2023-2024學年度第一學期期末質量檢測九年級數學試題滿分：120分時間：120分鐘說明：1．本試題分為第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分，共有25道題．第Ⅰ卷1-8為選擇題，共24分；第Ⅱ卷9-15題為填空題，16題為作圖題，17-25題為解答題，共96分．2．所有題目均在答題卡上作答，在試題上作答無效．第Ⅰ卷一、選擇題（本題共8小題，每小題3分，共24分）（下列每小題都給出標號A、B、C、D的四個結論．其中只有一個是正確的．每小題選對得分；不選、選錯或選出的標號超過一個的不得分．）1.已知，那么下列式子中一定成立的是（）A. B. C. D.2.在同一時刻的陽光下，小明影子比小強的影子長，則在同一路燈下（）A.小明的影子比小強的影子長B.小明的影子比小強的影子短C.小明的影子和小強的影子一樣長D.無法判斷誰的影子長3.班級元旦晚會上，主持人給大家帶來了一個有獎競猜題，他在一個不透明的袋子中放了若干個形狀大小完全相同的白球，想請大家想辦法估計出袋中白球的個數，數學課代表小明是這樣來估計的：他先往袋中放入10個形狀大小與白球相同的紅球，混勻后再從袋子中隨機摸出20個球，發現其中有4個紅球．如果設袋中有白球x個，根據小明的方法用來估計袋中白球個數的方程是（）A. B. C. D.4.已知都在反比例函數的圖象上，則a，b，c的大小關系用“＜”連接的結果為（）A. B. C. D.5.某校八年級組織一次籃球賽，各班均組隊參賽，賽制為單循環形式（每兩班之間都賽一場），共需安排15場比賽，則八年級班級的個數為（）A.5 B.6 C.7 D.86.如圖，四邊形內接于為對角線，經過圓心．若，則的度數為（）A. B. C. D.7.如圖，某公園入口處原有三級臺階，每級臺階高為，深為，為方便殘疾人士，擬將臺階改為斜坡，設臺階的起點為，斜坡的起始點為，現設計斜坡的坡度，則的長度是（）．A.210 B.120 C.504 D.608.已知二次函數的圖像如圖所示，有下列5個結論：①；②；③；④；⑤．其中正確的結論有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個第Ⅱ卷二、填空題（本題共7小題，每小題3分，共21分）9.已知α、β均銳角，且滿足+=0，則α+β=

___________．10.如圖所示是一個幾何體的三視圖，若這個幾何體的體積是6，則它的表面積是________．11.如圖是一幢建筑物和一根旗桿在一天中四個不同時刻的影子．將四幅圖按先后順序排列應為________．12.如圖，四邊形ABCD與四邊形EFGH位似，其位似中心為點O，且，則______．13.如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是矩形，四邊形ADEF是正方形，點A，D在x軸正半軸上，點C在y軸的正半軸上，點F在AB上，點B，E在反比例函數的圖象上，若正方形ADEF的面積為4，且，則k的值為___________．14.如圖，在正方形ABCD邊長為6，對角線AC、BD相交于點O，點E、F分別在BC、CD的延長線上，且CE=3，DF=2，G為EF的中點，連接OE，交CD于點H，連接GH，則GH的長為____________．15.如圖（1）所示，為矩形的邊上一點，動點、同時從點出發，點沿折線運動到點時停止，點沿運動到點時停止，它們運動的速度都是秒．設、同發秒時，的面積為．已知與的函數關系圖象如圖（2）（曲線為拋物線的一部分），則下列結論：①；②；③當時，；④當秒時，；其中正確的結論是___________．三、作圖題（本滿分4分）16.用圓規、直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．已知：線段，直線及外一點A．求作：矩形，使邊在直線上，對角線．四、解答題（本題共8道小題，滿分71分）17.計算：（1）（配方法）；（2）（用適當方法）．18.小明和小亮用圖中的轉盤做游戲：分別轉動轉盤兩次，兩次數字之差（大數減小數）等于2，小明勝；若兩次數字之差（大數減小數）等于1，則小亮勝，這個游戲對雙方平嗎？說說你的理由．（列表或畫樹狀圖說明）19.某商店購進一批單價為20元的日用品，如果以單價30元銷售，那么半個月內可以售出400件．根據銷售經驗，提高銷售單價會導致銷售量的減少，即銷售單價每提高1元，銷售量相應減少20件．問銷售單價定為多少時，才能在半個月內獲得最大利潤？20.如圖1，將一長方體放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式擺放，記錄桌面所受壓強與受力面積的關系如下表所示：桌面所受壓強4005008001001250受力面積（1）根據表中數據，求出壓強關于受力面積的函數表達式；（2）如圖2，將另一長，寬，高分別為，且與原長方體相同重量的長方體放置于該水平玻璃桌面上，若玻璃桌面承受的最大壓強為，問，這種擺放方式是否安全？請判斷并說明理由．21.閱讀與計算，請閱讀以下材料，完成相應的任務．角平分線分線段成比例定理：如圖1，在△ABC中，AD平分，則．下面是這個定理的部分證明過程．證明：如圖2，過C作，交BA的延長線于點E．（1）任務一：請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；（2）任務二：如圖3，△ABC中，E是BC中點，AD是的平分線，交AC于F．若，，直接寫出線段FC的長．22.拓展小組研制的智能操作機器人，如圖1，水平操作臺為l，底座AB固定，高AB為50cm，連桿BC長度為70cm，手臂CD長度為60cm．點B，C是轉動點，且AB，BC與CD始終在同一平面內，（1）轉動連桿BC，手臂CD，使，，如圖2，求手臂端點D離操作臺的高度DE的長（精確到1cm，參考數據：，）．（2）物品在操作臺上，距離底座A端110cm的點M處，轉動連桿BC，手臂CD，手臂端點D能否碰到點M？請說明理由．23.如圖，在中，是邊上的中線，是的中點，過點作，交的延長線于點，連接．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）若，，試判斷四邊形的形狀，并證明你的結論．24.公路上正在行駛的甲車，發現前方30m處沿同一方向行駛的乙車后，為了行駛安全，開始減速，減速后甲車行駛的路程s（單位：m）、速度v（單位：m/s）與時間t（單位：s）的關系分別可以用二次函數和一次函數表示，其圖象如圖所示．（1）當甲車減速至6m/s時，它行駛路程是多少？（2）若乙車以10m/s的速度勻速行駛，當時間t在什么范圍時，兩車間的距離不超過米？25.在平面直角坐標系中，O為原點，是等腰直角三角形，，，頂點，點B在第一象限，矩形的頂點，點C在y軸的正半軸上，點D在第二象限，射線經過點B．將矩形沿x軸向右平移，得到矩形，點O，C，D，E的對應點分別為，，，．設，矩形與重疊部分的面積為S．（1）如圖①，求點B、C、D坐標．（2）如圖②，當點在x軸正半軸上，且矩形與重疊部分為四邊形時，與相交于點F，試用含t的式子表示S．（3）在（2）問的條件下，是否存在某一時刻t，使得矩形與重疊部分的面積為S與的面積比為？若存在，求出t的值，若不存在，請說明理由．（4）當時，求S的最大值（直接寫出結果即可）．

2023-2024學年度第一學期期末質量檢測九年級數學試題滿分：120分時間：120分鐘說明：1．本試題分為第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分，共有25道題．第Ⅰ卷1-8為選擇題，共24分；第Ⅱ卷9-15題為填空題，16題為作圖題，17-25題為解答題，共96分．2．所有題目均在答題卡上作答，在試題上作答無效．第Ⅰ卷一、選擇題（本題共8小題，每小題3分，共24分）（下列每小題都給出標號A、B、C、D的四個結論．其中只有一個是正確的．每小題選對得分；不選、選錯或選出的標號超過一個的不得分．）1.已知，那么下列式子中一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了等式的性質，根據等式的性質，逐項分析判斷即可求解，熟練等式的性質：“等式的性質1：等式兩邊加(或減)同一個數(或式子)，結果仍相等；等式的性質2：等式兩邊乘同一個數，或除以同一個不為0的數(或式子)，結果仍相等．”是解題的關鍵．【詳解】解：，兩邊同時乘以15，可得，故A正確；當不等于0時，等式兩邊乘以可得，故B不正確；當不等于0時，等式兩邊乘以可得，故C不正確；根據，無法得到，故D不正確；故選：A．2.在同一時刻的陽光下，小明影子比小強的影子長，則在同一路燈下（）A.小明的影子比小強的影子長B.小明的影子比小強的影子短C.小明的影子和小強的影子一樣長D.無法判斷誰的影子長【答案】D【解析】【分析】本題考查中心投影和平行投影，理解中心投影和平行投影特點和規律是解答的關鍵．平行投影的特點是：在同一時刻，不同物體的物高和影長成比例．中心投影的特點是：①等高的物體垂直地面放置時，在燈光下，離點光源近的物體它的影子短，離點光源遠的物體它的影子長．②等長的物體平行于地面放置時，在燈光下，離點光源越近，影子越長；離點光源越遠，影子越短，但不會比物體本身的長度還短．根據在同一路燈下，由于位置不確定，則無法判斷誰的影子長短，進而可得結論．【詳解】解：∵在同一時刻的陽光下，小明影子比小強的影子長，∴小明的身高比小強高，∵在同一路燈下，兩人與路燈的距離不確定，∴無法判斷誰的影子長．故選：D．3.班級元旦晚會上，主持人給大家帶來了一個有獎競猜題，他在一個不透明袋子中放了若干個形狀大小完全相同的白球，想請大家想辦法估計出袋中白球的個數，數學課代表小明是這樣來估計的：他先往袋中放入10個形狀大小與白球相同的紅球，混勻后再從袋子中隨機摸出20個球，發現其中有4個紅球．如果設袋中有白球x個，根據小明的方法用來估計袋中白球個數的方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了用樣本數據估計總體數據，每一個小球被摸中的可能性都是相同的,因此可用摸中紅球的頻率代表袋子中紅球占總球數的占比，由此列出等式即可.列出等量關系是解題關鍵．【詳解】解：∵每一個小球被摸中的可能性都是相同的，∴由題可知，摸中紅球的頻率，袋子中紅球占總球數的，即，即可求出袋中白球的個數，故選：D．4.已知都在反比例函數的圖象上，則a，b，c的大小關系用“＜”連接的結果為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】此題考查了反比例函數的圖象和性質，先求出反比例函數的圖象兩支分別位于第一、三象限，在每個象限內y隨x的增大而減小，再進行判斷求解即可．【詳解】解：∵反比例函數，，∴反比例函數的圖象兩支分別位于第一、三象限，在每個象限內y隨x的增大而減小，∵點都在第三象限，∵，∴，又∵在反比例函數的圖象上，∴，∴．故選：A．5.某校八年級組織一次籃球賽，各班均組隊參賽，賽制為單循環形式（每兩班之間都賽一場），共需安排15場比賽，則八年級班級的個數為（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】【分析】設有x個班級參加比賽，根據題目中的比賽規則，可得一共進行了場比賽，即可列出方程，求解即可．【詳解】解：設有x個班級參加比賽，，，解得：（舍），則共有6個班級參加比賽，故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，解題關鍵是讀懂題意，得到比賽總數的等量關系．6.如圖，四邊形內接于為對角線，經過圓心．若，則的度數為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由同弧所對圓周角相等及直角三角形的性質即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵為圓的直徑，∴，∴；故選：B．【點睛】本題考查了直徑所對的圓周角是直角，同圓中同弧所對的圓周角相等，直角三角形兩銳角互余，掌握它們是關鍵．7.如圖，某公園入口處原有三級臺階，每級臺階高為，深為，為方便殘疾人士，擬將臺階改為斜坡，設臺階的起點為，斜坡的起始點為，現設計斜坡的坡度，則的長度是（）．A.210 B.120 C.504 D.60【答案】A【解析】【分析】過點作，交于點，求出、的長度，由坡度求出的長度，即可求解，本題考查了解直角三角形的應用，解題的關鍵是：根據已知條件添加輔助線．【詳解】解：過點作，交于點，臺階高為，深為，，，斜坡的坡度，，，，故選：．8.已知二次函數圖像如圖所示，有下列5個結論：①；②；③；④；⑤．其中正確的結論有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】C【解析】【分析】本題考查二次函數圖像與性質，涉及由二次函數圖像與性質確定代數式符號，根據二次函數圖像與性質逐項驗證即可得到答案，熟記二次函數圖像與性質是解決問題的關鍵．【詳解】解：由圖可知，，，，，即，①，故①錯誤；②當時，，由于拋物線與軸左邊交點橫坐標大于，則拋物線與軸右邊交點橫坐標小于，從而可知當時，，故②正確；③拋物線與軸有兩個交點，從而得到，即，故③錯誤；④由，則，當時，，則，即，從而得到，故④正確；⑤當時，為拋物線最大值；從而，即，故⑤正確；綜上所述，正確的有②④⑤三個，故選：C．第Ⅱ卷二、填空題（本題共7小題，每小題3分，共21分）9.已知α、β均為銳角，且滿足+=0，則α+β=

___________．【答案】75°##75度【解析】【分析】根據非負數的性質得到sinα=，tanβ=1，利用特殊角的三角函數值分別求出α、β，計算即可．【詳解】由已知得sinα－=0，tanβ－1=0，∴α=30°，β=45°，∴α+β=75°．【點睛】本題考查的是特殊角的三角函數值、非負數的性質，掌握絕對值和算術平方根的非負性是解題的關鍵．10.如圖所示是一個幾何體的三視圖，若這個幾何體的體積是6，則它的表面積是________．【答案】22【解析】【分析】根據主視圖與左視圖得出長方體的邊長，再利用圖形的體積得出它的高，進而得出表面積.【詳解】由主視圖得出長方體的長是3，寬是1，這個幾何體的體積是6，設高為h，則3×1×h=6，解得:h=2，它的表面積是:2×3×2+2×3×1+2×1×2=22.故答案為：22.【點睛】此題主要考查了利用三視圖判斷幾何體的邊長，得出圖形的高是解題關鍵．11.如圖是一幢建筑物和一根旗桿在一天中四個不同時刻的影子．將四幅圖按先后順序排列應為________．【答案】④①③②【解析】【分析】根據影子變化規律可知道時間的先后順序．【詳解】解：從早晨到傍晚物體的指向是：西-西北-北-東北-東，影長由長變短，再變長．則四幅圖按先后順序排列應是④①③②．故答案為④①③②．【點睛】本題考查平行投影的特點和規律．在不同時刻，同一物體的影子的方向和大小可能不同，不同時刻物體在太陽光下的影子的大小在變，方向也在改變，就北半球而言，從早晨到傍晚物體的指向是：西-西北-北-東北-東，影長由長變短，再變長．12.如圖，四邊形ABCD與四邊形EFGH位似，其位似中心為點O，且，則______．【答案】【解析】【分析】利用位似圖形的性質結合位似比等于相似比得出答案．【詳解】四邊形ABCD與四邊形EFGH位似，其位似中心為點O，且，，則，故答案為．【點睛】本題考查了位似的性質，熟練掌握位似的性質是解題的關鍵.13.如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是矩形，四邊形ADEF是正方形，點A，D在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，點F在AB上，點B，E在反比例函數的圖象上，若正方形ADEF的面積為4，且，則k的值為___________．【答案】8【解析】【分析】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征：反比例函數的圖象是雙曲線，圖象上的點的橫縱坐標的積是定值k，即．先由正方形的面積為4，得出邊長為2，求得．設B點坐標為，則E點坐標，根據點B、E在反比例函數的圖象上，列出t的方程，即可求出k．【詳解】解：∵正方形的面積為4，∴正方形的邊長為2，∴，．設B點坐標為，則E點坐標（t+2，2），∵點B、E在反比例函數的圖象上，∴，解得，．故答案為：8．14.如圖，在正方形ABCD的邊長為6，對角線AC、BD相交于點O，點E、F分別在BC、CD的延長線上，且CE=3，DF=2，G為EF的中點，連接OE，交CD于點H，連接GH，則GH的長為____________．【答案】【解析】【分析】作OK⊥BC，垂足為點K，作GM⊥CD，垂足為點M．根據相似三角形的判定和性質，可求出CH和MG的長，再求出MH的長，最后利用勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，作OK⊥BC，垂足為點K，作GM⊥CD，垂足為點M，∵OK⊥BC，AB⊥BC，∴，∴，∴．∵正方形邊長為6，∴OK=3，KC=3，∴KC=CE，即C為KE中點．又∵，∴，∴，∴，∴CH=OK=．∵，∴，∴，∴．又∵G點為EF中點，即，∴GM=CE=，MC=MF=FC=(CD+DF)=×(6+2)=4，∴MH=MC?HC=4?=．在Rt△MHG中，，故答案為：．【點睛】本題綜合考查了正方形的性質、相似三角形的判定和性質、勾股定理等內容．解決本題的關鍵是能作出輔助線構造相似三角形．15.如圖（1）所示，為矩形的邊上一點，動點、同時從點出發，點沿折線運動到點時停止，點沿運動到點時停止，它們運動的速度都是秒．設、同發秒時，的面積為．已知與的函數關系圖象如圖（2）（曲線為拋物線的一部分），則下列結論：①；②；③當時，；④當秒時，；其中正確的結論是___________．【答案】①④【解析】【分析】本題考查了動點問題的函數圖象．根據圖（2）可以判斷三角形的面積變化分為三段，可以判斷出當點到達點時點到達點，從而得到、的長度，再根據、是從5秒到7秒，可得的長度，然后表示出的長度，根據勾股定理求出的長度，然后針對各小題分析解答即可．【詳解】解：根據圖（2）可得，當點到達點時點到達點，點、的運動的速度都是秒，，，故①正確；又從到的變化是2，，，在中，，，故②錯誤；過點作于點，∵，，，，當時，，故③錯誤；當秒時，點在上，此時，，，，，，又，，故④正確．綜上所述，正確的有①④．故答案為：①④．三、作圖題（本滿分4分）16.用圓規、直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．已知：線段，直線及外一點A．求作：矩形，使邊在直線上，對角線．【答案】見解析【解析】【分析】根據垂直平分線的作法及矩形的判定作圖即可．【詳解】解：①以點A為圓心，線段c為半徑畫弧交直線l于點C和，即；②作線段的垂直平分線交于點B；③分別以點C和為圓心，AB長為半徑向上畫弧，再以A為圓心，長為半徑畫弧，分別交于點D和，；④連接，；如圖所示：矩形與矩形即為所求．【點睛】題目主要考查垂直平分線的作法及矩形的判定，理解題意，掌握基本的作圖方法是解題關鍵．四、解答題（本題共8道小題，滿分71分）17.計算：（1）（配方法）；（2）（用適當方法）．【答案】（1），；（2），．【解析】【分析】（1）利用配方法得到，然后利用直接開平方法解方程；（2）先把方程化為，再利用因式分解法把方程轉化為或，然后解兩個一次方程即可．【小問1詳解】解：，，，，，，所以，；【小問2詳解】，，，或，所以，．【點睛】本題考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．18.小明和小亮用圖中的轉盤做游戲：分別轉動轉盤兩次，兩次數字之差（大數減小數）等于2，小明勝；若兩次數字之差（大數減小數）等于1，則小亮勝，這個游戲對雙方平嗎？說說你的理由．（列表或畫樹狀圖說明）【答案】不公平，理由見解析【解析】【分析】此題主要考查了樹狀圖法求概率，利用樹狀圖得出所有的可能，進而利用分別求出概率進而得出答案，正確畫出樹狀圖是解題關鍵．【詳解】解：如圖所示：所有的兩數之差為：0，1，2，3，1，0，1，2，2，1，0，1，3，2，1，0共有16種，兩次數字之差（大數減小數）等于2的有4種，故兩數字之差為2的概率為；兩次數字之差（大數減小數）等于1的有6種，故兩數字之差為1的概率為，故該游戲不公平．s19.某商店購進一批單價為20元的日用品，如果以單價30元銷售，那么半個月內可以售出400件．根據銷售經驗，提高銷售單價會導致銷售量的減少，即銷售單價每提高1元，銷售量相應減少20件．問銷售單價定為多少時，才能在半個月內獲得最大利潤？【答案】單價定為35元時，才能在半個月內獲得最大利潤【解析】【分析】本題考查了二次函數的銷售盈利問題：先設銷售單價為x元，銷售利潤為y元，每件盈利元，銷售數量為件，列式化簡計算，即可作答．【詳解】解：設銷售單價為x元，銷售利潤為y元，根據題意，得，開口向下，在時，則有最大值，當銷售單價定為35元時，才能在半個月內獲得最大利潤．20.如圖1，將一長方體放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式擺放，記錄桌面所受壓強與受力面積的關系如下表所示：桌面所受壓強4005008001001250受力面積（1）根據表中數據，求出壓強關于受力面積的函數表達式；（2）如圖2，將另一長，寬，高分別為，且與原長方體相同重量的長方體放置于該水平玻璃桌面上，若玻璃桌面承受的最大壓強為，問，這種擺放方式是否安全？請判斷并說明理由．【答案】（1）（2）不安全，理由見解析【解析】【分析】本題考查反比例函數解應用題，涉及待定系數法確定函數關系式、反比例函數圖像與性質等知識，讀懂題意，找出反比例函數表達式是解決問題的關鍵．（1）根據題中數據，可知壓強關于受力面積的滿足反比例函數關系，待定系數法確定函數關系式即可得到答案；（2）由（1）中關系式，求出接觸面積，代值求解與玻璃桌面承受的最大壓強為比較即可得到答案．【小問1詳解】解：，壓強關于受力面積的滿足反比例函數關系，設壓強關于受力面積的函數表達式為，則，壓強關于受力面積的函數表達式為；【小問2詳解】解：不安全，理由見解析：由（1）知，將另一長，寬，高分別為，右圖中放置方式可得，，這種擺放方式不安全．21.閱讀與計算，請閱讀以下材料，完成相應的任務．角平分線分線段成比例定理：如圖1，在△ABC中，AD平分，則．下面是這個定理部分證明過程．證明：如圖2，過C作，交BA的延長線于點E．（1）任務一：請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；（2）任務二：如圖3，△ABC中，E是BC中點，AD是的平分線，交AC于F．若，，直接寫出線段FC的長．【答案】（1）見解析（2）13【解析】【分析】（1）根據得到，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E，根據∠1＝∠2，∴得到∠ACE＝∠E，AE＝AC，得到；（2）根據AD平分∠BAC，AB=11，AC=15得到，得到，根據E是BC的中點，得到，根據EF∥AD，得到，CF=13．【小問1詳解】證明：證明的剩余部分，∴，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E，∵∠1＝∠2，∴∠ACE＝∠E，∴AE＝AC，∴，即．【小問2詳解】解：∵AD平分∠BAC，AB=11，AC=15,∴，∴，∴，∴，∵E是BC的中點，∴，∵EF∥AD，∴，∴CF=13．【點睛】本題考查了角平分線性質的證明和應用，解決問題的關鍵是熟練掌握平行線分線段成比例定理，線段的和差倍分關系．22.拓展小組研制的智能操作機器人，如圖1，水平操作臺為l，底座AB固定，高AB為50cm，連桿BC長度為70cm，手臂CD長度為60cm．點B，C是轉動點，且AB，BC與CD始終在同一平面內，（1）轉動連桿BC，手臂CD，使，，如圖2，求手臂端點D離操作臺的高度DE的長（精確到1cm，參考數據：，）．（2）物品在操作臺上，距離底座A端110cm的點M處，轉動連桿BC，手臂CD，手臂端點D能否碰到點M？請說明理由．【答案】（1）106cm；（2）能碰到，見解析【解析】【分析】（1）通過作輔助線構造直角三角形，利用三角函數值解直角三角形即可完成求解；

（2）求出端點D能夠到的最遠距離，進行比較即可得出結論．【詳解】解：（1）過點C作于點P，過點B作于點Q，如圖1，，，在中，，．，．∴手臂端點D離操作臺l的高度DE的長為106cm．

（2）能．理由：當點B，C，D共線時，如圖2，，，在中，，．手臂端點D能碰到點M．

【點睛】本題考查了直角三角形的應用，涉及到了解直角三角形等知識，解決本題的關鍵是能讀懂題意，并通過作輔助線構造直角三角形，能正確利用三角函數值解直角三角形等，考查了學生的綜合分析與知識應用的能力．23.如圖，在中，是邊上的中線，是的中點，過點作，交的延長線于點，連接．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）若，，試判斷四邊形的形狀，并證明你的結論．【答案】（1）見解析（2）四邊形是正方形．理由見解析【解析】【分析】本題考查了全等三角形的性質和判定，平行四邊形的判定，正方形的判定的應用．（1）根據證，利用全等三角形的對應邊相等得到．結合已知條件，利用“有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”證得結論；（2）得出四邊形是平行四邊形，根據直角三角形斜邊上中線性質得出，根據正方形的判定推出即可．【小問1詳解】證明：∵，，是的中點，是邊上的中線，，，在和中，，，，，．∵，四邊形是平行四邊形；【小問2詳解】解：四邊形是正方形．理由如下：證明：在中，，，是斜邊上的中線，，，平行四邊形是正方形．24.公路上正在行駛的甲車，發現前方30m處沿同一方向行駛的乙車后，為了行駛安全，開始減速，減速后甲車行駛的路程s（單位：m）、速度v（單位：m/s）與時間t（單位：s）的關系分別可以用二次函數和一次函數表示，其圖象如圖所示．（1）當甲車減速至6m/s時，它行駛的路程是多少？（2）若乙車以10m/s的速度勻速行駛，當時間t在什么范圍時，兩車間的距離不超過米？【答案】（1）當甲車減速至時，它行駛