專題01特殊平行四邊形（考點清單）

⑤考點歸納

【考點1菱形的性質(zhì)】【考點2菱形的判定】

【考點3菱形的性質(zhì)與判定綜合運用】【考點4菱形中最小問題】

【考點5矩形的性質(zhì)】【考點6直角三角形斜邊上的中線】

【考點7矩形的判定】【考點8矩形的性質(zhì)與判定綜合運用】

【考點9矩形形中最小值問題】【考點10梯子模型運用】

【考點11矩形中折疊問題】【考點12矩形中動點問題】

【考點13正方形的性質(zhì)】【考點14正方形的判定】

【考點15矩形的性質(zhì)與判定綜合運用】【考點16正方形中最小值問題】

【考點17正方形-對角互模型】【考點18正方形-半角互模型】

【考點19正方形-手拉手模型】【考點20正方形-十字架模型】

M真題精練

【考點1菱形的性質(zhì)】

1.（2023春?延慶區(qū)期末）菱形和平行四邊形都具有的性質(zhì)是（）

A.對角線相等B.對角線互相垂直

C.對角線平分一組對角D.對角線互相平分

【答案】D

【解析】解：菱形和平行四邊形都具有的性質(zhì)是：對角線互相平分,

故選：D.

2.（2023春?惠民縣期末）如圖，菱形A8CD中對角線相交于點O,且若AC=

8,BD=6,則OE的長是（）

A

A.2.5B.5C.2.4D.不確定

【答案】C

【解析】解：???四邊形ABC。是菱形，

：.AC±DB,AO=AAC,BO=、BD,

22

VAC=8,BD=6,

，AO=4,BO=3,S菱形ABCO=」X8X6=24,

：.AB=yJ42+32=5,SAAOB_6,

.*.5EO=4X3,

故選：c.

3.（2023春?黃巖區(qū)期末）如圖，四邊形A8CO是菱形，對角線AC與8。相交于點O,

DHLBC于點、H.若AC=8,BD=6,則。H的長度為（）

【答案】C

【解析】解：:四邊形ABC。是菱形，AC=8,BD=6,

：.AC±BD,AO=OC=AAC=4,OB=OD=LBD=3,

在RtaBOC中，由勾股定理得：BC=7OB2-K)C2=V32+42=5,

'：DH±BC,

菱形ABCD=BC?OH=>1AC?B。，

即5D//=AX8X6,

2

解得：DH=2A,

5

故選：c.

【考點2菱形的判定】

4.（2023春?臺江區(qū)校級期末）要檢驗一張四邊形的紙片是否為菱形，下列方案中可行的

是（)

A.度量四個內(nèi)角是否相等

B.測量兩條對角線是否相等

C.測量兩條對角線的交點到四個頂點的距離是否相等

D.將這紙片分別沿兩條對角線對折，看對角線兩側(cè)的部分是否每次都完全重合

【答案】D

【解析】解：A、四個內(nèi)角是否相等，只能判定矩形，不能判定菱形，故選項A不符合題

忌；

8、對角線是否相等不能判定形狀，故選項B不符合題意;

C、兩條對角線的交點到四個頂點的距離是否相等只能判定矩形，不能判定菱形，故選項

C不符合題意;

D,將這紙片分別沿兩條對角線對折，看對角線兩側(cè)的部分是否每次都完全重合，能判定

菱形，故選項。符合題意.

故選：D.

5.（2023春?豐臺區(qū)期末）如圖，下列條件之一能使團ABC。是菱形的為（）

?AC^BD；

②AC平分/BA。；

?AB=BC；

?AC±BD；

C.①③④D.②③④

【解析】解：①：四邊形ABC。是平行四邊形，AC=BD,

，平行四邊形A8CO是矩形;

②??,四邊形A8C。是平行四邊形,

：.AD//BC,

：.ZDAC=ZACB,

：AC平分/BAD,

，ZBAC=ZDAC,

：.ZACB=ABAC,

：.AB=CB,

，平行四邊形ABC。是菱形；

③：四邊形ABC。是平行四邊形，A8=BC,

平行四邊形ABCO是菱形；

④：四邊形ABCQ是平行四邊形，AC_LBZ）,

.??平行四邊形ABC。是菱形；

綜上所述，能使團A8CD是菱形的為②③④,

故選：D.

6.（2023春?雁峰區(qū)期末）如圖1,在團ABCZ）中，AD>AB,/ABC為鈍角.要在對邊8C,

AD上分別找點M,N,使四邊形為菱形.現(xiàn)有圖2中的甲、乙兩種用尺規(guī)作圖確

定點M,N的方案，則可得出結(jié)論（）

圖2

B.只有乙正確

C.甲、乙都不正確D.甲、乙都正確

【答案】D

【解析】解：方案甲：根據(jù)作圖可知AM平分NOAB,AN=AB,

：.ZNAM^ZBAM,

?.,在回ABC。中，AD//CD,

：.ZNAM=ZAMB,

：.ZBAM=ZAMB,

：.AN=BM,

四邊形ABMN是平行四邊形,

"：AB=AN,

，四邊形是菱形，故方案甲正確；

方案乙：根據(jù)作圖可知AN=AB,則

:AN〃BM,

...四邊形是平行四邊形，

,:AB=AN,

四邊形A2MN是菱形，故方案乙正確；

故選：D.

【考點3菱形的性質(zhì)與判定綜合運用】

7.（2023春?鼓樓區(qū)校級期末）如圖，在四邊形A8CZ）中，AB//DC,AB=AD,對角線AC,

BD交于點、O,AC平分N3A。，過點C作CELA8交AB的延長線于點E,連接

（1）求證：四邊形ABC。是菱形；

（2）若AB=遙，BD=2,求OE的長.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解析】（1）證明：TAB〃DC,

：.ZOAB=ZDCA,

為ND4B的平分線，

：.ZOAB=ZDAC,

：.ZDCA=ZDAC,

：.CD^AD^AB,

'：AB//DC,

：.四邊形ABCD是平行四邊形，

"：AD=AB,

平行四邊形ABCO是菱形；

（2）解：???四邊形ABCO是菱形,

C.OA^OC,BDLAC,

CE±AB,

：.OE=OA=OC,

,:BD=2,

.1

??OB-^BD=P

在RtZWOB中，AB=VS>03=1，

OA=7AB2-OB2=V5T1=2，

：.OE=OA=2.

8.(2023春?開福區(qū)校級期末)如圖，在Rt^ABC中，ZABC=90°,AB<BC,。是AC

的中點，過點。作DELAC交BC于點E,延長E。至R使D尸=DE,連接AE,AF,

CF.

(1)求證：四邊形AECP是菱形；

(2)若8E=1,EC=4,求￡尸的長.

a

E。

【答案】(1)證明見解析；

(2)276.

【解析】(1)證明：是AC的中點，

J.AD^CD,

,:DF=DE,

四邊形AECF是平行四邊形，

'JDELAC,

平行四邊形4ECB是菱形；

(2)解：由(1)知四邊形AECP是菱形，

：.AE=CE=4,

"：BE=1,EC=4,

在RtZXABE中，AB=VAE2-BE2="-/=回，

在RtAABC中，AC=7AB2+BC2=415+25=2>/10，

..1

?S菱形AECF革EF，AC=AB?EC'

BpyEF-2710=715X4，

，EF=2近

9.(2023春?保定期末)如圖，A。是△ABC的角平分線，過點D分別作AC、AB的平行

線，交于點E,交AC于點尸.

(1)求證：四邊形AEOF是菱形.

(2)若AF=13,AD=24.求四邊形AEDF的面積.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解析】(1)證明：?.N3〃r>RAC//DE,

.??四邊形A現(xiàn)甲是平行四邊形.

,：AD是AABC的角平分線，

：.ZBAD^ZDAC.

5L'：AC//DE,

：.ZADE=ZDAC.

：.NADE=/BAD.

：.EA=ED.

四邊形AEQF是菱形.

(2)解：連接所交AD于點O.

：.EF=2FO.

???A°=，AD=12?

"：AD±EF.

在RtZVl。/中，由勾股定理得0尸=〃尸2_慶02=1]32_]22=5.

：.OE^OF=5.

X0E=yX24XX24X5=120.

【考點4菱形中最小問題】

10.（2023春?梁平區(qū)期末）如圖，在菱形ABC。中，AC=8,BD=6.E是CD邊上一動

點，過點E分別作EFLOC于點REG，。。于點G,連接尸G,則FG的最小值為（）

A.2.4B.3C.4.8D.4

【答案】A

【解析】解：連接OE,

???四邊形ABCO是菱形，

：.AC±BD,OD=LBD=3,OC=LC=4,

22

由勾股定理得CD={oM+oc2=432+42=5，

y.'：EF±OC,EG±OD,

四邊形OFEG為矩形，

：.GF=OE,

當OE_LCD時，OE值最小，

此時，S^OCD=^OC-OD=1CD-OE,

22

...OE=℃"°D=4X3,=2.4,

CD5

PG的最小值為2.4.

故選：A.

D

11.（2022秋?泰山區(qū)校級期末）如圖，在菱形A8CD中，E,尸分別是邊BC上的動

點，連接AE,EF,G,H分別為AE,EE的中點，連接GM若/B=45°,BC=2?,

則GH的最小值為（）

A.MB.亞C.V6D.逅

22

【答案】D

:四邊形ABC。是菱形，

???AB=BC=2V3-

,:G,X分別為AE,跖的中點，

；.GH是△AEF的中位線，

GH=yAF>

當AFJ_BC時，最小，GH得到最小值,

則N4尸8=90°,

VZB=45°,

AABF是等腰直角三角形，

；?咫】-辿書-X273=76-

GH將

即GH的最小值為近，

2

故選：D.

12.（2023春?陽城縣期末）如圖，在菱形A8CD中，NA=60°,AB=2,E,尸兩點分別

從A,8兩點同時出發(fā)，以相同的速度分別向終點8,C移動，連接EF,在移動的過程

【答案】見試題解答內(nèi)容

???四邊形4BC。為菱形，

.,.AD^AB^BC^CD,

而/A=60°,

二AABD和△BCD都是等邊三角形,

ZADB=ZDBC=60°,AD=BD,

在RtZxADH中，AH=1,A￡)=2,

：.DH=y/3,

在△ADE和△BDF中

rAD=BD

-NA=/FBD，

AE=BF

LADE<ABDF,

：.Z2=Z1,DE=DF

：.Zl+ZBDE=Z2+ZBDE=ZEDF=6Q°,

...△/)所為等邊三角形，

：.EF=DE,

而當E點運動到X點時，OE的值最小，其最小值為。5，

尸的最小值為我，

故答案為：Vs.

【考點5矩形的性質(zhì)】

13.（2023春?綠園區(qū)期末）矩形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是（）

A.對角線互相垂直B.對角線互相平分

C.對角線相等D.對角線平分一組對角

【答案】C

【解析】解：矩形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是對角線相等，

故選：C.

14.（2023春?青秀區(qū)校級期末）如圖，矩形ABC。中，對角線AC、BD交于點O.若/

AOB=60°,BD=8,則A8的長為（）

【答案】B

【解析】解：：四邊形ABCD是矩形，且BD=8,

?BD

??0A=0B=0C=0D節(jié)=4，

VZAOB=60°,

是等邊三角形，OA=AB=4,

故選:B.

15.（2023春?涪陵區(qū)期末）如圖，矩形ABCQ的對角線AC,8。相交于點O,BELAC

點、E,且AC=4CE,若OC=4,則矩形A8C。的面積為（）

A.12B.20C.1673D.873

【答案】C

【解析】解：???四邊形ABC。是矩形,

：.BO=ODfAO=OC=4fBD=AC,

：.。。=05=4,

VAC=4CE,

0C=2CE,

???°E=1OC=2，

9：BE±AC,

???BE=VOB2-OE2=742-22=2V3'

矩形ABCD的面積=2SMBC=2X工xAC?BE=2xLx8X2?=16?.

【考點6直角三角形斜邊上的中線】

16.(2023春?懷遠縣期末)如圖，在RtzMBC中，CD是斜邊AB上的中線，若乙4=20°,

則ZBDC=()

【答案】B

【解析】解：；/ACB=90°,CD是斜邊AB上的中線,

；.BD=CD=AD,

：.ZA=ZDCA=20°,

：.ZBDC=ZA+ZDCA=20°+20°=40°.

故選：B.

17.（2023春?南寧期末）如圖，在Rt^ABC中，ZACB=9Q°,CD±AB于點。，ZACD

=3/2。。，點E是斜邊AB的中點，且C￡>=1,則AB的長為（）

A.2B.272C.3D.372

【答案】B

【解析】VZACB=90°,

/.ZACD+ZBCD=90°,

ZACD=3ZBCD,

：.ZACD=67.5°,/BCD=225°,

VCDYAB,

：.ZCDA=90°,

：.ZA=90°-ZACD=22.5°,

是斜邊AB的中點，

：.EC=^AB,

2

：.CE=AE,

：.ZECA=ZA=22.5°,

：.ZDEC=ZA+ZECA=45°,

AZ￡）C￡=90°-NDEC=45°,

.?.△DCE是等腰直角三角形，

:.CE=?CD=近,

：.AB=242-

故選：B.

18.（2023春?南陵縣期末）如圖，在△ABC中，BC=26,且B。，CE分別是AC,AB±

的高，F(xiàn),G分別是3C,DE的中點，若￡。=10,則FG的長為（）

A

D.14

【答案】B

【解析】解：如圖：連接EF、DF,

.11

??EF=DFJBCJX26=13,

是。E的中點，

在RtADGF中，F(xiàn)G=VDF2-DG2=V132-52=12，

故選：B.

【考點7矩形的判定】

19.（2023春?黃州區(qū)期末）下列說法中，錯誤的是（）

A.菱形的對角線互相垂直

B.對角線相等的四邊形是矩形

C.平行四邊形的對角線互相平分

D.對角線互相垂直平分的四邊形是菱形

【答案】B

【解析】解：A、菱形的對角線互相垂直，故不符合題意;

3、對角線相等的平行四邊形是矩形，故符合題意；

C、平行四邊形的對角線互相平分，故不符合題意；

D,對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，故不符合題意；

故選：B.

20.（2022秋?文山市期末）如圖，在四邊形ABC。中，對角線AC、20相交于點。，0A

=OC,OB=OD,添加下列條件，不能判定四邊形是矩形的是（）

A.AB^ADB.OA^OBC.ABLADD.ZABO^ZBAO

【答案】A

【解析】解：：四邊形ABC。中，0A=0C,OB=OD,

四邊形ABCD是平行四邊形，

當時，可判定四邊形ABC。是菱形；

當A8LAD時，可判定四邊形ABC。是矩形；

當。4=08時，AC=BD,可判定四邊形ABCD是矩形；

當時，

J.OA^OB,

：.AC=BD,

四邊形ABC。是矩形；

故選:A.

21.（2023春?恩施市期末）如圖，在△ABC中，點。是邊BC上的點（與3、C兩點不重

合），過點。作。E〃AC,DF//AB,分別交AB、AC于E、F兩點,下列說法正確的是

（）

A.若平分/BAC,則四邊形AEDF是菱形

B.若BD=CD,則四邊形AED尸是菱形

C.若A。垂直平分BC,則四邊形AE。尸是矩形

D.若AO_L3C,則四邊形4即尸是矩形

【答案】A

【解析】解：A、若平分/BAC,則四邊形4即尸是菱形；正確；

B、若BD=CD,則四邊形AED尸是平行四邊形，不一定是菱形；錯誤；

C、若AZ)垂直平分2C,則四邊形AEL不是菱形，不一定是矩形；錯誤；

D、若ADLBC,則四邊形AED尸是平行四邊形，不一定是矩形；錯誤；

故選：A.

【考點8矩形的性質(zhì)與判定綜合運用】

22.(2022秋?平昌縣校級期末)如圖：在菱形ABC。中，對角線AC、BD交于點O,過點

A作AE_LBC于點E,延長8C至點F,使CF=BE,連接。E

(1)求證：四邊形AEFD是矩形；

(2)若8尸=16,DF=8,求CZ)的長.

【答案】(1)見詳解；

(2)CD=10.

【解析】解：(1)在菱形A8CD中，AO〃8C,AD=BC=CD=AB,

VCF=BE,

：.CF+EC=BE+EC,

：.EF=BC,

：.EF=AD,

'：AD//BC,

：.四邊形AEFD是平行四邊形，

'：AE±BC,

平行四邊形AE尸。是矩形；

(2)在菱形ABCD中，BC=CD,

'：BF=16,

：.CF=BF-BC=16-CD,

:在矩形AE&D中，ZF=90°,

'：DF=S,

22

二在RtACFD中,CD=VDF-K；F=V82+（16-CD）2,

解得：CZ）=10.

23.（2023春?懷化期末）如圖，四邊形ABC。是平行四邊形，過點。作。于點E,

點尸在邊CD上，CF=AE,連接ARBF.

（1）求證：四邊形BFDE是矩形.

（2）若A尸是NQAB的平分線.若CF=6,BF=8,求。C的長.

【答案】（1）證明見解析；

（2）16.

【解析】（1）證明：???四邊形ABCD是平行四邊形,

J.CD//AB,CD=AB,

'：CF=AE,

:.DF=BE,

又,：DF//BE,

：.四邊形DFBE是平行四邊形，

'：DE.LAB,

：.ZDEB^90°,

平行四邊形DEBE是矩形；

（2）解：由（1）可知，四邊形BEDE是矩形，

ZBFD=90°,

ZBFC=90°,

2222

"-BC=VBF4CF=VS+6=13

V四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AD=BC=10,AB//DC,

：.ZBAF=ZDFA,

尸是ND4B的平分線,

ZBAF=ZDAF,

：.ZDAF=ZDFA,

：.DF^DA^10,

：.DC=DF+CF=10+6=16.

24.(2023春?臨邑縣期末)如圖，在菱形中，對角線AC,BD交于點、O,過點A

作AELBC于點E,延長8c到點凡使得CF=BE,連接。孔

(1)求證：四邊形AEFD是矩形；

(2)連接OE,若AB=13,0￡=2^/13)求AE的長.

(2)12.

【解析】(1)證明：???四邊形ABCD是菱形，

.".AD//BC&AD=BC,

,:BE=CF,

：.BC=EF,

：.AD=EF,

,JAD//EF,

四邊形AEFD是平行四邊形，

'：AE±BC,

：.ZAEF=90°,

四邊形AEFO是矩形；

(2)解：；四邊形ABC。是菱形，42=13,

.?.BC=A2=13,AC±BD,OA=OC=Lc,OB=OD=1BD,

22

'JAELBC,

：.ZA￡C=90°,

：.OE=1AC=OA=2-/13,AC=2（9E=4V13>

2

OB=VAB2-OA2=V132-（2V13）2=3^13，

：.BD=2OB=6yJ-[3>

:菱形ABCD的面積=LBOXAC=8CXAE,

2

BPAx6^/13X4A/13=13XAE,

2

解得:AE=12.

【考點9矩形形中最小值問題】

25.（2023春?自貢期末）如圖，在RtZWBC中，ZBAC=90°,BA=5,AC=12,點。

是斜邊BC上的一個動點，過點D分別作DELAB于點E,DFLAC于點凡點G為四

邊形。E4F對角線交點，則線段GF的最小值為（）

【答案】B

【解析】解：如圖，連接A。、EF,

BC=VBA2+AC2=^52+122=13,

"：DE±AB,DFLAC,

：.ZDEA=ZDFA=ZBAC=90°,

.?.四邊形。EA尸是矩形，

:.EF=AD,GF=GE,

當AOLBC時，AO的值最小，則EF的值最小，

此時，△ABC的面積=LBA?AC=』8CX4￡）,

22

.AD=BA>AC=5X12=60

BC13-13，

尸的最小值為更L

13

.?.GP的最小值=工又股=或，

21313

故選：B.

26.（2022秋?朝陽區(qū)校級期末）如圖，在矩形ABCQ中，AB=12,A￡）=10,點尸在A。

上，點。在2C上，且AP=C0,連結(jié)CP、QD,則PC+Q。的最小值為（）

A.22B.24C.25D.26

【答案】。

【解析】解:如圖，連接BP,

?：AP=CQ,

：.AD-AP=BC-CQ,

：.DP=QB,DP//BQ,

四邊形DPBQ是平行四邊形,

：.PB//DQ,PB=DQ,

貝UPC+QD=PC+PB,貝UPC+QD的最小值轉(zhuǎn)化為PC+PB的最小值,

在BA的延長線上截取AE=AB=U,連接PE,

貝U8￡=248=24,

'：PA±BE,

是BE的垂直平分線，

：.PB=PE,

:.PC+PB=PC+PE,

連接CE,貝！］PC+QD=PC+PB=PC+PE^CE,

CE=VBE2+BC2=7242+102=26'

：.PC+PB的最小值為26,

即PC+QD的最小值為26,

故選：D.

【考點10梯子模型運用】

27.（2023春?趙縣期末）如圖，NMON=90°,長方形ABC。的頂點8、C分別在邊OM、

ON上,當3在邊。M上運動時，C隨之在邊ON上運動，若C￡）=5,8c=24,運動過

)

C.3V13+12D.26

【答案】B

【解析】解:如圖,取BC的中點E,

；ODWOE+DE,

.?.當。、。、E三點共線時，點。到點。的距離最大,

此時，'：CD=5,BC=24,

:.OE=EC=1BC=U,

2

￡>￡=22

VECCD=V52+122=13，

...OD的最大值為：12+13=25.

故選：B.

28.（2023春?清原縣期末）如圖，矩形A8CDAB=1,BC=2,點A在x軸正半軸上，

點。在y軸正半軸上.當點A在天軸上運動時，點。也隨之在y軸上運動，在這個運動

過程中，點C到原點0的最大距離為亞+1.

【答案】V2+1.

【解析】解：如圖，取的中點X,連接CH,OH,

:矩形ABCD4B=1,BC=2,

：.CD=AB=1,AD=BC=2,

:點〃是4。的中點，

CH=4口"時產(chǎn)=7i+i=&'

?.?/AOD=90°,點H是AO的中點,

；.OH=1.AD=1,

2

在△(?國中，CO<OH+CH,

當點H在0C上時，CO=OH+CH,

/.CO的最大值為OH+S=&+1,

故答案為：V2+1.

【考點11矩形中折疊問題】

29.（2023春?龍江縣期末）如圖，點E在矩形紙片的邊上，將矩形ABCD沿

BE折疊，使點A落在對角線上的點A'處.若NDBC=28°,則/A'EB的度數(shù)為

【答案】B

【解析】解：：四邊形ABCD是矩形，

AZA=ZABC=90°,

ZABD=90°-ZDBC=90°-28°=62°,

由折疊的性質(zhì)可得NA=NBA'E=90°,NA'BE=NABE=L/ABD=31°,

2

在RtZ\A'BE中，NA'EB=90°-NA'BE=90°-31°=59°,

故選：B.

30.（2023春?乾安縣期末）如圖，四邊形ABC。為矩形紙片，把紙片A8CD折疊，使點B

恰好落在C。邊的中點E處，折痕為AF,若CZ）=6,則等于（）

C.4V2D.8

【答案】A

【解析】解：由折疊的性質(zhì)得AE=AB,

因為CD=6,E為CD中點，故EO=3,

又因為AE=AB=CD=6,

所以/胡。=30°,

則/胡（90°-30°）=30°,

2

設(shè)尸E=x,則A/=2x,

在△AEF中，根據(jù)勾股定理，（2%）2=62+7,

X2=12,XI=2，§,X2=-2>\/3（舍去）.

AF=2A/3X2=473.

故選：A.

31.（2023春?梅州期末）如圖1,已知長方形紙帶ABCD,AB//CD,AD//BC,ZC=90°,

點、E、尸分別在邊A。、BC上,Nl=20°,如圖2,將紙帶先沿直線跖折疊后，點C、

。分別落在五、G的位置，如圖3,將紙帶再沿BS折疊一次，使點X落在線段跖上點

M的位置，那么N2=60°.

圖3

【答案】60.

【解析】解：在矩形ABC。中，AD//BC,

VZ1=2O°,

：.ZBFE=Z1=2O°,

.?.Z￡FC=180°-20°=160°,

根據(jù)第一次折疊，可得/EfW=/MC=160°,

根據(jù)第二次折疊，可知NMFS=N班5=80°,

AZ2=ZMFS-ZEFB=S0°-20°=60°,

故答案為：60

【考點12矩形中動點問題】

32.（2023春?長安區(qū)期末）如圖，在長方形A8CD中，已知AB=6cwi,BC^lOcm,點尸

以2cmls的速度由點B向點C運動，同時點Q以acm/s的速度由點C向點D運動，若某

時刻以A、8、P為頂點的三角形和以P、C、。為頂點的三角形全等，則a的值為（)

Q

t

Q

A.2B.3C.2或$D.2或9

25

【答案】D

【解析】解：由已知得：PC=BC-BP=(10-2/)cm；

①若

則AB=PC=6cm,

.*.6=10-2t,

??4=2;

②若

則4B=CQ=6cm,BP=CP=(10-2r)cm,貝！］

2

得：且z=6.

2

解得：a=—.

5

綜上，a的值為2或az.

5

故選：D.

33.（2023春?蓮池區(qū)期末）如圖，在長方形ABC。中，AB=4cm,BC=3cm,E為C。的

中點動點P從A點出發(fā)，以每秒1c相的速度沿A-B-C-E運動，最終到達點E.若點

產(chǎn)運動的時間為x秒，則當△APE的面積為5。相2時，尤的值為（）

A.5B.3或5D.曲或5

3

【答案】D

【解析】解：①當P在上時,

AAPE的面積等于5cm2,

/.AX*3=5,

2

解得：尤=此；

3

當尸在BC上時，

**,AAPE的面積等于5cm2,

??S矩形ABCD-SACPE-S^ADE~S^ABP=5,

.-.3X4-A（3+4-x）X2-AX2X3-Ax4X（%-4）=5,

222

解得：x=5；

③當尸在CE上時，

：△APE的面積為5cm2,

AA（4+3+2-x）X3=5,

2

解得：（不合題意舍去），

3

綜上所述，尤的值為強或5,

3

故選：D.

34.（2023春?來鳳縣期末）如圖，在四邊形A3C。中，ZA=ZB=9Q°,AD^lOcm,BC

=8cm,點尸從點。出發(fā)，以Icm/s的速度向點A運動，點M從點B同時出發(fā)，以相同

的速度向點C運動，當其中一個動點到達端點時，兩個動點同時停止運動，設(shè)點P的運

動時間為/（單位：s）,下列結(jié)論：

①當f=4s時，四邊形尸為矩形；

②當f=5s時，四邊形CDPM為平行四邊形；

③當時，f=4或5s；

④當CZ）=PM時，f=4或6s.

其中結(jié)論正確的個數(shù)有（）

A.-PD

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】A

【解析】解：根據(jù)題意，可得。BM=tcm,

AD=10cm,BC=8cm,

.'.AP=(10-f)cm,CM=(8-r)cm,

當四邊形4而0尸為矩形時，AP=BM,

即107=3解得f=5,故①不正確；

當四邊形C0PM為平行四邊形時，貝l|￡>P=CM,

即8-f=f,解得f=4,故②不正確；

當C￡>=PM時，分兩種情況：

當四邊形CDPM是平行四邊形時，則。尸=CM,

即8-t=t,解得f=4,

當四邊形是等腰梯形時，

過點M作MGLAD于點G,過點C作CHLAD于點H,如圖所示，

則/MGP=/CH￡)=90°,

,:CD=PM,GM=HC,

：.RtAMGP^RtACHD(HL),

:.GP=HD,

???AG=AP~K]P=10-t+t-(尸)，

又BM=t,ZA=ZB=90°,MG±AD,

：.AG=BM,

即"t上鏟■,

解得t=6,

綜上可得，當CZ）=PA/時，

t=6或t=4,

故③錯誤，④正確，

正確的結(jié)論有1個.

故選：A.

【考點13正方形的性質(zhì)】

35.（2023春?紅旗區(qū)校級期末）菱形，矩形，正方形都具有的性質(zhì)是（）

A.四條邊相等，四個角相等

B.對角線相等

C.對角線互相垂直

D.對角線互相平分

【答案】D

【解析】解：菱形，矩形，正方形都具有的性質(zhì)為對角線互相平分.

故選：D.

36.（2023春?館陶縣期末）如圖，在正方形ABC。中，點尸為CD上一點，B尸與AC交

于點E,若/CBP=20°,則NA即的度數(shù)為（）

A.45°B.60°C.65°D.70°

【答案】C

【解析】解：：四邊形ABC。是正方形，

/R4C=NDAC=NAC2=45°,

AZAEB=ZACB+ZCBE=65°,

在△ABE和△ADE中,

AB=AD

<ZBAE=ZDAE>

AE=AE

；.AABE咨AADE(SAS),

AZAED^ZAEB^65°,

故選：C.

37.（2023春?紅旗區(qū)校級期末）如圖，正方形ABC。和正方形CEFG中，點D在CG上,

BC=1,CE=3,H是AF的中點，那么C”的長是（）

A.2.5B.娓C.A/10D.2

【答案】B

【解析】解：連接AC、CF,如圖，

四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形，

AZAC￡>=45°,ZFCG=45°,AC=&BC=&,CP=&CE=3&,

ZACF=45°+45°=90°,

在RtAACF中，AF=Q（泥）2+（3J）2=2事,,

是A尸的中點，

:.CH=XAF=4^.

2

故選：B.

38.（2023春?棲霞市期末）已知平行四邊形ABC。中，對角線AC、3。相交于。，則下列

說法準確的是（）

A.當OA=OC時，平行四邊形ABC。為矩形

B.當時，平行四邊形ABCD為正方形

C.當NA8C=90°時，平行四邊形ABC。為菱形

D.當AC_LBD時，平行四邊形A8CD為菱形

【答案】D

【解析】解：A.當OA=OC時，不能判定平行四邊形ABC。為矩形，故此選項不符合

題意；

B.根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，則平行四邊形A3。是菱形，不一定是正

方形，故此選項不符合題意；

C.根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形能判定平行四邊形ABCQ為矩形，故此選

項不符合題意；

D.當ACLBD時，根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，可得平行四邊形ABCD

是菱形，故本選項正確.

故選：D.

39.（2023春?黃巖區(qū)期末）如圖，在△ABC中，DE//AC,DF//AB,下列四個判斷不正

確的是（）

A.四邊形AEOP是平行四邊形

B.如果N8AC=90°,那么四邊形AEDF是矩形

C.如果AD平分NBAC,那么四邊形A即歹是菱形

D.如果AO_L8C,且A8=AC,那么四邊形AED尸是正方形

【答案】D

【解析】解：由OE〃CA,DF//BA,根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形可得

四邊形A瓦不是平行四邊形；

又有乙BAC=90°,根據(jù)有一角是直角的平行四邊形是矩形，可得四邊形AEOF是矩形.故

A、2正確；

如果AD平分N8AC,那么XWDF//BA,可得/E4O=NA。凡

：.ZFAD=ZADF,

：.AF=FD,那么根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形，可得四邊形AEDF是菱形，故C

正確；

如果AD_L8C且AB=AC,那么A。平分NBAC,同上可得四邊形AED尸是菱形.故。

錯誤.

故選：D.

40.（2023春?宜都市期末）滿足下列條件的四邊形是正方形的是（）

A.對角線互相垂直且相等的平行四邊形

B.對角線互相垂直的菱形

C.對角線相等的矩形

D.對角線互相垂直平分的四邊形

【答案】A

【解析】解：A選項，對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形，故A選項正確，

符合題意；

3選項，對角線互相垂直的長方形是正方形，故3選項錯誤，不符合題意；

C選項，對角線相等的菱形是正方形，故C選項錯誤，不符合題意；

。選項，對角線互相垂直平分的長方形是正方形，故。選項錯誤，不符合題意；

故選：A.

【考點15矩形的性質(zhì)與判定綜合運用】

41.（2022春?碑林區(qū)校級期末）如圖，已知四邊形A8CZ）為正方形A5=2我,點E為對

角線AC上一點，連接DE,過點E作交8C延長線于點F,以DE、EF為鄰

邊作矩形。瓦G,連接CG.在下列結(jié)論中：①矩形。EFG是正方形；②2CE+CG=?

AD；③CG平分NOCB④CE=C尸.其中正確的結(jié)論有（）

A.①③B.②④C.①②③D.①②③④

【答案】A

【解析】解：過E作于M點，過￡作EN，C￡>于N點，如圖所示:

?..四邊形ABC。是正方形，

AZBC￡>=90°,/ECN=45°,

：.ZEMC=ZENC=ZBCD=90°,

：.NE=NC,

四邊形EMCN為正方形,

:四邊形。EFG是矩形，

：.EM=EN,NDEN+NNEF=NMEF+NNEF=9Q°,

ZDEN=ZMEF,

又/DNE=/FME=90°,

在△￡>EN和△莊河中，

，ZDNE=ZFME

<EN=EM，

ZDEN=ZFEM

:.ADEN/AFEM(ASA),

:.ED=EF,

矩形。EFG為正方形；故①正確；

：.DE=DG,ZEDC+ZCDG=90°,

?..四邊形ABC。是正方形，

'：AD^DC,NADE+NEDC=90°,

：.ZADE=ZCDG,

在△ADE和△COG中，

rAD=CD

<ZADE=ZCDG-

DE=DG

...△ADE名△COG(SAS),

：.AE=CG,ZDAE=ZDCG=45°,

'：ZDCF=90°,

...CG平分/OCR故③正確；

：.AC=AE+CE=CE+CG=72AD,故②錯誤；

當。ELAC時，點C與點廠重合，

，CE不一定等于CR故④錯誤,

廠是正方形ABC。的對角線8。上的兩點，且。尸

BE.

(1)求證：四邊形AECP是菱形;

(2)4A/1Q.

【解析】(1)證明：連接AC,交8。于點0,

.四邊形A2C。是正方形,

：.AC±BD,AO=CO,DO=BO,

,:BE=DF,

OB-BE=OD-DF,即OE=OF,

四邊形AECF是平行四邊形，

"JACLEF,

...四邊形AECF是菱形；

(2)解：由(1)知：四邊形AECb是菱形，

,:AB=3如,AC±EF,

：.AC=BD=6,

；.0A=3,

"：BF=4,

：.EF=BD-BF=2,

：.OE=1,

?■-A￡=VOA2-K)E2地2+J=A/10'

菱形AECF的周長=4.

43.(2023春?番禺區(qū)校級期中)如圖，在△ABC中，點。、E、尸分別在BC、AB.AC邊

上，S.DE//AC,DF//AB.

(1)如果/BAC=90°那么四邊形AEDE是矩形;

(2)如果AD是△ABC的角平分線，那么四邊形果即尸是菱形;

(3)如果/BAC=90°,AD是△ABC的角平分線，那么四邊形尸是正方形,

證明你的結(jié)論(僅需證明第3)題結(jié)論)

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解析】解:(1),：DE//AC,DF//AB,

四邊形AEDF是平行四邊形，

又,.?NBAC=90°,

四邊形AED尸是矩形;

(2)"JDE//AC,DF//AB,

：.ZADE=ZDAF,四邊形AEDF是平行四邊形，

又是AABC的角平分線，

ZDAE=ZDAF,

：.ZADE=ADAE,

：.AE=DE,

：.回AED尸是菱形；

（3）由（1）知四邊形AEDF是矩形，由（2）知四邊形是菱形，所以四邊形A研甲

是正方形.

44.（2023春?來鳳縣期末）如圖，已知四邊形ABC。為正方形，42=2＞回，點E為對角

線AC上一動點，連接DE,過點E作EFJ_Z）E.交射線BC于點尸