼接可得：HFFOKG，

由正方形的性質可得：A45，

∴AHG，HGD，△AFE為等腰直角三角形，

∴GKH為等腰直角三角形，

設HKKGx，

∴HGHD2x，

∴AHHG2x，HFFOx，

∵正方形的邊長為2，

∴對角線的長222222，

∴OA2，

∴xx2x2，

解得：x21，

∴EFAF21x21211；

（2）∵△AFE為等腰直角三角形，EFAF1；

∴AE2EF2，

∴BE22，

∵GEHG2x22122，

AHGH2x22，

∴BEGEAHGH；

如圖，以B為圓心，BO為半徑畫弧交BC于P，交AB于Q，則直線PQ為分割線，

此時BP2，PQ222，符合要求，

或以C圓心，CO為半徑畫弧，交BC于P，交CD于Q，則直線PQ為分割線，

此時CPCQ2，PQ222，

∴BP22，

綜上：BP的長為2或22．

22．（2024·江蘇鹽城·中考真題）發現問題

小明買菠蘿時發現，通常情況下，銷售員都是先削去菠蘿的皮，再斜著鏟去菠蘿的籽．

提出問題

銷售員斜著鏟去菠蘿的籽，除了方便操作，是否還蘊含著什么數學道理呢？

分析問題

某菠蘿可以近似看成圓柱體，若忽略籽的體積和鏟去果肉的厚度與寬度，那么籽在側面展開圖上可以看成

點，每個點表示不同的籽．該菠蘿的籽在側面展開圖上呈交錯規律排列，每行有n個籽，每列有k個籽，

行上相鄰兩籽、列上相鄰兩籽的間距都為d（n，k均為正整數，nk3，d0），如圖1所示．

小明設計了如下三種鏟籽方案．

方案1：圖2是橫向鏟籽示意圖，每行鏟的路徑長為________，共鏟________行，則鏟除全部籽的路徑總長

為________；

方案2：圖3是縱向鏟籽示意圖，則鏟除全部籽的路徑總長為________；

方案3：圖4是銷售員斜著鏟籽示意圖，寫出該方案鏟除全部籽的路徑總長．

解決問題

在三個方案中，哪種方案鏟籽路徑總長最短？請寫出比較過程，并對銷售員的操作方法進行評價．

2

【答案】分析問題：方案1：n1d；2k；2n1dk；方案2：2k1dn；方案3：2k1nd；

2

解決問題：方案3路徑最短，理由見解析

【分析】分析問題：方案1：根據題意列出代數式即可求解；方案2：根據題意列出代數式即可求解；方案

d2d22d

3：根據圖得出斜著鏟每兩個點之間的距離為，根據題意得一共有2n列，2k行，斜著鏟相

22

當于有n條線段長，同時有2k1個，即可得出總路徑長；

解決問題：利用作差法比較三種方案即可．

題目主要考查列代數式，整式的加減運算，二次根式的應用，理解題意是解題關鍵．

【詳解】解：方案1：根據題意每行有n個籽，行上相鄰兩籽的間距為d，

∴每行鏟的路徑長為n1d，

∵每列有k個籽，呈交錯規律排列，

∴相當于有2k行，

∴鏟除全部籽的路徑總長為2n1dk，

故答案為：n1d；2k；2n1dk；

方案2：根據題意每列有k個籽，列上相鄰兩籽的間距為d，

∴每列鏟的路徑長為k1d，

∵每行有n個籽，呈交錯規律排列，，

∴相當于有2n列，

∴鏟除全部籽的路徑總長為2k1dn，

故答案為：2k1dn；

d2d22d

方案3：由圖得斜著鏟每兩個點之間的距離為，

22

根據題意得一共有2n列，2k行，

斜著鏟相當于有n條線段長，同時有2k1個，

2

∴鏟除全部籽的路徑總長為：2k1nd；

2

解決問題

由上得：2n1dk2k1dn2ndk2dk2ndk2dn2dnk0，

∴方案1的路徑總長大于方案2的路徑總長；

22

2k1dn2k1dn22k2dn，

22

∵nk3，

當k3時，

252

223240，

22

2

2k1dn2k1dn0，

2

∴方案3鏟籽路徑總長最短，銷售員的操作方法是選擇最短的路徑，減少對菠蘿的損耗．

一、單選題

1．（2024·廣東江門·模擬預測）下列二次根式是最簡二次根式的是（）

4

A．32B．0.4C．D．15

3

【答案】D

【分析】本題考查最簡二次根式，根據最簡二次根式的定義進行解題即可．

【詳解】解：A.3242，不是最簡二次根式；

10

B.0.4，不是最簡二次根式；

5

42

C.3，不是最簡二次根式；

33

D.15是最簡二次根式；

故選D．

2．（2024·貴州·模擬預測）下列二次根式中，與3是同類二次根式的是（）

1

A．6B．81C．D．18

3

【答案】C

【分析】此題考查同類二次根式的概念，根據同類二次根式的概念，需要把各個選項化成最簡二次根式，

被開方數是3的即和3是同類二次根式．

【詳解】A．6與3不是同類二次根式，故該選項錯誤；

B．819與3不是同類二次根式，故該選項錯誤；

13

C．與3是同類二次根式，故該選項正確；

33

D．1832與3不是同類二次根式，故該選項錯誤；

故選：C．

3．（2024·重慶·模擬預測）計算6812的結果為（）

1

A．4B．3C．1D．

4

【答案】B

【分析】根據二次根式的乘除混合運算法則計算解答即可．

本題考查了二次根式的乘除混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．

【詳解】解：6812

6

123，

8

故選B．

1

4．（2024·河北邯鄲·模擬預測）已知8m2，則m（）

2

1

A．4B．2C．1D．

2

【答案】B

【分析】本題考查二次根式的運算，考查學生的運算能力，熟練掌握知識點是解題的關鍵．先計算二次根

式的減法，再計算除法即可．

1

【詳解】m822

2

1

m22，

2

故選：B．

5．（2024·寧夏銀川·模擬預測）下列計算，正確的是（）

A．53233B．3333C．3632D．1553

【答案】C

【分析】本題考查了二次根式的加減乘除運算，根據二次根式的加法、減法、乘法、除法法則逐項判斷即

可解答，掌握二次根式的相關運算法則是解題的關鍵．

【詳解】A、532333，原選項計算錯誤，不符合題意；

B、3與3不是同類二次根式，不可以合并，原選項計算錯誤，不符合題意；

C、3632，原選項計算正確，符合題意；

D、1553，原選項計算錯誤，不符合題意；

故選：C．

6．（2024·云南·模擬預測）估算2052的結果在（）

A．7和8之間B．8和9之間C．9和10之間D．10和11之間

【答案】B

【分析】本題考查二次根式的運算，無理數的估算，先根據二次根式的運算法則，進行計算，再利用夾逼

法求出無理數的范圍即可．

【詳解】解：205225254580，

∵648081，

∴8809，

故選B．

7．（2024·河北秦皇島·一模）若使算式8“?”2的運算結果最小，則“?”表示的運算符號是（）

A．B．-C．D．

【答案】B

【分析】本題考查了二次根式的加減乘除運算和大小比較，掌握二次根式的運算是解題的關鍵．

分別把四個選項中的符號代入計算，再比較結果的大小即可．

【詳解】解：8222232，

822222，

822224，

822222，

∵322，

∴〇表示的運算符號是“”時，運算結果最小，

故選：B．

8．（2024·遼寧·模擬預測）下列各式計算正確的是（）

A．1232B．52322

2

C．235D．23526

【答案】D

【分析】本題主要考查二次根式的化簡、二次根式的混合運算、完全平方公式，掌握二次根式的運算法則

是解題的關鍵．

A將二次根式化簡到最簡即可；B根據加法法則運算即可；C根據abab計算即可；D結合完全平

方公式和二次根式的運算法則計算即可．

【詳解】解：A、1223，故選項不符合題意．

B、523222，故選項不符合題意．

C、236，故選項不符合題意．

2

D、2323223526，故選項符合題意．

故選：D．

9．（2024·河北張家口·三模）若a10，則計算200a2的結果正確的是（）

A．205B．205C．1002D．1002

【答案】A

【分析】本題考查二次根式的性質和化簡，先根據a10求出a210，即可求解．

【詳解】∵a10

∴a210

∴200a22000205

故選：A．

10．（2024·湖北·模擬預測）如圖，在菱形ABCD中，以點D為圓心，DB長為半徑作弧，交AB于點E，

1

分別以B，E為圓心，以大于BE長為半徑作弧，兩弧交于點F，作射線DF交AB于點G．連接CG，若

2

DCG30，AG3，則菱形ABCD的面積為（）

935333

A．B．73C．D．

2222

【答案】A

【分析】由題意可得知DGAB，由菱形的性質可得出ADABCD，AD∥BC．設DGx，則

ADABCD3x，由勾股定理解出x，最后根據菱形的性質求面積即可．

【詳解】解：由作圖知，DGAB，

四邊形ABCD是菱形，

ADABCD，AD∥BC，

DGCD，

設DGx，

DCG30，

∴CG2DG，

CDADCG2DG23x，

在RtADG中，由勾股定理得AD2DG2AG2，

2

3xx232，

3232

x或x（舍去），

22

3236

DG，AB，

22

363293

菱形ABCD的面積ABDG，

222

故選：A．

【點睛】本題考查了垂線的尺規作圖，菱形的性質，含30度角的直角三角形的性質，勾股定理，熟練掌

握矩形的性質與判定定理以及菱形的性質是解題的關鍵．

11．（2024·河南新鄉·模擬預測）如圖1，VABC中BAC90，ABAC2．D是斜邊上一動點，從點

B運動到點C停止，連接AD，過點A作AEAD，且使AEAD（點E在直線AD右側），點F是AC中

a

點，連接EF，設BDx，EFy，y隨x變化的圖象如圖2所示，b為曲線最低點的縱坐標，則（）

b

1010

A．B．C．32D．10

102

【答案】D

【分析】連接CE并延長，過點A作HAAC，交CE于點H，過點F作FGCH于點G，連接FH，證明

△ABD≌△ACE，得出ACEABC45，說明點E在過點C垂直BC的直線上，根據垂線段最短，得

2

出當點E在點G處時，FE最小，即b；當點D在點C處時，E在點H處，此時FE最大，求出a5，

2

最后求出結果即可．

【詳解】解：連接CE并延長，過點A作HAAC，交CE于點H，過點F作FGCH于點G，連接FH，

如圖所示：

∵VABC中BAC90，ABAC2，

1

∴ABCACB9045，

2

∵ADAE，

∴DAE=90，

∵BADDACDACCAE90，

∴BADCAE，

∵ADAE，

∴△ABD≌△ACE，

∴ACEABC45，

∴BCE454590，

∴點E在過點C垂直BC的直線上，

∵垂線段最短，

∴當點E在點G處時，FE最小，

∵點F為AC的中點，

1

∴CFAF21，

2

∵FGC90，FCG45，

∴△FCG為等腰直角三角形，

22

∴FGCF，

22

22

∴FE的最小值為，即b；

22

∵CAH90，ACH45，

∴ACH為等腰直角三角形，

∴ACAH2，

當點D在點C處時，E在點H處，此時FE最大，

∵FHAF2AH25，

∴FE的最大值為5，即a5，

a5

10

∴b2，

2

故選：D．

【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質，勾股定理，三角形全等的判定和性質，垂線段最短，解

題的關鍵是作出輔助線，分別求出a、b的值．

11111111

12．（2024·湖南·模擬預測）設A1111，則不

1222223232422023220242

超過A的最大整數為（）

A．2027B．2026C．2025D．2024

【答案】D

2

11n11

【分析】本題主要考查了二次根式的化簡，根據122把原式的對應項化簡，然后

nn1nn1

計算求解即可．

【詳解】解：對于正整數n，有

11

122

nn1

2

121

12

nnn1

22

n121

nnn1

2

n11

，

nn1

11n1111

∴1221，

nn1nn1nn1

11111111

∴A1111

1222223232422023220242

11111111

1111，

12233420232024

1

2024，

2024

∴不超過A的最大整數為2024．

故選：D．

二、填空題

13．（2024·吉林長春·二模）7與最簡二次根式22m1是同類二次根式，則m的值為．

【答案】3

【分析】本題主要考查了同類二次根式，最簡二次根式，根據同類二次根式定義可知2m17，求出解即

可．

【詳解】∵7與最簡二次根式22m1是同類二次根式，

∴2m17，

解得m3．

故答案為：3．

1

14．（2024·河北·模擬預測）若a的倒數是，則a的值為．

8

【答案】22

【分析】本題考查的是倒數的含義，二次根式的化簡，先求解a8，再化簡8即可．

1

【詳解】解：∵a的倒數是，

8

∴a8，

∴a822；

故答案為：22．

15．（2024·山東泰安·一模）如圖，把一張大正方形按下圖方式（兩個小正方形分別有一邊在大正方形的邊

上）剪去兩個面積分別為8和18的小正方形，那么剩下的紙片（陰影部分）的面積是．

【答案】24

【分析】題目主要考查二次根式的應用，理解題意，根據正方形的面積確定大正方形的邊長即可求解．

【詳解】解：∵兩個面積分別為8和18的小正方形，

∴大正方形的邊長為：818223252，

∴大正方形的面積為：525250，

∴剩余的面積為：5018824，

∴陰影部分的面積是24，

故答案為：24．

nn