4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用

目錄

【題型歸納目錄】...............................................................2

【思維導(dǎo)圖】...................................................................2

【知識點梳理】.................................................................2

【典型例題】...................................................................3

題型一：一次函數(shù)與二次函數(shù)模型的應(yīng)用...........................................3

題型二：分段函數(shù)模型的應(yīng)用.....................................................6

題型三：指數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)模型的應(yīng)用...............................................9

題型四：擬合函數(shù)模型的應(yīng)用問題................................................11

題型五：根據(jù)實際問題的增長率選擇合適的函數(shù)模型13

【題型歸納目錄】

題型歸納

【思維導(dǎo)圖】

一次函數(shù)模型：j，=h+。（R,6為常數(shù)，行0））

二次函數(shù)模型：j'=a\'+&x+c（a,b,c為常數(shù)，）

（.幾種常見的函數(shù)模型］）-指數(shù)函數(shù)模型：*ba、+c（0,瓦c為常數(shù),6*0,a>0jla*l）

函數(shù)模型的應(yīng)用

對數(shù)函數(shù)模型：『二〃〃喈八+〃（〃”,〃為常數(shù)，〃沖0,。>0且。H1）

晶函數(shù)模型：j，=a.V*+b（%b為常數(shù)，4=0））

分段函數(shù)模型

【知識點梳理】

知識點一、幾種常見的函數(shù)模型

1、一次函數(shù)模型：y=kx+b（左，6為常數(shù)，kwO）

2、二次函數(shù)模型：y=ax2+bx+c（a也c為常數(shù)，awO）

3、指數(shù)函數(shù)模型：y=bax+c（a,b,。為常數(shù)，bwO,a>0且awl）

4、對數(shù)函數(shù)模型：y=mlogax+n（嘰Q,幾為常數(shù)，根wO,a>0且awl）

5、幕函數(shù)模型：y=axn+b（a,Z?為常數(shù)，awO）

ax+b,x<m

6、分段函數(shù)模型:y=

cx+d,x>m

知識點二、解答應(yīng)用問題的基本思想和步驟

1、解應(yīng)用題的基本思想

2、解答函數(shù)應(yīng)用題的基本步驟

求解函數(shù)應(yīng)用題時一般按以下幾步進行：

第一步：審題

弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型.

第二步：建模

在細心閱讀與深入理解題意的基礎(chǔ)上，引進數(shù)學(xué)符號，將問題的非數(shù)學(xué)語言合理轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，然后

根據(jù)題意，列出數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)模型.這時，要注意函數(shù)的定義域應(yīng)符合實際問題的要求.

第三步：求模

運用數(shù)學(xué)方法及函數(shù)知識進行推理、運算，求解數(shù)學(xué)模型，得出結(jié)果.

第四步：還原

把數(shù)學(xué)結(jié)果轉(zhuǎn)譯成實際問題作出解答，對于解出的結(jié)果要代入原問題中進行檢驗、評判，使其符合實際

背景.

上述四步可概括為以下流程：

實際問題（文字語言）n數(shù)學(xué)問題（數(shù)量關(guān)系與函數(shù)模型）0建模（數(shù)學(xué)語言）0求模（求解數(shù)學(xué)

問題）二反饋（還原成實際問題的解答）.

知識點三、解答函數(shù)應(yīng)用題應(yīng)注意的問題

首先，要認(rèn)真閱讀理解材料.應(yīng)用題所用的數(shù)學(xué)語言多為“文字語言、符號語言、圖形語言”并用，往往

篇幅較長，立意有創(chuàng)新脫俗之感.閱讀理解材料要達到的目標(biāo)是讀懂題目所敘述的實際問題的意義，領(lǐng)悟其

中的數(shù)學(xué)本質(zhì)，接受題目所約定的臨時性定義，理解題目中的量與量的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系，確立解體思路

和下一步的努力方向，對于有些數(shù)量關(guān)系較復(fù)雜、較模糊的問題，可以借助畫圖和列表來理清它.

其次，建立函數(shù)關(guān)系.根據(jù)前面審題及分析，把實際問題“用字母符號、關(guān)系符號”表達出來，建立函數(shù)

關(guān)系.

其中，認(rèn)真閱讀理解材料是建立函數(shù)模型的關(guān)鍵.在閱讀這一過程中應(yīng)像解答語文和外語中的閱讀問題

一樣，有“泛讀”與“精讀”之分.這是因為一般的應(yīng)用問題，一方面為了描述的問題與客觀實際盡可能地相吻

合，就必須用一定的篇幅描述其中的情境；另一方面有時為了思想教育方面的需要，也要用一些非數(shù)量關(guān)系

的語言來敘述，而我們解決問題所關(guān)心的東西是數(shù)量關(guān)系，因此對那些敘述的部分只需要“泛讀”即可.反過

來，對那些刻畫數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系、對應(yīng)關(guān)系等與數(shù)學(xué)有關(guān)的問題的部分，則應(yīng)“精讀”，一遍不行再來一

遍，直到透徹地理解為止，此時切忌草率.

【典型例題】

題型一：一次函數(shù)與二次函數(shù)模型的應(yīng)用

【典例11］（2024?高二.山東濰坊.期末）汽車在行駛中，由于慣性，剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才

能停止，一般稱這段距離為“剎車距離”.剎車距離是分析交通事故的一個重要依據(jù).在一個限速為40km/h的

彎道上，甲、乙兩輛汽車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對，同時剎車，但還是相碰了.事后現(xiàn)場勘查，測得甲車的

剎車距離略超過6m,乙車的剎車距離略超過10m.已知甲車的剎車距離sm與車速ykm/h之間的關(guān)系為

5甲=卷/一：丫，乙車的剎車距離sm與車速ykm/h之間的關(guān)系為5乙=+/一，也請判斷甲、乙兩車哪

輛車有超速現(xiàn)象（）

A.甲、乙兩車均超速B.甲車超速但乙車未超速

C.乙車超速但甲車未超速D.甲、乙兩車均未超速

【答案】C

【解析】對于甲車，令焉BPv2-10v-600^0

解得v7-20km/h（舍）或丫忍30km/h,所以甲未超速；

對于甲車，4^v2-^v?10,EPv2-10v-2000-0

解得vu—40km/h（舍）或VQ50km/h,所以乙超速；

故選:C.

【典例12］（2024.遼寧大連.一模）一個人以6米/秒的速度去追趕停在交通燈前的的汽車，當(dāng)他離汽車25

米時交通燈由紅變綠，汽車開始變速直線行駛（汽車與人前進方向相同），汽車在時間t內(nèi)的路程為

s=g產(chǎn)米，那么，止匕人

A.可在7秒內(nèi)追上汽車

B.可在9秒內(nèi)追上汽車

C.不能追上汽車，但其間最近距離為14米

D.不能追上汽車，但其間最近距離為7米

【答案】D

【解析】設(shè)人于x秒追上汽車，有6x-25=；V,「x無解，因此不能追上汽車，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，

x=6,最近距離為7米，故選D.

【方法技巧與總結(jié)】

1、一次函數(shù)模型的應(yīng)用

利用一次函數(shù)求最值，常轉(zhuǎn)化為求解不等式辦+bzo（或〈0）.解答時，注意系數(shù)。的正負(fù)，也可以

結(jié)合函數(shù)圖象或其單調(diào)性來求最值.

2、二次函數(shù)模型的應(yīng)用

構(gòu)建二次函數(shù)模型解決最優(yōu)問題時，可以利用配方法、判別式法、換元法、討論函數(shù)的單調(diào)性等方法求

最值，也可以根據(jù)函數(shù)圖象的對稱軸與函數(shù)定義域的對應(yīng)區(qū)間之間的位置關(guān)系討論求解，但一定要注意自變

量的取值范圍.

【變式11］（2024.高一?陜西西安.期中）某小型雨衣廠生產(chǎn)某種雨衣，售價P（元/件）與月銷售量x

（件）之間的關(guān)系為尸=160-2尤，生產(chǎn)x件的成本為H=500+30x.若每月獲得的利潤V不少于1300元，該

廠的月銷售量x的不可能取值為（）

A.20B.30C.40.D.50

【答案】D

【解析】設(shè)該廠月獲得的利潤為y元，

貝I]y=(160-2x)?尤一(500+30元)=-2x2+130^-500(0<x<80).

由題意，-2x2+130^-500>1300,解得：20<x<45,

二當(dāng)月產(chǎn)量在20至45件(包括20和45)之間時，月獲得的利潤不少于1300元.

故選：D.

【變式12】(2024?高一?黑龍江哈爾濱?期中)“相約哈爾濱，逐夢亞冬會”.哈爾濱地鐵3號線預(yù)計年底全線

載客運營，屆時，哈爾濱地鐵1號線2號線3號線將形成“十字+環(huán)線”地鐵線網(wǎng)，將為哈爾濱2025年第九

屆亞冬會的舉辦提供有力交通保障.通車后，列車的發(fā)車時間間隔f(單位：分鐘)滿足2V/W20,經(jīng)市場

調(diào)研測算，列車載客量與發(fā)車時間間隔相關(guān)，當(dāng)10W/W20時列車為滿載狀態(tài)，載客量為500人，當(dāng)

時，載客量會減少，減少的人數(shù)與的平方成正比，且發(fā)車時間間隔為2分鐘時的載客量為

372人，則當(dāng)發(fā)車時間間隔為t=5時，列車的載客量為()

A.410B.420C.450D.480

【答案】C

【解析】當(dāng)2孕<10時，載客量為/■⑺，設(shè)/'⑺=500-左(10-。2,

由題意可知，7(2)=500—64左=372,解得左=2,

當(dāng)仁5時，7(5)=500-2x25=450,此時載客量為450,

故選：C.

【變式13](2024?高一?廣東揭陽?階段練習(xí))中國芯片產(chǎn)業(yè)崛起，出口額增長迅猛，展現(xiàn)強勁實力和競爭

力.中國自主創(chuàng)新，多項技術(shù)取得突破，全球布局加速，現(xiàn)有某芯片公司為了提高生產(chǎn)效率，決定投入98

萬元購進一套生產(chǎn)設(shè)備.預(yù)計使用該設(shè)備后，第一年維修、保養(yǎng)費用12萬元，從第二年開始，每年所需維

修、保養(yǎng)費用比上一年增加4萬元，該設(shè)備使用后，每年的總收入為50萬元，設(shè)使用x年后該設(shè)備的盈利

額為y萬元.

(1)寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)從第幾年開始，該設(shè)備開始盈利(盈利額為正值)；

(3)使用若干年后，對設(shè)備的處理方案有兩種：

①當(dāng)年平均盈利額達到最大值時，以30萬元價格處理該設(shè)備；

②當(dāng)盈利額達到最大值時，以12萬元價格處理該設(shè)備.

請你研究一下哪種方案處理較為合理？請說明理由.(注：年平均盈利額為。，。=))

X

【解析】(1)依題得：y=50x-12X+"(；T)X4-98=-2/+40X-98(xeN*),

（2）解不等式-2_?+40*-98>0，得：10-庖<x<10+庖，

「尤eN*,龍W17,故從第3年開始盈利.

（3）①-=-2x+40--=40-|2%+—|<40-272^98=12,

XXVX）

98

當(dāng)且僅當(dāng)2x=—時，即x=7時等號成立，

x

故第七年，年平均盈利額達到最大值，工廠共獲利12x7+30=114萬元，

22

（2）y=-2x+40.r-98=-2（x-10）+102,當(dāng)x=10時，Jmax=102,

故第十年，盈利額達到最大值，工廠獲利102+12=114萬元，

盈利額達到的最大值相同，而方案①所用的時間較短，故方案①比較合理.

題型二：分段函數(shù)模型的應(yīng)用

【典例21】（2024.高一.廣東潮州.期中）設(shè)某公司生產(chǎn)某商品所獲利潤只由生產(chǎn)成本和銷售收入決定.生

產(chǎn)成本G（單位：萬元）與產(chǎn)量x（單位：百臺）的函數(shù)關(guān)系是G（x）=x+2；銷售收入R（單位：萬元）

-0.4x2+4.2x-0.8(0<x<5)

與產(chǎn)量x的函數(shù)關(guān)系式為R（x）=，

10.2(x>5)

（1）將利潤（單位：萬元）表示為產(chǎn)量X的函數(shù)/（X）；（利潤=銷售收入生產(chǎn)成本）

（2）當(dāng)產(chǎn)量為何值時，公司所獲利潤最大?

【解析】（1）依題意，

—0.4尤2+3.2尤一2.8,(04x45)

/(x)=R(x)-G(x)=

8.2-x,(尤>5)

(2)0WxW5時，f(x)=—0.4(x—4)-+3.6,

故當(dāng)x=4時，有最大值3.6,

而當(dāng)x>5時，〃x）=8.2-x是減函數(shù),

/（%）<8.2-5=3.2,

所以當(dāng)x=4時，/（無）有最大值3.6,

所以，當(dāng)產(chǎn)量為4百臺時，公司所獲利潤最大.

【典例22]（2024.高一.浙江?期中）某工廠生產(chǎn)某種玩具車的固定成本為15000元，每生產(chǎn)一輛車需增加

投入80元.已知總收入R（單位：元）關(guān)于月產(chǎn)量x（單位：輛）滿足函數(shù)：

[12

380.x一一%2（04尤4500）,

R（x）=2

75000（x>500）.

（1）將利潤P（單位：元）表示為月產(chǎn)量x（單位：輛）的函數(shù);

（2）當(dāng)月產(chǎn)量為何值時，公司所獲利潤最大？最大利潤為多少元？（總收入=總成本+利潤）

【解析】（1）由題可知總成本為15000+80X,

|12

,,,，、x2+300.r-15000(0<x<500),

禾！J潤P(x)=R(x)—15000—80x={2.

60000-80x(x>500).

(2)當(dāng)0<x<500,P(x)=-1(x-300)2+30000,.?.當(dāng)x=300時，〃元)有最大值30000；

當(dāng)x>500時，P(x)=60000—80x是減函數(shù)，...P(x)<60000-80x500=20000.

.?.當(dāng)x=300時,有最大值30000,

即當(dāng)月產(chǎn)量為300輛時，利潤最大，最大利潤為30000元.

【方法技巧與總結(jié)】

1、分段函數(shù)的“段”一定要分得合理，不重不漏.

2、分段函數(shù)的定義域為對應(yīng)每一段自變量取值范圍的并集.

3、分段函數(shù)的值域求法：逐段求函數(shù)值的范圍，最后比較再下結(jié)論.

【變式21]（2024?高一.北京?期中）國慶期間，某旅行社組團去風(fēng)景區(qū)旅游，若每團人數(shù)不超過30,游客

需付給旅行社飛機票每張900元；若每團人數(shù)多于30,則給予優(yōu)惠：每多1人，機票每張減少10元，直

到達到規(guī)定人數(shù)75為止.寫出飛機票的價格y（單位：元）關(guān)于人數(shù)尤（單位：人）的函數(shù)關(guān)系式；―

,,[900x,0<x<30

【答案】v=<

[-10X2+1200X,30<X<75

【解析】由題意，當(dāng)0<x430時，y=900元；當(dāng)30<xV75時，y=[900-（%-30）x10]x=-1Ox2+1200x.

[900x,0<x<30

則機票的價格y（單位：元）關(guān)于人數(shù)尤（單位：人）的函數(shù)關(guān)系式為：*an不

[-1m0%2+1200%,30Vx<75

,―一,\900X,0<J;<30

故*案為：y=1_10%2+1200x,30<x<75■

【變式22]（2024?高一?北京豐臺?期中）某公司計劃生產(chǎn)一類電子設(shè)備，該電子設(shè)備每月產(chǎn)量不超過150

臺，每臺售價為40萬元.每月生產(chǎn)該電子設(shè)備的成本由固定成本和可變成本兩部分組成，固定成本為20萬

元，每月生產(chǎn)x臺（尤eN*）時需要投入的可變成本為Q（x）（單位：萬元），每月的利潤為了（力（單位：萬

元），其中利潤是收入與成本之差.當(dāng)每月產(chǎn)量不超過40臺時，。（同=：/+10%；當(dāng)每月產(chǎn)量超過40臺

時，Q（x）=41x+W2一690.假設(shè)該公司每月生產(chǎn)的電子設(shè)備都能夠售罄.

（1）求/'（X）關(guān)于x的函數(shù)解析式；

（2）如果你是該公司的決策者，分析每月生產(chǎn)多少臺電子設(shè)備可以使月利潤最大？最大利潤是多少？

2

—x+10x^0<x<40,xGN*)

【解析】（1）由題意知:Q(x)=<

41x+12222_69o(4O<x<15O,xeN*

-1x2+30x-20(0<x<40,xeN*

/(%)=40%-20-Q(x)=<

一無一10(也+67。(40<xw150”

（2）當(dāng)0<xW40時，為開口方向向下，對稱軸為尤=30的拋物線,

止匕時/（x）4/（30）=-450+900-20=430；

當(dāng)40vxW150時，f（x）=-［x+竺圖）+6704—2/7畫^+670=470（當(dāng)且僅當(dāng)x=100時取等號）；

470>430,.?.該公司每月生產(chǎn)100臺電子設(shè)備可以使月利潤最大，最大利潤是470萬元.

【變式23］（2024.高一?天津?qū)幒?期末）某公司生產(chǎn)某種儀器的固定成本為300萬元，每生產(chǎn)五臺儀器需增

2x2+80x,0<x<40,

加投入C（x）萬元，且C（x）=43600每臺儀器的售價為200萬元.通過市場分析，該公

201%+---------2100/>40,

.尤

司生產(chǎn)的儀器能全部售完，則該公司在這一儀器的生產(chǎn)中所獲利潤的最大值為萬元.

【答案】1680

【解析】由題意可得：當(dāng)0<尤<40時，利潤為W（x）=200x-（2f+80x）-300=-2/+120x-300,

當(dāng)40<x時，W(x)=200x-(201x+--------2100)-300=-(尤+---)+1800,

XX

—2M+120x—300,0<x<40

故

W(%)=3600、1CMC

—(x+------)+1800,40<x

若0<了K40,W(%)=—2(x—30)2+1500,

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，W。）在（0,30）上單調(diào)遞增，在（3。,40］上單調(diào)遞減,

所以當(dāng)％=30時，W（x）a=1500萬元，

②若40cx,W（尤）=-（尤+^^）+1800<-2.L-+1800=-120+1800=1680，

xVx

當(dāng)且僅當(dāng)工=儂時，即x=60時，W（x）1mx=1680萬元.

X

所以該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為60臺時，公司所獲利潤最大，最大利潤是1680萬元.

故答案為：1680

【變式24】（2024?高一?四川.階段練習(xí)）某公司生產(chǎn)A產(chǎn)品，每月的固定成本為10000元，每生產(chǎn)一件A

產(chǎn)品需要增加投入80元，該產(chǎn)品每月的總收入R（單位：元）關(guān)于月產(chǎn)量x（單位：臺）滿足函數(shù)：

J600尤-x2,0<x<400

.則該公司的月利潤的最大值為兀.

[60000+50x,x>400

【答案】57600

-x2+520X-10000,0<x<400

【解析】該公司的月利潤/（%）=/?-10000-80%=

50000-30x,x>400

故函數(shù)y=/（X）在［0,260］上單調(diào)遞增,在（260,y）上單調(diào)遞減,

故以x（x）=7（260）=57600,該公司的月利潤的最大值為57600元

故答案為：57600.

題型三：指數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)模型的應(yīng)用

【典例31］（2024?高三?黑龍江佳木斯?開學(xué)考試）塑料袋給我們生活帶來了方便，但塑料在自然界可停留

長達200~400年之久，給環(huán)境帶來了很大的危害，國家發(fā)改委、生態(tài)環(huán)境部等9部門聯(lián)合印度《關(guān)于禮實

推進型科技染物理工作的通知》明確指出，2021年1月1日起，禁用不可降解的塑料袋、塑料餐具及一次性

塑料吸管等，某品牌塑料袋經(jīng)自然降解后殘留量丫與時間f年之間的關(guān)系為＞=%-心，其中先為初始量，

左為光解系數(shù).已知該品牌塑料袋2年后殘留量為初始量的75%.該品牌塑料袋大約需要經(jīng)過.年，其

殘留量為初始量的10%（參考數(shù)據(jù)：1g2=0.301,1g3土0.477）

【答案】16

Mk

【解析】由題意知：當(dāng)t=2時，75%y0=y0-e,e=7（175;

當(dāng)10%%=%?/=時，=0.1,

.-.lg（＜75）f=^lg|=lg^=-l,

■t—___2__—______2___—_______2____~_________2_______—］6

-Ig3-lg4-Ig3-21g20.477-2x0.301"■

84

故答案為：16.

【典例32］（2024.高一.上海?隨堂練習(xí)）《莊子?天下篇》中寫道：“一尺之梗，日取其半，萬世不竭.”請你寫

出截取x次后，單位長度的木槐的剩余量y關(guān)于尤的函數(shù)關(guān)系式是.

【答案】y=［￡|，xeN,且

【解析】題干的意思是第二天取的長度是上一天的一半，所以符合指數(shù)函數(shù)模型，底數(shù)為點

剩余量y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是y=,xeN且

故答案為：y=,XGN5.X＞1.

【方法技巧與總結(jié)】

1、涉及平均增長率的問題，求解可用指數(shù)型函數(shù)模型表示，通常可以表示為y=NV+p），（其中N

為原來的基礎(chǔ)數(shù)，P為增長率，X為時間）的形式.

2、在實際問題中，有關(guān)人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長問題，都常用到指數(shù)型函數(shù)模型.

【變式31］（2024?高一.全國?隨堂練習(xí)）大西洋鞋魚每年都要逆流而上，游回產(chǎn)地產(chǎn)卵.研究能魚的科學(xué)家

發(fā)現(xiàn)鞋魚的游速可以表示為函數(shù)丫=；1。83焉，單位是m/s,其中。表示魚的耗氧量的單位數(shù).當(dāng)一條魚

的耗氧量是2700個單位時，它的游速是m/s.

【答案】|/1.5

17700111Q

3

【解析】當(dāng)0=2700時，v=-log3--=-log327=-log33=-x3=-.

4x.V/V/4乙乙乙

3

故答案為：—■

2

【變式32】（2024.高一.上海.單元測試）某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣剩余污染物數(shù)

量產(chǎn)（mg/L）與過濾開始后的時間r（h）的關(guān)系為尸其中心為過濾開始時廢氣的污染物數(shù)量，k

為常數(shù)，如果過濾開始后經(jīng)過5個小時消除了10%的污染物，試求：

（1）過濾開始后經(jīng)過10個小時還剩百分之幾的污染物？

（2）求污染物減少50%所需要的時間.

【解析】⑴由尸=4片如可知，

當(dāng)『=0時，P=PQ；

當(dāng)f=5時，F(xiàn)=(l-10%)^,

于是有(l-10%)4=4ej,

解得k=——In0.9,

那么'二片」為。"

當(dāng)f=10時,

|ln0.9^xl0

尸=1e'片即。-81=81%4,

所以過濾開始后經(jīng)過10個小時還剩的81%污染物.

（2）當(dāng)尸=50%分時,

|In0.9Jr

有50%[=

曰In0.5251n2.In25x0.693

角星得/=------=----J=----=5-----------------------?-------------------------------

'llnQ9坨2gWIn2+ln5-21n30.693+1.609-2x1.099

510V

所以污染物減少50%所需要的時間為33個小時.

題型四：擬合函數(shù)模型的應(yīng)用問題

【典例41］（2024?高一?北京?階段練習(xí)）李明自主創(chuàng)業(yè)，經(jīng)營一家網(wǎng)店，每售出一件A商品獲利8元.現(xiàn)計

劃在“五一”期間對A商品進行廣告促銷，假設(shè)售出A商品的件數(shù)機（單位：萬件）與廣告費用x（單位：

2

萬元）符合函數(shù)模型加=3——若要使這次促銷活動獲利最多，則廣告費用元應(yīng)投萬元，獲得總利

潤為萬元.

【答案】317

【解析】設(shè)李明獲得的利潤為了（x）萬元，貝4x20,

貝U/（x）==8（3=24——^--x=25-,+（工+1）

當(dāng)且僅當(dāng)x+l=T，因為xZO,即當(dāng)x=3時，等號成立.

此時總利潤為17.

故答案為:3；17.

【典例42］（2024?高一?江蘇?階段練習(xí)）某工廠需要建造一個倉庫，根據(jù)市場調(diào)研分析運費與工廠和倉庫

之間的距離成正比，倉儲費與工廠和倉庫之間的距離成反比，當(dāng)工廠和倉庫之間的距離為3千米時，運費

為9萬元，倉儲費為4萬元，則運費與倉儲費之和的最小值為萬元.

【答案】12

【解析】設(shè)工廠和倉庫之間的距離為x千米，運費為以萬元，倉儲費為必萬元,

依題意可設(shè)y=G（X>。）,％=?（無>°）.

.工廠和倉庫之間的距離為3千米時，運費為9萬元，倉儲費用為4萬元,

代入求得：匕=3,心=12,于是，運費與倉儲費之和為+萬元，

17IV）12

因%>0,由3x+—>2.3xx一=12,當(dāng)且僅當(dāng)3冗二一,

X\XX

即x=2時，運費與倉儲費之和最小，最小為12萬元.

故答案為：12.

【方法技巧與總結(jié)】

在沒有給出具體模型的問題中，首先要由己知數(shù)據(jù)描繪出函數(shù)草圖，然后聯(lián)想熟悉的函數(shù)圖象，通過檢

測所求函數(shù)模型與實際誤差的大小，探求相近的數(shù)學(xué)關(guān)系，預(yù)測函數(shù)的可能模型.

【變式41](2024?高一?陜西漢中?期末)汽車在行駛中，由于慣性，剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才

能停止，一般稱這段距離為“剎車距離”.剎車距離是分析交通事故的一個重要依據(jù).在某次事故中，根據(jù)現(xiàn)場

勘測結(jié)果，肇事汽車的剎車距離為32m,經(jīng)查詢知該車的剎車距離s(m)與車速v(km/h)之間的關(guān)系為

12

5=—v2--v,則該車的速度為km/h.

【答案】80

【解析】將s=32代入5=志/一：丫，

12

得32=麗聲一解得丫=80或丫=與。(舍去)，

所以該車的速度為80km/h.

故答案為你：80.

【變式42](2024.高一?湖南林B州?期末)我們家里大多數(shù)裝了空調(diào)，空調(diào)風(fēng)機的工作原理就是把室內(nèi)熱空

氣抽出去，然后把室外新鮮空氣通過空調(diào)制冷系統(tǒng)，凈化后再傳回室內(nèi).假設(shè)某房間體積為1,室內(nèi)熱氣的

質(zhì)量為機，已知某款空調(diào)機工作時，單位時間內(nèi)從室外吸入的空氣體積為v(v>l),室內(nèi)熱氣體的濃度與

ZUJTI

時刻f的函數(shù)關(guān)系為。⑺=%丁+〃『片”，其中常數(shù)彳為過濾效率，幾+〃=1.若該款新風(fēng)機的過濾效率為

13

4=且，=1時室內(nèi)熱空氣的濃度是，=2時的;倍，則該款空調(diào)單位時間內(nèi)從室外吸入的空氣體積

42

v=.

【答案】ln3

[解析]由題意得/⑺=嚀+(1_/嚀/=*+空尸，

0(1)=也+網(wǎng)k小2)=工+迎e幺

''4%4%''4%4%'

因為。⑴=鏟⑵,

由于相片0,整理得9e0-6尸+1=0,

解得故e"=3,進而解得v=ln3.

故答案為：ln3

【變式43](2024?高一?上海?隨堂練習(xí))“學(xué)習(xí)曲線”可以用來描述學(xué)習(xí)某一任務(wù)的速度，假設(shè)函數(shù)

1441g[1*]中，/表示達到某一英文打字水平（字/分）所需的學(xué)習(xí)時間（時），N表示每分鐘打出的

字?jǐn)?shù)（字/分）.

⑴計算要達到20字/分、40字/分水平所需要的學(xué)習(xí)時間；（精確到“時”）

（2）利用（1）的結(jié)果，結(jié)合對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的分析，作出函數(shù)的大致圖象.

【解析】（1）f（20）=-1441g（l-1^]=-1441g（它144x0.109=15.7,

所以要達到20字/分水平所需要16小時；

（40）=-1441g1-=-1441g|?144x0.255=36.8,

所以要達到40字/分水平所需要37小時；

所以120卜16,140卜37；

⑵u-1441g“一射，

NN

因為＞=1一而是減函數(shù)，所以"T441g（[l-如、J是增函數(shù)，

當(dāng)N接近于90時，1-2接近0,f=-1441g1l-[）無窮大,

當(dāng)N等于。時，t=O,可得大致圖象如下圖.

題型五：根據(jù)實際問題的增長率選擇合適的函數(shù)模型

【典例51]（2024.高一.廣東?期末）人工放射性核素碘131可發(fā)射夕射線治療甲亢，已知該物質(zhì)的半衰期

為8天，設(shè)質(zhì)量為。的碘131經(jīng)過x天后剩留的質(zhì)量為y,則V關(guān)于x的函數(shù)解析式是（）

A.y=J.V,xeN*B,y=,xeN*

D-y=〃(0.5尸，X￡N*

【解析】由題意，經(jīng)過一個半衰期（8天）后，剩留的質(zhì)量y=axg,

2

經(jīng)過兩個半衰期（16天）后，剩留的質(zhì)量y=I

3

1

經(jīng)過三個半衰期（24天）后，剩留的質(zhì)量Y=QX

2

L，

經(jīng)過1天后，剩留的質(zhì)量y=谷N*.

故選：A.

【典例52］（2024.高二?甘肅?學(xué)業(yè)考試）加快縣域范圍內(nèi)農(nóng)業(yè)轉(zhuǎn)移人口市名化，是“十四五”期間我國城鎮(zhèn)化

和城市化戰(zhàn)略的實踐重點.某高二數(shù)學(xué)興趣小組，通過查找歷年數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)本縣城區(qū)常住人口每年大約以

5%的增長率遞增，若要據(jù)此預(yù)測該縣城區(qū)若干年后的常住人口，則在建立模型階段，該小組可以選擇的

函數(shù)模型為（）

A.f^x^—ax+b

B./（x）=a-b*+c（aH0,6＞（）且。力1）

C./（%）=。,尤2+fev+c（aw。）

D.〃x）=a-log/+c（aN0,b＞。且》*1）

【答案】B

【解析】由題意可知，該縣城區(qū)常住人口每年大約以5%的增長率遞增，

則該縣區(qū)城區(qū)常住人口y與年份x的函數(shù)關(guān)系為指數(shù)型函數(shù).

故選：B.

【變式51］（2024?高一?上海浦東新?期中）汽車在行駛中，由于慣性的作用，剎車后還要繼續(xù)向前滑行一

段距離才能停住，我們稱這段距離為“剎車距離”.剎車距離是分析事故的一個重要因素.在一個限速為

40km/h的小道上，甲、乙兩輛汽車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對，同時剎車，但還是相碰了.事后現(xiàn)場勘查測

得甲車的剎車距離略超過12m,乙車的剎車距離略超過10m,又知甲、乙兩種車型的剎車距離S（m）與

車速x（km/h）之間分別有如下關(guān)系：S甲=0.01/+0.k，%=0.005d+0.05x.問：甲、乙兩車有無超速現(xiàn)

象？

【解析】S甲=0.01/+0.lx=12,Xx＞0,故解得&=30,

2

SZ.=0.005X+0.05X=10,又XNO,故解得X=40,

甲無超速現(xiàn)象，乙有超速現(xiàn)象.

【變式52］（2024.高一?浙江湖州?期末）隨著電動汽車研發(fā)技術(shù)的日益成熟，電動汽車的普及率越來越

高.某型號電動汽車在封閉路段進行測試，限速80km/h（不含80km/h）.經(jīng)多次測試得到，該汽車每小時

耗電量M（單位：Wh）與速度”（單位：km/h）的數(shù)據(jù)如下表所示.

V0103070

M0132533759275

為了描述國道上該汽車每小時耗電量與速度的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：

32

M（v）=^v+bv+cv,M（v）=lOOo1|J+a,Af（v）=3001ogav+/?.

（1）當(dāng)0Wv<80時，請選出你認(rèn)為最符合表格所列數(shù)據(jù)實際的函數(shù)模型，并求出相應(yīng)的函數(shù)解析式；

（2）在本次測試報告中，該電動汽車的最長續(xù)航里程為400km.若測試過程為勻速運動，請計算本次測試時

的車速為何值時，該電動汽車電池所需的容量（單位：Wh）最小？并計算出該最小值.

【解析】（1）對于M（v）=3001og/+b,當(dāng)v=0時，它無意義，所以不符合題意；

對于M"）=1000（gj+a,它顯然是個減函數(shù)，所以不符合題意，

2

故選=￡/+bv+cv.

—xlO3+Z?xlO2+cxlO=1325

根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，則有,解得8=-2,c=150,

—X303+&X302+CX30=3375

140

當(dāng)0Wv<80時，M（v）=—v3—2v2+150v.

''40

（2）設(shè)車速為vkm/h,所用時間為竺劣?,

V

所耗電量/3）=%（需F—2V2+150V]=10（V2_80V+6000）=10（v-40）2+44000,

要使得續(xù)航里程最長，則耗電量達到最小，即v=40km/h.

所以當(dāng)測試員控制的車速為40km/h,

該電動汽車的電池所需的最小容量為44000Wh.

【變式53]（2024.高一.湖南永州?期末）為響應(yīng)“湘商回歸，返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)”的號召，某企業(yè)回永州投資特色農(nóng)

業(yè)，為了實現(xiàn)既定銷售利潤目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：按銷售利潤進行獎勵，總獎金

額y（單位：萬元）關(guān)于銷售利潤無（單位：萬元）的函數(shù)的圖象接近如圖所示，現(xiàn)有以下三個函數(shù)模型

供企業(yè)選擇：（1）y=kx+b[k>0）@y=k-2x+m[k>0）③y=^log,f-|+3j+/z（A：>0）

（D請你幫助該企業(yè)從中選擇一個最合適的函數(shù)模型，并說明理由;

(2)根據(jù)你在(1)中選擇的函數(shù)模型，如果總獎金不少于6萬元，則至少應(yīng)完成銷售利潤多少萬元?

【解析】(1)對于模型①，y=kx+b,圖象為直線，故①錯誤,

由圖可知，該函數(shù)的增長速度較慢，

對于模型②，指數(shù)型的函數(shù)是爆炸型