第35頁（共35頁）第二十八章B卷一．選擇題（共10小題）1．（2024秋?泉港區期末）如圖，點A，B，C都是正方形網格的格點，則∠BAC的正弦值為（）A．2 B．12 C．55 D2．（2024秋?鄞州區期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB=35，AB＝10A．6 B．8 C．63 D．3．（2024秋?太倉市期末）如圖，某商場有一自動扶梯，其傾斜角∠BAC＝36°，自動扶梯的長度AB＝15米．則該自動扶梯的高度BC等于（）A．15sin36°米 B．15sin36°C．15tan36°米 D．15tan4．（2024秋?郫都區期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，則cos∠A的值為（）A．34 B．43 C．35 5．（2024秋?南安市期末）在學習完銳角三角函數后，小明想利用簡單的工具求一電線桿的高度．如圖，AC是電線桿AB的一根拉線，用皮尺量得BC＝4米，用測角儀測得∠ACB＝52°，則電線桿的高度AB為（）A．4sin52°米 B．4tan52°米 C．4cos52°米 D．6．（2024秋?鹿城區期末）我國紙傘的制作工藝十分巧妙．如圖，兩條傘骨所成的角∠BAC＝130°，點D在傘柄AP上，AE＝AF＝DE＝DF＝m，則AD的長度可表示為（）A．msin65° B．mcos65° C．2msin65° D．2mcos65°7．（2024秋?昆都侖區期末）如圖，△ABC的頂點都在方格紙的格點上，則sinA的值為（）A．1010 B．31010 C．3 8．（2024秋?江北區期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，則tanA的值為（）A．43 B．34 C．35 9．（2024秋?南昌期末）如圖，一束太陽光從天花板和落地窗交界處的點P射入，經過地板MN反射到天花板上形成光斑．中午和下午某時刻光線與地板的夾角分別為α，β．已知天花板與地面是平行的，且它們之間的距離為3m，當α＝45°，β＝30°時，光斑移動的距離AB為（）A．3m B．(63-6)m C．(3310．（2024秋?金水區校級期末）如圖，點A，B，C都是正方形網格的格點，連接BA，CA，則∠BAC的正弦值為（）A．12 B．55 C．255二．填空題（共5小題）11．（2024秋?濟南期末）如圖，△ABC的頂點都在4×5的方格紙的格點上，則tan∠ABC的值為．12．（2024秋?常州期末）座椅是我們日常生活中不可或缺的物品．如圖，在調節椅背的過程中，椅面AB始終保持水平狀態，支撐架AC、BD與水平地面的夾角也始終保持不變．已知椅背AE的長度為60cm，當椅背AE與椅面AB的夾角從120°周節到150°時，人的頭部支撐點E向后水平推移了cm．13．（2024秋?江陰市期末）如圖，某校數學興趣小組為了測量塔AB的高度，將無人機飛升至距水平地面64.5米的C處，測得塔頂端A的俯角為45°，底端B的俯角為72°，則該塔的高度是米．（參考數據：tan72°≈3）14．（2024秋?金水區校級期末）某數學小組用無人機測量黃鶴樓AB的高度，過程如下：如圖，將無人機垂直上升至距水平地面102m的C處，測得黃鶴樓頂端A的俯角為45°，底端B的俯角為63°，則測得黃鶴樓的高度是m．（參考數據：tan63°≈2，sin63°≈1，cos63°≈0.5）15．（2024秋?新城區期末）如圖，某停車場入口的欄桿從水平位置AB繞點O旋轉到A'B'的位置．已知AO＝4米，欄桿的旋轉角∠AOA'＝40°，則旋轉后點A的對應點A′到AB的距離A′H為米．（用含40°角的三角函數表示）三．解答題（共8小題）16．（2024秋?南岸區期末）如圖，A，B兩地的直線距離為7km，但因湖水相隔，不能直接到達．從A到B有兩條路可走．線路1：從A﹣C﹣B；線路2：從A﹣D﹣B．從地圖上可得到以下數據：點C位于A的正北方向，且在B的北偏西63°的方向；點D在A的東南方向，且位于B的南偏西37°方向．（參考數據：2≈1.4，5≈2.24，sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈2，sin37°≈0.60，cos37（1）求AD的長度；（保留1位小數）（2）通過計算說明，線路1和線路2，哪條線路更短．17．（2024秋?濟南期末）如圖1，在一個坡角（∠MON）為30°的斜坡ON上有一棵大樹AB（與地面垂直），從斜坡底端O點處測得大樹頂端B的仰角（∠MOB）為60°，OA＝6.4m．（1）求大樹AB的高度；（2）如圖2，某時刻太陽光線與水平線的夾角為26.5°，大樹AB在陽光下的影子AD落在斜坡上，求影子AD的長度．（結果精確到0.1m，參考數據：tan26.5°≈0.50，sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，2≈1.41，18．（2024秋?鎮海區期末）如圖，在△ABC中，CD是邊AB上的中線，∠A和∠B都是銳角且sinB=5（1）求AB的長；（2）求tan∠CDB的值．19．（2024秋?金水區校級期末）近年我省大力推進風電規模化開發，在風力發電機組中“風電塔筒”的高度是重要的設計參數．某校數學小組開展了“測量風電塔筒高度”的實踐活動．如圖，一風電塔筒AH垂直于地面，測角儀CD，EF在AH兩側，點C，H，E在同一條直線上，CD＝EF＝1.6m，點C與點E相距203m．在D，F處分別測得點A的仰角為45°，53°．求風電塔筒AH的高度．（參考數據：sin53°≈45，cos53°≈20．（2024秋?太倉市期末）如圖1，一扇推拉式窗戶，AB為固定的窗框底邊，AC為該窗戶開啟的下沿一邊，可繞點A旋轉一定角度，MN為支撐桿，其中一端固定在窗戶下沿邊AC上的點M處，另一端點N在窗框底邊AB上滑動（窗戶關閉時，AC，MN疊合在AB邊上），支撐桿MN的長度固定不變．窗戶打開一定角度后，AC即與AB構成一個旋轉角∠CAB，其俯視平面圖如圖2所示，窗戶的旋轉角∠CAB的大小控制在一定范圍內0°≤∠CAB≤160°，MN＝20cm．（1）現將窗戶打開至旋轉角∠CAB＝45°時，第一次測得∠MNA＝30°，求此時AN的長；（2）在（1）的基礎上，繼續打開窗戶，即AC繞點A逆時針旋轉，旋轉角∠CAB從45°開始逐漸增大，旋轉后點M，N的對應點分別為點M'，N'，直至第二次測得∠M'N'A＝30°時停止，求端點N在此過程中滑動的長度．（結果均保留根號）21．（2024秋?永春縣期末）光線從空氣射入水中會發生折射現象，發生折射時，滿足的折射定律如圖所示：折射率n=sinαsinβ（α代表入射角，β代表折射角）．小明為了觀察光線的折射現象，設計了如圖2所示的實驗：通過細管可以看見水底的物塊，但從細管穿過的直鐵絲，卻碰不到物塊．圖3是實驗的示意圖，點A，C，B在同一直線上，測得BC＝14cm，BF＝24cm，DF＝（1）求BD的長度；（2）求光線從空氣射入水中的折射率n的值．22．（2024秋?碑林區期末）如圖，在一次數學實踐活動中，張老師帶領學生去測量學校附近一座垂直于地面的古塔的高度，小凡同學從古塔底部的點B處前行8.6m到達斜坡DC的底部點D處，然后沿著斜坡前行10m（DE＝10m）到達最佳測量點E處，在點E處測得塔頂A的仰角為30°，已知斜坡與水平地面的夾角為20°，且點A，B，C，D，E在同一個平面內，求該古塔的高度．（參考數據：tan20°≈0.36，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，323．（2024秋?碑林區校級期末）我國明朝數學家程大位寫過一本數學著作《直指算法統宗》，其中有一道與蕩秋千有關的數學問題是使用《西江月》詞牌寫的：平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，五尺人高曾記．仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉．良工高士素好奇，算出索長有幾？詞寫得很優美，翻譯成現代漢語的大意是：有一架秋千，當它靜止時，踏板離地1尺，將它往前推進10尺（5尺為一步），秋千的踏板就和某人一樣高，這個人的身高為5尺．（假設秋千的繩索拉的很直）（1）如圖1，請你根據詞意計算秋千繩索OA的長度；（2）某公園有一秋千如圖2所示，將秋千從與豎直方向夾角為α的位置OA′釋放，秋千擺動到另一側與豎直方向夾角為β的地方OA′′，兩次位置的高度差PQ＝h．當α＝46°、β＝28°、h＝0.8米時，請求出該秋千的長度（參考數據：sin46°≈0.72，cos46°≈0.69，tan46°≈1.04，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53，結果精確到0.1米）．

第二十八章B卷參考答案與試題解析題號12345678910答案CBADBDABBB一．選擇題（共10小題）1．（2024秋?泉港區期末）如圖，點A，B，C都是正方形網格的格點，則∠BAC的正弦值為（）A．2 B．12 C．55 D【考點】解直角三角形．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．【答案】C【分析】連接BC，利用勾股定理的逆定理證明△ABC是直角三角形，從而可得∠ABC＝90°，然后在Rt△ABC中，利用銳角三角函數的定義進行計算即可解答．【解答】解：連接BC，由題意得：BC2＝12+22＝5，AB2＝42+22＝20，AC2＝32+42＝25，∴BC2+AB2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，BC=5，AC=25∴sin∠BAC=BC故選：C．【點評】本題考查了解直角三角形，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．2．（2024秋?鄞州區期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB=35，AB＝10A．6 B．8 C．63 D．【考點】解直角三角形；勾股定理．【專題】等腰三角形與直角三角形；幾何直觀；推理能力．【答案】B【分析】利用正弦的定義求值即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB=35，AB∴AC10解得：AC＝6．由勾股定理得：BC=故選：B．【點評】本題主要考查解直角三角形，勾股定理，熟練掌握勾股定理是解答本題的關鍵．3．（2024秋?太倉市期末）如圖，某商場有一自動扶梯，其傾斜角∠BAC＝36°，自動扶梯的長度AB＝15米．則該自動扶梯的高度BC等于（）A．15sin36°米 B．15sin36°C．15tan36°米 D．15tan【考點】解直角三角形的應用．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．【答案】A【分析】根據題意可得：BC⊥AC，然后在Rt△ABC中，利用銳角三角函數的定義進行計算，即可解答．【解答】解：由題意得：BC⊥AC，在Rt△ABC中，∠BAC＝36°，AB＝15米，∴BC＝AB?sin36°＝15sin36°（米），∴該自動扶梯的高度BC等于15sin36°米，故選：A．【點評】本題考查了解直角三角形的應用，熟練掌握銳角三角函數的定義是解題的關鍵．4．（2024秋?郫都區期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，則cos∠A的值為（）A．34 B．43 C．35 【考點】銳角三角函數的定義；勾股定理．【專題】等腰三角形與直角三角形；幾何直觀；應用意識．【答案】D【分析】首先利用勾股定理求得AB的值，再根據余弦的定義，進行求解即可．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，由勾股定理得：AB=BC∴cosA=AC故選：D．【點評】本題考查了銳角三角函數的定義，勾股定理，熟練掌握余弦的定義是解題關鍵．5．（2024秋?南安市期末）在學習完銳角三角函數后，小明想利用簡單的工具求一電線桿的高度．如圖，AC是電線桿AB的一根拉線，用皮尺量得BC＝4米，用測角儀測得∠ACB＝52°，則電線桿的高度AB為（）A．4sin52°米 B．4tan52°米 C．4cos52°米 D．【考點】解直角三角形的應用．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．【答案】B【分析】根據題意可得：AB⊥BC，然后在Rt△ABC中，利用銳角三角函數的定義進行計算即可解答．【解答】解：由題意得：AB⊥BC，在Rt△ABC中，∠ACB＝52°，C＝4米，∴AB＝BC?tan52°≈4tan52°（米），∴電線桿的高度AB為4tan52°米，故選：B．【點評】本題考查了解直角三角形的應用，熟練掌握銳角三角函數的定義是解題的關鍵．6．（2024秋?鹿城區期末）我國紙傘的制作工藝十分巧妙．如圖，兩條傘骨所成的角∠BAC＝130°，點D在傘柄AP上，AE＝AF＝DE＝DF＝m，則AD的長度可表示為（）A．msin65° B．mcos65° C．2msin65° D．2mcos65°【考點】解直角三角形的應用．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．【答案】D【分析】連接EF交AD于點O，根據已知易得：四邊形AEDF是菱形，從而利用菱形的性質可得OA＝OD=12AD，∠AOF＝90°，∠FAD＝65°，然后在Rt△AOF中，利用銳角三角函數的定義求出AO的長，從而求出【解答】解：連接EF交AD于點O，∵AE＝AF＝DE＝DF＝m，∴四邊形AEDF是菱形，∴OA＝OD=12AD，∠AOF＝90°，∠FAD=12∠在Rt△AOF中，AO＝AF?cos65°＝mcos65°，∴AD＝2AO＝2mcos65°，∴AD的長度可表示為2mcos65°，故選：D．【點評】本題考查了解直角三角形的應用，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．7．（2024秋?昆都侖區期末）如圖，△ABC的頂點都在方格紙的格點上，則sinA的值為（）A．1010 B．31010 C．3 【考點】解直角三角形．【專題】等腰三角形與直角三角形；運算能力；應用意識．【答案】A【分析】根據題意和圖形，可以得到CD和AC的長，然后即可求得sinA的值．【解答】解：延長AB到D，連接CD，如圖所示，由題意可得，AC=12+32∴sin∠A=CD故選：A．【點評】本題考查解直角三角形，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．8．（2024秋?江北區期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，則tanA的值為（）A．43 B．34 C．35 【考點】銳角三角函數的定義．【專題】解直角三角形及其應用；幾何直觀．【答案】B【分析】先作出圖形，結合圖形，根據銳角的正切函數定義直接作答即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，∴tanA=故選：B．【點評】本題考查銳角三角函數的定義，掌握在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊是解題的關鍵．9．（2024秋?南昌期末）如圖，一束太陽光從天花板和落地窗交界處的點P射入，經過地板MN反射到天花板上形成光斑．中午和下午某時刻光線與地板的夾角分別為α，β．已知天花板與地面是平行的，且它們之間的距離為3m，當α＝45°，β＝30°時，光斑移動的距離AB為（）A．3m B．(63-6)m C．(33【考點】解直角三角形的應用．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．【答案】B【分析】過點A作AE⊥MN，垂足為E，過點B作BF⊥MN，垂足為F，根據題意可得：CE＝DF＝3m，△ACP和△BDP都是等腰三角形，BP∥MN，從而可得∠APC＝∠PCM＝45°，∠BPD＝∠PDM＝30°，然后在Rt△PCE中，利用銳角三角函數的定義求出PE的長，從而求出AP的長，再在Rt△PDF中，利用銳角三角函數的定義求出PF的長，從而求出BP的長，最后利用線段的和差關系進行計算即可解答．【解答】解：如圖：過點A作AE⊥MN，垂足為E，過點B作BF⊥MN，垂足為F，由題意得：CE＝DF＝3m，△ACP和△BDP都是等腰三角形，BP∥MN，∴∠APC＝∠PCM＝45°，∠BPD＝∠PDM＝30°，在Rt△PCE中，PE=CEtan45°=∴AP＝2PE＝6（m），在Rt△PDF中，PF=DFtan30°=3∴BP＝2PF＝63（m），∴AB＝BP﹣AP＝（63-6）m∴光斑移動的距離AB為（63-6）m故選：B．【點評】本題考查了解直角三角形的應用，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．10．（2024秋?金水區校級期末）如圖，點A，B，C都是正方形網格的格點，連接BA，CA，則∠BAC的正弦值為（）A．12 B．55 C．255【考點】解直角三角形；勾股定理；勾股定理的逆定理．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．【答案】B【分析】連接CB，設小正方形邊長為1，求出AB=22+42=2【解答】解：連接CB，設小正方形邊長為1，∴AB2＝22+42＝20，AC2＝32+42＝25，CB2＝22+12＝5，∴AC2＝AB2+BC2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，CB=5，AC＝5∴sin∠故選：B．【點評】本題考查網格中求三角函數值，三角函數定義，勾股定理及其逆定理，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．二．填空題（共5小題）11．（2024秋?濟南期末）如圖，△ABC的頂點都在4×5的方格紙的格點上，則tan∠ABC的值為43【考點】解直角三角形．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．【答案】43【分析】在Rt△ABD中，利用銳角三角函數的定義進行計算即可解答．【解答】解：如圖：在Rt△ABD中，AD＝4，BD＝3，∴tan∠ABC=AD故答案為：43【點評】本題考查了解直角三角形，熟練掌握銳角三角函數的定義是解題的關鍵．12．（2024秋?常州期末）座椅是我們日常生活中不可或缺的物品．如圖，在調節椅背的過程中，椅面AB始終保持水平狀態，支撐架AC、BD與水平地面的夾角也始終保持不變．已知椅背AE的長度為60cm，當椅背AE與椅面AB的夾角從120°周節到150°時，人的頭部支撐點E向后水平推移了（303-30）cm【考點】解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題．【專題】解直角三角形及其應用；應用意識．【答案】（303-30【分析】通過作垂線，構造直角三角形，利用直角三角形的邊角關系進行計算即可．【解答】解：如圖，過點E，點E′分別作AB的垂線，分別與BA的延長線相交于點M、點N，在Rt△AEM中，AE＝60cm，∠EAM＝180°﹣120°＝60°，∴AM=12AE＝30（在Rt△AE′E中，AE′＝60cm，∠E′AN＝180°﹣150°＝30°，∴AN=32AE＝303（∴MN＝AN﹣AM＝（303-30）cm即人的頭部支撐點E向后水平推移了（303-30）cm故答案為：（303-30【點評】本題考查解直角三角形的應用，掌握直角三角形的邊角關系是正確解答的關鍵，作垂線構造直角三角形是解決問題的前提．13．（2024秋?江陰市期末）如圖，某校數學興趣小組為了測量塔AB的高度，將無人機飛升至距水平地面64.5米的C處，測得塔頂端A的俯角為45°，底端B的俯角為72°，則該塔的高度是43米．（參考數據：tan72°≈3）【考點】解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題．【專題】解直角三角形及其應用；應用意識．【答案】43．【分析】延長BA交距水平地面64.5米的水平線于點D，根據tan72°≈3，求出DC＝AD＝21.5米，即可求解．【解答】解：延長BA交距水平地面64.5米的水平線于點D，如圖，由題可知，BD＝64.5米，設AD＝x米，∵∠DCA＝45°，∴DC＝AD＝x米，∴tan72°=BDCD∴DC＝AD＝21.5（米），∴AB＝BD﹣AD＝64.5﹣21.5＝43（米），故答案為：43．【點評】本題主要考查解直角三角形的應用﹣仰角與俯角問題，理解題意，作出輔助線是解題關鍵．14．（2024秋?金水區校級期末）某數學小組用無人機測量黃鶴樓AB的高度，過程如下：如圖，將無人機垂直上升至距水平地面102m的C處，測得黃鶴樓頂端A的俯角為45°，底端B的俯角為63°，則測得黃鶴樓的高度是51m．（參考數據：tan63°≈2，sin63°≈1，cos63°≈0.5）【考點】解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．【答案】51．【分析】延長BA交距水平地面102m的水平線于點D，根據tan63°≈2，求出DC＝AD≈51m，即可求解．【解答】解：延長BA交距水平地面102m的水平線于點D，如圖，由題可知，BD＝102m，設AD＝xm，∵∠DCA＝45°，∴DC＝AD＝x，∴tan63∴DC＝AD≈51m，∴AB＝BD﹣AD＝102﹣51≈51（m），故答案為：51．【點評】本題主要考查解直角三角形的應用，理解題意，作出輔助線是解題關鍵．15．（2024秋?新城區期末）如圖，某停車場入口的欄桿從水平位置AB繞點O旋轉到A'B'的位置．已知AO＝4米，欄桿的旋轉角∠AOA'＝40°，則旋轉后點A的對應點A′到AB的距離A′H為4sin40°米．（用含40°角的三角函數表示）【考點】解直角三角形的應用．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．【答案】4sin40°．【分析】根據正弦函數的定義求解．【解答】解：在Rt△AHO中，OA＝OA＝4米，∠AOH＝40°，∴A′H＝OA′?sin40°＝4sin40°（米）．故答案為：4sin40°．【點評】本題考查解直角三角形的應用，解題的關鍵是掌握正弦函數的定義．三．解答題（共8小題）16．（2024秋?南岸區期末）如圖，A，B兩地的直線距離為7km，但因湖水相隔，不能直接到達．從A到B有兩條路可走．線路1：從A﹣C﹣B；線路2：從A﹣D﹣B．從地圖上可得到以下數據：點C位于A的正北方向，且在B的北偏西63°的方向；點D在A的東南方向，且位于B的南偏西37°方向．（參考數據：2≈1.4，5≈2.24，sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈2，sin37°≈0.60，cos37（1）求AD的長度；（保留1位小數）（2）通過計算說明，線路1和線路2，哪條線路更短．【考點】解直角三角形的應用﹣方向角問題．【專題】線段、角、相交線與平行線；解直角三角形及其應用；運算能力．【答案】（1）AD≈5.6km；（2）線路2更短．【分析】（1）通過作垂線構造直角三角形，由方向角的定義以及銳角三角函數的定義求出AE，進而求出AD即可；（2）利用直角三角形的邊角關系以及銳角三角函數求出AC，BC，BD即可．【解答】解：（1）如圖，過點D作DE⊥AB于點E，由題意得，AB＝7km，∠CAB＝90°，∠C＝63°，∠BDE＝37°，∠BAD＝45°，在Rt△ADE中，AB＝7，∠EAD＝45°，∴AE＝DE，在Rt△BDE中，AB＝7，∠BDE＝37°，∵tan37°=BE∴BE＝sin37°?DE，∵AE+BE＝AB＝7，∴AE+sin37°?DE＝7，即AE+0.75AE＝7，解得AE＝4＝DE，∴AD=2AE＝42≈5.6（（2）在Rt△ABC中，AB＝7，∠C＝63°，∴BC=ABsin∠ACBAC=ABtan∠ACB在Rt△BDE中，DE＝4，∠BDE＝37°，∴BD=DEcos∠BDE∴線路1，即A﹣C﹣B路線長為AC+BC＝3.5+7.9＝11.4（km），線路2，即A﹣D﹣B的路線長為AD+BD＝5.0+5.6＝10.6（km），∵11.4＜10.6，∴線路2更短．【點評】本題考查解直角三角形的應用，掌握直角三角形的邊角關系以及銳角三角函數是正確解答的關鍵．17．（2024秋?濟南期末）如圖1，在一個坡角（∠MON）為30°的斜坡ON上有一棵大樹AB（與地面垂直），從斜坡底端O點處測得大樹頂端B的仰角（∠MOB）為60°，OA＝6.4m．（1）求大樹AB的高度；（2）如圖2，某時刻太陽光線與水平線的夾角為26.5°，大樹AB在陽光下的影子AD落在斜坡上，求影子AD的長度．（結果精確到0.1m，參考數據：tan26.5°≈0.50，sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，2≈1.41，【考點】解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題；解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．【答案】（1）大樹AB的高度為6.4m；（2）影子AD的長度約為6.9m．【分析】（1）延長BA交OM于點C，根據題意可得：∠BCO＝90°，然后利用直角三角形的兩個銳角互余可得：∠B＝30°，再利用角的和差關系可得：∠B＝∠BON＝30°，從而可得AO＝AB＝6.4m，即可解答；（2）過點D作DE⊥AB，垂足為E，設AE＝xm，則BE＝（6.4﹣x）m，根據題意可得：DE∥OM，從而可得∠EDO＝∠NOM＝30°，然后在Rt△ADE中，利用含30度角的直角三角形的性質可得AD＝2xm，DE=3xm，再在Rt△BED中，利用銳角三角函數的定義求出DE的長，從而列出關于x【解答】解：（1）延長BA交OM于點C，由題意得：∠BCO＝90°，∵∠MOB＝60°，∴∠B＝90°﹣∠BOM＝30°，∵∠MON＝30°，∴∠BON＝∠BOM﹣∠MON＝30°，∴∠B＝∠BON＝30°，∴AO＝AB＝6.4m，∴大樹AB的高度為6.4m；（2）過點D作DE⊥AB，垂足為E，設AE＝xm，∵AB＝6.4m，∴BE＝AB﹣AE＝（6.4﹣x）m，由題意得：DE∥OM，∴∠EDO＝∠NOM＝30°，在Rt△ADE中，AD＝2AE＝2x（m），DE=3AE=3x（在Rt△BED中，∠BDE＝26.5°，∴DE=BEtan26.5°=6.4-x0.5=∴3x＝2（6.4﹣x），解得：x＝25.6﹣12.83，∴AD＝2x＝51.2﹣25.63≈6.9（m∴影子AD的長度約為6.9m．【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，坡度坡角問題，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．18．（2024秋?鎮海區期末）如圖，在△ABC中，CD是邊AB上的中線，∠A和∠B都是銳角且sinB=5（1）求AB的長；（2）求tan∠CDB的值．【考點】解直角三角形．【專題】作圖題；運算能力．【答案】（1）AB＝5，（2）2．【分析】（1）如圖，過點C作CE⊥AB于點E，解直角三角形求出EB，AE即可；（2）利用三角形中線的定義求出DB＝DA＝2.5，求出DE可得結論．【解答】解：（1）如圖，過點C作CE⊥AB于點E，在Rt△CEB中，sinB=5∴EC＝BC×55∴BE=BC∵tanA=EC∴AE＝3EC＝3，∴AB＝AE+EB＝3+2＝5；（2）∵CD是AB邊上的中線，∴AD＝DB=12AB＝∴DE＝DB﹣BE＝2.5﹣2＝0.5，∴tan∠CDB=ECDE【點評】本題考查解直角三角形，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題．19．（2024秋?金水區校級期末）近年我省大力推進風電規模化開發，在風力發電機組中“風電塔筒”的高度是重要的設計參數．某校數學小組開展了“測量風電塔筒高度”的實踐活動．如圖，一風電塔筒AH垂直于地面，測角儀CD，EF在AH兩側，點C，H，E在同一條直線上，CD＝EF＝1.6m，點C與點E相距203m．在D，F處分別測得點A的仰角為45°，53°．求風電塔筒AH的高度．（參考數據：sin53°≈45，cos53°≈【考點】解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題．【專題】解直角三角形及其應用；應用意識．【答案】風電塔筒AH的高度約為118m．【分析】連接DF交AH于點G，根據題意可得：DF⊥AH，DC＝GH＝FE＝1.6m，DF＝CE＝203m，然后設DG＝xm，則FG＝（203﹣x）m，分別在Rt△ADG和Rt△AFG中，利用銳角三角函數的定義求出AG的長，從而列出關于x的方程，進行計算即可解答．【解答】解：連接DF交AH于點G，由題意得：DF⊥AH，DC＝GH＝FE＝1.6m，DF＝CE＝203m，設DG＝xm，則FG＝DF﹣DG＝（203﹣x）m，在Rt△ADG中，∠ADG＝45°，∴AG＝DG?tan45°＝x（m），在Rt△AFG中，∠AFG＝53°，∴AG＝FG?tan53°≈43（203﹣x）∴x=43（203﹣解得：x＝116，∴AG＝116m，∴AH＝AG+GH＝116+1.6≈118（m），∴風電塔筒AH的高度約為118m．【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．20．（2024秋?太倉市期末）如圖1，一扇推拉式窗戶，AB為固定的窗框底邊，AC為該窗戶開啟的下沿一邊，可繞點A旋轉一定角度，MN為支撐桿，其中一端固定在窗戶下沿邊AC上的點M處，另一端點N在窗框底邊AB上滑動（窗戶關閉時，AC，MN疊合在AB邊上），支撐桿MN的長度固定不變．窗戶打開一定角度后，AC即與AB構成一個旋轉角∠CAB，其俯視平面圖如圖2所示，窗戶的旋轉角∠CAB的大小控制在一定范圍內0°≤∠CAB≤160°，MN＝20cm．（1）現將窗戶打開至旋轉角∠CAB＝45°時，第一次測得∠MNA＝30°，求此時AN的長；（2）在（1）的基礎上，繼續打開窗戶，即AC繞點A逆時針旋轉，旋轉角∠CAB從45°開始逐漸增大，旋轉后點M，N的對應點分別為點M'，N'，直至第二次測得∠M'N'A＝30°時停止，求端點N在此過程中滑動的長度．（結果均保留根號）【考點】解直角三角形的應用；勾股定理的應用．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．【答案】（1）（10+103）cm；（2）20cm．【分析】（1）如圖2中，過點N＝M作MH⊥ABy于點H．解直角三角形求出AH，HN即可；（2）如圖3中，作M′H′⊥BA交BA的延長線于點H′，求出AN′可得結論．【解答】解：（1）如圖2中，過點N＝M作MH⊥ABy于點H．在Rt△MNH中，∠MNH＝30°，MN＝20cm，∴MH=12MN=12×20＝10（cm），HN=3MH在Rt△AMH中，∠MAH＝45°，∴MH＝AH＝10（cm），AM＝102（cm），∴AN＝AH+HN＝（10+103）cm；（2）如圖3中，作M′H′⊥BA交BA的延長線于點H′．在Rt△M′N′H′中，∠M′N′H′＝30°，M′N′＝20cm，∴M′H′=12M′N′=12×20＝10（cm），H′N′=3M′H在Rt△AMH中，AH′=AM'2-∴AN′＝H′N′﹣AH′＝（103-10）cm∴端點N在此過程中滑動的長度＝（10+103）﹣（103-10）＝20（cm【點評】本題考查解直角三角形的應用，勾股定理，解題的關鍵是理解題意，學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題．21．（2024秋?永春縣期末）光線從空氣射入水中會發生折射現象，發生折射時，滿足的折射定律如圖所示：折射率n=sinαsinβ（α代表入射角，β代表折射角）．小明為了觀察光線的折射現象，設計了如圖2所示的實驗：通過細管可以看見水底的物塊，但從細管穿過的直鐵絲，卻碰不到物塊．圖3是實驗的示意圖，點A，C，B在同一直線上，測得BC＝14cm，BF＝24cm，DF＝（1）求BD的長度；（2）求光線從空氣射入水中的折射率n的值．【考點】解直角三角形的應用．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．【答案】（1）BD的長度為40cm；（2）43【分析】（1）根據題意可得：∠BFD＝90°，然后在Rt△BFD中，利用勾股定理進行計算，即可解答；（2）延長BD交AB于點G，根據題意可得：HG⊥AB，BF＝DG＝24cm，DF＝BG＝32cm，從而可得CG＝18cm，然后在Rt△DCG中，利用勾股定理可得CD＝30cm，從而利用銳角三角函數的定義可得sinβ=35，最后在Rt△BDG中，利用銳角三角函數的定義可得sin∠BDG＝sinα【解答】解：（1）由題意得：∠BFD＝90°，在Rt△BFD中，BF＝24cm，DF＝32cm，∴BD=BF2+∴BD的長度為40cm；（2）如圖：延長BD交AB于點G，由題意得：HG⊥AB，BF＝DG＝24cm，DF＝BG＝32cm，∵BC＝14cm，∴CG＝BG﹣BC＝32﹣14＝18（cm），在Rt△DCG中，CD=DG2+∴sinβ=GC在Rt△BDG中，BD＝40cm，∴sin∠BDG=BG∵∠α＝∠BDG，∴sinα=4∴光線從空氣射入水中的折射率n=sinα【點評】本題考查了解直角三角形的應用，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．22．（2024秋?碑林區期末）如圖，在一次數學實踐活動中，張老師帶領學生去測量學校附近一座垂直于地面的古塔的高度，小凡同學從古塔底部的點B處前行8.6m到達斜坡DC的底部點D處，然后沿著斜坡前行10m（DE＝10m）到達最佳測量點E處，在點E處測得塔頂A的仰角為30°，已知斜坡與水平地面的夾角為20°，且點A，B，C，D，E在同一個平面內，求該古塔的高度．（參考數據：tan20°≈0.36，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，3【考點】解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．【答案】該古塔的高度約為13.78m．【分析】過點E作EG⊥AB，垂足為G，根據題意可得：EF＝GB，EG＝FB，EF⊥FD，然后在Rt△EFD中，利用銳角三角函數的定義求出EF和DF的長，從而求出BD的長，再在Rt△AEG中，利用銳角三角函數的定義求出AG的長，最后利用線段的和差關系進行計算，即可解答．【解答】解：如圖：過點E作EG⊥AB，垂足為G，由題意得：EF＝GB，EG＝FB，EF⊥FD，在Rt△EFD中，∠EDF＝20°，DE＝10m，∴EF＝GB＝DE?sin20°≈10×0.34＝3.4（m），DF＝DE?cos20°≈10×0.94＝9.4（m），∵BD＝8.6m，∴EG＝BF＝DF+DB＝9.4+8.6＝18（m），在Rt△AEG中，∠AEG＝30°，∴AG＝EG?tan30°＝18×33=63∴AB＝AG+BG＝63+3.4≈13.78（m∴該古塔的高度約為13.78m．【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．23．（2024秋?碑林區校級期末）我國明朝數學家程大位寫過一本數學著作《直指算法統宗》，其中有一道與蕩秋千有關的數學問題是使用《西江月》詞牌寫的：平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，五尺人高曾記．仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉．良工高士素好奇，算出索長有幾？詞寫得很優美，翻譯成現代漢語的大意是：有一架秋千，當它靜止時，踏板離地1尺，將它往前推進10尺（5尺為一步），秋千的踏板就和某人一樣高，這個人的身高為5尺．（假設秋千的繩索拉的很直）（1）如圖1，請你根據詞意計算秋千繩索OA的長度；（2）某公園有一秋千如圖2所示，將秋千從與豎直方向夾角為α的位置OA′釋放，秋千擺動到另一側與豎直方向夾角為β的地方OA′′，兩次位置的高度差PQ＝h．當α＝46°、β＝28°、h＝0.8米時，請求出該秋千的長度（參考數據：sin46°≈0.72，cos46°≈0.69，tan46°≈1.04，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53，結果精確到0.1米）．【考點】解直角三角形的應用．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．【答案】（1）秋千繩索OA的長度為14.5尺；（2）該秋千的長度約為4.2米．【分析】（1）過點A′作A′M⊥OA，垂足為M，設OA＝OA′＝x尺，則OM＝（x﹣4）尺，然后在Rt△OA′M中，利用勾股定理列出方程進行計算，即可解答；（2）設OA＝OA′＝OA″＝x米，然后分別在Rt△OA′P和Rt△OQA″中，利用銳角三角函數的定義求出OP和OQ的長，從而列出關于x的方程，進行計算即可解答．【解答】解：（1）過點A′作A′M⊥OA，垂足為M，設OA＝OA′＝x尺，則OM＝x+1﹣5＝（x﹣4）尺，在Rt△OA′M中，OA′2＝OM2+A′M2，∴x2＝（x﹣4）2+102，解得：x＝14.5，∴OA＝OA′＝14.5尺，∴秋千繩索OA的長度為14.5尺；（2）設OA＝OA′＝OA″＝x米，在Rt△OA′P中，∠A′OP＝46°，∴OP＝OA′?cos46°≈0.69x（米），在Rt△OQA″中，∠QOA″＝28°，∴OQ＝OA″?cos28°≈0.88x（米），∵OQ﹣OP＝PQ，∴0.88x﹣0.69x＝0.8，解得：x≈4.2，∴OA＝OA′＝OA″≈4.2（米），∴該秋千的長度約為4.2米．【點評】本題考查了解直角三角形的應用，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．

考點卡片1．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．2．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：