專題07相似三角形的基本模型（K字型）

【模型說明】

“一線三等角”型的圖形，因?yàn)橐粭l直線上有三個(gè)相等的角，一般就會(huì)有兩個(gè)三角形的“一

對(duì)角相等“，再利用平角為180。，三角形的內(nèi)角和為180。，就可以得到兩個(gè)三角形的另外

一對(duì)角也相等，從而得到兩個(gè)三角形相似.

1）一線三等角模型（同側(cè)型）

（銳角型）（直角型）（鈍角型）

條件：如圖，NI=/2=/3,結(jié)論：AACEs叢BED.

2）一線三等角模型（異側(cè)型）

條件：如圖，Z7=Z2=Z3,結(jié)論：AADEs^BEC.

3）一線三等角模型（變異型）

①特殊中點(diǎn)型：條件：如圖1,若C為的中點(diǎn)，結(jié)論：AACEsABEDsMCD.

②一線三直角變異型1：條件：如圖2,ZABD=ZAFE=ZBDE^90°.結(jié)論：

AABCsABDEsABFCs4AFB.

③一線三直角變異型2：條件：如圖3,/ABD=/ACE=/BDE=90°.結(jié)論：

AABMSANDESANCM.

【例題精講】

例1.（基本模型）【感知】如圖①，在四邊形A8C。中，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、

3重合），ZA=NB=NDPC=90°.易證△ZMPsZkpBc.（不需要證明）

【探究】如圖②，在四邊形A8C。中，點(diǎn)尸在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、8重合），

ZA=ZB=ZDPC.若尸D=4,PC=8,BC=6,求AP的長(zhǎng).

【拓展】如圖③，在“BC中，AC=BC=8,AB=12,點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、

8重合），連結(jié)CP,作NCPE=NA,PE與邊BC交于點(diǎn)E,當(dāng)是等腰三角形時(shí)，直

接寫出AP的長(zhǎng).

圖①圖③

例2.（培優(yōu)綜合1）如圖，在矩形ABC。中，BC=6,AB=2,RtABEF的頂點(diǎn)E在邊CO

或延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，且團(tuán)8￡尸=90。，EF=^BE,DF=M,則BE=.

例3.（培優(yōu)綜合2）已知0ABe和回。CE中，AB^AC,DC=DE,BF=EF,點(diǎn)、B,C,E都

在同一直線上，且0ABe和BDCE在該直線同側(cè).

圖②

（1）如圖①，若SR4C=^COE=90。，請(qǐng)猜想線段AP與之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，

并證明你的猜想；

（2）如圖②，若SBAC=60。，0CD￡=12O°,請(qǐng)直接寫出線段AF與。尸之間的數(shù)量關(guān)系和

位置關(guān)系；

（3）如圖③，若SBAC=a,fflCDE=180°-a,S.BOCE,請(qǐng)直接寫出線段AB與。尸之間

的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系（用含a的式子表示）.

例4.（培優(yōu)綜合3）國(guó)如圖1,點(diǎn)C在線段AB上，點(diǎn)D、E在直線AB同側(cè)，SA=EDCE=0CBE,

DC=CE.求證：AC=BE.

回如圖2,點(diǎn)C在線段AB上，點(diǎn)D、E在直線AB同側(cè)，回A=IBDCE=EICBE=90。.

ACAD16

①求證：一=—;②連接BD,若回ADC=I3ABD,AC=3,BC=—,求tanEICDB的值；

BEBC3

國(guó)如圖3,在EIABD中，點(diǎn)C在AB邊上，且IBADC=E1ABD,點(diǎn)E在BD邊上，連接CE,EIBCE

+EBAD=180°,AC=3,BC=y,CE=y,直接與出訪的值.

Si圖2圖3

例5.（與反比例函數(shù)綜合）如圖，在矩形AO3C中，03=4,。4=3,分別以。8、所

在直線為x軸和）軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，歹是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與8、

C重合），過尸點(diǎn)的反比例函數(shù)＞=4左＞0）的圖象與AC邊交于點(diǎn)E,將△CEF沿M對(duì)折

X

后，C點(diǎn)恰好落在。3上的點(diǎn)。處，則％的值為.

例6.（與二次函數(shù)綜合）如圖，拋物線》=依2+a（°片0）過點(diǎn)4（4,0）和點(diǎn)5（1,-3）,其頂點(diǎn)

為點(diǎn)C,連接AB,點(diǎn)D在拋物線上A、C兩點(diǎn)之間，過點(diǎn)D作。尸，x軸，垂足為點(diǎn)F,DF

與AB交于點(diǎn)E.

（1）求此拋物線的解析式.

（2）連接AD、BD,設(shè)△ABD的面積為S,點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m,求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式

并求出S的最大值.

（3）點(diǎn)M在坐標(biāo)軸上，試探究平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N,使點(diǎn)A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是

矩形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

課后訓(xùn)練

1.如圖，在反比例函數(shù)＞=士的圖象上有一動(dòng)點(diǎn)A,連接AO并延長(zhǎng)交圖象的另一支于點(diǎn)8,

X

k

在第二象限內(nèi)有一點(diǎn)。，滿足AC=3C,當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)。始終在函數(shù)y=—的圖象上運(yùn)

x

動(dòng)，若A生C=囪L，則%的值為（）

AO

A.-6B.-12C.-18D.-24

2.如圖，在矩形ABCD中，AB=4,AD=5,E、F、G、H分別為矩形邊上的點(diǎn)，HF

過矩形的中心。，且上加=AD.E為AB的中點(diǎn)，G為CD的中點(diǎn)，則四邊形跖GF的周長(zhǎng)

為（）

A.375B.675C.8出D.6^/3

3.如圖，在Rt^ABC中，NACB=90°,點(diǎn)。在A3上，連接CO,ZADC=2ZA,AC=4,

BC=5,貝1|線段CD=

_2

4.如圖，AAO8是直角三角形，ZAOB=90°,03=204,點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=-的圖象

x

k

上.若點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=*的圖象上，則k的值為

5.如圖，已知。是等邊AABC邊上的一點(diǎn)，現(xiàn)將AABC折疊，使點(diǎn)C與。重合，折痕

為EF,點(diǎn)、E、尸分別在AC和8C上.如果AD:￡B=2:3,則CE:CF的值為.

6.已知在RtAABC中，Z5AC=90°,AB=2,AC=4,。為3c邊上的一點(diǎn).過點(diǎn)。作

射線DE1DF,分別交邊A3、AC于點(diǎn)E、F.

DE

（1）當(dāng)。為BC的中點(diǎn)，且。E1/W、DF1AC時(shí)，如圖1,-=_______：

DF

DF

（2）若。為BC的中點(diǎn)，將NED尸繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)到圖2位置時(shí)，巖=_______；

DF

（3）若改變點(diǎn)。到圖3的位置，且胃CD=生m時(shí)，求D蕓F的值.

BDnDF

7.如圖，在中，0ACB=9OO,—=—,CZM48于點(diǎn)。，點(diǎn)E是直線AC上一動(dòng)點(diǎn),

ACn

連接DE,過點(diǎn)。作即SED,交直線8C于點(diǎn)凡

（1）探究發(fā)現(xiàn)：

如圖1,若機(jī)="，點(diǎn)E在線段AC上，則D冬F(xiàn)=_____;

DF

（2）數(shù)學(xué)思考：

①如圖2,若點(diǎn)E在線段AC上，則?盤=_____（用含根，〃的代數(shù)式表示）；

DF

②當(dāng)點(diǎn)￡在直線AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，①中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)僅就圖3的情形給出證明;

（3）拓展應(yīng)用：若4。=君，BC=2y/5,DF=4丘,請(qǐng)直接寫出CE的長(zhǎng).

8.等邊AA8C邊長(zhǎng)為6,尸為BC上一點(diǎn)，含30。、60。的直角三角板60。角的頂點(diǎn)落在點(diǎn)P

上，使三角板繞尸點(diǎn)旋轉(zhuǎn).

（1）如圖1,當(dāng)P為的三等分點(diǎn)，且時(shí)，判斷AEPP的形狀；

⑵在（1）問的條件下，F(xiàn)E、PB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G,如圖2,求AEG3的面積；

⑶在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，若CF=AE=2,（CF#BP）,如圖3,求PE的長(zhǎng).

9.（1）問題

如圖1,在四邊形ABCD中，點(diǎn)尸為AB上一點(diǎn)，當(dāng)NOPC=NA=N3=90。時(shí)，求證：

ADBC^APBP.

（2）探究

若將90。角改為銳角（如圖2）,其他條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？說明理由.

（3）應(yīng)用

如圖3,在AABC中，A3=2應(yīng)，4=45。，以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)作等腰RtA4DE.點(diǎn)。在

8C上，點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)/在BC上，且NEFD=45。，若CE=非,求8的長(zhǎng).

圖2圖3

10.(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1,ZABC=a,將邊AC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到線段CE,在射

線上取點(diǎn)。，使得NCDE=e.請(qǐng)求出線段與DE的數(shù)量關(guān)系；

(2)類比探究：如圖2,若&=90。，作/ACE=90。，且CE=；AC,其他條件不變，則線

段3c與DE的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化?如果變化，請(qǐng)寫出變化后的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；

(3)拓展延伸：如圖3,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)E是邊AD上一點(diǎn)，且AE=2,把線

段CE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段政，連接所，直接寫出線段的長(zhǎng).

圖1圖2圖3

2Q

11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線"與尤2-2x+§交無軸于4、B兩

點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線上，且點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為-1,連接交y軸于點(diǎn)Z).

圖1圖2

（1）如圖1,求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

⑵如圖2,點(diǎn)P在第二象限內(nèi)拋物線上，過點(diǎn)尸作尸G0X軸于G,點(diǎn)E在線段PG上，連接

AE,過點(diǎn)E作EF^AE交線段于凡若EF=AE,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,線段PE的長(zhǎng)為d,

求1與f的函數(shù)關(guān)系式；

⑶如圖3,在（2）的條件下，點(diǎn)X在線段。2上，連接CE、EH,若EICE尸=&4即，EH-CE=

—AH,求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

3

12.如圖，矩形ABC。中，E為邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、D重合），EF3BE交CD于點(diǎn)尸.

（1）求證：EAED=ABDF-,

（2）若BE平分0A2Z）,點(diǎn)G為BC中點(diǎn)，AG交BE于點(diǎn)K,反為AB邊上一點(diǎn)，回BEH=45。,

BD交EF于點(diǎn)J,當(dāng)也=!時(shí)，求旦;

BH5EK

（3）若AB=BC,點(diǎn)K為線段BE的三等分點(diǎn)（8KCEK）,點(diǎn)J為射線E尸上一點(diǎn)，且EK

AF1

=EJ,當(dāng)；「=_________時(shí)（直接寫結(jié)果），tan即〃石=

ED2

專題07相似三角形的基本模型（K字型）

【模型說明】

“一線三等角”型的圖形，因?yàn)橐粭l直線上有三個(gè)相等的角，一般就會(huì)有兩個(gè)三角形的“一

對(duì)角相等”，再利用平角為180。，三角形的內(nèi)角和為180。，就可以得到兩個(gè)三角形的另外

一對(duì)角也相等，從而得到兩個(gè)三角形相似.

1）一線三等角模型（同側(cè)型）

（銳角型）（直角型）（鈍角型）

條件：如圖，/1=/2=/3,結(jié)論：4ACEsABED.

2）一線三等角模型（異側(cè)型）

條件：如圖，Z7=Z2=Z3,結(jié)論：AADEsABEC.

3）一線三等角模型（變異型）

①特殊中點(diǎn)型：條件：如圖1,若C為的中點(diǎn)，結(jié)論：AACEsABEDsAECD.

②一線三直角變異型1：條件：如圖2,ZABD=ZAFE=ZBDE=90°.結(jié)論：

AABCsABDEsABFCs4AFB.

③一線三直角變異型2：條件：如圖3,/ABD=/ACE=/BDE=90°.結(jié)論：

△ABMsANDESANCM.

【例題精講】

例1.（基本模型）【感知】如圖①，在四邊形中，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)尸不與點(diǎn)A、

2重合），ZA=NB=NDPC=90°.易證△ZMPs^pgc.（不需要證明）

【探究】如圖②，在四邊形ABC。中，點(diǎn)尸在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合）,

ZA=ZB=ZDPC.若尸￡>=4,PC=8,BC=6,求AP的長(zhǎng).

【拓展】如圖③，在44BC中，AC=3C=8,AB=12,點(diǎn)P在邊A8上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、

8重合），連結(jié)CP,作NCPE=NA,PE與邊BC交于點(diǎn)、E,當(dāng)是等腰三角形時(shí)，直

接寫出AP的長(zhǎng).

圖③

【分析】探究：根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可;

拓展：證明“。瑯的出，分CP=CE、PC=PE、EC=EP三種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)

算即可.

【詳解】探究：證明：EI/DP3是△APD的外角,

EZDPB=NA+ZPDA,

即NDPC+NCPB=ZA+/PDA,

SZA^ZDPC,

SZPDA=ZCPB,

X0ZA=ZB,

回4Ps△pg,

PDAP

團(tuán)---=---

PCBC

EPD=4,PC=8,BC=6,

4AP

團(tuán)一=---

86

解得：AP=3；

拓展：SAC=BC,

fflEL4=0B,

E0CPB是A4PC的外角,

EBCP8=EL4+EIPCA,^CPE+SEPB^SA+SPCA,

釀A二團(tuán)CPE,

團(tuán)團(tuán)AC尸二團(tuán)BPS,

的4二團(tuán)3,

m\CP^BPE,

當(dāng)。尸二CE時(shí)，國(guó)CPE二國(guó)CEP,

團(tuán)團(tuán)匿尸〉姐，團(tuán)。尸氏她二團(tuán)8,

團(tuán)CP=CE1不成立；

當(dāng)POPE時(shí)，及4。尸團(tuán)團(tuán)5尸石,

貝ljPB=AC=8f

^AP=AB-PB=12-8=4；

當(dāng)ECXEP時(shí)，^CPE^ECP,

釀樂團(tuán)CPE,

團(tuán)團(tuán)EC尸二團(tuán)3,

⑦PC=PB,

^ACP^BPE,

ACAPPC8U-PBPB

團(tuán)--------=----,&RPn---=-------，解得：PB],

BPBEEPPBBE8—BE

^AP=AB-PB=12——=——，

33

綜上所述：回。尸￡是等腰三角形時(shí)，AP的長(zhǎng)為4或手20.

【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì),

靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵.

例2.（培優(yōu)綜合1）如圖，在矩形A5CD中，BC=6,AB=2,R53E尸的頂點(diǎn)片在邊CD

或延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，且回8EF=90。，EF=（BE,DF=M,則BE=.

【答案】3百.

【分析】過F作FGE1CD,交CD的延長(zhǎng)線于G,依據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可得到FG=|EC,

GE=2=CD；設(shè)EC=x,則DG=x,FG=gx,再根據(jù)勾股定理，即可得至UCE2=9,最后依

據(jù)勾股定理進(jìn)行計(jì)算，即可得出BE的長(zhǎng).

【詳解】如圖所示，過尸作PG0C￡>,交CQ的延長(zhǎng)線于G,貝崛G=90。，

回四邊形ABC。是矩形，

aaC=90°,AB=CD=2,

又aaBE/=90°,

E0FEG+0BEC=90°=^EBC+^BEC,

0fflF￡G=0￡BC,

又EHC=EIG=90°,

00BC￡00EGF,

FGGEEFRnFGGE1

ECCBBEEC63

0FG=-￡C,GE=2=CD,

3

回。G=EC,

設(shè)EC=x,則。G=x,FG=^x,

回Rt回陽(yáng)G中，F(xiàn)G2+DG2=DF2,

0((x)2+X2=()2,解得/=9,

即C郎=9,

0Rt0BCE中，BE=7CE2+BC2=J9+36=375,

故答案為：3下.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，在判定兩個(gè)三角形

相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，

尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形;或依據(jù)基本圖形對(duì)圖形進(jìn)行分

解、組合；或作輔助線構(gòu)造相似三角形.

例3.(培優(yōu)綜合2)已知0ABe和回。CE中，AB=AC,DC=DE,BF=EF,點(diǎn)、B,C,E都

在同一直線上，且0ABe和SDCE在該直線同側(cè).

A

A

(I)如圖①，若aBAC=13CZ)￡=90。，請(qǐng)猜想線段Ab與。尸之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，

并證明你的猜想；

(2)如圖②，若SR4C=60。，0CnE=12O°,請(qǐng)直接寫出線段AF與。尸之間的數(shù)量關(guān)系和

位置關(guān)系；

(3)如圖③，若SBAC=a,fflCDE=180°-a,S.BOCE,請(qǐng)直接寫出線段”與。尸之間

的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系(用含a的式子表示).

【答案】(1)4尸=DF,AFWF,證明見解析；(2)AF=^>DF,AFA.DF,證明見解析；(3)

AF=DF-tan((90°-1?),AF±DF.

【分析】(1)如圖①中，結(jié)論：AF=DF,A用DF.證明△AHFB3日。(SAS),可得結(jié)論；

(2)如圖②中，結(jié)論：AF=^/3DF,AF±DF.證明AA”用EIE/D,可得結(jié)論；

(3)如圖③中，結(jié)論：AF=DF-tan((90°-1a),AFLDF,證明方法類似(2).

【詳解】解：(1)如圖①中，結(jié)論：AF=DF,AF^DF.

理由：過點(diǎn)A作于氏過點(diǎn)。作ZVMC于J.

圖①

0AB=AC,DC=DE,EBAC=0CDE=9O°,

^BH=CH,CJ=JE,

^AH=BH=CH,DJ=CJ=JE,

^BF=FE,

0HJ=BF=EF,

S\BH^FJ=AH,FH=JE=DJ,

E0AHF=0FJD=9O°,

EBA印迥MJD(SAS),

^\AF=FD,^HAF=^\DFJf

00MH+[?]AFH=9OO,

團(tuán)團(tuán)AF77+回DFV=90°,

00AF￡)=9O°,BPAF^DF；

(2)如圖②中，結(jié)論：AF=y/3DF,AF±DF.

圖②

理由：過點(diǎn)4作人”團(tuán)BC于H,過點(diǎn)。作D龍1EC于J.

^\AB=ACf團(tuán)84060°,

StZLABC是等邊三角形，

aBH=CH,AH=6BH,

團(tuán)。C=DE,團(tuán)CDE=120°,

0C/=J5,團(tuán)DEC二團(tuán)。CE=30°,

國(guó)JE=6DJ,

團(tuán)8F=FE,

國(guó)HJ=BF=EF,

^BH=FJfHF=JE,

出AH=6FJ,FH=6DJ,

AHHFr-

團(tuán)——=——=。3,

FJDJ

團(tuán)MHF=團(tuán)E/D=90°,

團(tuán)MH用回E/D,

AFAHr-

0——=——二。3,團(tuán)H4F二團(tuán)DE/,

DFFJ

團(tuán)團(tuán)E4H+MFH=90°,

團(tuán)MFH+回。日=90°,

團(tuán)MFO=90°,BPAF^DF,

^AF=^DF,八用DF；

(3)如圖③中，結(jié)論：AF=DF-tan((90°-1a),AFLDF,

理由：過點(diǎn)八作AH團(tuán)BC于H,過點(diǎn)。作DJI亞C于J.

圖③

W\B=AC,團(tuán)BZC=a,

國(guó)BH=CH,AH=BH-tan(90°一]。)，

回DC=DE,0CDE=18O°-a,

團(tuán)C/=JE,JE=DJ.tan(900-Ja)，

團(tuán)8F=FE,

WJ=BF=EF,

國(guó)BH=FJ,HF=JE,

^AH=FJ-tan(90°-1a),FH=DJ-tan(90°

AHHF…01、

團(tuán)---=---=tan(90——a),

FJDJ2

團(tuán)MHF二團(tuán)日。=90°,

團(tuán)骷H用回E/。，

A尸AH1

田——二——=tan(90°一一a),^\HAF=^DFJ,

DFFJ2

團(tuán)團(tuán)E4H+MFH=90°,

團(tuán)MFH+團(tuán)。日=90°,

團(tuán)MFD=90°,BPAF^IDF,

回AF=DF-tan((90°一ga),AF^\DF.

【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等

三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)正確尋找全等三

角形或相似三角形解決問題.

例4.(培優(yōu)綜合3)團(tuán)如圖1,點(diǎn)C在線段AB上，點(diǎn)D、E在直線AB同側(cè)，回A=MCE=MBE,

DC=CE.求證：AC=BE.

回如圖2,點(diǎn)C在線段AB上，點(diǎn)D、E在直線AB同側(cè)，回A=@DCE=[3CBE=90°.

ACAD16

①求證：一=—；②連接BD,若回ADC=EIABD,AC=3,BC=—,求tanEICDB的值；

一BEBC3

團(tuán)如圖3,在國(guó)ABD中，點(diǎn)C在AB邊上，且回ADC=MBD,點(diǎn)E在BD邊上，連接CE,團(tuán)BCE

QA

【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②tan/CDB=x；（3）j.

【分析】（1）利用AAS證明AACD三ABEC可得AC=BE；

…ArAD

（2）①先證明ADAC甌CBE,再利用相似三角形的性質(zhì)可得篝=黑：

②根據(jù)EIA=I3DCE=I3CBE=9O°,EADC=[3ABD,可推出△ADCH3ADB,從而求出相應(yīng)的線段長(zhǎng)度，

得至IJtanElCDB的值.

（3）根據(jù)MDCWABD,可推出△ADCEBADB,從而得到AD的長(zhǎng)，根據(jù)[3BCE+EIBAD=180°,以

E為圓心，EC長(zhǎng)為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)H,連接EH,可得EH=EC,EIEHC=l2]ECB=0ADC+0DCA,

12

r,BEEHT4

可得△BEHEEADC,則而=就常下

3

【詳解】（1）證明：如圖1,

?.?ZA+ND+ZACD=180°,ZDCE+ZECB+ZACD=180°

又???ZA=NDCE,ZACD=ZACD

:.ZD=ZECB

又?.ZA=NCBE,DC=CE

:AACD*BEC

:.AC=BE

(2)①證明：回團(tuán)DCA+回DCE+回ECB=180°,

團(tuán)DCA+團(tuán)A+團(tuán)CDA=180°,回A二回DCE,

即1ADC二團(tuán)ECB,

團(tuán)團(tuán)A二回B,

團(tuán)團(tuán)DAC團(tuán)團(tuán)CBE,

.ACAD

,BE-BC

②如圖2,

回團(tuán)ADC二團(tuán)DBA,團(tuán)A二團(tuán)A,

團(tuán)團(tuán)ADCR01ABD,

ACAD

AB-AB

25

AB=AC+BC=—

3

AD

網(wǎng)3_^5

回訪一至

3

解得AD=5,

，公國(guó)DB二華

設(shè)團(tuán)DBA=團(tuán)CDA=a,

團(tuán)團(tuán)CDG=90-2a,

回回CGD=2a,

回回GCB二回GBC=a,

0CG=GB,

設(shè)CG=GB=x,

.n?_5^4

..DCJ-----------x

3

，而+1=1手一X

解得了=迫

15

Q

/.tanZCZ)B=—

15

團(tuán)團(tuán)ADOR1B,團(tuán)A二團(tuán)A,

回回ADC團(tuán)團(tuán)ADB,

.ADAB

,AC-AD

25

?T

?.亍一丁

AD

解得AD=5,

團(tuán)團(tuán)BCE+團(tuán)BAD=180°,回ADC+團(tuán)DCA+團(tuán)BAD=180°,

釀ADC+團(tuán)DCA二團(tuán)BCE,

以E為圓心，EC長(zhǎng)為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)H,連接EH,

團(tuán)EH=EC,團(tuán)EHC二團(tuán)ECB二團(tuán)ADC+團(tuán)DCA,

HUB二團(tuán)ADC,

團(tuán)團(tuán)BEH二團(tuán)ACD,

團(tuán)團(tuán)BEHRBADC,

12

.BE_EH_~5_4

*,CD-AC-T-5

3

4

故答案為彳

【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形得性質(zhì)和判定，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出相關(guān)的線

段長(zhǎng)度，最后一問以EC為腰作等腰三角形為解題關(guān)鍵.

例5.（與反比例函數(shù)綜合）如圖，在矩形493。中，OB=4,。4=3,分別以03、Q4所

在直線為％軸和y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，尸是邊5c上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、

C重合），過產(chǎn)點(diǎn)的反比例函數(shù)〉=幺化＞0）的圖象與AC邊交于點(diǎn)E,將沿M對(duì)折

X

后，C點(diǎn)恰好落在。3上的點(diǎn)。處，則上的值為.

21

【答案】v

O

【分析】過點(diǎn)E作軸于點(diǎn)〃，根據(jù)翻折的性質(zhì)得到/￡Z?=/C=90。，進(jìn)而證明

FMFD4

AMED^ABDF，再根據(jù)相似的性質(zhì)得到—=—=通過矩形EA0M的性質(zhì)得到EM

DBDF3

的長(zhǎng)度，進(jìn)而得到。2的長(zhǎng)度，最后在中應(yīng)用勾股定理即可求解.

【詳解】如圖，過點(diǎn)E作EAf軸于點(diǎn)

y

回四邊形AOBC為矩形，OA=3,08=4,

0BC=OA=3,AC=OB=A,NC=90°,ZO5C=90°.

EA(0,3),0(0,0),8(4,0),C(4,3).

回點(diǎn)/在邊BC上，點(diǎn)E在邊AC上，

團(tuán)x尸=4,yE=3,

又回點(diǎn)E,尸在反比例函數(shù)y=f(A>0)的圖象上,

聯(lián),3),小高.

kk

團(tuán)A石二一，BF=~.

34

kk

^1EC=AC-AE=4一一,CF=BC-BF=3一一.

34

0ACEF沿EF對(duì)折后得到△DEF,

kk

團(tuán)NEDb=NC=90。，ED=EC=4——,DF=CF=3——.

34

^\ZMDE+ZFDB=90°.

回軸，0ZEMD=9O°

0ZMDE+ZAffiD=9O°,NEMD=/OBC=90。.

田/MED=NBDF.

kn-k

EMED"I4

BAMED^ABDF.團(tuán)-----=-----=------=——-——=—

DBDF2k12-k3

44

團(tuán)四邊形A05C是矩形，^\ZEAO=ZAOM=90°.

又回EM_Lx軸，^\ZEMO=90°.團(tuán)四邊形E40M是矩形,

?DB=--=:

團(tuán)石M=OA=3."44

3

在Rt△。班'中，滿足。尸=￡>B2+B尸2,

即卜弋:二箭+0:解得V.故答案為：

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與長(zhǎng)度之間

的關(guān)系以及勾股定理，作出合適的輔助線，熟練應(yīng)用以上知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

例7.（與二次函數(shù)綜合）如圖，拋物線>=依2+如（0片0）過點(diǎn)44,0）和點(diǎn)5（1,-3）,其頂點(diǎn)

為點(diǎn)C,連接AB,點(diǎn)D在拋物線上A、C兩點(diǎn)之間，過點(diǎn)D作。軸，垂足為點(diǎn)F,DF

與AB交于點(diǎn)E.

（1）求此拋物線的解析式.

（2）連接AD、BD,設(shè)△ABD的面積為S,點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m,求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式

并求出S的最大值.

（3）點(diǎn)M在坐標(biāo)軸上，試探究平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N,使點(diǎn)A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是

矩形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)y=x2-4x；(2)+—,?；（3）存在，（3,1）或（一3,1）或（1,3）.

-2(2)8O

【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得;

（2）可求出直線A2的解析式，進(jìn)而求得E點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出DE,然后利用三角形面積公

式可求得△AB。的面積；

（3）當(dāng)為直角三角形時(shí)，可找到滿足條件的點(diǎn)N,分三種情況分別討論可求得N點(diǎn)

坐標(biāo).

【詳解】（1）《拋物線"江+加3*0）過點(diǎn)4（4,0）和點(diǎn)8（1,—3）,

116tz+4Z?=0,

\ct-\~h——3,

a=l,

解得

b=-4,

團(tuán)此拋物線的解析式為y=x2-4x.

(2)=x2-4x=(x-2)2-4,

田頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,-4),

團(tuán)點(diǎn)D在拋物線上A,C兩點(diǎn)之間，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m,

m2-4m）,

由點(diǎn)A(4,0)和點(diǎn)5(1,-3)得出直線AB的解析式為V=%-4,

團(tuán)￡(機(jī),加一4),

團(tuán)DE=機(jī)一4一（機(jī)2-4m）=-m2+5m—4,

回S=；OE,瓦fI，

回S=；（一機(jī)2+5m—4）x（4—1）=—^-m2+^m-6,

3215，3(5、27

22212)8

回當(dāng)m的值為15時(shí)，S有最大值2=7.

28

(3)El以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，

△ABM為直角三角形，

①當(dāng)NA3M=90。，則M在y軸上時(shí)，過點(diǎn)B作尸Q//x軸，軸，交于Q點(diǎn)，如圖1,

圖1

由點(diǎn)A（4,0）和點(diǎn)8（1,-3）可知PB=1,AQ=3,30=4-1=3,

則有△MPBEIABQA,

PMPBPM1",

回詼;而’即三F解得「河=1，

^AMPB^^NHA,

^AH=PB=1,NH=PM=1,

回N（3,l）,

②當(dāng)/ABM=90。，則M在x軸上時(shí)，作軸于H,松，工軸于6,如圖2,

圖2

由點(diǎn)A（4,0）和點(diǎn)8。,—3）可知AH=4—1=3,BH=3,

則有AABH0AMGN,

BNG=BH=3,MG=AH=3,

國(guó)BH?=MH-AH，

032=3-MH,

ElAfff=3,

0G,H重合，

回OG=1,

回N（L3）,

③當(dāng)NM4B=90。時(shí)，則M只能在y軸上，作軸于P,NQ，y軸于Q,如圖3,

fflZNMQ+ZAMQ=90°,ZQMA+ZMAP=90"

^ZNMQ=ZMAP,

而NAMP+/BA尸=90。，NNMQ+NBAP=90。,

^\ZNMQ=ZBAP,

圖3

ZAMQ=ZBAP,

在ANQM與少臺(tái)中，./MQN=/BPA,

MN=AB,

SANQM^AAPB（AAS）

回NQ=A尸=3,MQ=PB=3,

回直線AB的解析式為y=x-4,

國(guó)直線AM的解析式為＞=-x+4,

0M（O,4）,

002=4-3=1,

國(guó)N（-3,1）,

綜上可知存在滿足條件的N點(diǎn)，其坐標(biāo)為（3,1）或（-3,1）或（1,3）.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、矩形的性質(zhì)、相似三角形的

性質(zhì)等.在（2）中求得E坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（3）中確定出M點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，

注意分類討論思想的應(yīng)用.本題考查知識(shí)點(diǎn)較基礎(chǔ)，難度適中.

課后訓(xùn)練

3

1.如圖，在反比例函數(shù)＞=士的圖象上有一動(dòng)點(diǎn)A,連接40并延長(zhǎng)交圖象的另一支于點(diǎn)8,

X

在第二象限內(nèi)有一點(diǎn)C,滿足AC=3C,當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C始終在函數(shù)y=V的圖象上運(yùn)

X

動(dòng),若A能C=有t—，貝必的值為（）

AO

【答案】B

【分析】連接。。過點(diǎn)A作AEfflx軸于點(diǎn)E,過點(diǎn)C作CFffly軸于點(diǎn)F,通過角的計(jì)算找出回A0E

=EIC0F,結(jié)合“EIAEO=90。，EICFO=90。”可得出△AOEEBCOF,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比

例式，再由黑=逐，得出==：，可得出CF?OF的值，進(jìn)而得到k的值.

AOCO2

【詳解】如圖，連接0C,過點(diǎn)A作AE取軸于點(diǎn)E,過點(diǎn)C作CF?y軸于點(diǎn)F,

3

回由直線AB與反比例函數(shù)＞=士的對(duì)稱性可知A、B點(diǎn)關(guān)于。點(diǎn)對(duì)稱,

X

團(tuán)AO=BO,

又回AC=BC,

團(tuán)CO回AB,

團(tuán)團(tuán)AOE+團(tuán)AOF=90°,團(tuán)AOF+團(tuán)COF=90°,

團(tuán)團(tuán)AOE=ISCOF,

又回團(tuán)AEO=90°,團(tuán)CFO=90°,

回回AOE回R1C0F,

AEOEAO

團(tuán)----=----

CFOF~cd

AO

AO

0一

CO2

回CF=2AE,0F=20E,

又I3AE?OE=3,

0CF?OF=|k|=4x3=12,

I3k=±12,

回點(diǎn)C在第二象限，

Ek=-12,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、反比例函數(shù)的性質(zhì)以及相似三角形的

判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出CF?0F=12.解決該題型題目時(shí)，巧妙的利用了相似三角形

的性質(zhì)找出對(duì)應(yīng)邊的比例，再結(jié)合反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征找出結(jié)論.

2.如圖，在矩形A8CD中，AB=4,AD=5,E、F、G、//分別為矩形邊上的點(diǎn)，HF

過矩形的中心。，且上田=AD.E為AB的中點(diǎn)，G為8的中點(diǎn)，則四邊形斯G歹的周長(zhǎng)

為（）

A.375B.6君C.8A/3D.6拒

【答案】B

【分析】連接EG,證明四邊形EHGF是矩形，再證明△AEHSADHG,求得AH與。歸的

長(zhǎng)度，由勾股定理求得E"與龍，再由矩形的周長(zhǎng)公式求得結(jié)果.

【詳解】解：連接EG,

四邊形ABC。是矩形，

;.AB=CD,ABI/CD,

?.?E為AB的中點(diǎn)，G為8的中點(diǎn)，

:.AE=DG,AE//DG,

二四邊形AEGD是平行四邊形，

:.AD=EG,

,?,矩形是中心對(duì)稱圖形，H尸過矩形的中心。.

..EG過點(diǎn)0,且O〃=OF,OE=OG,

四邊形EHGF是平行四邊形，

HF=AD=EG,

；?四邊形EaGF是矩形，

:.NEHG=90。,

?.?ZA=ZZ）=90°,

ZAHE+ZAEH=ZAHE+ZDHG=90°,

:.ZAEH=ZDHG,

:.AAEHS/\DHG,

.AH_AE

設(shè)=則DH=5-x,

AE=DG=-AB=2,

2

x_2

解得，x=l或4,

.?.A//=l或4,

當(dāng)Af/=1時(shí)，DH=4,則HE=《AH。+AE2=5&=石,

HG=y/DH2+DG2=V42+22=275，

???四邊形EFGH的周長(zhǎng)=2x(2石+病=6行；

同理，當(dāng)AH=4時(shí)，四邊形EFGH的周長(zhǎng)=2x（2柄+君）=6

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，關(guān)鍵在于證明

四邊形EHG尸是矩形.

3.如圖，在Rt"lBC中，ZACB=90°,點(diǎn)。在A3上，連接CD,ZADC=2ZA,AC=4,

BC=5,貝l|線段CD=.

【答案】—

2

【分析】作CE=AC交AB于E,證明ADCE是等腰三角形，過點(diǎn)D作D甩CE于F,求出CF=

2,然后證明AABC回ACDF,利用相似三角形的性質(zhì)列出比例式計(jì)算即可.

【詳解】解：如圖，作CE=AC交AB于E,則I3A=EICEA,CE=4,

0EIADC=0DCE+0CEA,0ADC=20A,0EIDCE=EA=[aCEA,0DC=DE,

過點(diǎn)D作DFIXE于F,則CF=EF=；CE=2,

CFCD

00DCE=0A,0DFC=EBCA=9O°,ElAABCSACDF,0一=一

ACAB

在R5ABC中，AB=VAC2+BC2=V42+52^，

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理

的應(yīng)用，通過作輔助線，構(gòu)造出等腰三角形和相似三角形是解題的關(guān)鍵.

2

4.如圖，AAOB是直角三角形，ZAOB=90°,03=2OA,點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=-的圖象

X

上.若點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=4的圖象上，則k的值為

【答案】-8

【分析】求函數(shù)的解析式只要求出B點(diǎn)的坐標(biāo)就可以，過點(diǎn)A,B作ACHr軸，BDEr軸，分

別于C,D.根據(jù)條件得到E1AC0釀0DB,得到絲=絲="=2,然后用待定系數(shù)法即可.

0CAC0A

【詳解】過點(diǎn)A,B作AC以軸，BD以軸，分別于C,D.

設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)是(m,n),則AC=〃，0C=m,

RH1AOB=90°,

麗A0C+團(tuán)BOD=90°,

配1DBO+I3BOD=90°,

甌DB0=M0C,

幽BDO=囪ACO=90°,

團(tuán)團(tuán)BDO團(tuán)團(tuán)OCA,

BDODOB

i?i-------------------

OCAC~OA"

團(tuán)0B=20A,

團(tuán)BD=20D=2〃，

2

因?yàn)辄c(diǎn)A在反比例函數(shù)y=—的圖象上，則根〃=2,

x

k

團(tuán)點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=*的圖象上，

X

配點(diǎn)的坐標(biāo)是1-2%2m),

Slk=-2n?2m=-4mn=-8.

故答案為：-8.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，相似三角形的判定和性質(zhì)，求函數(shù)的

解析式的問題，一般要轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)的坐標(biāo)的問題，求出圖象上點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的積就可以求出

反比例函數(shù)的解析式.

5.如圖，已知。是等邊AABC邊上的一點(diǎn)，現(xiàn)將AABC折疊，使點(diǎn)C與。重合，折痕

為EF,點(diǎn)、E、尸分別在AC和8C上.如果AD:DB=2:3,則CE：CF的值為.

【答案】7：8

【分析】設(shè)AD^2x,DB=3x,連接DE、DF,由折疊的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)可得aWEfflBED,

由相似三角形的性質(zhì)即可求得CE:b的值.

【詳解】設(shè)AD=2x,DB=3x,則AB=5x

連接DE、DF,如圖所示

團(tuán)0ABe是等邊三角形

SBC=AC=AB=5x,0A=0B=0ACB=6O°

由折疊的性質(zhì)得：DE=CE,DF=CF,SEDF^SACB=60°

00ADE+0B￡)F=18O°-0EDF=12OO

00B￡)F+[3DFB=18O°-0B=12OO

^EADE^DFB

^\ADE^\BFD

DE^/\ADEAD~^~AE+DEAD+AE+CEAD+AC2%+5x7

回=———==一

DFC^BDFBD+DF+BFBD+CF+BFBD+BC3X+5X8

即CE：CF=7：8

故答案為：7：8

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，證

明三角形相似是本題的關(guān)鍵.

6.已知在RSABC中，ABAC=90°,AB=2,AC=4,。為8C邊上的一點(diǎn).過點(diǎn)