山西省運城市2024-2025學年高一下學期開學考試數學學情檢測試題考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2．答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內項目填寫清楚.3．考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效在試題卷、草稿紙上作答無效.4．本卷命題范圍：人教A版必修第一冊.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知命題“”，則的否定是（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，把任意改為存在，把結論否定.【詳解】的否定是“”．故選：A．2.已知集合，則（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】直接根據交集定義求解.【詳解】因為，所以．故選：D．3.（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】利用誘導公式進行求解【詳解】故選：A．4.下列條件中，是“”的充分不必要條件的是（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】利用充分不必要條件的定義即可判斷.【詳解】因為是的真子集，即由能推出，而推不出，所以“”充分不必要條件的是“”．故選：C．5.設，的大小關系是（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】找中間值0和1，通過函數性質得到，，，即可得到結果.【詳解】因為函數在上單調遞增，且，所以，即；因為函數在上單調遞減，且，所以，即；因為函數在上單調遞增，且，所以，即；所以．故選：B．6.已知，，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據兩角和（差）的余弦公式得到方程組，求出、，再根據同角三角函數的基本關系計算可得.【詳解】因，，所以，解得，所以.故選：A.7.函數的零點的個數為（）A.0 B.1 C.2 D.3【正確答案】C【分析】將的零點個數轉化為函數和的圖象的交點個數.【詳解】令，則，在同一坐標系下分別畫出函數的圖象，因為，，在定義域上都是增函數，且隨著自變量的增大，函數的增長速度遠大于的增長速度，所以的圖象有兩個交點，所以的零點個數為2.故選：C.8.某合作社需要分裝一批蔬菜.已知這批蔬菜只由一名男社員分裝時，需要12天完成，只由一名女社員分裝時，需要18天完成.為了讓市民盡快吃到這批蔬菜，要求一天內分裝完畢.由于現有的男?女社員人數都不足以單獨完成任務，所以需要若干名男社員和若干名女社員共同分裝.已知分裝這種蔬菜時會不可避免地造成一些損耗.根據以往經驗，這批蔬菜分裝完畢后，參與任務的所有男社員會損耗蔬菜共80千克，參與任務的所有女社員會損耗蔬菜共30千克.則參與分裝蔬菜的男社員的平均損耗蔬菜量（千克）與女社員的平均損耗蔬菜量（千克）之和的最小值為（）A.10 B.15 C.30 D.45【正確答案】B【分析】根據題意，得到，平均損耗蔬菜量之和為，結合基本不等式，即可求解.【詳解】設安排男社員名，女社員名，根據題意，可得，平均損耗蔬菜量之和為，則，當且僅當，即時等號成立，則分裝蔬菜的男社員的平均損耗蔬菜量（千克）與女社員的平均損耗蔬菜量（千克）之和的最小值為15.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列命題為假命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【正確答案】ACD【分析】對于A：舉例分析判斷；對于BC：根據不等式的性質分析判斷；對于D：根據不等式的性質結合作差法分析判斷.【詳解】對于選項A：例如，則，故A為假命題；對于選項B：若，則，即，故B為真命題；對于選項C：若，則，可得，故C為假命題；對于選項D：因為，則，所以，故D為假命題；故選：ACD.10.已知函數（，，）的部分圖象如所示，則（）A. B. C. D.【正確答案】BC【分析】由題意，解方程組即可判斷AB，由可判斷C，由對稱中心結合即可判斷D.【詳解】由圖形可知，解得，，A錯誤，B正確；因為，所以，又，所以，C正確；，由五點作圖法可知，，又，所以，D錯誤．故選：BC．11.已知函數的定義域均為，是偶函數，且，若，則（）A. B.的圖象關于點中心對稱C. D.【正確答案】ABC【分析】根據題意，先得，再利用賦值法求，進一步求，判斷A；再推得，，可得對稱性和周期性，判斷BC；由以上分析可知，再結合周期性判斷D.【詳解】因為是偶函數，所以，所以．當時，，又，所以，所以，所以，故A正確；由，得，兩式相減得，所以，又，所以，即，所以的圖象關于點中心對稱，故B正確；，所以是以6為周期的周期函數，所以，故C正確；由以上分析可知，，D不正確．故選：ABC．方法點睛：（1）涉及抽象函數的求值問題，往往采用賦值法，即令x取特殊值；（2）涉及到抽象函數的奇偶性、對稱性以及周期性問題，往往要結合賦值和相應的定義去解決.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知角的始邊與軸非負半軸重合，終邊過點，則______．【正確答案】【分析】根據正切函數的定義求解.【詳解】根據題意，可知.故13.已知函數，且的圖象恒過點，則函數的單調遞減區間為____________________.【正確答案】【分析】先由指數函數性質求點的坐標，再結合對數函數單調性，二次函數單調性及復合函數單調性判斷方法求結論.【詳解】當時，得，所以的圖象過定點，即，所以，令，解得或，函數在上單調遞減，在上單調遞增，又在上單調遞增，所以在上單調遞減，即的單調遞減區間為.故答案為.14.已知函數，，若對任意，都存在，使得，則實數m的取值范圍是______．【正確答案】【分析】對任意，都存在，使得，只需即可，分別求出在的最大值及在上的最大值，則答案可求.【詳解】，在上單調遞減，在上單調遞增，所以當時，，在R上單調遞減，所以當時，，因為對任意，都存在，使得，所以只需即可，即，解得，即m的取值范圍是．故答案為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知．（1）求的值；（2）求的值【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用誘導公式將題干化簡，即可求得（2）對所求的式子兩邊同時除以，再將（1）得到得結果代入即可.【小問1詳解】由誘導公式，以及，所以原式，即【小問2詳解】將分子分母同時除以（因為，否則無意義），所以，又由（1）知代入上式得故16.已知定義在上的偶函數滿足：當時，．（1）求的解析式；（2）用函數單調性的定義證明：函數在區間上單調遞增，【正確答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）利用和時的解析式，求出時的解析式，從而得到答案；（2）定義法證明函數單調性步驟，取點，作差，變形判號，下結論.【小問1詳解】設，有，所以，又函數為偶函數，故，從而有的解析式為【小問2詳解】證明：，不妨設，，又在區間上單調遞增，，，易知，，即因此函數在區間上單調遞增．17.已知函數在區間上的最大值為3.（1）求A的值并解不等式；（2）將函數圖象上所有的點向下平移1個單位長度，再向右平移個單位長度，得到函數的圖象，若，且求的值.【正確答案】（1），（2）【分析】（1）根據最值得到，再根據正弦型函數性質解出不等式即可；（2）根據平移原則得到，再根據其對稱性得到值.【小問1詳解】由，得，則，解得，所以，若，即，即，所以，解得，故不等式的解集為.【小問2詳解】由圖象平移過程知，若，則，而在上單調遞減，在上單調遞增，顯然兩側關于對稱，若，且，則，可得，所以.18.（1）是否存在一個函數的圖象有無限多個對稱中心？若存在，給出一個這樣的函數解析式；若不存在，請說明理由；（2）運用結論“函數的圖象關于點成中心對稱圖形的充要條件是函數為奇函數”解答下列問題：①證明：的圖象是關于點成中心對稱的圖形；②求的圖象的對稱中心.【正確答案】（1）存在，；（2）①證明見解析；②【分析】（1）根據對稱中心定義求解；（2）①利用給出的結論求解，②先猜出的圖象的對稱中心是，再利用給出的結論證明.【詳解】（1）存在，例如函數，其圖象上任意一點皆為該圖象的對稱中心.（2）①證明：，而為奇函數，即為奇函數，所以函數的圖象是關于點成中心對稱的圖形.②的圖象的對稱中心是.理由如下：，令，定義域為，關于原點對稱.所以，，所以為奇函數，所以圖象的對稱中心的坐標是.19.已知有限集，如果中的元素滿足，就稱為“完美集”.（1）判斷：集合是否是“完美集”并說明理由；（2）、是兩個不同的正數，且是“完美集”，求證：、至少有一個大于；（3）若為正整數，求：“完美集”【正確答案】（1）是，理由見解析（2）證明見解析（3）【分析】（1）根據“完美集”的定義，進行判斷即可；（2）根據“完美集”的定義，結合集合的運算，以及一元二次方程的性質進行求解即可；（3）設中，得到，分，，進行分類討論.【小問1詳解】由，，所以集合是“完美集”；小問2詳解】若、