第06講實際問題與一元二次方程（6種題型）

【知識梳理】

列一元二次方程解應用題

i.利用方程解決實際問題的關鍵是尋找等量關系.

2.解決應用題的一般步驟：

審（審題目，分清已知量、未知量、等量關系等）；

設（設未知數，有時會用未知數表示相關的量）；

列（根據題目中的等量關系，列出方程）；

解（解方程，注意分式方程需檢驗，將所求量表示清晰）；

驗（檢驗方程的解能否保證實際問題有意義）

答（寫出答案，切忌答非所問）.

要點詮釋：列方程解實際問題的三個重要環節：

一是整體地、系統地審題；

二是把握問題中的等量關系；

三是正確求解方程并檢驗解的合理性.

【考點剖析】

題型1：增長率問題

列一元二次方程解決增長（降低）率問題時，要理清原來數、后來數、增長率或降低率，以及增長或降低的次

數之間的數量關系.如果列出的方程是一元二次方程，那么應在原數的基礎上增長或降低兩次.

⑴增長率問題：

平均增長率公式為a（l+x）"=6（a為原來數，x為平均增長率，n為增長次數，b為增長后的量.）

⑵降低率問題：

平均降低率公式為a（l-X）"（a為原來數，x為平均降低率，n為降低次數，b為降低后的量.）

例1.（2022?寧夏）受國際油價影響，今年我國汽油價格總體呈上升趨勢.某地92號汽油價格三月底是6.2

元/升，五月底是8.9元/升.設該地92號汽油價格這兩個月平均每月的增長率為x,根據題意列出方程,

正確的是（）

A.6.2（1+無）2=8.9

B.8.9(1+無)2=6.2

C.6.2(1+x2)=8.9

D.6.2(l+.r)+6.2(1+x)2=8.9

例2.(2022?上海)某公司5月份的營業額為25萬，7月份的營業額為36萬，已知5、6月的增長率相同，

則增長率為.

例3.隨著國家"惠民政策"的陸續出臺，為了切實讓老百姓得到實惠，國家衛計委通過嚴打藥品銷售環節中

的不正當行為，某種藥品原價200元/瓶，經過連續兩次降價后，現在僅賣98元/瓶，現假定兩次降價的百

分率相同，求該種藥品平均每場降價的百分率.

例4.(2023?湖南?湖南師大附中校聯考模擬預測)今年五一"網紅長沙"再次火出"圈"，27個旅游景區五天

累計接待游客194.98萬人，成為全國十大必到城市之一.長沙美食也吸引了無數游客紛紛打卡，某網紅火

鍋店五一期間生意火爆，第2天營業額達到10萬元，第4天營業額為14.4萬元，據估計第3天、第4天

營業額的增長率相同.

⑴求該網紅店第3,4天營業額的平均增長率；

(2)若第1天的營業額為4.6萬元，第五天由于游客人數下降，營業額是前四天總營業額的10%,求該網紅

店第5天營業額.

題型2:面積問題

此類問題屬于幾何圖形的應用問題，解決問題的關鍵是將不規則圖形分割或組合成規則圖形，根據圖形的

面積或體積公式，找出未知量與已知量的內在關系并列出方程.

例5.如圖，有一面積是150平方米的長方形雞場，雞場的一邊靠墻（墻長18米），墻對面有一個2米寬的

門，另三邊（門除外）用竹籬笆圍成，籬笆總長33米.求雞場的長和寬各多少米？

例6.如圖，一農戶要建一個矩形豬舍，豬舍的一邊利用長為12m的住房墻，另外三邊用25m長的建筑材

料圍成，為方便進出，在垂直于住房墻的一邊留一個1m寬的門，所圍矩形豬舍的長、寬分別為多少時,

豬舍面積為80m2?

住房墻

例7.（2022?德州）如圖，某小區矩形綠地的長寬分別為35祖，15m.現計劃對其進行擴充，將綠地的長、寬

增加相同的長度后，得到一個新的矩形綠地.

（1）若擴充后的矩形綠地面積為800m，求新的矩形綠地的長與寬；

（2）擴充后，實地測量發現新的矩形綠地的長寬之比為5：3.求新的矩形綠地面積.

例8.（2022?泰州）如圖，在長為50/77,寬為38m的矩形地面內的四周修筑同樣寬的道路，余下的鋪上草

坪.要使草坪的面積為1260川，道路的寬應為多少？

50m

題型3：數字問題

⑴任何一個多位數都是由數位和數位上的數組成.數位從右至左依次分別是：個位、十位、百位、千位……，

它們數位上的單位從右至左依次分別為：1、10、100、1000、……,數位上的數字只能是0、1、2、……、

9之中的數，而最高位上的數不能為0.因此，任何一個多位數，都可用其各數位上的數字與其數位上的單位

的積的和來表示，這也就是用多項式的形式表示了一個多位數.如：一個三位數，個位上數為a,十位上數

為b,百位上數為c,則這個三位數可表示為：100c+10b+a.

（2）幾個連續整數中，相鄰兩個整數相差1.

如：三個連續整數，設中間一個數為x,則另兩個數分別為x-1,x+1.

幾個連續偶數（或奇數）中，相鄰兩個偶數（或奇數）相差2.

如：三個連續偶數（奇數），設中間一個數為x,則另兩個數分別為x-2,x+2.

例9.已知兩個數的和等于12,積等于32,求這兩個數是多少.

例10.一個兩位數是一個一位數的平方，把這個一位數放在這個兩位數的左邊所成的三位數，比把這個一位

數放在這個兩位數的右邊所成的三位數大252,求這個兩位數.

題型4:利潤（利息）問題

利息問題

（1）概念：

本金：顧客存入銀行的錢叫本金.

利息：銀行付給顧客的酬金叫利息.

本息和：本金和利息的和叫本息和.

期數：存入銀行的時間叫期數.

利率：每個期數內的利息與本金的比叫利率.

⑵公式：

利息=本金X利率義期數

利息稅=利息乂稅率

本金x（l+利率X期數）=本息和

本金X[1+利率X期數義（1-稅率）]=本息和（收利息稅時）

利潤（銷售）問題

利潤（銷售）問題中常用的等量關系：

利潤=售價-進價（成本）

總利潤=每件的利潤義總件數

利潤率=%口X100%,標價X已等二售價

進價（或成本）10

進價x（l+利潤率）=標價x臂臀

例11.某商品現在的售價為每件60元，每星期可賣出300件.市場調查反映：每降價1元，每星期可多賣

出20件.已知商品的進價為每件40元，在顧客得實惠的前提下，商家還想獲得6080元的利潤，應將銷

售單價定位多少元？

例12.商場某種新商品每件進價是120元，在試銷期間發現，當每件商品售價為130元時，每天可銷售70

件，當每件商品售價高于130元時，每漲價1元，日銷售量就減少1件.據此規律，請回答：

①當每件商品售價定為170元時，每天可銷售多少件商品？商場獲得的日盈利是多少？

②在上述條件不變、商品銷售正常的情況下，每件商品的銷售價定為多少元時，商場日盈利可達到1600

元？

例13.（2022?宜昌）某造紙廠為節約木材，實現企業綠色低碳發展，通過技術改造升級，使再生紙項目的生

產規模不斷擴大.該廠3,4月份共生產再生紙800噸，其中4月份再生紙產量是3月份的2倍少100

噸.

（1）求4月份再生紙的產量；

（2）若4月份每噸再生紙的利潤為1000元，5月份再生紙產量比上月增加初％.5月份每噸再生紙的利

潤比上月增加巨％,則5月份再生紙項目月利潤達到66萬元.求m的值；

2

（3）若4月份每噸再生紙的利潤為1200元，4至6月每噸再生紙利潤的月平均增長率與6月份再生紙

產量比上月增長的百分數相同，6月份再生紙項目月利潤比上月增加了25%.求6月份每噸再生紙的利

潤是多少元？

題型5：比賽統計問題

比賽問題：解決此類問題的關鍵是分清單循環和雙循環.

例14.（2022?黑龍江）2022年北京冬奧會女子冰壺比賽有若干支隊伍參加了單循環比賽，單循環比賽共進

行了45場，共有多少支隊伍參加比賽？（）

A.8B.10C.7D.9

例15.首屆中國象棋比賽采用單循環制，每位棋手與棋手比賽一盤制，已知第一輪比賽共下了105場，那

么參加第一輪比賽的共有幾名選手？

題型6：傳播問題

傳播問題：

a（l+xy=A,。表示傳染前的人數，x表示每輪每人傳染的人數，”表示傳染的輪數或天數，A表示最終的

人數.

例16.（2023秋?浙江臺州?九年級統考期末）一人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人患了流感，每

輪傳染中平均一個人傳染幾個人？設每輪傳染中平均一個人傳染X個人.根據題意列出方程為（）

A.1+x+x2=121B.l+x（x+l）=121

C.l+x+x（x+l）=121D,+x（%+l）=121

例17.（2023?全國?九年級專題練習）有一人感染了某種病毒，經過兩輪傳染后，共有256人感染了該種病

毒，求每輪傳染中平均每人傳染了多少個人.

【過關檢測】

一、單選題

1.（2023?湖南湘西?統考三模）在"雙減政策”的推動下，我縣某中學學生每天書面作業時長明顯減少，2022

年上學期每天書面作業平均時長為lOOmin,經過2022年下學期和2023年上學期兩次調整后，2023年上

學期平均每天書面作業時長為70min,設該校這兩學期平均每天作業時長每期的下降率為x,則可列方程

為（）

A.70（l+x2）=100B.70(1+x)2=100

C.100（1-4=70D.100（1-x2）=70

2.（2023?新疆喀什?統考三模）為大力實施城市綠化行動，某小區規劃設置一片面積為1000平方米的矩形

綠地，并且長比寬多30米，設綠地長為x米，根據題意可列方程為（）

A.x（x+30）=1000B.x（x-30）=1000C.2x（x+30）=1000D.2x（x-30）=1000

3.（2023?重慶沙坪壩?重慶南開中學校考二模）NK中學秋季運動會上安排了8行12列的鮮花儀仗隊，后

來又增加了69人，使得隊伍增加的行、列數相同，設增加了無行，則可列方程為（）

A.（8+x）（12+x）=69B.8x+12x=69

C.（8+x）（12+x）=69+8xl2D.8元+12x—2元？=69

4.（2022秋?天津武清?九年級校考階段練習）一個兩位數等于它個位數字的平方，且個位數字比十位數字

大3,則這個兩位數是（）

A.25B.36C.25或36D.64

5.（2023?山東淄博?統考二模）如圖，在一塊長92m,寬60m的矩形耕地上挖三條水渠（水渠的寬都相

等），水渠把耕地分成6個矩形小塊（陰影部分），如果6個矩形小塊的面積和為5310m2,那么水渠應挖

多寬？若設水渠應挖xm寬，則根據題意，下面所列方程中正確的是（）

A.（92-2x）（6。-尤）=5310B.92x60-2x60x-92x-2x2=5310

C.92x60-2x60x-92x=5310D.92x60-2x92x-60x+2x2=5310

6.（2023?寧夏銀川?校考一模）有一個人患流感，經過兩輪傳染后共有81個人患流感，每輪傳染中平均一

個人傳染幾個人？設每輪傳染中平均一個人傳染尤個人，可到方程為（）

A.l+2x=81B.1+爐=81C.1+x+x2=81D.（1+x）2=81

7.（2023秋?云南昆明?九年級統考期末）中國男子籃球職業聯賽（簡稱：CBA）,分常規賽和季后賽兩個階

段進行，采用主客場賽制（也就是參賽的每兩個隊之間都進行兩場比賽）.2022-2023CB4常規賽共要賽

240場，則參加比賽的隊共有（）

A.80個B.120個C.15個D.16個

8.（2022秋?河南商丘?九年級統考期末）如圖，是某月的日歷表，在此日歷表上可以用一個矩形圈出3x3

個位置相鄰的數（如6,7,8,13,14,15,20,21,22）.如果圈出的9個數中，最小數X與最大數的積

為161,那么根據題意可列方程為（）

日一二三四五六

A.x(x+8)=161B.x(x+16)=161C.(x-8)(%+8)=161D,x(x-16)=161

二、填空題

9.（2022秋?遼寧沈陽?九年級校考期中）若某兩位數的十位數字是方程Y-7x=0的根，則它的十位數字

是.

10.（2023秋?廣東肇慶?九年級統考期末）在元旦慶祝活動中，每個參加活動的同學都給其余參加活動的同

學各送1張賀卡，共送賀卡42張，設參加活動的同學有x人，根據題意，可列方程是

11.（2023?江蘇蘇州?蘇州市振華中學校校考二模）某商場將進貨價為45元的某種服裝以65元售出，平均

每天可售30件，為了盡快減少庫存，商場決定采取適當的降價措施，調查發現：每件降價1元，則每天

可多售5件，如果每天要盈利800元，每件應降價元.

三、解答題

12.（2023?吉林長春?長春市解放大路學校校考三模）某城市2020年底已有綠化面積500公頃，經過努

力，綠化面積以相同的增長率逐年增加，到2022年底增加到605公頃，求該城市綠化面積的增長率.

13.（2023?山東德州?校考一模）某服裝銷售商用48000元購進了一批時髦服裝，通過網絡平臺進行銷售，

由于行情較好，第二次又用100000元購進了同種服裝，第二次購進數量是第一次購進數量的2倍，每件的

進價多了10元.

⑴該銷售商第一次購進了這種服裝多少件，每件進價多少元？

⑵該銷售商賣出第一批服裝后，統計發現：若按每件300元銷售，每天平均能賣出80件，銷售價每降低10

元，則多賣出20件.依此行情，賣第二批服裝時，讓利促銷，并使一天的利潤恰好為3600元，銷售價應

為多少？

14.（2023?陜西咸陽,統考三模）如圖，某小區矩形綠地的長寬分別為30m,20m.現計劃對其進行擴充，

將綠地的長、寬增加相同的長度后，得到一個新的矩形綠地.若擴充后的矩形綠地面積為1200m2,求新的

矩形綠地的長與寬.

15.（2023?廣東廣州?統考二模）我市某景區今年3月份接待游客人數為10萬人，5月份接待游客人數增加

到12.1萬人.

⑴求這兩個月游客人數的月平均增長率；

（2）若月平均增長率不變，預計6月份的游客人數是多少？

16.（2022秋?福建泉州?九年級校考階段練習）為了響應"踐行核心價值觀，青春正能量”的號召，小穎決定

走入社區號召大家參加“傳遞正能量志愿服務者”，假定從一開始號召，每一個人每周能夠號召相同的加個

人參加，被號召參加的人下一周會繼續號召，周后，將有121人被號召成為“傳遞正能量志愿服務者.”

⑴求出機的值；

（2）經過計算后，小穎、小紅、小麗三人開始起號召，但剛剛開始，他們就發現了問題，實際號召過程中，

不是每一次號召都可以成功，他們三人的成功率也各不相同，已知小紅的成功率比小穎的兩倍少10%,第

一周后小麗比小穎多號召2人，三人一共號召17人，其中小穎號召了〃人.

①分別求出他們三人號召的成功率；

②求出n的值.

17.（2022秋?廣東陽江?九年級統考期末）烏克蘭危機發生之后，外交戰線按照黨中央的部署緊急行動，在

戰火粉飛中已將5200多名同胞安全從烏克蘭撤離，電影《萬里歸途》正是“外交為民"的真實寫照，如表是

該影片票房的部分數據，（注：票房是指截止發布日期的所有售票累計收入）

影片《萬里歸途》的部分統計數據

發布日期10月8日10月11日10月12日

發布次數第1次第2次第3次

票房10億元12.1億元

⑴平均每次累計票房增長的百分率是多少？

⑵在（1）的條件下，若票價每張40元，求10月11日賣出多少張電影票

18.（2022秋?四川成都?九年級統考期中）由于疫情反彈，某地區開展了連續全員核酸檢測，9月7日，醫

院派出13名醫護人員到一個大型小區設置了A、3兩個采樣點進行核酸采樣，當天共采樣9220份，已知

A點平均每人采樣720份，8點平均每人采樣700份.

⑴求A、5兩點各有多少名醫護人員？

（2）9月8日，醫院繼續派出這13名醫護人員前往這個小區進行核酸采樣，這天，社區組織者將附近數個商

戶也納入這個小區采樣范圍，同時重新規劃，決定從8點抽調部分醫護人員到A點經調查發現，8點每減

少1名醫護人員，人均采樣量增加10份，A點人均采樣量不變，最后當天共采樣9360份，求從B點抽調

了多少名醫護人員到A點？

19.（2022秋?陜西西安?九年級校考期中）如圖，已知A、B、C、。為矩形的四個頂點，AB=16cm,

AD=6cm,動點尸、0分別從點A、C同時出發，點尸以3cm/s的速度向點B移動，一直到點B為止，點

。以2cm/s的速度向點。移動.問：

(1)尸、。兩點從出發開始幾秒時，四邊形尸3CQ的面積為33cm2?

(2)幾秒時點尸點Q間的距離是10厘米？

(3)產，。兩點間距離何時最小？

20.(2023春?山西長治?九年級校聯考階段練習)小米又稱栗米，古稱栗，是中國古代的“五谷"之一，"人

說山西好風光，地肥水美五谷香"、我省晉中、晉東南、陽泉盛產小米、某超市計劃用12元/kg的價格購進

一批優質小米，根據銷售經驗，當該小米的售價為14元/kg時，月銷售量為980kg,每千克小米售價每增

長1元，月銷售量就相應減少30kg.

⑴若使這種小米的月銷售量不低于800kg,每千克小米售價應不高于多少元？

（2）在實際銷售過程中，每千克小米的進價為15元，而每千克小米的售價比（1）中最高售價減少了a%,

月銷售量比（1）中最低月銷售量800kg增加了5a%,結果該店銷售該小米的利潤達到了4000元，求在實

際銷售過程中每千克小米的價格.

21.（2023秋?山西太原?九年級期末）某電器商店銷售某品牌冰箱，該冰箱每臺的進貨價為2500元，已知

該商店去年10月份售出50臺，第四季度累計售出182臺.

⑴求該商店口，12兩個月的月均增長率；

（2）調查發現，當該冰箱售價為2900元時，平均每天能售出8臺；售價每降低50元，平均每天能多售出4

臺.該商店要想使該冰箱的銷售利潤平均每天達到5000元，求每臺冰箱的售價.

22.（2020秋?廣東揭陽?九年級統考期末）校運動會前夕，某班家委會準備為班級學生團體操表演方陣購買

x件表演服裝，商家給出了如下優惠條件：如果一次性購買不超過10件，單價為80元；如果一次性購買

多于10件，那么每增加1件，則購買的所有服裝的單價降低2元，但單價不得低于50元.若商家每件運

動服的進價為40元，家委會一次性購買這種服裝付了1200元.

⑴當x=10時，購買單價為元；當x=15時，購買單價為元；

⑵求家委會共購買了多少件服裝？

⑶若不考慮其它因素，本次銷售商家的利潤率是多少？

23.（2023,湖北孝感?統考三模）隨著疫情防控全面放開，"復工復產"成為主旋律.中航無人機公司統計發

現：公司今年2月份生產A型無人機2000架，4月份生產A型無人機達到12500架.

⑴求該公司生產A型無人機每月產量的平均增長率；

⑵該公司還生產5型無人機，己知生產1架A型無人機的成本200元，生產1架B型無人機的成本是300

元.若生產A3兩種型號無人機共100架，預算投入生產的成本不高于22500元，問最多能生產8型無人

機多少架？

第06講實際問題與一元二次方程（6種題

型）

【知識梳理】

列一元二次方程解應用題

1.利用方程解決實際問題的關鍵是尋找等量關系.

2.解決應用題的一般步驟：

審（審題目，分清已知量、未知量、等量關系等）；

設（設未知數，有時會用未知數表示相關的量）；

歹U（根據題目中的等量關系，列出方程）；

解（解方程，注意分式方程需檢驗，將所求量表示清晰）；

驗（檢驗方程的解能否保證實際問題有意義）

答（寫出答案，切忌答非所問）.

要點詮釋：列方程解實際問題的三個重要環節：

一是整體地、系統地審題；

二是把握問題中的等量關系；

三是正確求解方程并檢驗解的合理性.

【考點剖析】

題型1:增長率問題

列一元二次方程解決增長（降低）率問題時，要理清原來數、后來數、增長率或降低率，以及

增長或降低的次數之間的數量關系.如果列出的方程是一元二次方程，那么應在原數的基礎

上增長或降低兩次.

（1）增長率問題：

平均增長率公式為a（l+x）〃=b（a為原來數，X為平均增長率，n為增長次數，b為增長后

的量.）

⑵降低率問題：

平均降低率公式為a（l-x）"=6（a為原來數，x為平均降低率，n為降低次數，b為降低后

的量.）

例1.（2022?寧夏）受國際油價影響，今年我國汽油價格總體呈上升趨勢.某地92號汽油

價格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升.設該地92號汽油價格這兩個月平均每月的

增長率為x,根據題意列出方程，正確的是()

A.6.2(1+x)2=8.9

B.8.9(1+x)2=6.2

C.6.2(1+x2)=8.9

D.6.2(1+尤)+6.2(1+x)2=8.9

【分析】利用該地92號汽油五月底的價格=該地92號汽油三月底的價格X(1+該地92

號汽油價格這兩個月平均每月的增長率/，即可得出關于x的一元二次方程，此題得解.

【解答】解：依題意得6.2(1+x)2=8.9,

故選：A.

【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二

次方程是解題的感覺.

例2.(2022?上海)某公司5月份的營業額為25萬，7月份的營業額為36萬，已知5、6月

的增長率相同，則增長率為.

【分析】設平均每月的增長率為x,根據5月份的營業額為25萬元，7月份的營業額為

36萬元，表示出7月的營業額，即可列出方程解答.

【解答】解：設平均每月的增長率為X,

由題意得25(1+x)2=36,

解得xi=0.2,x2=-2.2(不合題意，舍去)

所以平均每月的增長率為20%.

故答案為：20%.

【點評】本題考查了一元二次方程的應用，根據數量關系列出關于尤的一元二次方程是

解題的關鍵.

例3.隨著國家"惠民政策”的陸續出臺，為了切實讓老百姓得到實惠，國家衛計委通過嚴打

藥品銷售環節中的不正當行為，某種藥品原價200元/瓶，經過連續兩次降價后，現在僅賣

98元/瓶，現假定兩次降價的百分率相同，求該種藥品平均每場降價的百分率.

【思路點撥】設該種藥品平均每場降價的百分率是x,則兩個次降價以后的價格是200(1

-x)2,據此列出方程求解即可.

【答案與解析】

解：設該種藥品平均每場降價的百分率是X,

由題意得：200(1-x)2=98

解得：xi=1.7(不合題意舍去),X2=0.3=30%.

答：該種藥品平均每場降價的百分率是30%.

【總結升華】此題考查了一元二次方程的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目

給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程，再求解.判斷所求的解是否符合題意，舍

去不合題意的解.

例4.（2023?湖南?湖南師大附中校聯考模擬預測）今年五一"網紅長沙"再次火出"圈"，27

個旅游景區五天累計接待游客194.98萬人，成為全國十大必到城市之一.長沙美食也吸引

了無數游客紛紛打卡，某網紅火鍋店五一期間生意火爆，第2天營業額達到10萬元，第4

天營業額為14.4萬元，據估計第3天、第4天營業額的增長率相同.

（1）求該網紅店第3,4天營業額的平均增長率；

（2）若第1天的營業額為4.6萬元，第五天由于游客人數下降，營業額是前四天總營業額的

10%,求該網紅店第5天營業額.

【答案】⑴該網紅店第3,4天營業額的平均增長率為20%；

⑵該網紅店第5天營業額為4.1萬元.

【分析】（1）設該網紅店第3,4天營業額的平均增長率為了,連續增長兩次，根據第2天

的營業額為10萬元可列出方程求解；

（2）求得前四天營業總額，根據“第五天的營業額是前四天總營業額的10%"列式計算即可

求解.

【詳解】（1）解：設該網紅店第3,4天營業額的平均增長率為無，則

10（l+x）2=14.4

解得西=0.2,無2=-2.2（舍）

答：該網紅店第3,4天營業額的平均增長率為20%；

（2）解：前四天營業額為：4.6+10+10（1+20%）+14.4=41萬元.

第五天營業額：41xl0%=4.1萬元，

答：該網紅店第5天營業額為4.1萬元.

【點睛】本題考查了一元二次方程中求增長率的方法.若設變化前的量為m變化后的量

為6,平均增長率為尤，則經過兩次變化后的數量關系為。（1+無產=6.

題型2：面積問題

此類問題屬于幾何圖形的應用問題，解決問題的關鍵是將不規則圖形分割或組合成規則圖

形，根據圖形的面積或體積公式，找出未知量與己知量的內在關系并列出方程.

例5.如圖，有一面積是150平方米的長方形雞場，雞場的一邊靠墻（墻長18米），墻對面

有一個2米寬的門，另三邊（門除外）用竹籬笆圍成，籬笆總長33米.求雞場的長和寬各

多少米？

|18米|

^~~I

________________________________________I

-------12米|------

解答方法：通過列出籬笆的長和寬來求解面積

解：設雞場的寬為X。

%(33-2%+2)=150

2%2-35%+150=0

(2%-15)(%-10)=0

x=7.5(舍，不符合題意)或x=10

答：雞場的長為15米，寬為10米。

答案：10米。

例6.如圖，一農戶要建一個矩形豬舍，豬舍的一邊利用長為12m的住房墻，另外三邊用

25m長的建筑材料圍成，為方便進出，在垂直于住房墻的一邊留一個1m寬的門，所圍矩

形豬舍的長、寬分別為多少時，豬舍面積為80m2?

住房墻

解：設矩形豬舍垂直于住房墻一邊長為xm可以得出平行于墻的一邊的長為(25-2X+1)

m,

由題意得

x(25-2x+l)=80,

化簡,#x2-13x+40=0,

解得：Xl=5,X2,8,

當x=5時，26-2x=16>12(舍去)，當x=8時，26-2x-10<12,

答：所圍矩形豬舍的長為10m、寬為81n.

【總結升華】L結合圖形分析數量關系是解決面積等幾何問題的關鍵；

2.注意檢驗一元二次方程的兩個解是否符合題意.

例7.(2022?德州)如圖，某小區矩形綠地的長寬分別為35ml5日現計劃對其進行擴充,

將綠地的長、寬增加相同的長度后，得到一個新的矩形綠地.

(1)若擴充后的矩形綠地面積為800%求新的矩形綠地的長與寬；

（2）擴充后，實地測量發現新的矩形綠地的長寬之比為5：3.求新的矩形綠地面積.

【分析】（1）設將綠地的長、寬增加切z,則新的矩形綠地的長為（35+x）相，寬為（15+x）

如根據擴充后的矩形綠地面積為800燈，即可得出關于尤的一元二次方程，解之即可得

出尤的值，將其正值分別代入（35+x）及（15+x）中，即可得出結論；

（2）設將綠地的長、寬增加ym,則新的矩形綠地的長為（35+y）m,寬為（15+y）m,

根據實地測量發現新的矩形綠地的長寬之比為5：3,即可得出關于y的一元一次方程，

解之即可得出y值，再利用矩形的面積計算公式，即可求出新的矩形綠地面積.

【解答】解：⑴設將綠地的長、寬增加初2,則新的矩形綠地的長為（35+x）m,寬為

（15+x）m,

根據題意得：（35+%）（15+x）=800,

整理得：x2+50x-275=0

解得：xi=5,X2=-55（不符合題意，舍去），

.,.35+x=35+5=40,15+尤=15+5=20.

答：新的矩形綠地的長為40加，寬為20%

（2）設將綠地的長、寬增加ym,則新的矩形綠地的長為（35+y）m,寬為（15+y）m,

根據題意得：（35+y）：（15+y）=5：3,

即3（35+y）=5（15+y）,

解得：y=15,

（35+y）（15+y）=（35+15）X（15+15）=1500.

答：新的矩形綠地面積為1500層.

【點評】本題考查了一元二次方程的應用以及一元一次方程的應用，解題的關鍵是：（1）

找準等量關系，正確列出一元二次方程；（2）找準等量關系，正確列出一元一次方程.

例8.（2022?泰州）如圖，在長為50加、寬為38%的矩形地面內的四周修筑同樣寬的道路,

余下的鋪上草坪.要使草坪的面積為1260京，道路的寬應為多少？

【分析】要求路寬，就要設路寬應為x米，根據題意可知：矩形地面-所修路面積=草

坪面積，利用平移更簡單，依此列出等量關系解方程即可.

【解答】解：設路寬應為x米

根據等量關系列方程得：（5。-2x）（38-2x）=1260,

解得：x=4或40,

40不合題意，舍去，

所以尤=4,

答：道路的寬應為4米.

【點評】解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系，列

出方程，再求解.

題型3：數字問題

(1)任何一個多位數都是由數位和數位上的數組成.數位從右至左依次分別是：個位、十位、

百位、千位……,它們數位上的單位從右至左依次分別為：1、10、100、1000、……,數位

上的數字只能是0、1、2、……、9之中的數，而最高位上的數不能為0.因此，任何一個多

位數，都可用其各數位上的數字與其數位上的單位的積的和來表示，這也就是用多項式的形

式表示了一個多位數.如：一個三位數，個位上數為a,十位上數為b,百位上數為c,則這

個三位數可表示為：100c+10b+a.

(2)幾個連續整數中，相鄰兩個整數相差L

如：三個連續整數，設中間一個數為x,則另兩個數分別為x-1,x+1.

幾個連續偶數(或奇數)中，相鄰兩個偶數(或奇數)相差2.

如：三個連續偶數(奇數)，設中間一個數為x,則另兩個數分別為x-2,x+2.

例9.已知兩個數的和等于12,積等于32,求這兩個數是多少.

【答案與解析】設其中一個數為x,那么另一個數可表示為(12-x),依題意得x(12-x)=32,

整理得X2-12X+32=0

解得xi=4,X2=8,

當x=4時12-x=8；

當x=8時12-x=4.

所以這兩個數是4和8.

【總結升華】數的和、差、倍、分等關系，如果設一個數為x,那么另一個數便可以用x表

示出來，然后根據題目條件建立方程求解.

例10.一個兩位數是一個一位數的平方，把這個一位數放在這個兩位數的左邊所成的三位數,

比把這個一位數放在這個兩位數的右邊所成的三位數大252,求這個兩位數.

解答方法：通過數位的分析，列出方程進行求解。本題難點是設X。

設這個一位數為X。

(100X+X2)-(10X2+X)=252

X2-11X+28=0

(x-4)(x-7)=0

無=4或x=7

答案：4或7

題型4：利潤（利息）問題

利息問題

⑴概念：

本金：顧客存入銀行的錢叫本金.

利息：銀行付給顧客的酬金叫利息.

本息和：本金和利息的和叫本息和.

期數：存入銀行的時間叫期數.

利率：每個期數內的利息與本金的比叫利率.

（2）公式:

利息=本金X利率X期數

利息稅=利息乂稅率

本金X（1+利率X期數）=本息和

本金X[1+利率X期數X（1-稅率）]=本息和（收利息稅時）

利潤（銷售）問題

利潤（銷售）問題中常用的等量關系：

利潤=售價-進價（成本）

總利潤=每件的利潤X總件數

利潤率=%之X100%,標價X已髻=售價

進價（或成本）10

進價x（l+利潤率）=標價X當臀

例11.某商品現在的售價為每件60元，每星期可賣出300件.市場調查反映：每降價1

元，每星期可多賣出20件.已知商品的進價為每件40元，在顧客得實惠的前提下，商家

還想獲得6080元的利潤，應將銷售單價定位多少元？

【答案與解析】

解：降價x元，則售價為（60-x）元，銷售量為（300+20X）件，

根據題意得，（60-x-40）（300+20x）=6080,

解得Xl=l,X2=4,

又顧客得實惠，故取x=4,級定價為56元，

答：應將銷售單價定位56元.

【總結升華】列一元二次方程解應用題往往求出兩解，有的解不合實際意義或不合題意.應

舍去，必須進

行檢驗.

例12.商場某種新商品每件進價是120元，在試銷期間發現，當每件商品售價為130元時,

每天可銷售70件，當每件商品售價高于130元時，每漲價1元，日銷售量就減少1件.據

此規律，請回答：

①當每件商品售價定為170元時，每天可銷售多少件商品？商場獲得的日盈利是多少？

②在上述條件不變、商品銷售正常的情況下，每件商品的銷售價定為多少元時，商場日盈

利可達到1600元？

解答方法：（1）首先求出每天可銷售商品數量，然后可求出日盈利；

（2）設商場的日盈利達到1600元時，每件商品的售價為X元，根據日盈利可求出方程求

解。

答案：（1）當每件商品售價為170元時，比每件商品售價130元高出40元，即

170-130=40（元），

則每天可銷售商品30件，商場的日盈利為（170—120）x30=1500（元）；

（2）設商場的日盈利達到1600元時，每件商品的售價為4元，

2

（x-120）［70-（x-130）］=1600X-320X+25600=0

x=160

答：當銷售價定為160元時，商場的日盈利可達到1600元。

例13.（2022?宜昌）某造紙廠為節約木材，實現企業綠色低碳發展，通過技術改造升級，使

再生紙項目的生產規模不斷擴大.該廠3,4月份共生產再生紙800噸，其中4月份再生

紙產量是3月份的2倍少100噸.

（1）求4月份再生紙的產量；

（2）若4月份每噸再生紙的利潤為1000元，5月份再生紙產量比上月增加加％.5月份

每噸再生紙的利潤比上月增加巨％,則5月份再生紙項目月利潤達到66萬元.求相的

2

值；

（3）若4月份每噸再生紙的利潤為1200元，4至6月每噸再生紙利潤的月平均增長率

與6月份再生紙產量比上月增長的百分數相同，6月份再生紙項目月利潤比上月增加了

25%.求6月份每噸再生紙的利潤是多少元？

【分析】（1）設3月份再生紙的產量為尤噸，則4月份再生紙的產量為（2x-100）噸,

根據該廠3,4月份共生產再生紙800噸，即可得出關于x的一元一次方程，解之即可求

出x的值，再將其代入（2x-100）中即可求出4月份再生紙的產量；

（2）利用月利潤=每噸的利潤X月產量，即可得出關于根的一元二次方程，解之取其正

值即可得出結論；

（3）設4至6月每噸再生紙利潤的月平均增長率為》5月份再生紙的產量為。噸，根

據6月份再生紙項目月利潤比上月增加了25%,即可得出關于y的一元二次方程，化簡

后即可得出6月份每噸再生紙的利潤.

【解答】解：(1)設3月份再生紙的產量為x噸，則4月份再生紙的產量為(2尤-100)

噸，

依題意得：x+2x-100=800,

解得：x=300,

：.2x-100=2X300-100=500.

答：4月份再生紙的產量為500噸.

(2)依題意得：1000(1+—%)X500(1+m%)=660000,

2

整理得：/TAGOO/W-6400=0,

解得：9=20,m2=-320(不合題意，舍去).

答：山的值為20.

(3)設4至6月每噸再生紙利潤的月平均增長率為y,5月份再生紙的產量為a噸，

依題意得：1200(1+y)2-a(1+y)=(1+25%)X1200(1+yAa,

.*.1200(1+y)2=1500.

答：6月份每噸再生紙的利潤是1500元.

【點評】本題考查了一元一次方程的應用以及一元二次方程的應用，找準等量關系，正

確列出一元一次方程(或一元二次方程)是解題的關鍵.

題型5：比賽統計問題

比賽問題：解決此類問題的關鍵是分清單循環和雙循環.

例14.(2022?黑龍江)2022年北京冬奧會女子冰壺比賽有若干支隊伍參加了單循環比賽，

單循環比賽共進行了45場，共有多少支隊伍參加比賽？()

A.8B.10C.7D.9

【分析】設共有x支隊伍參加比賽，根據“單循環比賽共進行了45場”列一元二次方程，

求解即可.

【解答】解：設共有x支隊伍參加比賽，

根據題意，可得x(,l)=45,

解得尤=10或X=-9(舍)，

共有10支隊伍參加比賽.

故選：B.

【點評】本題考查了一元二次方程的應用，理解題意并根據題意建立等量關系是解題的

關鍵.

例15.首屆中國象棋比賽采用單循環制，每位棋手與棋手比賽一盤制，已知第一輪比賽共

下了105場，那么參加第一輪比賽的共有幾名選手？

解答方法：設人數為8人，理解握手的單向性，列出方程求解

答案：設人數為8人

x(D-]05

2

爐—x—210=0

(%—15)(尤+14)=0

x=15或x=14(舍，不符合題意)

答：棋手共有15人。

題型6：傳播問題

傳播問題：

a(l+x)"=A,a表示傳染前的人數,x表示每輪每人傳染的人數,n表示傳染的輪數或天數，

A表示最終的人數.

例16.(2023秋?浙江臺州?九年級統考期末)一人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個

人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染幾個人？設每輪傳染中平均一個人傳染x個

人.根據題意列出方程為()

A.1+x+x1=121B.l+x(x+l)=121

C.1+x+x(x+1)=121D,1+(x+1)+x(x+1)=121

【答案】C

【分析】第一輪傳染后總傳染人數為(l+x),第二輪后總傳染人數為l+x+x(x+l),由此

可解.

【詳解】解：設每輪傳染中平均一個人傳染X個人，

則第一輪傳染后總傳染人數為(1+X),第二輪后總傳染人數為1+x+x(x+1),

因此l+x+龍(x+1)=121.

故選C.

【點睛】本題考查一元二次方程的實際應用，找準等量關系是解題的關鍵.

例17.(2023?全國?九年級專題練習)有一人感染了某種病毒，經過兩輪傳染后，共有256

人感染了該種病毒，求每輪傳染中平均每人傳染了多少個人.

【答案】15人

【分析】有一人感染了某種病毒，經過兩輪傳染后，共有256人感染了該種病毒，設每輪

傳染中平均每人傳染了尤人，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結

論.

【詳解】設每輪傳染中平均每人傳染了X人，

依題意，得l+x+x(l+x)=256,

即(1+無產=256,

解方程，得占=15,X2=-17(舍去).

答：每輪傳染中平均每人傳染了15人，

【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題

的關鍵.

【過關檢測】

一、單選題

1.(2023?湖南湘西?統考三模)在"雙減政策”的推動下，我縣某中學學生每天書面作業時長

明顯減少，2022年上學期每天書面作業平均時長為lOOmin,經過2022年下學期和2023

年上學期兩次調整后，2023年上學期平均每天書面作業時長為70min,設該校這兩學期平

均每天作業時長每期的下降率為x,則可列方程為()

A.70(1+X2)=100B.70(1+x)2=100

C.100(1-x)2=70D.100(1-A:2)=70

【答案】C

【分析】利用2023年上學期平均每天作業時長=2022年上學期每天作業平均時長x(l-該

校平均每天作業時長這兩學期每期的下降率『，即可得出關于尤的一元二次方程，此題得

解.

【詳解】解：根據題意得：100(1-X)2=70,

故選：C.

【點睛】本題考查了由實際問題抽象出的一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二

次方程是解題的關鍵.

2.(2023?新疆喀什?統考三模)為大力實施城市綠化行動，某小區規劃設置一片面積為

1000平方米的矩形綠地，并且長比寬多30米，設綠地長為x米，根據題意可列方程為

()

A.x(x+30)=1000B.30)=1000C.2x(x+30)=1000D.2x(x—30)=1000

【答案】B

【分析】設綠地長為x米，則寬為(％-30)米，根據矩形綠地的面積為1000平方米列出方

程即可.

【詳解】解：設綠地長為x米，則寬為"-30)米，根據題意得:

x（x-30）=1000,故B正確.

故選：B.

【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是熟練掌握矩形的面積公式.

3.（2023?重慶沙坪壩?重慶南開中學校考二模）NK中學秋季運動會上安排了8行12列的

鮮花儀仗隊，后來又增加了69人，使得隊伍增加的行、列數相同，設增加了無行，則可列

方程為（）

A.（8+無）（12+無）=69B.8x+12x=69

C.（8+x）（12+x）=69+8x12D.8x+12x-2x?=69

【答案】C

【分析】根據游行隊伍的總人數=行數x列數，即可得出關于x的一元二次方程.

【詳解】解：依題意，得（8+x）（12+x）=69+12x8.

故選：C.

【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找到等量關系，正確列出一元二次

方程是解題的關鍵.

4.（2022秋?天津武清?九年級校考階段練習）一個兩位數等于它個位數字的平方，且個位

數字比十位數字大3,則這個兩位數是（）

A.25B.36C.25或36