重難點專題32立體幾何壓軸小題（體積、角度、外接球等）九大題

型匯總

dnii

題型1體積最值......................................................................1

題型2線線角最值取值范圍...........................................................2

題型3線面角最值取范圍.............................................................5

題型4面面角最值取值范圍...........................................................8

題型5外接球問題..................................................................10

題型6外接球截面相關..............................................................12

題型7正方體截面相關..............................................................13

題型8代數式最值取值范圍..........................................................16

題型9向量相關最值取值范圍.......................................................18

題型1體積最值

【例題1】（2021?全國?高三專題練習）在棱長為3的正方體力BCD-4中，E是

的中點，P是底面4BCD所在平面內一動點，設P%,PE與底面4BCD所成的角分別為國,%

⑸，牝均不為0）,若出=%,則三棱錐P-BBICI體積的最小值是

A.1B.|C.|D.

【變式1-1】1.（2021?全國?校聯考二模）在長方體4BCD—41比3。1中，AB=4,BC=3

,=5,M,N分別在線段力&和4c上，\MN\=2,貝U三棱錐D—MNQ的體積最小值為

A.4B.3V2-1C.4V3-2D.6V2-4

【變式1-1】2.（2021?全國?高三專題練習）如圖，已知直四棱柱力BCD-4出道1。1的所

有棱長等于1,乙4BC=60。，。和。1分別是上下底面對角線的交點，”在線段OB1上，

。//=點M在線段BD上移動，則三棱錐M的體積最小值為

【變式1-1】3.（2023春廣東?高三校聯考階段練習）設M,N,P分別是棱長為2的正方

體4BCD—4/道山1的棱CD,給外，公當的中點，R為BD上一點,且R不與。重合，且M,

N,P,R在同一個表面積為S的球面上，記三棱錐N-MPR的體積為V,貝嶺的最小值是

【變式1-1】4.（2020?全國?高三競賽）一個圓錐和一個圓柱，下底面在同一平面上，它們

有公共的內切球.記圓錐的體積為匕圓柱的體積為匕，且匕=敏2.則帕勺最小值是.

【變式1-115.（2021福建統考一模）如圖，在四棱錐E-4BCD中，EC1^ABCD,FD//EC,

底面ABCD為矩形，G為線段的中點，CG1DG,CD=2,DF=CE,BE與底面4BCD所成

角為45。，則四棱錐E-4BCD與三棱錐F-CDG的公共部分的體積為

平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面問題化歸

為共面問題來解決，具體步驟如下：

①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角;

②認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角;

③計算：求該角的值，常利用解三角形;

④取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是（0,4，當所作的角為鈍角時，應取它的補角作

為兩條異面直線所成的角.

【例題2】（2023?全國?高三專題練習）在三棱錐A—BCD中，BCBD=ACAD10,

=6,CD=16,點P在平面4CD內，S.BP=V30,設異面直線BP與所成角為a,則

sina的最小值為（）

A女回B逗C小D在

?10?10'5,5

【變式2-1】1.（2022?全國?高三專題練習）如圖，矩形4BCD中，AB=4,BC=2,E為邊AB

的中點，沿將/4DE折起，點A折至4處⑷《平面4BCD）,若M為線段4c的中點，則

在/4DE折起過程中，下列說法錯誤的是（）

A.始終有MB〃平面4DE

B.不存在某個位置，使得&C1平面&DE

C.三棱錐&-4DE體積的最大值是平

D.一定存在某個位置，使得異面直線BM與所成角為30。

【變式2-1】2.（2021?全國?高三專題練習）如圖，已知等邊三角形4BC中，AB=AC,0

為BC的中點，動點P在線段OB上（不含端點），記乙4PC=8,現將4APC沿力P折起至4AP。,

記異面直線與力P所成的角為即則下列一定成立的是

7171

A.6>aB.9<aC.3+a>-D.3+a<-

【變式2-1】3.（2020?全國?高三專題練習）將正方形4BCD沿對角線力C折起，并使得平面

4BC垂直于平面4CD,直線與CD所成的角為

A.90°B,60°C.45°D,30°

【變式2-1】4.（2021?浙江?校聯考二模）如圖，正方體4804當。1。1的棱長為1,線

段當小上有兩個動點吊尸，且EF=0.6,則當區F移動時，下列結論中錯誤的是（）

A.4E〃平面

B.四面體4CEF的體積為定值

C.三棱錐4-8EF的體積為定值

D.異面直線AF、BE所成的角為定值

【變式2-1】5.（2020?全國?高三專題練習）將正方形4BCD沿對角線4C折起，當以4B,C,D

四點為頂點的三棱錐體積最大時，異面直線4。與8c所成的角為

A.7B.￡C.?D—

【變式2-1】6.（2021?全國統考一模）如圖所示的四棱錐P-ABCD中，底面4BCD與側面PAD

垂直，目四邊形&BCD為正方形，AD=PD=P4,點E為邊的中點，點F在邊BP上，目

BF=：BP,過C,E,F三點的截面與平面P4D的交線為2,則異面直線PB與1所成的角為（）

【變式2-1】7.（2023?全國?高三專題練習）a,b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角

三角形ABC的直角邊AC所在直線與a,b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉軸旋轉，有

下列結論：

①當直線AB與a成60。角時，AB與b成30°角；

②當直線AB與a成60。角時，AB與b成60。角；

③直線AB與a所成角的最小值為45°;

④直線AB與a所成角的最大值為60°.

其中正確的是.（填寫所有正確結論的編號）

題型3線面角最值取范圍

【例題3】（2020?全國?高三專題練習）在正方體ABCD-4/1射。1中，E,F分別為棱4公、

BBi的中點，M為棱（含端點）上的任一點，則直線ME與平面DiEF所成角的正弦值的

最小值為

【變式3-1]1.（2021?浙江紹興?校聯考二模）點P為棱長是2的正方體4BCD-A1B1C1D1

的內切球。球面上的動點，點M為的中點，若滿足DPI則8止與面CDP所成角的

正切值的最小值是

A.|B.普C.^|^D.華

【變式3-1]2.（2021?全國?高三專題練習）如圖所示，直平行六面體4BCD-4中心小的

所有棱長都為2,^DAB=60°,過體對角線BDi的截面S與棱和CCi分別交于點E、F,

給出下列命題中：

①四邊形BED*的面積最小值為2遍；

②直線EF與平面BCCiBi所成角的最大值為2

③四棱錐揚-BED*的體積為定值；

④點當到截面S的距離的最小值為蜉.

其中，所有真命題的序號為（）

A.①②③B.①③④C.①③D.②④

【變式3-1】3.（2022?全國?高三專題練習）在矩形4BCD中，AB=4,AD=3,E為邊AD

上的一點，DE=1,現將沿直線BE折成/ABE,使得點4在平面BCDE上的射影在四

邊形BCDE內（不含邊界），設二面角A—BE—C的大小為8,直線4B,AC與平面BCDE所

成的角分別為田夕，則

A./?<a<0B,P<0<a

C.a<3<pD.a<P<0

【變式3-1】4.（2021?全國?高三專題練習）已知正三棱錐P-4BC（底面是正三角形，頂

點在底面的射影是正三角形的中心），直線BC〃平面a,E,F,G分別是棱上一點（除

端點）,將正三棱錐P-ABC繞直線BC旋轉一周，則能與平面a所成的角取遍區間［0,4一切

值的直線可能是

P

A.EFB.FGC.EGD.EF,FG,EG中的任意一條

【變式3-1】5.（2019?河南鄭州?校聯考一模）已知圓錐的母線長為2r,底面圓半徑長為r,

圓心為。，點M是母線PA的中點，AB是底面圓的直徑.若點C是底面圓周上一點，目OC

與母線PB所成的角等于60。，則MC與底面所成的角的正弦值為（）

B.等博

C.坐

【變式3-1】6.（2021秋?黑龍江佳木斯?高三佳木斯一中校考階段練習）下圖中的幾何體是

由兩個有共同底面的圓錐組成.已知兩個圓錐的頂點分別為P、Q,高分別為2、1,底面

半徑為1.A為底面圓周上的定點，B為底面圓周上的動點（不與A重合）.下列四個結論:

①三棱錐P-4BQ體積的最大值為

②直線PB與平面PAQ所成角的最大值為六

③當直線BQ與AP所成角最小時，其正弦值為筆；

④直線BQ與AP所成角的最大值為方；

其中正確的結論有.（寫出所有正確結論的編號）

【變式3-1】7.（2021?全國?高三專題練習）已知圓錐的頂點為S,。為底面中心，A,B,C

為底面圓周上不重合的三點，AB為底面的直徑，SA=AB,M為S4的中點.設直線MC與平面

S4B所成角為a,貝！Jsina的最大值為

題型4面面角最值取值范圍

【例題4】（2023?全國?高三專題練習）如圖，正方體力BCD-&B1C1D1的棱長為2,E,F分

別是棱441，CM的中點，過點E,F的平面分別與直線交于點P為側面BCCi

名（含邊界）上的一個動點.給出以下命題:

----------------

①四邊形EGF"一定為菱形；

②四棱錐Ci-EGFH的體積為定值；

③平面EGF”與平面4BCD所成的角不大若；

④|PDi|+|PM|的最小值為m.

其中正確命題的序號是

【變式4-1J1.（2020?浙江?高三統考期末）已知直三棱柱ABC-ABC'的底面是正三角形,

側棱長與底面邊長相等，P是側棱AA，上的點（不含端點）.記直線PB與直線AC所成的角

為a,直線PB與直線B'C所成的角為B，二面角P-B,B-C的平面角為丫，則（）

A.a>p>yB.a<p<yC.a>丫邛D.p>a>y

【變式4-1】2.（2020秋新疆昌吉?高三校考期中）已知四邊形力BCD中，N4=NC=90。，

BC=CD,在將44BD沿著BD翻折成三棱錐4-BCD的過程中，直線4B與平面BCD所成角的

角均小于直線與平面BCD所成的角，設二面角4-BC-。，4-DC-B的大小分別為

a/,則

A-a>0B.a<。C.存在a>。D.a/的大小關系無法確定

【變式4-1】3.（2021?浙江嘉興統考模擬預測）如圖，矩開為BCD中,AB=1,BC=^3,

E是線段BC（不含點C）上一動點，把沿4E折起得到zMB'E,使得平面B'AC,平面

ADC,分別記夕力，與平面4DC所成角為a/,平面與平面4DC所成銳角為仇則

A.8>a>0B.9>2aC.0>2（iD.tan0>2tancr

【變式4-1】4.（2023?全國?高三專題練習）如圖，在單位正方體4BCD-力道1射。1中,

點P在線段4小上運動，給出以下四個命題：

①異面直線41P與BCi間的距離為定值；

②三棱錐。-BPCi的體積為定值；

③異面直線QP與直線CBi所成的角為定值；

④二面角P-BQ—D的大小為定值.

其中真命題有

A.1個B.2個C.3個D.4個

【變式4-1】5.（2020?上海?高三專題練習）設三棱錐，-ABC的底面是正三角形，側棱長

均相等，P是棱匕4上的點（不含端點），記直線PB與直線4c所成的角為a,直線PB與平面4BC

所成的角為0,二面角P-AC-B的平面角為y,則三個角a、隊y中最小的角是

題型5外接球問題

【例題5】（2022?四川遂寧?統考一模）設半徑為R的球面上有"CD四點，且4B/C/D兩

兩垂直，若S44BC+S/X4C0+=8,則球半徑R的最小值是（）

A.2B.V2C.2V2D.4

【變式5-1】1.（2022秋?江蘇南京?高三南京師大附中校聯考階段練習）四棱錐P-4BCD

中，底面4BCD是邊長為2g的正方形，側面為正三角形，則其外接球體積最小值為

（）

A.*B,爭r

C.8V67TD.4V37T

【變式5-1】2.（2023?四川宜賓?宜賓市敘州區第一中學校校考模擬預測）在三棱錐A-BCD

中，AD1平面BCD,乙ABD+乙CBD=^,BD=BC=1,則已知三棱錐4一BCD外接球表面

積的最小值為（）

A.2「+i7B.C.2每1TD.

4T24T2

【變式5-1】3.（2019秋?廣西?高三校考階段練習）在三棱錐4—BCD中，AB=AC,

DB=DC,AB+DB=4,AB1BD,則三棱錐力—BCD外接球的體積的最小值為（）

A5舊兀B5&~兀c8?兀DBWTI

【變式5-1】4.（2023?全國?高三專題練習）在棱長為2的正方體力BCD-公名的小中，E.F

分別為2B,BC的中點，則（）

A.平面。J.EFII平面BAiG

B.點P為正方形AiBiCWi內一點當DP〃平面&EF時，DP的最小值為呼

C.過點Di，E,F的平面截正方體力BCD-力iBiCi%所得的截面周長為3近+2V5

D.當三棱錐&-BEF的所有頂點都在球。的表面上時，球。的表面積為121T

【變式5-1】5.（2020?湖北?校聯考一模）已知三棱錐P—ABC滿足P41底面4BC,在41BC

中，AB=6,AC=8,ABIAC,D是線段4c上一點，且力D=3DC,球。為三棱錐P—ABC

的外接球，過點。作球。的截面，若所得截面圓的面積的最小值與最大值之和為40肛則球。

的表面積為（）

A.72兀B.86兀C.112TTD.128兀

【變式5-1]6.（2022秋?新疆烏魯木齊?高三校考階段練習）魯班鎖是中國傳統的智力玩具，

起源于古代漢族建筑中首創的樟卯結構，這種三維的拼插器具內部的凹凸部分（即樟卯結構）

嚙合，十分巧妙，外觀看是嚴絲合縫的十字立方體，其上下、左右、前后完全對稱，從外表

上看，六根等長的正四棱柱分成三組，經90。樟卯起來，如圖，若正四棱柱的高為6,底面正

方形的邊長為1,現將該魯班鎖放進一個球形容器內，則該球形容器的表面積的最小值為

（容器壁的厚度忽略不計）

A.367rB.40TTC.41TTD.44TT

題型6外接球截面相關

【例題6】（2021秋?河北唐山?高三唐山一中校考期中）四面體力BCD的四個頂點在同一球面

上中，AB=BC=CD=DA=4,AC=BD=2五,E為4c的中點，過E作其外接球的截面,

則截面面積的最大值與最小值的比為（）

A.5:4B.V5：2C.V5：V2D.5:2

【變式6-1]1.（2022秋?云南?高三云南師大附中校聯考階段練習）已知四棱錐P-ABCD

的底面ABCD是矩形，且該四棱錐的所有頂點都在球O的球面上，PA,平面ABCD,

PA=AB=V2,BC=2，點E在棱PB上，且麗=2方，過E作球。的截面，則所得截

面面積的最小值是

【變式6-1】2.（2021秋?山東濰坊?高三山東省濰坊第四中學校考開學考試）正△ABC的

三個頂點都在半徑為2的球面上,球心。到平面4BC的距離為1,點D是線段BC的中點，過D

作球。的截面，則截面面積的最小值為

【變式6-1】3.（2019?湖北?高三校聯考期中）已知三棱錐S-4BC的所有頂點在球。的球

面上，S41平面力BC,/4BC是等腰直角三角形，SA=AB=AC=2,。是BC的中點，過點D

作球。的截面，則截面面積的最小值是

【變式6-1】4.（2023春?四川成都?高三樹德中學校考開學考試）已知菱形ABCD邊長為6,

Z4DC=^,E為對角線4C上一點，AE=43.★各△4BD沿BD翻折至I」△4BD的彳立置，E移動

到E目二面角4-BD-4的大小為或則三棱錐4-BCD的外接球的半徑為；過E作平

面a與該外接球相交，所得截面面積的最小值為

【變式6-1】5.（2023?全國?高三專題練習）已知空間四邊形4BCD的各邊長及對角線BD的

長度均為6,平面4BD1平面CBD,點M在4c上，且力M=2MC,那么4BCD外接球的半徑

為；過點M作四邊形力BCD外接球的截面.則截面面積最大值與最小值之比為.

題型7正方體截面相關

【例題7】（2021?浙江?高三專題練習）正四面體力BCD的棱長為4,E為棱的中點，過E

作此正四面體的外接球的截面，則該截面面積的最小值是

A.47TB.87TC.127rD.167r

【變式7-1】1.（2021?湖南株洲?校聯考一模）過棱長為1的正方體的一條體對角線作截

面，則截得正方體的截面面積的最小值是

A.1B.V2C.D.

【變式7-1】2.（多選）（2022秋?湖南常德?高三湖南省桃源縣第一中學校考期中）如圖,

正方體4BCD-4$道山1棱長為1,點P是線段&D上的一個動點，下列結論中正確的是

（）

A.存在點P,使得BPIPCi

B.三棱錐C-Bi%P的體積為定值3

C.若動點Q在以點B為球心，整為半徑的球面上，貝！JPQ的最小值為期

3o

D.過點P,B,前作正方體的截面，貝峨面多邊形的周長的取值范圍是［3VX2+2期

【變式7-1】3.（2022秋?吉林長春?高三長春市第六中學校考期末）棱長為1的正方體

4BCD-AiBiCWi內部有一圓柱。1。2,此圓柱恰好以直線4cl為軸，且圓柱上下底面分別與

正方體中以4,七為公共點的3個面都有一個公共點，以下命題正確的是（）

A.在正方體ABC。-41B1clz內作與圓柱。1。2底面平行的截面，則截面的最大面積為g

B.無論點。1在線段4cl上如何移動，都有BOilBiC

C.圓柱0。2的母線與正方體4BCD-a/iCi%所有的棱所成的角都相等

D.圓柱。1。2外接球體積的最小值為孩

【變式7-1】4.（多選）（2023?全國?高三專題練習）在正方體4BCD—&B1C1%中,

4B=1,點P滿足而=2而+〃無1，其中46[0,1]#e[0,1],則下列結論正確的是（）

A.當B1P〃平面&BD時，B1P與CD1所成夾角可能為方

B.當4=〃時，|而|+|4；P|的最小值為汽造

C.若BiP與平面”山道所成角為點則點P的軌跡長度為與

D.當2=1時，正方體經過點心、P、C的截面面積的取值范圍為[乎，魚]

【變式7-1】5.（多選）（2022?安徽?校聯考二模）在底面邊長為2、高為4的正四棱柱

4BCD—力lBiCWi中，。為棱4遇上一點，且力iO=Ii4P、Q分別為線段當￡?1、&小上的動

點，M為底面4BCD的中心，N為線段加的中點，則下列命題正確的是（）

A.CN與QM共面

B.三棱錐"DMN的體積為g

C.PQ+Q。的最小值為弩

D.當嬴=：前時，過4Q,M三點的平面截正四棱柱所得截面的周長為哈①

【變式7-1]6.（2021浙江溫州統考二模）如圖所示的一塊長方體木料中，已知AB=BC=4,

=1,設E為底面ABCD的中心，且而=AM（0<A<1）,則該長方體中經過點公￡F

的截面面積的最小值為

Bi

題型8代數式最值取值范圍

【例題8】（2022?四川成都?石室中學校考模擬預測）已知正四面體4BCD的棱長為痣P是棱

上任意一點（不與4乃重合），且點P到面和面BCD的距離分別為x,y,則:+和最小值

為

【變式8-1】1.（2019?湖南?高三校聯考階段練習）如圖，在四棱錐P—力BCD中，PD1平

面4BCD,AB1AD,AB//CD,AD=CD=PD=2,AB=1,E,F分另U為棱PC,PB上一點，

若BE與平面PCD所成角的正切值為2,則（4F+EF）2的最小值為

【變式8-1】2.（2022秋?廣東廣州?高三校考期中）正多面體也稱柏拉圖立體（被譽為最

有規律的立體結構）是所有面都只由一種正多邊形構成的多面體（各面都是全等的正多邊

形）.數學家已經證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體、正六面體、正八面體、

正十二面體、正二十面體.已知一個正八面體力BCDEF的棱長都是2（如圖），P、Q分別為

DF、BF的中點，則Q?而=若麗=2話，過點G的直線分別交直線FE、FB于"、N

兩點，設版=癡亞麗=癡討（其中小、九均為正數），則5+；的最小值為

F

【變式8-1】3.（2021?河南?高三校聯考階段練習）在正方體力BCD-&B1C1D1中，點EC

平面A&BiB,點F是線段411的中點，若DiElCF,則當4EBC的面積取得最小值時,

SAEBC

S四邊形ABCO

A--5R0-2rJ—5uD-1—0

【變式8-1】4.（2021?全國?高三專題練習）已知直三棱柱ABC-&BiCi的側棱長為6,且

底面是邊長為2的正三角形，用一平面截此棱柱，與側棱44i，BBi，CQ,分別交于三點

M,N,Q,若4MNQ為直角三角形，則該直角三角形斜邊長的最小值為（）

A.2V2B.3C.2V3D.4

【變式8-1】5.（2019秋?全國?高三專題練習）如圖，在三棱錐P—4BC中，PA、PB、PC

兩兩垂直，且PA=3,PB=2,PC=1.設M是底面ABC內一點，定義f（M）=（爪，n,P),

其中小、n、P分別是三棱錐"―P4B、三棱錐M—PBC、三棱錐M—PC4的體積.若

fW=（1,x,y）,且/+：》18恒成立，則正實數a的最小值為（）

A.1B.2C.3D.4

【變式8-1】6.（2021秋?四川成都?高三石室中學階段練習）如圖，四邊形ABCD是邊長為

1的正方形，EDI平面ABCD,FBI平面ABCD,且ED=FB=1,G為線段EC上的動點,

則下列結論中正確的是

①EC1AF;②該幾何體外接球的表面積為3兀；

③若G為EC中點，則GB〃平面AEF;

@AG2+BG2的最小值為3.

【變式8-1】7.（2020?全國?高三專題練習）已知四面體ABCD的所有棱長都為歷,0是該

四面體內一點，目點O到平面ABC、平面ACD、平面ABD、平面BCD的距離分別為少＜2

和y,則鴻的最小值是.

【變式8-1】8.（2021?全國?高三專題練習）如圖，在矩形力BCD中，AB=4,BC=6.四邊

形4EFG為邊長為2的正方形，現將矩形ABCD沿過點F的動直線/翻折，使翻折后的點C在平

面2EFG上的射影的落在直線48上，若點C在折痕比射影為則笑鈉最小值

為

題型9向量相關最值取值范圍

【例題9】（2021秋?浙江寧波?高三統考期末）在空間直角坐標系中，OA=（2a,2h,0）,05=

（c—1a1）,。為坐標原點，滿足a2+/=i,c2+d2=4,則下列結論中不正確的是

A.DX赤的最小值為-6B.DX我的最大值為10

C|4B|最大值為屬D.|4B|最小值為1

【變式9-1】1.（2021?浙江?模擬預測）正四面體4BCD的棱長為2,半徑為魚的球。過點

D,MN為球。的一條直徑，則4M?力N的最小值是.

【變式9-1】2.（2021春?上海?高三校聯考階段練習）已知％為空間三個向量，又五石是

兩個相互垂直的單位向量，向量不滿足?=3,c-a=2,c-b=l,則對于任意實數x,y,

\c—xa—y瓦的最小值為

【變式9-1】3.侈選）（2023秋?河南?高三校聯考開學考試）已知球。的半徑為2,點4B,C

是球。表面上的定點，且為=麗?瓦=-1,瓦?瓦？=-2,點。是球。表面上的動點，

滿足福?而=0,則（）

A.有且僅有一個點。使得NC4D=30。B.點。到平面4BC的距離為亨

C.存在點。使得BD〃平面AOCD.而?麗的取值范圍為[-2,2]

【變式9-1】4.（2021?湖南長沙?高三長郡中學階段練習）已知半徑為1的球。內切于正四

面體4-BCD,線段MN是球。的一條動直徑（M,N是直徑的兩端點），點P是正四面體力-BCD

的表面上的一個動點，則兩?麗的取值范