山東省濟南市市中區2023-2024學年九年級上學期期末數學試卷一、選擇題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.從正面觀察如圖所示幾何體，看到的形狀圖是（）A. B.C. D.2.已知，則值為（）A. B. C. D.3.已知反比例函數的圖象經過點，則下列各點中也在該函數圖象上的是（）A. B. C. D.4.拋物線的頂點坐標是（）A. B. C. D.5.在一個不透明口袋中裝有4個紅球，5個白球和若干個黑球，它們除顏色外其他完全相同，通過多次摸球試驗后發現，摸到白球的頻率穩定在25%附近，則口袋中黑球可能有（）個．A.10 B.11 C.12 D.136.如圖，在的矩形網格中，每個小正方形的邊長都是1，則的值為（）A.1 B. C. D.7.如圖，C，D是上直徑兩側的兩點，設，則（）A. B. C. D.8.如圖，在直角坐標系中，點是一個光源．木桿兩端的坐標分別為、．則木桿在軸上的投影長為（）A.3 B.5 C.6 D.79.一次函數與反比例函數（a，b為常數且均不等于0）在同一坐標系內的圖象可能是（）A. B.C. D.10.已知二次函數（其中x是自變量），當時對應的函數值y均為正數，則a的取值范圍為（）A. B.C.或 D.或二、填空題（共6小題，每小題4分，滿分24分.填空題請直接填寫答案.）11.若為銳角，，則________．12.如圖，與位似，點O為位似中心，，的面積為2，則的面積為_______．13.如圖，點A是反比例函數（，）的圖象上一點，過點A作軸于點B，點P是y軸上任意一點，連接，．若的面積等于3，則k的值為_____．14.如圖拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸是x＝﹣1，與x軸的一個交點為（﹣5，0），則不等式ax2+bx+c＞0的解集為_____．15.如圖，將半徑為的圓形紙片翻折，使得，，折痕為，則陰影部分的面積為___________________．16.如圖，，，以為斜邊在的右側作，其中，，當長度最大時，點D到的距離是___________________．三、解答題（本大題共10個小題，共86分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.計算：．18.已知如圖，，分別是的邊，上的點，，，，．求的長度．19.如圖，小明想要用撬棍撬動一塊大石頭，已知阻力為，阻力臂長為．設動力為，動力臂長為．（杠桿平衡時，動力×動力臂=阻力×阻力臂，圖中撬棍本身所受的重力忽略不計）（1）求y關于x的函數解析式．（2）當動力臂長為時，撬動石頭至少需要多大的力？20.隨著高鐵、地鐵的大量興建以及鐵路的改擴建，我國人民的出行方式越來越多，出行越來越便捷．為保障旅客快捷、安全的出入車站，每個車站都修建了如圖所示的出入閘口．某車站有四個出入閘口，分別記為A、B、C、D．（1）當一名乘客通過該站閘口時，恰好從B閘口通過的概率是______．（2）請用樹狀圖或列表法求甲、乙兩名乘客選擇相同閘口通過的概率．21.如圖大樓的高度為，小可為了測量大樓頂部旗桿的高度，他從大樓底部B處出發，沿水平地面前行到達D處，再沿著斜坡走到達E處，測得旗桿頂端C的仰角為．已知斜坡與水平面的夾角，圖中點A，B，C，D，E，G在同一平面內（結果精確到）（1）求斜坡的鉛直高度和水平寬度．（2）求旗桿的高度．（參考數據：，，，）22.如圖，在中，，以為半徑的與相交于點E，與相切于點D（1）求證：平分；（2）已知，，求的半徑r．23.把邊長為的正方形硬紙板（如圖），在四個頂點處分別剪掉一個小正方形，折成一個長方體形的無蓋盒子（如圖），長方體形的無蓋盒子的側面積為．（1）求與的函數關系式；直接寫出取值范圍；（2）求當取何值時，達到最大，并求出最大值．24.在平面直角坐標系中，定義：橫坐標與縱坐標均為整數的點為整點．如圖，已知雙曲線經過點，在第一象限內存在一點，滿足．（1）求的值；（2）如圖，過點分別作平行于軸，軸的直線于點、，記線段、、雙曲線所圍成的區域為（含邊界），當時，區域的整點個數為；直線過一個定點，若點為此定點，直線上方（不包含直線）的區域記為，直線下方（不包含直線）的區域記為，當與的整點個數之差不超過時，請求出的取值范圍．25.（1）問題發現：如圖1，和中，，，，連接，填空：；；（2）類比探究：如圖2，在和中，，,連接交的延長線于點M，請判斷，并說明理由；（3）拓展延伸：如圖3，在（2）的條件下，將繞點O旋轉至點C與點M重合，，填空：．26.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，對稱軸為直線，點A的坐標為．（1）該拋物線的表達式為；（2）點P為拋物線上一點（不與點A重合），連接．當時，求點P的坐標；（3）在（2）的條件下，在對稱軸上是否存在一點Q，將線段繞點Q順時針旋轉，使點恰好落在拋物線上？若存在，求出Q點坐標；若不存在，請說明理由．

山東省濟南市市中區2023-2024學年九年級上學期期末數學試卷一、選擇題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.從正面觀察如圖所示的幾何體，看到的形狀圖是（）A B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查幾何體的三視圖．根據觀察方向即可求解．【詳解】解：從正面看，下方長方體看到的是長方形，上方圓柱看到的也是長方形且兩個長方形在左側位置對齊故選：A2.已知，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，設則再代入分式求值即可.【詳解】解：，設故選：【點睛】本題考查的是分式的值，掌握設輔助參數的方法求解分式的值是解題的關鍵.3.已知反比例函數的圖象經過點，則下列各點中也在該函數圖象上的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先利用待定系數法求出的值，再分別計算出四個選項中的點的橫縱坐標的積，等于的值的就在反比例函數圖象上，反之則不在．【詳解】解：∵反比例函數的圖象經過點，∴，A、，故此點不在此函數圖象上；B、，故此點在此函數圖象上；C、，故此點不在此函數圖象上；D、，故此點不在此函數圖象上．故選：B．【點睛】此題主要考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，關鍵是掌握圖象上的點的橫縱坐標的積是定值，即．4.拋物線的頂點坐標是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據二次函數的頂點式可得頂點坐標為即可得到結果．【詳解】∵二次函數解析式為，∴頂點坐標為；故選：B．【點睛】本題主要考查了二次函數頂點式的頂點坐標的求解，準確理解是解題的關鍵．5.在一個不透明的口袋中裝有4個紅球，5個白球和若干個黑球，它們除顏色外其他完全相同，通過多次摸球試驗后發現，摸到白球的頻率穩定在25%附近，則口袋中黑球可能有（）個．A.10 B.11 C.12 D.13【答案】B【解析】【分析】設黑球可能有個，根據摸到白球的頻率穩定在25%附近得到口袋中摸到白球的概率為25%，根據概率公式即可求出黑球的個數．【詳解】解：設黑球可能有個∵摸到白球的頻率穩定在25%附近∴口袋中摸到白球概率為25%∴∴經檢驗：x=11是原方程的解，也符合題意.∴黑球可能有11個故選：B．【點睛】本題考查了利用頻率估計概率、根據概率公式計算概率等知識點，由頻率估計概率是解答本題的關鍵．6.如圖，在的矩形網格中，每個小正方形的邊長都是1，則的值為（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】在中利用正切函數的定義即可求解．本題考查了正切函數的定義，掌握三角函數就是直角三角形中邊的比是關鍵【詳解】解：如圖，在中，，，則．故選：B．7.如圖，C，D是上直徑兩側的兩點，設，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了直徑所對的圓周角為90°，直角三角形兩銳角互余，以及同弧所對的圓周角相等，由是直徑可得，由可知，再根據同弧所對的圓周角相等，可得的度數，即可得出答案．【詳解】解：是的直徑，，，，，，故選：B．8.如圖，在直角坐標系中，點是一個光源．木桿兩端的坐標分別為、．則木桿在軸上的投影長為（）A.3 B.5 C.6 D.7【答案】C【解析】【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質、中心投影；利用中心投影，延長、分別交軸于，作軸于，交AB于，如圖，證明，然后利用相似比可求出的長．【詳解】解：延長分別交x軸于，作軸于，交于，如圖∵．∴，，，∵，∴，∴，即∴，故選：C．9.一次函數與反比例函數（a，b為常數且均不等于0）在同一坐標系內的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據一次函數圖象確定a、b的符號，進而求出的符號，由此可以確定反比例函數圖象所在的象限，看是否一致即可．【詳解】解：A、∵一次函數圖象經過第一、二、三象限，∴，∴，∴反比例函數的圖象見過第一、三象限，這與圖形不符合，故A不符合題意；B、∵一次函數圖象經過第一、二、四象限，∴，∴，∴反比例函數的圖象見過第二、四象限，這與圖形不符合，故B不符合題意；C、∵一次函數圖象經過第一、三、四象限，∴，∴，∴反比例函數的圖象見過第二、四象限，這與圖形不符合，故C不符合題意；D、∵一次函數圖象經過第一、二、四象限，∴，∴，∴反比例函數的圖象見過第二、四象限，這與圖形符合，故D符合題意；故選D．【點睛】本題主要考查了一次函數與反比例函數圖象和性質，熟練掌握相關性質與函數圖象的關系是解決本題的關鍵．10.已知二次函數（其中x是自變量），當時對應的函數值y均為正數，則a的取值范圍為（）A. B.C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】本題考查了二次函數圖象與系數的關系，二次函數的性質，拋物線與x軸的交點，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．首先根據題意求出對稱軸，然后分兩種情況：和，分別根據二次函數的性質求解即可．【詳解】解：∵二次函數，∴對稱軸，當時，∵當時對應的函數值均為正數，∴此時拋物線與x軸沒有交點，∴，∴解得；當時，∵當時對應的函數值均為正數，∴當時，，∴解得，∴，∴綜上所述，當時對應的函數值均為正數，則的取值范圍為或．故選：D．二、填空題（共6小題，每小題4分，滿分24分.填空題請直接填寫答案.）11.若為銳角，，則________．【答案】30【解析】【分析】本題主要考查了特殊角的三角函數值，牢記常見特殊角的三角函數值是解題的關鍵．根據“”即可解答．【詳解】解：∵，∴．故答案為：30．12.如圖，與位似，點O為位似中心，，的面積為2，則的面積為_______．【答案】18【解析】【分析】本題考查了位似變換：位似的兩圖形兩個圖形必須是相似形；對應點的連線都經過同一點；對應邊平行（或共線）．利用位似的性質得到，，所以，然后根據相似三角形的性質求解．【詳解】解：∵與位似，點O為位似中心，∴，，∴∵，∴，∴．故答案為：18．13.如圖，點A是反比例函數（，）的圖象上一點，過點A作軸于點B，點P是y軸上任意一點，連接，．若的面積等于3，則k的值為_____．【答案】6【解析】【分析】本題主要考查反比例函數中k的幾何意義．連接，由于同底等高的兩個三角形面積相等，則，然后根據反比例函數中k的幾何意義有，再結合函數圖象所在的象限，確定k的值．【詳解】解：如圖，連接，軸，，，，反比例函數的圖象的一支位于第一象限，，，故答案為：6．14.如圖拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸是x＝﹣1，與x軸的一個交點為（﹣5，0），則不等式ax2+bx+c＞0的解集為_____．【答案】﹣5＜x＜3【解析】【分析】先根據拋物線的對稱性得到A點坐標（3，0），由y＝ax2+bx+c＞0得函數值為正數，即拋物線在x軸上方，然后找出對應的自變量的取值范圍即可得到不等式ax2+bx+c＞0的解集．【詳解】解：根據圖示知，拋物線y＝ax2+bx+c圖象的對稱軸是x＝﹣1，與x軸的一個交點坐標為（﹣5，0），根據拋物線的對稱性知，拋物線y＝ax2+bx+c圖象與x軸的兩個交點關于直線x＝﹣1對稱，即拋物線y＝ax2+bx+c圖象與x軸的另一個交點與（﹣5，0）關于直線x＝﹣1對稱，∴另一個交點的坐標為（3，0），∵不等式ax2+bx+c＞0，即y＝ax2+bx+c＞0，∴拋物線y＝ax2+bx+c的圖形在x軸上方，∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣5＜x＜3．故答案為﹣5＜x＜3．【點睛】此題主要考查了二次函數與不等式，解答此題的關鍵是求出圖象與x軸的交點，然后由圖象找出當y＞0時，自變量x的范圍，本題鍛煉了學生數形結合的思想方法．15.如圖，將半徑為的圓形紙片翻折，使得，，折痕為，則陰影部分的面積為___________________．【答案】##【解析】【分析】本題主要考查了翻折變換（折疊問題）、扇形面積的計算等．作于點D，連接，求出，得到，進而求得，再利用陰影部分的面積得出陰影部分的面積是面積的，即可得出結果．【詳解】解：作于點D，連接．由折疊知，∴，∴，同理，∴，∴陰影部分的面積，故答案為：．16.如圖，，，以為斜邊在的右側作，其中，，當長度最大時，點D到的距離是___________________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質，構造出與相似的三角形得出取最大時的情況是本題解題的關鍵；以為斜邊構造與相似的直角三角形，然后利用三角形三邊關系得出最大時的情況，再根據相似三角形的判定和性質進行求解即可．【詳解】解：作直角三角形，使，，，連接，∵，，∴設，，則，∵，，∴，∴，∴，即，∵，∴，∴，∵，，∴，當在同一直線上時，即時，長度最大，∵，∴，∴四點共圓，∴，作于F，∴，∴，∴，∴，即，∴，故答案為：三、解答題（本大題共10個小題，共86分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.計算：．【答案】5【解析】【分析】本題考查了實數的運算，零指數冪，負整數指數冪，特殊角的三角函數值．先化簡各式，然后再進行計算即可解答．【詳解】解：．18.已知如圖，，分別是的邊，上的點，，，，．求的長度．【答案】【解析】【分析】本題考查了相似三角形的判定，根據題意得到，，可得，即可解題．【詳解】，，．，∵，，，，∴19.如圖，小明想要用撬棍撬動一塊大石頭，已知阻力為，阻力臂長為．設動力為，動力臂長為．（杠桿平衡時，動力×動力臂=阻力×阻力臂，圖中撬棍本身所受的重力忽略不計）（1）求y關于x的函數解析式．（2）當動力臂長為時，撬動石頭至少需要多大的力？【答案】（1）；（2）當動力臂長為時，撬動石頭至少需要的力．【解析】【分析】(1)根據動力×動力臂=阻力×阻力臂，即可得出y關于x的函數表達式；(2)將x=1.5代入(1)中所求解析式，即可得出y的值．【小問1詳解】解：由題意，得，則，∴y關于x的函數解析式為．【小問2詳解】解：∵，∴當時，，故當動力臂長為時，撬動石頭至少需要的力．【點睛】此題主要考查了反比例函數的應用，正確得出y與x之間的關系是解題關鍵．20.隨著高鐵、地鐵的大量興建以及鐵路的改擴建，我國人民的出行方式越來越多，出行越來越便捷．為保障旅客快捷、安全的出入車站，每個車站都修建了如圖所示的出入閘口．某車站有四個出入閘口，分別記為A、B、C、D．（1）當一名乘客通過該站閘口時，恰好從B閘口通過的概率是______．（2）請用樹狀圖或列表法求甲、乙兩名乘客選擇相同閘口通過的概率．【答案】（1）；（2）P（甲乙乘客選擇相同閘口通過）．【解析】【分析】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．（1）直接根據概率公式求解即可；（2）畫樹狀圖列出所有等可能結果，從中找到符合條件的結果數，再根據概率公式求解即可．【小問1詳解】解：一名乘客通過該站閘口時，他選擇閘口通過的概率為；【小問2詳解】解：畫樹狀圖得：由樹狀圖可知：有16種等可能的結果，其中兩名乘客選擇相同閘口通過的有4種結果，即，，，，兩名乘客選擇相同閘口通過的概率．21.如圖大樓的高度為，小可為了測量大樓頂部旗桿的高度，他從大樓底部B處出發，沿水平地面前行到達D處，再沿著斜坡走到達E處，測得旗桿頂端C的仰角為．已知斜坡與水平面的夾角，圖中點A，B，C，D，E，G在同一平面內（結果精確到）（1）求斜坡的鉛直高度和水平寬度．（2）求旗桿的高度．（參考數據：，，，）【答案】（1）ED的鉛直高度約為，水平寬度約為（2）【解析】【分析】本題考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題．（1）在中，利用銳角三角函數的定義進行計算即可解答；（2）過點E作，垂足為H，根據題意可得：，則，然后在中，利用銳角三角函數的定義求出的長，最后利用線段的和差關系進行計算即可解答．【小問1詳解】解：在中，，∴，，∴斜坡的鉛直高度約為，水平寬度約為；【小問2詳解】解：過點E作，垂足為H，由題意得：，∴，在中，，∴，∴，∴旗桿的高度約為．22.如圖，在中，，以為半徑的與相交于點E，與相切于點D（1）求證：平分；（2）已知，，求的半徑r．【答案】（1）詳見解析（2）【解析】【分析】（1）連接，根據切線的性質得到，進而得到，根據平行線的性質、等腰三角形的性質證明結論；（2）根據余弦的定義求出，根據列出比例式，把已知數據代入計算即可．【小問1詳解】證明：連接，如圖所示：∵切于點D，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即平分；【小問2詳解】解：在中，，∵，，∴，解得：，∵，∴，∴，即，解得：．【點睛】本題考查的是切線的性質、圓周角定理、相似三角形的判定和性質，平行線的判定和性質，等腰三角形的性質，掌握圓的切線垂直于經過切點的半徑是解題的關鍵．23.把邊長為的正方形硬紙板（如圖），在四個頂點處分別剪掉一個小正方形，折成一個長方體形的無蓋盒子（如圖），長方體形的無蓋盒子的側面積為．（1）求與的函數關系式；直接寫出的取值范圍；（2）求當取何值時，達到最大，并求出最大值．【答案】（1），；（2）當剪掉的正方形的邊長為時，長方形盒子的側面積最大為．【解析】【分析】（）①依據題意得，長方體形的無蓋盒子的底面邊長為，進而列式可以得解；依據題意，列不等式，進而計算可以得解；（）依據題意，結合（）得，從而根據二次函數的性質進行判斷可以得解；本題主要考查了二次函數的應用，解題時要熟練掌握并能找到關鍵描述語從而根據等量關系準確地列出函數關系式是解題的關鍵．【小問1詳解】由題意得，長方體形的無蓋盒子的底面邊長為，∴盒子側面積；由題意，，∴；【小問2詳解】由題意得，，即，即，∴當時，，即當剪掉的正方形的邊長為時，長方形盒子的側面積最大為．24.在平面直角坐標系中，定義：橫坐標與縱坐標均為整數的點為整點．如圖，已知雙曲線經過點，在第一象限內存在一點，滿足．（1）求的值；（2）如圖，過點分別作平行于軸，軸的直線于點、，記線段、、雙曲線所圍成的區域為（含邊界），當時，區域的整點個數為；直線過一個定點，若點為此定點，直線上方（不包含直線）的區域記為，直線下方（不包含直線）的區域記為，當與的整點個數之差不超過時，請求出的取值范圍．【答案】（1）；（2）①，②．【解析】【分析】（）根據點在的圖象上，可求出的值；（）標出區域，再統計區域內的整數點即可；過定點即表示與的取值無關，則有的系數等于，便可解決問題，利用圖象，求出區域內的所有整數點，再分類討論即可；本題考查反比例函數的性質，正確理解題目中所給出的新定義，結合圖形合理的分析是解題的關鍵．【小問1詳解】∵雙曲線經過點，∴，即的值為；【小問2詳解】當時，由圖可知，上的整點有個，上的整點有個，雙曲線上段的整點有個，區域內部的整點有個，又點，，都被算了次，所以區域的整點個數為：，故答案為：；由題知，，則不論為何值，時，即直線過定點，∴，如圖所示，當時，區域內的整點共有個，又被分成的區域和的整點個數之差不超過，則當直線經過點時，的整點個數是，的整點個數是，滿足要求，此時，得，當直線過點時，的整點個數是，的整點個數是，不滿足要求，故當點在直線上方時，即可，此時，得，故的取值范圍是：．25.（1）問題發現：如圖1，在和中，，，，連接，填空：；；（2）類比探究：如圖2，在和中，，,連接交的延長線于點M，請判斷，并說明理由；（3）拓展延伸：如圖3，在（2）的條件下，將繞點O旋轉至點C與點M重合，，填空：．【答案】（1）1；；（2）；（3）或【解析】【分析】（1）如圖1中，設交于J．證明，推出，可得結論．（2）設交于J．證明，推出，可得結論．（3）正確畫圖形，當點C與點M重合時，有兩種情況：如圖3和4，同理可得，則，，可得的長．【詳解】解：（1）如圖1中，設交于J．∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，，故答案為：1，．（2）如圖2中，結論：理由：設交于J．在中，∵，∴，同理可得：，∴，∵，∴，∴，∴；（3）拓展延伸①點C與點M重合時，如圖（3），同（2）得：，∴，，在中，；∵，，∴，∴，設，則，中，，∴，∴，中，，∴，在中，由勾股定理得：，∴，整理得：，∴，∴（舍