平行線的證明知識(shí)歸納與題型突破

（九類題型）

01思維導(dǎo)圖

02知識(shí)速記

一、定義、命題及證明

1.定義：一般地，用來說明一個(gè)名詞或者一個(gè)術(shù)語的意義的句子叫做定義.

2.命題：判斷一件事情的句子，叫做命題.

要點(diǎn)：

(1)每個(gè)命題都由題設(shè)、結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是己知事項(xiàng)，結(jié)論是由己知事項(xiàng)推出的事項(xiàng).

(2)正確的命題稱為真命題，不正確的命題稱為假命題.

(3)公認(rèn)的真命題叫做公理.

(4)經(jīng)過證明的真命題稱為定理.

3.證明：在很多情況下，一個(gè)命題的正確性需要經(jīng)過推理，才能作出判斷，這種演繹推理的過程稱為證明.

要點(diǎn)：

(1)實(shí)驗(yàn)、觀察、操作所得出的結(jié)論不一定都正確，必須推理論證后才能得出正確的結(jié)論.

(2)證明中的每一步推理都要有根據(jù)，不能“想當(dāng)然”，這些根據(jù)可以是已知條件，學(xué)過的定義、基本事

實(shí)、定理等.

(3)判斷一個(gè)命題是正確的，必須經(jīng)過嚴(yán)格的證明；判斷一個(gè)命題是假命題，只需列舉一個(gè)反例即可.

二、平行線的判定與性質(zhì)

1.平行線的判定

判定方法1：同位角相等，兩直線平行.

判定方法2：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.

判定方法3：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.

要點(diǎn)：根據(jù)平行線的定義和平行公理的推論，平行線的判定方法還有：

(1)平行線的定義：在同一平面內(nèi)，如果兩條直線沒有交點(diǎn)(不相交)，那么兩直線平行.

(2)如果兩條直線都平行于第三條直線，那么這兩條直線平行(平行線的傳遞性).

(3)在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩條直線平行.

(4)平行公理：經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行.

2.平行線的性質(zhì)

性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等；

性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；

性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).

要點(diǎn)：根據(jù)平行線的定義和平行公理的推論，平行線的性質(zhì)還有：

（1）若兩條直線平行，則這兩條直線在同一平面內(nèi)，且沒有公共點(diǎn).

（2）如果一條直線與兩條平行線中的一條直線垂直，那么它必與另一條直線垂直.

三、三角形的內(nèi)角和定理及推論

三角形的內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和等于180°.

推論：（1）三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

（2）三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角.

要點(diǎn)：

（1）由一個(gè)公理或定理直接推出的真命題，叫做這個(gè)公理或定理的推論.

（2）推論可以當(dāng)做定理使用.

四、三角形外角的性質(zhì)

三角形一個(gè)外角等于與它不相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和。

03題型歸納

題型一命題與證明

例題

1.下列語句是命題的是（）

A.在線段N8上取點(diǎn)CB.作直線48的垂線

C.垂線段最短嗎？D.相等的角是對(duì)頂角

鞏固訓(xùn)練

2.下列命題中，是真命題的是（）

A.互補(bǔ)的兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角B.鄰補(bǔ)角一定互為補(bǔ)角

C.兩角相等，一定是對(duì)頂角D.無理數(shù)都是開方不盡的數(shù)

3.下列命題是假命題的是（）

A.對(duì)頂角相等B.直角三角形的兩個(gè)銳角互余

C.全等三角形的周長(zhǎng)相等D.兩條直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)

4.老師布置了一項(xiàng)作業(yè)，對(duì)一個(gè)真命題進(jìn)行證明，下面是小云給出的證明過程:

,：c.La,

Z2=90°,

Z1=Z2,

/.b//c.

已知該證明過程是正確的，則證明的真命題是（）

A.在同一平面內(nèi)，若6，。，且則B.在同一平面內(nèi)，若bIIC,且貝Ijcl。

C.兩直線平行，同位角不相等D.兩直線平行，同位角相等

題型二同位角、內(nèi)錯(cuò)角與同旁內(nèi)角

例題

5.下列所示的四個(gè)圖形中，N1和N2是同位角的是（）

鞏固訓(xùn)練

6.如圖，下列說法正確的是（）

①N1和N3是同位角；②N1和N5是同位角；③/I和/2是同旁內(nèi)角；④N1和N4是內(nèi)錯(cuò)角

C.①③D.②④

7.如圖，下列是內(nèi)錯(cuò)角的一組為（）.

C.N1與N3D.N3與N5

8.如圖，下列結(jié)論正確的是（）

A.N5與N2是對(duì)頂角B.N1與N4是同位角

C./2與N3是同旁內(nèi)角D.N1與N5是內(nèi)錯(cuò)角

9.如圖所示，直線48與被直線4。所截得的內(nèi)錯(cuò)角是；直線。E與/C被直線所截得

的內(nèi)錯(cuò)角是;Z4的內(nèi)錯(cuò)角是.

題型三平行線的判定

例題

10.如圖所示，不能證明N8//CD的是（）

A.乙BAC=4CDB.UBC=3CE

C.乙DAC—BCAD./-ABC+/-DCB=\%Q°

鞏固訓(xùn)練

11.下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.在同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)的兩條直線是平行線

B.如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行

C.經(jīng)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與該直線平行

D.在同一平面內(nèi)，不相交的兩條線段是平行線

12.下列說法正確的是（）

A.在同一平面內(nèi)，兩條線段不相交就平行B.過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行

C.兩條射線或線段平行是指它們所在直線平行D.兩條不相交的直線是平行線

13.如圖，若N1=N2,則下列選項(xiàng)中，能直接利用“同位角相等，兩直線平行”判定。〃6的是)

14.如圖，下列條件不能判定的是（）

A.Z1=Z3B.Z3=Z5C.Zl+Z2=180°D.Z1=Z5

15.在同一平面內(nèi)，若bA.c,則。與c的位置關(guān)系是.

16.如圖，Zl=108°,Z2=30°,若使6〃c,則可將直線6繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)度.

17.如圖，對(duì)于下列給出的四個(gè)條件：①N1=N3；②/2=/3；③N4=N5；④N2+N4=180。中，能

判定4〃4的有.（填寫正確條件的序號(hào)）

18.如圖，將兩個(gè)完全相同的三角尺的斜邊重合放在同一平面內(nèi)，可以畫出兩條互相平行的直線.這樣畫

的依據(jù)是.

19.如圖，下列錯(cuò)誤的是（填序號(hào)）.

①如果4=那么。￡〃2C；②如果/=那么。E〃2C；

③如果//DE=/C,那么OE〃臺(tái)C；④如果NDEB=/C,那么。尸〃EC；

⑤如果ZD必=ZAED,那么AB//CD.

20.已知：如圖，直線N3與CD被"所截，Zl=Z2.求證：AB//CD.

E,

A----------------------B

c——D

21.如圖，直線4B,CD被直線4E所截,,CF平分/DCE,Zl=110°,Z2=55°.求證：AB//CD.

/c

BD/、F

題型四平行線的性質(zhì)

例題

22.如圖，已知直線。、6被直線c所截.若alib,Z2=60°,則N1的度數(shù)為（）

A.50°B.60°C.120°D.130°

鞏固訓(xùn)練

23.如圖，AB//CD,BC平分NABD,/I=65。，則/2的度數(shù)是（）

\/

AB

A.35°B.45°C.50°D.60°

24.如圖，a||b,Zl=110°,Z3=40°,則/2等于（）

c.70°D.80°

25.如圖，將三角板的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，若/1=65。，則/2的度數(shù)為（）

20°C.25°D.35°

26.如圖所示，下列推理及所注理由錯(cuò)誤的是（）

A.因?yàn)镹1=N3,所以22〃CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）

B.因?yàn)樗?2=/4（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

C.因?yàn)樗?2=24（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

D.因?yàn)?2=/4,所以ND〃3c（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）

27.如圖，若8||3尸，則下列結(jié)論正確的是（）

A.ZACD=ZFB.ZEDC=ZFBCC./BCD=NEDCD.NCDB=NFBD

題型五平行線的判定與性質(zhì)綜合

例題

28.如圖，下列推理正確的是（)

A.?.21=42,：.AC^BDB.-：ABIICD,."=NC

C.■?-Z3=ZJB,：.AC^BDD."ABIICD,.-.z4=z5

鞏固訓(xùn)練

29.已知：如圖，BC//EF,BC=EF,AF=DC,判斷線段AB和線段OE有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說明理由.

30.如圖，B,C,￡三點(diǎn)在同一直線上，NB4C=/D,NDAE=NE,CD平分/4CE.

AD

（2）若NE=ND,ZB=50°,求—E的度數(shù).

題型六三角形的內(nèi)角和

例題

31.在△NBC中，ZA:ZB:ZC=2:3:4,則22的度數(shù)為（）

A.20°B.40°C.60°D.80°

鞏固訓(xùn)練

32.如圖，在A8/C中，/A4c=80。，ZB=30°,CD是，NC8的平分線，則/BOC的大小為（）

A

n

BN------------------------------

A.115°B.105°C.100°D.110°

33.如圖，點(diǎn)。是△4BC中8c邊上一點(diǎn)，ZB=ZC,且BD=FC,BE=DC,ZEDF=80°.則//的度

數(shù)是（）

A.20°B.50°C.80°D.100°

34.如圖所示，在△4BC中，CDVAB,垂足為點(diǎn)。，DE//AC,交BC于點(diǎn)E.若NN=50。，則NCDE

的度數(shù)是（）

A.25°B.40°C.45°D.50°

35.如圖所示，A/BGACDE均為直角三角形，且48=45。，ZD=30°,過點(diǎn)C作C尸平分/DCE交于

點(diǎn)尸.

BCE

（1）求證：CF//AB-

（2）求/。尸C的度數(shù).

題型七三角形的外角性質(zhì)

例題

36.如圖，△ABC中，xNB=55。，ZC=40°,則三角形/8C的外角44C等于（）

-A.100°Bc.95°C.85°D.75°

鞏固訓(xùn)練

37.將一副三角板按如圖所示擺放，若4=95°,則/2的度數(shù)是（）

2^45^

A.110°B.100°C.95°D.80°

38.如圖，若LOAD咨/\OBC,NO=65。，ND=20。，則N5瓦）的度數(shù)為（）

o

DAC

A.75°B.85°C.60°D.55°

39.如圖所示，ZA,Zl,22的大小關(guān)系是_

A

Bn

題型八三角形的內(nèi)角和與外角性質(zhì)綜合

例題

40.如圖，在△4BC中，N4CB=90。,沿C。折疊△C8。，使點(diǎn)3恰好落在NC邊上的點(diǎn)￡處.若

44=30°,則ZWE=°.

鞏固訓(xùn)練

41.已知乙43。=40。，點(diǎn)C為射線BD上一動(dòng)點(diǎn)，BP平分NABD交AC于點(diǎn)、P,若ZUBC為直角三角形,

貝1]44PB=.

42.如圖，4C平分/DC2,CB=CD,ZM的延長(zhǎng)線交2c于點(diǎn)區(qū)如果N￡2C=48。，則NA4E為.

題型九解答綜合題

例題

43.如圖，4D是△Z3C的角平分線，^ADC=80°,ABAC=70°.

鞏固訓(xùn)練

44.把下面的說理過程補(bǔ)充完整.

已知：如圖，DE//BC,ZADE=ZEFC,說明：Zl=Z2.

A

解：vDE//BC(已知),

:.ZADE=_,

:./ADE=NEFC(已知),

->?_=_(_)j

(_)

Z1=Z2(_)

(1)判斷與8是否平行，并說明理由；

⑵若40=40。,/瓦I屈=80。，求N/E尸的大小.

46.如圖，已知△4