數學分析三試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題2分，共20分）

1.下列函數中，可導函數是：

A.f(x)=|x|

B.f(x)=x^2

C.f(x)=1/x

D.f(x)=e^x

2.設函數f(x)在區間[a,b]上連續，在(a,b)內可導，且f'(a)=f'(b)，則：

A.f(x)在[a,b]上單調增加

B.f(x)在[a,b]上單調減少

C.f(x)在[a,b]上有極值

D.f(x)在[a,b]上無極值

3.設函數f(x)在x=a處連續，則：

A.f(a)必須存在

B.f'(a)必須存在

C.f''(a)必須存在

D.f(x)在x=a處可導

4.若函數f(x)在x=a處可導，則：

A.f(x)在x=a處連續

B.f'(a)存在

C.f''(a)存在

D.f(x)在x=a處有極值

5.設函數f(x)在x=a處連續，且f'(a)=0，則：

A.f(x)在x=a處有極值

B.f(x)在x=a處無極值

C.f(x)在x=a處有拐點

D.f(x)在x=a處無拐點

6.設函數f(x)在x=a處可導，且f'(a)≠0，則：

A.f(x)在x=a處有極值

B.f(x)在x=a處無極值

C.f(x)在x=a處有拐點

D.f(x)在x=a處無拐點

7.設函數f(x)在x=a處連續，且f'(a)=0，則：

A.f(x)在x=a處有極值

B.f(x)在x=a處無極值

C.f(x)在x=a處有拐點

D.f(x)在x=a處無拐點

8.設函數f(x)在x=a處可導，且f'(a)≠0，則：

A.f(x)在x=a處有極值

B.f(x)在x=a處無極值

C.f(x)在x=a處有拐點

D.f(x)在x=a處無拐點

9.設函數f(x)在x=a處連續，且f'(a)=0，則：

A.f(x)在x=a處有極值

B.f(x)在x=a處無極值

C.f(x)在x=a處有拐點

D.f(x)在x=a處無拐點

10.設函數f(x)在x=a處可導，且f'(a)≠0，則：

A.f(x)在x=a處有極值

B.f(x)在x=a處無極值

C.f(x)在x=a處有拐點

D.f(x)在x=a處無拐點

二、填空題（每題3分，共15分）

1.設函數f(x)=x^3-3x，則f'(1)=________。

2.設函數f(x)=e^x，則f''(0)=________。

3.設函數f(x)=ln(x)，則f'(1)=________。

4.設函數f(x)=sin(x)，則f'(π/2)=________。

5.設函數f(x)=x^2+2x+1，則f'(0)=________。

三、計算題（每題5分，共25分）

1.求函數f(x)=x^3-3x^2+2x在x=1處的導數。

2.求函數f(x)=e^x-x^2在x=0處的二階導數。

3.求函數f(x)=ln(x)在x=1處的導數。

4.求函數f(x)=sin(x)在x=π/2處的導數。

5.求函數f(x)=x^2+2x+1在x=0處的導數。

四、證明題（每題8分，共16分）

1.證明：若函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，在開區間(a,b)內可導，且f(a)=f(b)，則存在至少一點c∈(a,b)，使得f'(c)=0。

2.證明：設函數f(x)在區間[a,b]上連續，在(a,b)內可導，且f'(x)≠0對所有x∈(a,b)成立，則f(x)在[a,b]上單調。

五、應用題（每題10分，共20分）

1.已知函數f(x)=x^3-3x+2，求函數在x=1處的切線方程。

2.設函數f(x)=e^x-x，求函數的極值。

六、綜合題（每題15分，共30分）

1.已知函數f(x)=x^3-9x+1，求函數f(x)的導數f'(x)，并求f'(x)=0的所有實根。

2.設函數f(x)=x^3-3x^2+4x+1，求函數f(x)在區間[0,3]上的最大值和最小值。

試卷答案如下：

一、選擇題答案及解析思路：

1.B

解析思路：x^2是一個多項式函數，其導數存在且為2x，故B選項正確。

2.D

解析思路：根據羅爾定理，若函數在閉區間上連續，在開區間內可導，且兩端點函數值相等，則至少存在一點c∈(a,b)，使得f'(c)=0。

3.A

解析思路：函數在一點連續是導數存在的必要條件，故A選項正確。

4.B

解析思路：可導意味著連續，故B選項正確。

5.A

解析思路：根據費馬定理，若函數在某點可導且為極值點，則該點的導數為0。

6.A

解析思路：與第5題解析思路相同。

7.A

解析思路：與第5題解析思路相同。

8.A

解析思路：與第5題解析思路相同。

9.A

解析思路：與第5題解析思路相同。

10.A

解析思路：與第5題解析思路相同。

二、填空題答案及解析思路：

1.0

解析思路：對f(x)=x^3-3x^2+2x求導得到f'(x)=3x^2-6x+2，代入x=1得到f'(1)=3*1^2-6*1+2=0。

2.1

解析思路：對f(x)=e^x求導得到f'(x)=e^x，代入x=0得到f''(0)=e^0=1。

3.1

解析思路：對f(x)=ln(x)求導得到f'(x)=1/x，代入x=1得到f'(1)=1/1=1。

4.1

解析思路：對f(x)=sin(x)求導得到f'(x)=cos(x)，代入x=π/2得到f'(π/2)=cos(π/2)=0。

5.1

解析思路：對f(x)=x^2+2x+1求導得到f'(x)=2x+2，代入x=0得到f'(0)=2*0+2=2。

三、計算題答案及解析思路：

1.f'(1)=1-6+2=-3

解析思路：對f(x)=x^3-3x^2+2x求導得到f'(x)=3x^2-6x+2，代入x=1得到f'(1)=-3。

2.f''(0)=1-0=1

解析思路：對f(x)=e^x-x^2求導得到f'(x)=e^x-2x，再對f'(x)求導得到f''(x)=e^x-2，代入x=0得到f''(0)=1。

3.f'(1)=1

解析思路：對f(x)=ln(x)求導得到f'(x)=1/x，代入x=1得到f'(1)=1。

4.f'(π/2)=0

解析思路：對f(x)=sin(x)求導得到f'(x)=cos(x)，代入x=π/2得到f'(π/2)=0。

5.f'(0)=2

解析思路：對f(x)=x^2+2x+1求導得到f'(x)=2x+2，代入x=0得到f'(0)=2。

四、證明題答案及解析思路：

1.（略）

解析思路：使用羅爾定理證明。

2.（略）

解析思路：使用中值定理證明。

五、應用題答案及解析思路：

1.切線方程為y=-3x+4

解析思路：求出切點坐標(1,-2)，然后使用點斜式求出切線方程。

2.極值為x=1，f(x)=e-1

解析思路：求出f'(x)=e^x-1，令f'(x)=0，解得x=1，再求出f(1)=e-1，得到極值。

六、綜合題答案及解析思路：

1.f'(x)=3x^2-6x，f'(x)=0的實根為x=0，x=2

解析思路：求出f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0，解得x=0，x=2