第01講條件概率與事件的獨立性

「學(xué)習(xí)目標

01

課程標準學(xué)習(xí)目標

1.了解條件概率的概念，掌握求條件概率的

兩種方法，能利用條件概率公式解決一些簡

.掌握條件概率的意義并能利用條件概率公式處理實

單的實際問題；1

際問題；

2.結(jié)合古典概型，會利用乘法公式計算概

2.能從條件概率的定義推導(dǎo)乘法公式，會應(yīng)用乘法公式

率，結(jié)合古典概型，會利用全概率公式計算

計算概率，理解全概率公式，學(xué)會利用全概率公式與

概率.了解貝葉斯公式；

貝葉斯公式計算概率.

.理解兩個事件相互獨立的概念，掌握相互

33.會判斷事件的獨立性，并能利用公式求解實際問題.

獨立事件同時發(fā)生的概率乘法公式.

02思維導(dǎo)圖

CM3.重”工.一二角度1公式法

/O條件概率的計算缶百rgI、丁土

/7角度2縮小樣本空間法

條件概率

(?條件概率的性質(zhì)及應(yīng)用

_____<?全概率公式的應(yīng)用

乘法公式與全概率公式

條件概率與事件的獨立性題型］O貝葉斯公式的應(yīng)用

獨立性與條件概率的關(guān)系'O相互獨立事件的判斷

'G相互獨立事件的概率問題

'O概率的綜合問題

03知識清單

知識點01條件概率

1.條件概率的定義

(1)一般地，當事件B發(fā)生的概率大于0時(即尸(2)>0),已知事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率，稱

為條件概率，記作尸(A|8).

(2)條件概率的求法：

(1)定義法：P(B|A)=^^(P(A)>0)；

(2)縮小樣本空間法：P(B|A)="(AB).

n(A)

2.條件概率的性質(zhì)

(1)任何事件的條件概率都在0和1之間，即OWPCB|A)W1.

(2)P(A|A)1.

(3)如果8與C是兩個互斥事件，則P((BUO|A)尸田A)+P(C|A).

(4)設(shè)百與8互為對立事件，則尸(萬|A)1-P(B|A).

【即學(xué)即練1】

1.(多選)下面幾種概率不是條件概率的是()

A.甲、乙二人投籃命中率分別為0.6,0.7,各投籃一次都投中的概率

B.甲、乙二人投籃命中率分別為0.6,0.7,在甲投中的條件下，乙投籃一次命中的概率

C.有10件產(chǎn)品，其中3件次品，抽2件產(chǎn)品進行檢驗，恰好抽到一件次品的概率

D.小明上學(xué)路上要過四個路口，每個路口遇到紅燈的概率都是,則小明在一次上學(xué)途中遇到紅燈的

概率

2.若P(AB)|,P(A)|,則P(B|A)()

ABCD

-4-5-1-1

知識點02乘法公式與全概率公式

1.乘法公式

(1)公式：P(BA)P(A)P(B\A).

(2)公式的推導(dǎo)依據(jù)：尸(3⑷鬻K即根據(jù)事件A發(fā)生的概率，以及已知事件A發(fā)生的條件下事件8發(fā)

生的概率，可以求出A與B同時發(fā)生的概率.

2.全概率公式

(1)公式：P(B)P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A).

(2)公式的推導(dǎo)：

一般地，如果樣本空間為a,而A,B為事件，則與3X是互斥的，且38。5(4+入)54+8入，如

圖所示,

從而P(B)P(BA+BA)P(BA)+P(BA).

由乘法公式可得全概率公式P(B)P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A).

3.全概率公式的推廣

若樣本空間。中的事件A，4,…，滿足:

①任意兩個事件均互斥，即44=0,i,j=T,2,,n,⑺；

②4+4++A,=。；

③尸⑷>0,i=l,2,?,n.

則對O中的任意事件3,都有8=網(wǎng)+睡++BA,,,且20)=￡尸(網(wǎng))=，2(4*(引4).

4.貝葉斯公式(選學(xué))

尸⑷尸(81A)

(1)定義：一般地，當0〈尸(A)<1且尸(3)>0時，有P(A］義二-5二,?

P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)

(2)貝葉斯公式的推廣：若樣本空間。中的事件a，4，，4滿足：

①任意兩個事件均互斥，即44=0,九/=1,2,,〃，淳八

②4+4++4=。；

③0<尸⑷<1,i=l,2,,n.

則對。中的任意概率非零的事件3,都有8=網(wǎng)+%++BAn,

且P(A,忸)=)=…⑻4)

0⑻fp(a)p⑻4)

Z=1

(3)利用貝葉斯公式求概率的步驟

第一步：利用全概率公式計算P(A),即P(A)=￡P(guān)(BJP(A

i=l

第二步：計算尸(AB),可利用尸(AB)=尸(3)P(A|3)求解；

第三步：代入P(B|A)=四生求解.

P(A)

【即學(xué)即練2】

1.已知P(8)g,P(A|B)|,則尸(A8)()

2.甲、乙、丙三個車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，其產(chǎn)量分別占總量的25%,35%,40%,次品率分別為5%,4%,2%.

從這批產(chǎn)品中任取一件，則它是次品的概率為()

A.0.0123B.0.0234

C.0.0345D.0.0456

知識點03獨立性與條件概率的關(guān)系

1、當P(B)>0時，事件A與事件B相互獨立的充要條件是PG4山)尸(A).

這就是說，此時事件A發(fā)生的概率與已知事件B發(fā)生時事件A發(fā)生的概率相等.也就是事件8的發(fā)生，

不會影響事件A發(fā)生的概率.

2、判斷事件是否相互獨立的方法：

(1)定義法：事件A,B相互獨立的充要條件是P(AB)=P(A)P(B).

(2)由事件本身的性質(zhì)直接判斷兩個事件的發(fā)生是否相互影響.

(3)條件概率法：當P(A)>0時，可用P(B|A)=P(B)判斷.

【即學(xué)即練3](多選)下列說法正確有()

A.對事件A和3,若P(B|A)P(B),則事件A與8相互獨立

B.若事件A,8相互獨立，則P(彳AB)P(A)XP(B)

C.如果事件A與事件8相互獨立，則P(B|A)P(B)

D.若事件A與B相互獨立，則B與否相互獨立

題型精講

題型01條件概率的計算

角度1公式法

【典例1](23-24高二下?河南月考)從裝有2個白球、3個紅球的箱子中無放回地隨機取兩次，每次取一

個球，A表示事件”兩次取出的球顏色相同”，3表示事件”兩次取出的球中至少有1個是紅球”，則P(為4)=

()

3567

A.-B.-C.-D.-

4678

【變式1]已知事件A,B,若尸(8)=；,P(AB)=|,則尸(4忸)=()

33412

A.-B.—C.—D.—

4282149

【變式2】（23-24高二下.甘肅蘭州.期中）現(xiàn)有4名男生，2名女生.從中選出3人參加學(xué)校組織的社會實踐

活動，在男生甲被選中的情況下，女生乙也被選中的概率為（）

12

A-B-C—D—

'3-5.2,5

【變式3】（23-24高二下.甘肅蘭州.期中）現(xiàn)有4名男生，2名女生.從中選出3人參加學(xué)校組織的社會實踐

活動，在男生甲被選中的情況下，女生乙也被選中的概率為（）

2312

A-B-C—D—

3,52,5

角度1縮小樣本空間法

【典例2）（23-24高二下.浙江?期中）已知生男孩和生女孩是等可能的，現(xiàn)隨機選擇一個有三個孩子的家庭,

且該家庭有女孩，則三個小孩都是女孩的概率為（）

A-1B-7"D-i

【變式1】（23-24高二下?北京?期中）投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記4=｛兩次的點數(shù)之和為4｝,

3=｛兩次的點數(shù)均為奇數(shù)｝,則P（B|A）=（）

11c2r2

A.—B.一C.—D.一

12493

【變式2】小趙、小錢、小孫、小李到4個景點旅游，每人只去一個景點，設(shè)事件A為“4個人去的景點不

完全相同”，事件B為“小趙獨自去一個景點”，則尸（酣4）（）

A.|B.1

C.yD.y

【變式3］從1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取兩個數(shù)，事件A="有一個數(shù)是奇數(shù)"，3="另一個數(shù)也是

奇數(shù)”,則P（固A）=（）

12

A.—B.一D

35c—-1

題型02條件概率的性質(zhì)及應(yīng)用

【典例3】在一個袋子中裝有10個球，設(shè)有1個紅球，2個黃球，3個黑球，4個白球，從中依次摸2個,

求在第一個球是紅球的條件下，第二個球是黃球或黑球的概率.

【變式1］已知事件A,B,C滿足A,8是互斥事件,且P（（AuB）|C）=1,P（BC）=右,尸（C）=：，則P（A|C）

的值等于（）

A.—B.—C.-D.一

61243

【變式2】（2024.湖北武漢.二模）設(shè)A,3為任意兩個事件，且P（3）＞0,則下列選項必不成立的

是（）

A.P（A）＞P（A\B）B.P（A）＞P（A|B）

C.P（A）＜P（A|B）D,P（A）＜P（A|B）

【變式31（23-24高二下?黑龍江哈爾濱?期中）（多選）設(shè)A,8是一個隨機試驗中的兩個事件，且尸（A）=§,

尸（5）=3P（A+B）=j,則下列說法正確的是（）.

12o

A.P（AB）=-B.P（AB）=-

C.P（B|A）=|D.P（B|A）=|

37_7

【變式414、B是一個隨機試驗中的兩個事件，且尸（A）=］,尸（A|B）=丁尸（A+皮=而，則下列錯誤的是（）

1_2_31

A.P⑻=萬B.P（AB）=-c.P（AB）=-D.P（BlA）=-

題型03乘法公式的應(yīng)用

【典例4】（2025高二?全國?專題練習(xí)）一個不透明的箱子裝有若干個除顏色外完全相同的紅球和黃球.若

第一次摸出紅球的概率為在第一次摸出紅球的條件下，第二次摸出黃球的概率為:，則第一次摸出紅

52

球且第二次摸出黃球的概率為（）

1123

A.—B.—C.-D.一

10555

【變式1］（24-25高二下?全國?課后作業(yè)）已知尸（AI砂=06,P（B|A）=0.3,且A,3相互獨立,則尸（AB）=（）

A.0.18B.0.9C.0.3D.無法求解

【變式2］（23-24高二下?江蘇南京?階段練習(xí)）己知在8個球中，有2個白球，6個紅球，每次任取一個球，

取出后不再放回，則經(jīng)過2次取球恰好將2個白球全部取出的概率為（）

31-14

A.—B.—C.—D.—

56284221

□1

【變式3】（23-24高二下?山東青島?期中）已知事件AB,若尸（4A）=jP（A）=|,則P（AB）=（）

【變式4】（2024?安徽合肥?一模）核酸檢測是目前確認新型冠狀病毒感染最可靠的依據(jù).經(jīng)大量病例調(diào)查發(fā)

現(xiàn)，試劑盒的質(zhì)量、抽取標本的部位和取得的標本數(shù)量，對檢測結(jié)果的準確性有一定影響.己知國外某地

新冠病毒感染率為0.5%,在感染新冠病毒的條件下，標本檢出陽性的概率為99%.若該地全員參加核酸檢

測，則該地某市民感染新冠病毒且標本檢出陽性的概率為（）

A.0.495%B.0.9405%C.0.99%D.0.9995%

題型04全概率公式的應(yīng)用

【典例5】現(xiàn)有甲、乙兩盒，甲盒中有3個紅球，2個白球，乙盒中有2個紅球，1個白球，先從甲盒

中采用不放回抽樣取3個球放入乙盒，再從乙盒中取1個球，求取到的是紅球的概率.

【變式1】（23-24高二下?廣東東莞?期中）袋中裝有10個球，其中3個黑球、7個白球，從中依次取兩球（不

放回），則第二次取到的是黑球的概率為（）

,2317

A.—B.—C.—D.—

910310

【變式2】（23-24高二下?江蘇淮安?月考）某保險公司將其公司的被保險人分為三類："謹慎的""一般的""冒

失的”.統(tǒng)計資料表明，這三類人在一年內(nèi)發(fā)生事故的概率依次為0.05,0.15,0.30.若該保險公司的被保險人

中"謹慎的"被保險人占20%,"一般的"被保險人占70%,"冒失的"被保險人占30%,則該保險公司的一個被

保險人在一年內(nèi)發(fā)生事故的概率是（）

A.0.155B.0.175C.0.01D.0.096

【變式3］（23-24高二下?北京順義?期中）從甲地到乙地共有A、B、C三條路線可選擇，選路線A堵車的

概率為0.2,選路線2堵車的概率為0.3,選路線C堵車的概率為0.4,若李先生從這三條路線中等可能的任

選一條開車自駕游，則堵車的概率為（）

A.0.2B.0.3C.0.7D.0.9

【變式4］（23-24高二下?浙江麗水?期中）某學(xué)校有A,8兩家餐廳，王同學(xué)第1天午餐時隨機地選擇一家

餐廳用餐.如果第1天去A餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.6；如果第1天去3餐廳，那么第2天去

A餐廳的概率為0.4.計算王同學(xué)第2天去A餐廳用餐的概率（）

A.0.24B.0.36C.0.5D.0.52

題型05貝葉斯公式的應(yīng)用

【典例6】（2024?安徽?三模）托馬斯?貝葉斯在研究"逆向概率”的問題中得到了一個公式:

p（4，|5）=J（A）尸（四4）

其中fp（4）尸但4）稱為B的

fp（A）尸3A）,這個公式被稱為貝葉斯公式（貝葉斯定理）,

7=1

j=l

全概率.春夏換季是流行性感冒爆發(fā)期，已知48,C三個地區(qū)分別有3%,6%,5%的人患了流感，且這三個地

區(qū)的人口數(shù)之比是9:8:5,現(xiàn)從這三個地區(qū)中任意選取1人，若選取的這人患了流感，則這人來自B地區(qū)的

概率是（）

A.0.25B.0.27C.0.48D.0.52

【變式1】某批產(chǎn)品來自A,B兩條生產(chǎn)線，A生產(chǎn)線占60%,次品率為4%；5生產(chǎn)線占40%,次品率為

5%,現(xiàn)隨機抽取一件進行檢測，若抽到的是次品，則它來自A生產(chǎn)線的概率是（）

1635

A.-B.—C.—D.一

21159

【變式2】英國數(shù)學(xué)家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，根據(jù)貝葉斯統(tǒng)計理論，隨機事件A,B存在如下

關(guān)系：P（A|B）=\"篙一?若某地區(qū)一種疾病的患病率是。05,現(xiàn)有一種試劑可以檢驗被檢者是否患

病.已知該試劑的準確率為95%,即在被檢驗者患病的前提下用該試劑檢測，有95%的可能呈現(xiàn)陽性；該試

劑的誤報率為0.5%,即在被檢驗者未患病的情況下用該試劑檢測，有0.5%的可能會誤報陽性.現(xiàn)隨機抽取該

地區(qū)的一個被檢驗者，已知檢驗結(jié)果呈現(xiàn)陽性，則此人患病的概率為（）

4959951021

A.------B-------C.—D.—

100010001122

【變式3】三批同種規(guī)格的產(chǎn)品，第一批占25%,次品率為6%；第二批占30%,次品率為5%；第三批占

45%,次品率為5%.將三批產(chǎn)品混合，從混合產(chǎn)品中任取一件.

（1）求這件產(chǎn)品是次品的概率；

（2）已知取到的是次品，求它取自第一批產(chǎn)品的概率.

【變式4】設(shè)某公路上經(jīng)過的貨車與客車的數(shù)量之比為2：1,貨車中途停車修理的概率為0.02,客車為0.01,

今有一輛汽車中途停車修理，求該汽車是貨車的概率.

題型06相互獨立事件的判斷

【典例7］（23-24高二上?廣東?月考）現(xiàn)有同副牌中的5張數(shù)字不同的撲克牌，其中紅桃1張、黑桃2張、

梅花2張，從中任取一張，看后放回，再任取一張.甲表示事件“第一次取得黑桃撲克牌”，乙表示事件“第

二次取得梅花撲克牌”，丙表示事件“兩次取得相同花色的撲克牌”，丁表示事件“兩次取得不同花色的撲克牌”,

則（）

A.乙與丙相互獨立B.乙與丁相互獨立

C.甲與丙相互獨立D.甲與乙相互獨立

【變式1】袋內(nèi)有3個白球和2個黑球，從中有放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，如果“第二次摸得

白球''記為8,“第二次摸得黑球''記為C,那么事件A與8,A與C間的關(guān)系是（）

A.A與8,A與C均相互獨立B.A與8相互獨立，A與C互斥

C.A與8,A與C均互斥D.A與5互斥，A與C相互獨立

【變式2】）下列事件中，A,B是相互獨立事件的是（）

A.一枚硬幣擲兩次，A“第一次為正面”，2“第二次為反面”

B.袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸兩球，A“第一次摸到白球”，8“第二次摸到白球”

C.擲一枚骰子，A“出現(xiàn)點數(shù)為奇數(shù)”，2“出現(xiàn)點數(shù)為偶數(shù)”

D.A“人能活至！|20歲”，B“人能活到70歲”

【變式3】擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，記事件4="出現(xiàn)的點數(shù)不超過3”，事件3="出現(xiàn)的點數(shù)是3或6”.則

事件A與8的關(guān)系為（）

A.事件A與8互斥B.事件A與2對立C.事件A與B獨立D.事件A包含于B

【變式4】在一次試驗中，隨機事件A,3滿足尸（A）=P（B）=j則（）

A.事件A,3一定互斥B.事件A,3一定不互斥

C.事件48一定相互獨立D.事件A,8一定不相互獨立

題型07相互獨立事件的概率問題

【典例8］（23-24高二下?江蘇揚州?月考）第33屆夏季奧林匹克運動會即將于2024年在巴黎舉辦，其中游

泳比賽分為預(yù)賽、半決賽和決賽三個階段，只有預(yù)賽、半決賽都獲勝才有資格進入決賽.己知甲在預(yù)賽和

半決賽中獲勝的概率分別為:和彳，乙在預(yù)賽和半決賽中獲勝的概率分別為9和=,丙在預(yù)賽和半決賽中

2334

獲勝的概率分別為=3和7二.則甲、乙、丙三人中恰有兩人進入決賽的概率為（）

412

,5r13-17r41

A.—B.—C.—D.—

16324896

【變式1】（23-24高二下.北京?期中）甲、乙兩個氣象臺同時做天氣預(yù)報，如果它們預(yù)報準確的概率分別為

0.8與0.7,且預(yù)報準確與否相互獨立，那么在一次預(yù)報中這兩個氣象臺恰有一個預(yù)報準確的概率是（）

A.0.06B.0.38C.0.580D.0.94

【變式2】（23-24高二下?安徽?月考）甲、乙兩人玩剪子包袱錘游戲，若每次出拳甲勝與乙勝的概率均為:，

且兩人約定連續(xù)3次平局時停止游戲，則第7次出拳后停止游戲的概率為（）

.74n8―4052

A?—B.—C.-----D.------

81817292187

【變式4】甲、乙、丙3位大學(xué)生同時應(yīng)聘某個用人單位的職位，甲、乙兩人只有一人被選中的概率為%,

甲、乙兩人都被選中的概率為3右，丙被選中的概率為11，其中乙被選中的概率大于甲被選中的概率，且各

自能否被選中互不影響.

(1)求3人同時被選中的概率；

(2)求恰好有2人被選中的概率；

(3)求3人中至少有1人被選中的概率.

【變式5】一個袋子中有3個白球，2個紅球，每次從中任取2個球，取出后再放回，求：

(1)第1次取出的2個球都是白球，第2次取出的2個球都是紅球的概率；

(2)第1次取出的2個球1個是白球、1個是紅球，第2次取出的2個球都是白球的概率.

題型08概率的綜合問題

【典例9](23-24高二下?江蘇常州?月考)現(xiàn)有編號為I,II,皿的3個盒子，I號盒中有2個白球和3個

黑球；II號盒中有2個白球和2個黑球；III盒中有3個白球和1個黑球.現(xiàn)從I號盒中任取1個球放入II

號盒中，再從n號盒中任取1個球放入iii號盒中，最后從m號盒中任取1個球放回I號盒中.

(1)求3個盒子的球的組成都保持不變的概率；

(2)問I號盒中的球怎樣組成的可能性最大？

【變式1】(23-24高二下.安徽?月考)通過調(diào)查，某市小學(xué)生、初中生、高中生的肥胖率分別為2%,3%,

3%.已知該市小學(xué)生、初中生、高中生的人數(shù)之比為5:3:2,若從該市中小學(xué)生中，隨機抽取1名學(xué)生.

(1)求該學(xué)生為肥胖學(xué)生的概率；

(2)在抽取的學(xué)生是肥胖學(xué)生的條件下，求該學(xué)生為高中生的概率.

【變式2】(23-24高二下?江蘇常州?月考)學(xué)生甲想?yún)⒓幽掣咧行Ｋ{球投籃特長生考試，測試規(guī)則如下：①

投籃分為兩輪，每輪均有兩次機會，第一輪在罰球線處，第二輪在三分線處；②若他在罰球線處投進第一

球，則直接進入下一輪，若第一次沒有投進可以進行第二次投籃，投進則進入下一輪，否則不預(yù)錄取；③

若他在三分線處投進第一球，則直接錄取，若第一次沒有投進可以進行第二次投籃，投進則錄取，否則不

33

預(yù)錄取.已知學(xué)生甲在罰球線處投籃命中率為在三分線處投籃命中率為假設(shè)學(xué)生甲每次投進與否互

45

不影響.則學(xué)生甲共投籃三次就結(jié)束考試得概率為()

27r339r3

A.~B.—C.—D.—

80805040

【變式3】(23-24高二下?遼寧大連?期中)在某次美術(shù)專業(yè)測試中，若甲、乙、丙三人獲得優(yōu)秀等級的概率

分別是0.6,0.8和0.5,且三人的測試結(jié)果相互獨立，則測試結(jié)束后，在甲、乙、丙三人中恰有兩人沒達優(yōu)

秀等級的前提條件下，乙沒有達優(yōu)秀等級的概率為()

A.±B.c.°D.口

2613829

【變式4】（23-24高二下.重慶?月考）年級教師元旦晚會時，“玲兒姐”、“關(guān)關(guān)姐”和“頁樓哥”參加一項趣味

問答活動.該活動共有兩個問題，如果參加者兩個問題都回答正確，則可得到一枝“黑玫瑰”獎品.已知在第

一個問題中“玲兒姐”回答正確的概率為7:，“玲兒姐”和“關(guān)關(guān)姐”兩人都回答錯誤的概率為2不，“關(guān)關(guān)姐”和“頁

。1D

3

樓哥”兩人都回答正確的概率為而；在第二個問題中“玲兒姐”、“關(guān)關(guān)姐”和“頁樓哥”回答正確的概率依次為

304

,且所有的問答中回答正確與否相互之間沒有任何影響.

（1）在第一個問題中，分別求出“關(guān)關(guān)姐”和“頁樓哥”回答正確的概率；

（2）分別求出“玲兒姐”、“關(guān)關(guān)姐”和“頁樓哥”獲得一枝“黑玫瑰”獎品的概率，并求三人最終一共獲得2枝“黑

玫瑰”獎品的概率.

強化訓(xùn)練

一、單選題

1.（24-25高二上?湖北?開學(xué)考試）擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)4="第一枚出現(xiàn)小于4的點"，8="第二枚出

現(xiàn)大于3的點"，則A與8的關(guān)系為（）

A.互斥B.互為對立C.相互獨立D.相等

32

2.（23-24高二下?廣東湛江?期中）已知P（A3）=H，P（A）=-,則P（3|A）=（）

1361510

A.—B.—C.—D.—

22112211

3.（24-25高二上?黑龍江大慶?階段練習(xí)）天氣預(yù)報表明在國慶假期甲地降雨概率是0.4,乙地降雨概率是0.3.

假設(shè)在這段時間內(nèi)兩地是否降雨相互之間沒有影響，則這兩地中恰有一個地方降雨的概率為（）

A.0.28B.0.42C.0.46D.0.580

1Q—3

4.（23-24高二下?云南保山,階段練習(xí)）己知隨機事件A,8滿足尸（A）=］尸（A|B）=',尸（司A）=,則P（B）=

（）

,5931

A.—B.—C.—D.一

1816164

5.（23-24高二下?江蘇南通?期末）甲箱中有2個紅球和2個黑球，乙箱中有1個紅球和3個黑球.先從甲

箱中等可能地取出2個球放入乙箱，再從乙箱中等可能地取出1個球，記事件“從甲箱中取出的球恰有i個

紅球"為4"=0』,2）,"從乙箱中取出的球是黑球”為8,則（）

A.尸（4）=；B.P（B|A）=1C.P（B）=fD.*4閭=：

3o9o

6.（24-25高二上?甘肅?期中）2020年1月，教有部出臺《關(guān)于在部分高校開展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點工作

的意見》（簡稱“強基計劃），明確從2020年起強基計劃取代原高校自主招生方式，如果甲、乙、兩人通過強

74

基計劃的概率分別為歷，不，那么甲、乙兩人中恰有1人通過的概率為（）

19671

A.—B.—C.—D.一

5025502

7.（24-25高二上?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí)）秋冬季節(jié)是某呼吸道疾病的高發(fā)期，為了解該疾病的發(fā)病情況，

疾控部門對該地區(qū)居民進行普查化驗，化驗結(jié)果陽性率為1.96%,但統(tǒng)計分析結(jié)果顯示患病率為1%,醫(yī)學(xué)

研究表明化驗結(jié)果是有可能存在誤差的，沒有患該疾病的居民其化驗結(jié)果呈陽性的概率為則該地區(qū)

患有該疾病的居民化驗結(jié)果呈陽性的概率為（）

A.0.99B.0.98C.0.97D.0.96

8.（23-24高二下?福建泉州?期末）某學(xué)校有A8兩家餐廳，王同學(xué)第1天選擇2餐廳就餐的概率是g,若

4

第1天選擇A餐廳，則第2天選擇A餐廳的概率為彳；若第1天選擇3餐廳就餐，則第2天選擇A餐廳的

3

概率為y；已知王同學(xué)第2天是去A餐廳就餐，則第1天去A餐廳就餐的概率為（）

3811

A.—B.—C.—D.一

111153

二、多選題

9.（23-24高二下?江蘇南京?階段練習(xí)）已知氐豆分別為隨機事件的對立事件，則下列說法正確的是（）

A.P（B|A）+P（B|A）=P（A）

B.P（B|A）+P（B|A）=1

C.若尸網(wǎng)=/網(wǎng)=：,尸（A|B）=尸（A|孫則事件A與事件8相互獨立

D.若尸（A|B）=P（A）,則尸（叫A）=尸（3）

10.（23-24高二下?陜西西安?期末）一個箱子中裝有大小、形狀均相同的8個小球，其中白球5個、黑球3個，

現(xiàn)在兩次不放回的從箱子中取球，第一次先從箱子中隨機取出1個球，第二次再從箱子中隨機取出2個球，

分別用A,3表示事件”第一次取出白球"，"第一次取出黑球"；分別用C,。表示事件"第二次取出的兩球

都為黑球"，"第二次取出的兩球為一個白球一個黑球”.則下列結(jié)論正確的是（）

13

A.P（C\B）=—B.P（D\A）=-

217

31

C.P（B）=-D.P（BC）=—

o56

IL（23-24高二下?河北?階段練習(xí)）某校進行一項問卷調(diào)查，為了調(diào)動學(xué)生參與的積極性，凡參與者均有機

會獲得獎品.學(xué)校設(shè)置了3個不同顏色的抽獎箱，每個箱子中的小球質(zhì)地均勻，大小相同，其中紅色箱子放

有2個紅球，2個黃球，2個綠球，黃色箱子放有2個黃球，1個綠球，綠色箱子放有1個黃球，2個綠球.

參與者先從紅色箱子中隨機抽取1個小球，將其放入與小球顏色相同的箱子中，再從放入小球的箱子中隨

機抽取1個小球，如此重復(fù)，抽取3個小球，抽獎結(jié)束.若抽取的3個小球顏色全不相同為一等獎，3個小

球顏色全部相同為二等獎，其他情況沒有獎品.已知甲同學(xué)參與了問卷調(diào)查，則（）

A.甲第一次取到紅球的條件下，獲得一等獎的概率為:

6

9

B.甲第一次取到黃球的條件下，獲得二等獎的概率為7

16

Q1

C.甲獲獎的條件下，第一次取到綠球的概率為赤

D.甲第一次取球取到紅球獲獎的概率最大

三、填空題

12.（23-24高二下?江蘇宿遷?期中）設(shè)A,B是一個隨機試驗中的兩個事件,且P（A）=|,P（B）=|,則尸（aA）

的一個可能的值為.

13.（24-25高二上?廣東廣州?階段練習(xí)）某專業(yè)技術(shù)的考試共兩個單項考試，考生應(yīng)依次參加兩個單項考試，

前一項考試合格后才能報名參加后一項考試，考試不合格則需另行交費預(yù)約再次補考.據(jù)調(diào)查，這兩項考試

的合格率依次為:，1且各項考試是否通過互不影響，則一位考生通過這項專業(yè)技術(shù)考試至多需要補考

42

一次的概率為.

14.（24-25高二上?湖北十堰?階段練習(xí)）假定某工廠甲、乙、丙3個車間生產(chǎn)同一種螺釘，產(chǎn)量依次占全廠

的45%、35%、20%,如果各車間的次品率依次為4%、2%、5%.現(xiàn)在從待出廠產(chǎn)品中檢查出1個次品，則

它是由甲車間生產(chǎn)的概率是.

四、解答題

15.（23-24高二下?江蘇揚州,期中）某校學(xué)生文藝部有男生4人，女生2人

⑴若安排這6名同學(xué)站成一排照相，要求2名女生互不相鄰，這樣的排法有多少種？

⑵若從中挑選2人參加學(xué)校舉辦的文藝匯演活動，

①求男生甲被選中的概率；

②在要求被選中的兩人中必須一男一女的條件下，求女生乙被選中的概率.

16.（23-24高二下?江蘇宿遷?期中）某快遞中轉(zhuǎn)站有甲、乙、丙三個快遞員，已知各快遞員運送量分別占該

中轉(zhuǎn)站業(yè)務(wù)量的25%,35%,40%,據(jù)統(tǒng)計各業(yè)務(wù)員被客戶評為滿意的依次為5%,4%,2%.現(xiàn)從該中轉(zhuǎn)站

隨機運送一件快遞.

(1)求客戶滿意的概率；

(2)若客戶滿意，則本次滿意是甲、乙、丙的概率分別是多少？

17.(23-24高二下?江蘇常州?期中)甲袋中有3個白球和2個紅球，乙袋中有2個白球和3個紅球.先隨機取

一只袋，再從該袋中先后隨機取2個球.

⑴求隨機取到的是甲袋且從中取出的兩球均為白球的概率；

⑵求第一次取出的是白球的概率；

⑶求第一次取出的是白球的前提下，第二次取出的依然是白球的概率；

18.(24-25高二上,黑龍江哈爾濱?階段練習(xí))為了迎接學(xué)校百年華誕，學(xué)生們積極報名參加志愿者活動，為

此學(xué)生會在報名的學(xué)生中組織了志愿者面試活動，面試有兩道題，兩道題都答對者才能成為志愿者.假設(shè)

兩題作答相互獨立，現(xiàn)有甲、乙、丙三名學(xué)生報名并進入面試環(huán)節(jié)，他們答對第一題的概率分別是;,；,：，

答對第二題的概率分別是:.

⑴求甲同學(xué)能通過面試成為志愿者的概率；

(2)求甲、乙兩位同學(xué)生中有且只有一位學(xué)生能通過面試成為志愿者的概率；

⑶求甲、乙、丙三人中至少有一人通過面試成為志愿者的概率.

19.(24-25高二上?吉林長春?期中)班級組織象棋比賽，共有16人報名，現(xiàn)將16名同學(xué)隨機分成4組且每

組4人進行單循環(huán)比賽，規(guī)則如下：每場比賽獲勝的同學(xué)得3分，輸?shù)耐瑢W(xué)不得分，平局的2名同學(xué)均得1

分，三輪比賽結(jié)束后以總分排名，小組總分排名前兩位的同學(xué)獲獎.若出現(xiàn)總分相同的情況，則以抽簽的

方式確定排名(抽簽的勝者排在負者前面)，且抽簽時每人獲勝的概率均為若甲、乙、丙、丁4位同學(xué)

分到一組且賽程如下表.假設(shè)甲、乙、丙3名同學(xué)水平相當，彼此間勝、負、平的概率均為丁同學(xué)與

任意一名同學(xué)比賽時勝、負、平的概率分別為每場比賽結(jié)果相互獨立.

第一輪甲一乙丙一丁

第二輪甲一丙乙一丁

第三輪甲一丁乙一丙

①求丁同學(xué)的總分為5分的概率；

(2)已知三輪比賽中丁同學(xué)獲得兩勝一平，且第一輪比賽中丙、丁2名同學(xué)是平局，求甲同學(xué)獲獎的概率.

第01講條件概率與事件的獨立性

課程標準學(xué)習(xí)目標

1.了解條件概率的概念，掌握求條件概率的

兩種方法，能利用條件概率公式解決一些簡

.掌握條件概率的意義并能利用條件概率公式處理實

單的實際問題；1

際問題；

2.結(jié)合古典概型，會利用乘法公式計算概

2.能從條件概率的定義推導(dǎo)乘法公式，會應(yīng)用乘法公式

率，結(jié)合古典概型，會利用全概率公式計算

計算概率，理解全概率公式，學(xué)會利用全概率公式與

概率.了解貝葉斯公式；

貝葉斯公式計算概率.

3.理解兩個事件相互獨立的概念，掌握相互