PAGEPAGE1第四節(jié)古典概型與幾何概型[最新考綱]1.理解古典概型及其概率計(jì)算公式.2.會(huì)計(jì)算一些隨機(jī)事務(wù)所包含的基本領(lǐng)件數(shù)及事務(wù)發(fā)生的概率.3.了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)概率.4.了解幾何概型的意義．1．古典概型具有以下兩個(gè)特征的隨機(jī)試驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型稱為古典概型(古典的概率模型)．(1)試驗(yàn)的全部可能結(jié)果只有有限個(gè)，每次試驗(yàn)只出現(xiàn)其中的一個(gè)結(jié)果；(2)每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同．2．古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(事務(wù)A包含的可能結(jié)果數(shù),試驗(yàn)的全部可能結(jié)果數(shù))＝eq\f(m,n).3．幾何概型(1)向平面上有限區(qū)域(集合)G內(nèi)隨機(jī)地投擲點(diǎn)M，若點(diǎn)M落在子區(qū)域G1G的概率與G1的面積成正比，而與G的形態(tài)、位置無(wú)關(guān)，即P(點(diǎn)M落在G1)＝eq\f(G1的面積,G的面積)，則稱這種模型為幾何概型．(2)幾何概型中的G也可以是空間中或直線上的有限區(qū)域，相應(yīng)的概率是體積之比或長(zhǎng)度之比．eq\a\vs4\al([常用結(jié)論])幾種常見的幾何概型(1)與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型，其基本領(lǐng)件只與一個(gè)連續(xù)的變量有關(guān)；(2)與面積有關(guān)的幾何概型，其基本領(lǐng)件與兩個(gè)連續(xù)的變量有關(guān)，若已知圖形不明確，可將兩個(gè)變量分別作為一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，這樣基本領(lǐng)件就構(gòu)成了平面上的一個(gè)區(qū)域，即可借助平面區(qū)域解決問題；(3)與體積有關(guān)的幾何概型，可借助空間幾何體的體積公式解答問題．一、思索辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)隨機(jī)模擬方法是以事務(wù)發(fā)生的頻率估計(jì)概率．()(2)從區(qū)間[1,10]內(nèi)任取一個(gè)數(shù)，取到1的概率是eq\f(1,10).()(3)概率為0的事務(wù)肯定是不行能事務(wù)．()(4)從市場(chǎng)上出售的標(biāo)準(zhǔn)為500±5g[答案](1)√(2)×(3)×(4)×二、教材改編1．一枚硬幣連擲2次，只有一次出現(xiàn)正面的概率為()A．eq\f(2,3) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)D[一枚硬幣連擲2次可能出現(xiàn)(正，正)、(反，反)、(正，反)、(反，正)四種狀況，只有一次出現(xiàn)正面的狀況有兩種，故P＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).]2．某路公共汽車每5分鐘發(fā)車一次，某乘客到乘車點(diǎn)的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他候車時(shí)間不超過2分鐘的概率是()A.eq\f(3,5) B．eq\f(4,5)C.eq\f(2,5) D．eq\f(1,5)C[試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度為5，所求事務(wù)的區(qū)域長(zhǎng)度為2，故所求概率為P＝eq\f(2,5).]3．袋中裝有6個(gè)白球，5個(gè)黃球，4個(gè)紅球，從中任取一球，則取到白球的概率為()A．eq\f(2,5) B．eq\f(4,15)C．eq\f(3,5) D．eq\f(2,3)A[從袋中任取一球，有15種取法，其中取到白球的取法有6種，則所求概率為P＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).]4．同時(shí)擲兩個(gè)骰子，向上點(diǎn)數(shù)不相同的概率為________．eq\f(5,6)[擲兩個(gè)骰子一次，向上的點(diǎn)數(shù)共6×6＝36(種)可能的結(jié)果，其中點(diǎn)數(shù)相同的結(jié)果共有6種，所以點(diǎn)數(shù)不相同的概率P＝1－eq\f(6,36)＝eq\f(5,6).]考點(diǎn)1簡(jiǎn)潔的古典概型計(jì)算古典概型事務(wù)的概率可分3步(1)計(jì)算基本領(lǐng)件總個(gè)數(shù)n.(2)計(jì)算事務(wù)A所包含的基本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)m.(3)代入公式求出概率P.提示：解題時(shí)可依據(jù)須要敏捷選擇列舉法、列表法或樹形圖法．(1)甲在微信群中發(fā)布6元“拼手氣”紅包一個(gè)，被乙、丙、丁三人搶完．若三人均領(lǐng)到整數(shù)元，且每人至少領(lǐng)到1元，則乙獲得“手氣最佳”(即乙領(lǐng)取的錢數(shù)不少于其他任何人)的概率是()A.eq\f(3,4) B．eq\f(1,3)C.eq\f(3,10) D．eq\f(2,5)(2)(2024·全國(guó)卷Ⅱ)從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于其次張卡片上的數(shù)的概率為()A.eq\f(1,10) B．eq\f(1,5)C.eq\f(3,10) D．eq\f(2,5)(3)(2024·全國(guó)卷Ⅰ)我國(guó)古代典籍《周易》用“卦”描述萬(wàn)物的改變．每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽(yáng)爻“——”和陰爻“－－”，如圖就是一重卦．在全部重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有3個(gè)陽(yáng)爻的概率是()A.eq\f(5,16) B．eq\f(11,32)C.eq\f(21,32) D．eq\f(11,16)(1)D(2)D(3)A[(1)用(x，y，z)表示乙、丙、丁搶到的紅包分別為x元、y元、z元．乙、丙、丁三人搶完6元錢的全部不同的可能結(jié)果有10種，分別為(1,1,4)，(1,4,1)，(4,1,1)，(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)，(2,2,2)．乙獲得“手氣最佳”的全部不同的可能結(jié)果有4種，分別為(4,1,1)，(3,1,2)，(3,2,1)，(2,2,2)．依據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式，得乙獲得“手氣最佳”的概率P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).(2)從5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張的狀況如圖：基本領(lǐng)件總數(shù)為25，第一張卡片上的數(shù)大于其次張卡片上的數(shù)的事務(wù)數(shù)為10，∴所求概率P＝eq\f(10,25)＝eq\f(2,5).故選D.(3)由6個(gè)爻組成的重卦種數(shù)為26＝64，在全部重卦中隨機(jī)取一重卦，該重卦恰有3個(gè)陽(yáng)爻的種數(shù)為Ceq\o\al(3,6)＝eq\f(6×5×4,6)＝20.依據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式得，所求概率P＝eq\f(20,64)＝eq\f(5,16).故選A.]古典概型中基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)的探求方法(1)枚舉法：適合于給定的基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)較少且易一一列舉出的問題．(2)樹狀圖法：適合于較為困難的問題，留意在確定基本領(lǐng)件時(shí)(x，y)可看成是有序的，如(1,2)與(2,1)不同，有時(shí)也可看成是無(wú)序的，如(1,2)與(2,1)相同．(3)排列組合法：在求一些較困難的基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)時(shí)，可利用排列或組合的學(xué)問．[老師備選例題]1．設(shè)平面對(duì)量a＝(m,1)，b＝(2，n)，其中m，n∈{1,2,3,4}，記“a⊥(a－b)”為事務(wù)A，則事務(wù)A發(fā)生的概率為()A.eq\f(1,8) B．eq\f(1,4)C.eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)A[有序數(shù)對(duì)(m，n)的全部可能結(jié)果為：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16個(gè)．由a⊥(a－b)，得m2－2m＋1－n＝0，即n＝(m－1)2，由于m，n∈{1,2,3,4}，故事務(wù)A包含的基本領(lǐng)件為(2,1)和(3,4)，共2個(gè)，所以所求的概率P(A)＝eq\f(2,16)＝eq\f(1,8).]2．用1,2,3,4,5組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，若用a1，a2，a3，a4，a5分別表示五位數(shù)的萬(wàn)位、千位、百位、十位、個(gè)位，則出現(xiàn)a1＜a2＜a3＞a4＞a5特征的五位數(shù)的概率為________．eq\f(1,20)[1,2,3,4,5可組成Aeq\o\al(5,5)＝120個(gè)不同的五位數(shù)，其中滿意題目條件的五位數(shù)中，最大的5必需排在中間，左、右各兩個(gè)數(shù)字只要選出，則排列位置就隨之而定，滿意條件的五位數(shù)有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝6個(gè)，故出現(xiàn)a1＜a2＜a3＞a4＞a5特征的五位數(shù)的概率為eq\f(6,120)＝eq\f(1,20).]1.(2024·武漢模擬)將7個(gè)相同的小球投入甲、乙、丙、丁4個(gè)不同的小盒中，每個(gè)小盒中至少有1個(gè)小球，那么甲盒中恰好有3個(gè)小球的概率為()A.eq\f(3,10) B．eq\f(2,5)C.eq\f(3,20) D．eq\f(1,4)C[將7個(gè)相同的小球投入甲、乙、丙、丁4個(gè)不同的小盒中，每個(gè)小盒中至少有1個(gè)小球有Ceq\o\al(3,6)種放法，甲盒中恰好有3個(gè)小球有Ceq\o\al(2,3)種放法，結(jié)合古典概型的概率計(jì)算公式得所求概率為eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,20).故選C.]2．已知a∈{0,1,2}，b∈{－1,1,3,5}，則函數(shù)f(x)＝ax2－2bx在區(qū)間(1，＋∞)上為增函數(shù)的概率是()A.eq\f(5,12) B．eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D．eq\f(1,6)A[∵a∈{0,1,2}，b∈{－1,1,3,5}，∴基本領(lǐng)件總數(shù)n＝3×4＝12.函數(shù)f(x)＝ax2－2bx在區(qū)間(1，＋∞)上為增函數(shù)，①當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝－2bx，符合條件的只有(0，－1)，即a＝0，b＝－1；②當(dāng)a≠0時(shí)，須要滿意eq\f(b,a)≤1，符合條件的有(1，－1)，(1,1)，(2，－1)，(2,1)，共4種．∴函數(shù)f(x)＝ax2－2bx在區(qū)間(1，＋∞)上為增函數(shù)的概率是P＝eq\f(5,12).]考點(diǎn)2古典概型與統(tǒng)計(jì)的綜合求解古典概型的交匯問題，關(guān)鍵是把相關(guān)的學(xué)問轉(zhuǎn)化為事務(wù)，然后利用古典概型的有關(guān)學(xué)問解決，其解題流程為：eq\x(化事務(wù))eq\x(將題目條件中的相關(guān)學(xué)問轉(zhuǎn)化為事務(wù))eq\x(辨概型)eq\x(推斷事務(wù)是古典概型還是其他概型)eq\x(列事務(wù))eq\x(選用合適的方法列舉基本領(lǐng)件)eq\x(求概率)eq\x(代入相應(yīng)的概率公式求解)(2024·天津高考)2024年，我國(guó)施行個(gè)人所得稅專項(xiàng)附加扣除方法，涉及子女教化、接著教化、大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等六項(xiàng)專項(xiàng)附加扣除．某單位老、中、青員工分別有72,108,120人，現(xiàn)采納分層抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取25人調(diào)查專項(xiàng)附加扣除的享受狀況．(1)應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少兩項(xiàng)專項(xiàng)附加扣除的員工有6人，分別記為A，B，C，D，E，F(xiàn).享受狀況如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽取2人接受采訪．員工項(xiàng)目ABCDEF子女教化○○×○×○接著教化××○×○○大病醫(yī)療×××○××住房貸款利息○○××○○住房租金××○×××贍養(yǎng)老人○○×××○(ⅰ)試用所給字母列舉出全部可能的抽取結(jié)果；(ⅱ)設(shè)M為事務(wù)“抽取的2人享受的專項(xiàng)附加扣除至少有一項(xiàng)相同”，求事務(wù)M發(fā)生的概率．[解](1)由已知，老、中、青員工人數(shù)之比為6∶9∶10，由于采納分層抽樣的方法從中抽取25位員工，因此應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取6人，9人，10人．(2)(ⅰ)從已知的6人中隨機(jī)抽取2人的全部可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F(xiàn)}，{C，D}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{D，E}，{D，F(xiàn)}，{E，F(xiàn)}，共15種．(ⅱ)由表格知，符合題意的全部可能結(jié)果為{A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{B，D}，{B，E}，{B，F(xiàn)}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{D，F(xiàn)}，{E，F(xiàn)}，共11種．所以，事務(wù)M發(fā)生的概率P(M)＝eq\f(11,15).有關(guān)古典概型與統(tǒng)計(jì)結(jié)合的題型是高考考查概率的一個(gè)重要題型，已成為高考考查的熱點(diǎn)，概率與統(tǒng)計(jì)的結(jié)合題，無(wú)論是干脆描述還是利用概率分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖等給出信息，精確從題中提煉信息是解題的關(guān)鍵．[老師備選例題]某縣共有90個(gè)農(nóng)村淘寶服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)，隨機(jī)抽取6個(gè)網(wǎng)點(diǎn)統(tǒng)計(jì)其元旦期間的網(wǎng)購(gòu)金額(單位：萬(wàn)元)的莖葉圖如圖所示，其中莖為十位數(shù)，葉為個(gè)位數(shù)．(1)依據(jù)莖葉圖計(jì)算樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)；(2)若網(wǎng)購(gòu)金額(單位：萬(wàn)元)不小于18的服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)定義為優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)，其余為非優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)，依據(jù)莖葉圖推斷這90個(gè)服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)中優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(3)從隨機(jī)抽取的6個(gè)服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)中再任取2個(gè)作網(wǎng)購(gòu)商品的調(diào)查，求恰有1個(gè)網(wǎng)點(diǎn)是優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)的概率．[解](1)由題意知，樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)eq\x\to(x)＝eq\f(4＋6＋12＋12＋18＋20,6)＝12.(2)樣本中優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)有2個(gè)，概率為eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，由此估計(jì)這90個(gè)服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)中優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)有90×eq\f(1,3)＝30(個(gè))．(3)樣本中優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)有2個(gè)，分別記為a1，a2，非優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)有4個(gè)，分別記為b1，b2，b3，b4，從隨機(jī)抽取的6個(gè)服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)中再任取2個(gè)的可能狀況有：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b2，b3)，(b2，b4)，(b3，b4)，共15種，記“恰有1個(gè)是優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)”為事務(wù)M，則事務(wù)M包含的可能狀況有：(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，共8種，故所求概率P(M)＝eq\f(8,15).移動(dòng)公司擬在國(guó)慶期間推出4G套餐，對(duì)國(guó)慶節(jié)當(dāng)日辦理套餐的客戶進(jìn)行實(shí)惠，實(shí)惠方案如下：選擇套餐1的客戶可獲得實(shí)惠200元，選擇套餐2的客戶可獲得實(shí)惠500元，選擇套餐3的客戶可獲得實(shí)惠300元．國(guó)慶節(jié)當(dāng)天參與活動(dòng)的人數(shù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖所示，現(xiàn)將頻率視為概率．(1)求從中任選1人獲得實(shí)惠金額不低于300元的概率；(2)若采納分層抽樣的方式從參與活動(dòng)的客戶中選出6人，再?gòu)脑?人中隨機(jī)選出2人，求這2人獲得相等實(shí)惠金額的概率．[解](1)設(shè)事務(wù)A為“從中任選1人獲得實(shí)惠金額不低于300元”，則P(A)＝eq\f(150＋100,50＋150＋100)＝eq\f(5,6).(2)設(shè)事務(wù)B為“從這6人中選出2人，他們獲得相等實(shí)惠金額”，由題意按分層抽樣方式選出的6人中，獲得實(shí)惠200元的有1人，獲得實(shí)惠500元的有3人，獲得實(shí)惠300元的有2人，分別記為a1，b1，b2，b3，c1，c2，從中選出2人的全部基本領(lǐng)件如下：a1b1，a1b2，a1b3，a1c1，a1c2，b1b2，b1b3，b1c1，b1c2，b2b3，b2c1，b2c2，b3c1，b其中使得事務(wù)B成立的有b1b2，b1b3，b2b3，c1c2，共4個(gè)．則P(B)＝eq\f(4,15).故這2人獲得相等實(shí)惠金額的概率為eq\f(4,15).考點(diǎn)3幾何概型與長(zhǎng)度、角度有關(guān)的幾何概型求與長(zhǎng)度(角度)有關(guān)的幾何概型的概率的方法是把題中所表示的幾何模型轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)度(角度)，然后求解．要特殊留意“長(zhǎng)度型”與“角度型”的不同，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建事務(wù)的區(qū)域(長(zhǎng)度或角度)．在等腰Rt△ABC中，直角頂點(diǎn)為C.(1)在斜邊AB上任取一點(diǎn)M，求|AM|<|AC|的概率；(2)在∠ACB的內(nèi)部，以C為端點(diǎn)任作一條射線CM，與線段AB交于點(diǎn)M，求|AM|<|AC|的概率．[解](1)如圖所示，在AB上取一點(diǎn)C′，使|AC′|＝|AC|，連接CC′.由題意，知|AB|＝eq\r(2)|AC|.由于點(diǎn)M是在斜邊AB上任取的，所以點(diǎn)M等可能分布在線段AB上，因此基本領(lǐng)件的區(qū)域應(yīng)是線段AB.所以P(|AM|<|AC|)＝eq\f(|AC′|,|AB|)＝eq\f(|AC|,\r(2)|AC|)＝eq\f(\r(2),2).(2)由于在∠ACB內(nèi)以C為端點(diǎn)任作射線CM，所以CM等可能分布在∠ACB內(nèi)的任一位置(如圖所示)，因此基本領(lǐng)件的區(qū)域應(yīng)是∠ACB，所以P(|AM|<|AC|)＝eq\f(∠ACC′,∠ACB)＝eq\f(\f(π－\f(π,4),2),\f(π,2))＝eq\f(3,4).當(dāng)涉及射線的轉(zhuǎn)動(dòng)、扇形中有關(guān)落點(diǎn)區(qū)域的問題時(shí)，應(yīng)以角度作為區(qū)域的度量來(lái)計(jì)算概率，切不行用線段的長(zhǎng)度代替．1.某公司的班車在7：00,8：00,8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車時(shí)間不超過10分鐘的概率是()A.eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)B[如圖所示，畫出時(shí)間軸．小明到達(dá)的時(shí)間會(huì)隨機(jī)的落在圖中線段AB中，而當(dāng)他的到達(dá)時(shí)間落在線段AC或DB上時(shí)，才能保證他等車的時(shí)間不超過10分鐘，依據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式，得所求概率P＝eq\f(10＋10,40)＝eq\f(1,2)，故選B.]2.如圖，四邊形ABCD為矩形，AB＝eq\r(3)，BC＝1，以A為圓心，1為半徑作四分之一個(gè)圓弧eq\o\ac(DE,\s\up18(︵))，在∠DAB內(nèi)任作射線AP，則射線AP與線段BC有公共點(diǎn)的概率為________．eq\f(1,3)[因?yàn)樵凇螪AB內(nèi)任作射線AP，所以它的全部等可能事務(wù)所在的區(qū)域是∠DAB，當(dāng)射線AP與線段BC有公共點(diǎn)時(shí)，射線AP落在∠CAB內(nèi)，則區(qū)域?yàn)椤螩AB，所以射線AP與線段BC有公共點(diǎn)的概率為eq\f(∠CAB,∠DAB)＝eq\f(30°,90°)＝eq\f(1,3).]與面積有關(guān)的幾何概型求解與面積有關(guān)的幾何概型的留意點(diǎn)求解與面積有關(guān)的幾何概型時(shí)，關(guān)鍵是弄清某事務(wù)對(duì)應(yīng)的面積，必要時(shí)可依據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)變量，把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo)，找到全部試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解．(1)(2024·全國(guó)卷Ⅱ)從區(qū)間[0,1]隨機(jī)抽取2n個(gè)數(shù)x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，構(gòu)成n個(gè)數(shù)對(duì)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對(duì)共有m個(gè)，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率π的近似值為()A.eq\f(4n,m) B．eq\f(2n,m)C.eq\f(4m,n) D．eq\f(2m,n)(2)(2024·太原聯(lián)考)甲、乙二人約定7：10在某處會(huì)面，甲在7：00～7：20內(nèi)某一時(shí)刻隨機(jī)到達(dá)，乙在7：05～7：20內(nèi)某一時(shí)刻隨機(jī)到達(dá)，則甲至少需等待乙5分鐘的概率是()A.eq\f(1,8) B．eq\f(1,4)C.eq\f(3,8) D．eq\f(5,8)(3)(2024·全國(guó)卷Ⅰ)如圖來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所探討的幾何圖形．此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC.△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ.在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為p1，p2，p3，則()A．p1＝p2 B．p1＝p3C．p2＝p3 D．p1＝p2＋p3(1)C(2)C(3)A[(1)因?yàn)閤1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn都在區(qū)間[0,1]內(nèi)隨機(jī)抽取，所以構(gòu)成的n個(gè)數(shù)對(duì)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)都在正方形OABC內(nèi)(包括邊界)，如圖所示．若兩數(shù)的平方和小于1，則對(duì)應(yīng)的數(shù)對(duì)在扇形OAC內(nèi)(不包括扇形圓弧上的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)對(duì))，故在扇形OAC內(nèi)的數(shù)對(duì)有m個(gè)．用隨機(jī)模擬的方法可得eq\f(S扇形,S正方形)＝eq\f(m,n)，即eq\f(π,4)＝eq\f(m,n)，所以π＝eq\f(4m,n).(2)建立平面直角坐標(biāo)系如圖，x，y分別表示甲、乙二人到達(dá)的時(shí)刻，則坐標(biāo)系中每個(gè)點(diǎn)(x，y)可對(duì)應(yīng)甲、乙二人到達(dá)時(shí)刻的可能性，則甲至少等待乙5分鐘應(yīng)滿意的條件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－x≥5，,0≤x≤20，,5≤y≤20，))其構(gòu)成的區(qū)域?yàn)槿鐖D陰影部分，則所求的概率P＝eq\f(\f(1,2)×15×15,20×15)＝eq\f(3,8).(3)設(shè)直角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則區(qū)域Ⅰ的面積即△ABC的面積，為S1＝eq\f(1,2)bc，區(qū)域Ⅱ的面積S2＝eq\f(1,2)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)))2＋eq\f(1,2)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)))2－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2,2)－\f(1,2)bc))＝eq\f(1,8)π(c2＋b2－a2)＋eq\f(1,2)bc＝eq\f(1,2)bc，所以S1＝S2，由幾何概型的學(xué)問知p1＝p2，故選A.](1)求解由兩個(gè)量確定的概率問題時(shí)，通過建立坐標(biāo)系，借助于縱、橫坐標(biāo)關(guān)系產(chǎn)生的區(qū)域面積，得到問題的結(jié)論，我們稱此類問題為“約會(huì)型”概率問題．“約會(huì)型”概率問題的求解關(guān)鍵在于合理、恰當(dāng)?shù)匾胱兞浚賹⒃敿?xì)問題“數(shù)學(xué)化”，通過建立數(shù)學(xué)模型，得出結(jié)論．(2)幾何概型與平面幾何的交匯問題要利用平面幾何的相關(guān)學(xué)問，先確定基本領(lǐng)件對(duì)應(yīng)區(qū)域的形態(tài)，再選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ê凸剑?jì)算出其面積，進(jìn)而代入公式求概率．1.如圖所示，矩形長(zhǎng)為6，寬為4，在矩形內(nèi)隨機(jī)地撒300顆黃豆，數(shù)得落在橢圓外的黃豆為96顆，以此試驗(yàn)數(shù)據(jù)為依據(jù)估計(jì)橢圓的面積為()A．7.68 B．8.68C．16.32 D．17.32C[由隨機(jī)模擬的思想方法，可得黃豆落在橢圓內(nèi)的概率為eq\f(300－96,300)＝0.68.由幾何概型的概率計(jì)算公式，可得eq\f(S橢圓,S矩形)＝0.68，而S矩形＝6×4＝24，則S橢圓＝0.68×24＝16.32.]2．已知實(shí)數(shù)m∈[0,1]，n∈[0,2]，則關(guān)于x的一元二次方程4x2＋4mx－n2＋2n＝0有實(shí)數(shù)根的概率是()A．1－eq\f(π,4) B．eq\f(π,4)C．eq\f(π－3,2) D．eq\f(π,2)－1A[方程有實(shí)數(shù)根，即Δ＝16m2－16(－n2＋2n)≥0，m2＋n2－2n≥0，m2＋(n－1)2≥1，畫出圖形如圖所示，長(zhǎng)方形面積為2，半圓的面積為eq\f(π,2)，故概率為eq\f(2－\f(π,2),2)＝1－eq\f(π,4).]與體積有關(guān)的幾何概型對(duì)于與體積有關(guān)的幾何概型問題，關(guān)鍵是計(jì)算問題的總體積(總空間)以及事務(wù)的體積(事務(wù)空間)，對(duì)于某些較困難的也可利用其對(duì)立事務(wù)去求．已知在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PA＝AB＝2，現(xiàn)在該四棱錐內(nèi)部或表面任取一點(diǎn)O，則四棱錐O-ABCD的體積不小于eq\f(2,3)的概率為________．

eq\f(27,64)[當(dāng)四棱錐O-ABCD的體積為eq\f(2,3)時(shí)，設(shè)O到平面ABCD的距離為h，則eq\f(1,3)×22×h＝eq\f(2,3)，解得h＝eq\f(1,2).如圖所示，在四棱錐P-ABCD內(nèi)作平面EFGH平行于底面ABCD，且平面EFGH與底面ABCD的距離為eq\f(1,2).因?yàn)镻A⊥底面ABCD，且PA＝2，所以eq\f(PH,PA)＝eq\f(3,4)，所以四棱錐O-ABCD的體積不小于eq\f(2,3)的概率P＝eq\f(V四棱錐P-EFGH,V四棱錐P-ABCD)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(PH,PA)))3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))3＝eq\f(27,64).]求解本題的關(guān)鍵是找到四棱錐O-ABCD的體積為eq\f(2,3)時(shí)的點(diǎn)O對(duì)應(yīng)的平面EFGH，然后借助比例關(guān)系計(jì)算體積比例，進(jìn)而得出概率值．[老師備選例題]1．小李從網(wǎng)上購(gòu)買了一件商品，快遞員支配在下午5：00到6：00之間送貨上門，已知小李下班到家的時(shí)間在下午5：30到6：00之間．快遞員到小李家時(shí)，假如小李未到家，則快遞員會(huì)電話聯(lián)系小李．若小李能在10分鐘之內(nèi)到家，則快遞員等小李回來(lái)；否則，就將商品存放在快遞柜中．則小李須要去快遞柜領(lǐng)取商品的概率為()A.eq\f(1,9) B．eq\f(8,9)C.eq\f(5,12) D．eq\f(7,12)D[如圖，設(shè)快遞員和小李分別在下午5點(diǎn)后過了x分鐘和y分鐘到小李家，則全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧(x，y)|0≤x≤60,30≤y≤60}，這是一個(gè)矩形區(qū)域，y－x＞10表示小李比快遞員晚到超過10分鐘，事務(wù)M表示小李須要去快遞柜領(lǐng)取商品，其所構(gòu)成的區(qū)域是如圖所示的直角梯形ABCD的內(nèi)部區(qū)域及邊界(不包含AB)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝60，,y＝x＋10，))可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝50，,y＝60，))即A(50,60)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝30，,y＝x＋10，))可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝20，,y＝30，))即B(20,30)，所以由幾何概型的概率計(jì)算公式可知P(M)＝eq\f(\f(1,2)×50＋20×30,60×30)＝eq\f(7,12)，故選D.]2．已知正三棱錐S-ABC的底面邊長(zhǎng)為4，高為3，在正三棱錐內(nèi)任取一點(diǎn)P，使得VP-ABC＜eq\f(1,2)VS-ABC的概率是()A.eq\f(7,8) B．eq\f(3,4)C.eq\f(1,2) D．eq\f(1,4)A[由題意知，當(dāng)點(diǎn)P在三棱錐的中截面A′B′C′以下時(shí)，滿意VP-ABC<eq\f(1,2)VS-ABC，又V錐S-A′B′C′＝eq\f(1,2)×eq\f(1,4)V錐S-ABC＝eq\f(1,8)V錐S-ABC.∴事務(wù)“VP-ABC<eq\f(1,2)VS-ABC”的概率P＝eq\f(V合體A′B′C′-ABC,V錐S-ABC)＝eq\f(V錐S-ABC－V錐S-A′B′C′,V錐S-ABC)＝eq\f(7,8).]1.在5升水中有一個(gè)病毒，現(xiàn)從中隨機(jī)地取出1升水，含有病毒的概率是________．eq\f(1,5)[“取出1升水，其中含有病毒”這一事務(wù)記作事務(wù)A，則P(A)＝eq\f(取出水的體積,全部水的體積)＝eq\f(1,5).從而所求的概率為eq\f(1,5).]2．在一個(gè)球內(nèi)有一棱長(zhǎng)為1的內(nèi)接正方體，一動(dòng)點(diǎn)在球內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則此點(diǎn)落在正方體內(nèi)部的概率為()A．eq\f(6,π) B．eq\f(3,2)πC．eq\f(3,π) D．eq\f(2\r(3),3π)D[由題意可知這是一個(gè)幾何概型，棱長(zhǎng)為1的正方體的體積V1＝1，球的直徑是正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)，故球的半徑R＝eq\f(\r(3),2)，球的體積V2＝eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))3＝eq\f(\r(3),2)π，則此點(diǎn)落在正方體內(nèi)部的概率P＝eq\f(V1,V2)＝eq\f(2\r(3),3π).]課外素養(yǎng)提升⑨數(shù)學(xué)建模——數(shù)學(xué)文化與概率數(shù)學(xué)文化是國(guó)家文化素養(yǎng)教化的重要組成部分，縱觀近幾年高考，概率統(tǒng)計(jì)部分以數(shù)學(xué)文化為背景的問題，層出不窮，讓人耳目一新．同時(shí)它也使考生們受困于背景生疏，閱讀受阻，使思路無(wú)法打開．下面通過對(duì)典型例題的剖析，讓同學(xué)們?cè)黾訉?duì)數(shù)學(xué)文化的相識(shí)，進(jìn)而加深對(duì)數(shù)學(xué)文化的理解，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．以古代文化經(jīng)典為素材【例1】(2024·全國(guó)卷Ⅰ)如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖．正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱．在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是()A.eq\f(1,4) B．eq\f(π,8)C.eq\f(1,2) D．eq\f(π,4)B[不妨設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則正方形內(nèi)切圓的半徑為1，可得S正方形＝4.由圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱，得S黑＝S白＝eq\f(1,2)S圓＝eq\f(π,2)，所以由幾何概型知，所求概率P＝eq\f(S黑,S正方形)＝eq\f(\f(π,2),4)＝eq\f(π,8).故選B.][評(píng)析]以《易經(jīng)》八卦中的太極圖為載體，既豐富了數(shù)學(xué)文化的取材途徑，又很好體現(xiàn)數(shù)學(xué)的美學(xué)特征，可將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的幾何概型問題，結(jié)合幾何概型解答．【素養(yǎng)提升練習(xí)】1.中華文化博大精深，我國(guó)古代算書《周髀算經(jīng)》中介紹了用統(tǒng)計(jì)概率得到圓周率π的近似值的方法．古代數(shù)學(xué)家用體現(xiàn)“外圓內(nèi)方”文化的錢幣(如圖1)做統(tǒng)計(jì)，現(xiàn)將其抽象成如圖2所示的圖形，其中圓的半徑為2cm，正方形的邊長(zhǎng)為1cm，在圓內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)，若統(tǒng)計(jì)得到此點(diǎn)取自陰影部分的概率是p，則圓周率π的近似值為()圖1圖2A．eq\f(1,41－p) B．eq\f(1,1－p)C．eq\f(1,1－4p) D．eq\f(4,1－p)A[圓形錢幣的半徑為2cm，面積為S圓＝π·22＝4π；正方形邊長(zhǎng)為1cm，面積為S正方形＝12＝1.在圓形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自黑色部分的概率是p＝eq\f(S圓－S正方形,S圓)＝1－eq\f(1,4π)，則π＝eq\f(1,41－p).故選A.]2.五行學(xué)說是華夏民族創(chuàng)建的哲學(xué)思想，是華夏文明重要組成部分．古人認(rèn)為，天下萬(wàn)物皆由金、木、水、火、土五類元素組成，如圖，分別是金、木、水、火、土彼此之間存在的相生相克的關(guān)系．若從5類元素中任選2類元素，則2類元素相生的概率為()A.eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D．eq\f(1,5)A[金、木、水、火、土任取兩類，共有：金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土10種結(jié)果，其中兩類元素相生的有火木、火土、木水、水金、金土共5結(jié)果，所以2類元素相生的概率為eq\f(5,10)＝eq\f(1,2)，故選A.]【例2】中國(guó)古代四大藝術(shù)，琴棋書畫，源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，相傳堯舜以棋教子，在春秋、戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，圍棋已廣為流行．圍棋盒子中有多粒黑子和白子，已知從中取出2粒都是黑子的概率為eq\f(1,7)，都是白子的概率是eq\f(12,35)，則從中隨意取出2粒恰好是同一色的概率是()A．eq\f(1,7) B．eq\f(12,35)C．eq\f(17,35) D．1C[設(shè)“從中取出2粒都是黑子”為事務(wù)A，“從中取出2粒都是白子”為事務(wù)B，“隨意取出2粒恰好是同一色”為事務(wù)C，則C＝A＋B，且事務(wù)A與B互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,7)＋eq\f(12,35)＝eq\f(17,35).即隨意取出2粒恰好是同一色的概率為eq\f(17,35).][評(píng)析]以中國(guó)古代四大藝術(shù)為載體，滲透中國(guó)傳統(tǒng)文化藝術(shù)，涉及世界人文學(xué)問，可將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的古典概型問題，結(jié)合古典概型及互斥事務(wù)的概率給與解答．【素養(yǎng)提升練習(xí)】1.(2024·貴陽(yáng)一模)齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬，田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬，現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機(jī)選一匹進(jìn)行一場(chǎng)競(jìng)賽，則田忌的馬獲勝的概率為()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,5) D．eq\f(1,6)A[分別用A，B，C表示齊王的上、中、下等馬，用a，b，c表示田忌的上、中、下等馬，現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機(jī)選一匹進(jìn)行一場(chǎng)競(jìng)賽有Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc共9場(chǎng)競(jìng)賽，其中田忌馬獲勝的有Ba，Ca，Cb共3場(chǎng)競(jìng)賽，所以田忌馬獲勝的概率為eq\f(1,3).]2．生活中人們常用“通五經(jīng)貫六藝”形容一個(gè)人才識(shí)技藝過人，這里的“六藝”其實(shí)源于中國(guó)周朝的貴族教化體系，詳細(xì)包括“禮、樂、射、御、書、數(shù)”．為弘揚(yáng)中國(guó)傳統(tǒng)文化，某校在周末學(xué)生業(yè)余愛好活動(dòng)中開展了“六藝”學(xué)問講座，每藝支配一節(jié)，連排六節(jié)，則滿意“數(shù)”必需排在前兩節(jié)，“禮”和“樂”必需分開支配的概率為()A．eq\f(7,60) B．eq\f(1,6)C．eq\f(13,60) D．eq\f(1,4)C[基本領(lǐng)件總數(shù)n＝Aeq\o\al(6,6)＝720，滿意“數(shù)”必需排在前兩節(jié)，“禮”和“樂”必需分開支配包含的基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)：第一節(jié)是數(shù)，有：Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,4)＝72種排法，其次節(jié)是數(shù)，有：Aeq\o\al(5,5)－Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)＝84種排法，∴m＝72＋84＝156，則滿意“數(shù)”必需排在前兩節(jié)，“禮”和“樂”必需分開支配的概率p＝eq\f(m,n)＝eq\f(156,720)＝eq\f(13,60).故選C.]3．(2024·寶雞模擬)洛書，古稱龜書，是陰陽(yáng)五行術(shù)數(shù)之源，在古代傳聞中有神龜出于洛水，其甲殼上心有此圖像，結(jié)構(gòu)是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，五方白圈皆陽(yáng)數(shù)，四角黑點(diǎn)為陰數(shù)．如圖，若從四個(gè)陰數(shù)和五個(gè)陽(yáng)數(shù)中隨機(jī)選取3個(gè)不同的數(shù)，其和等于15的概率是()A．eq\f(2,21) B．eq\f(1,14)C．eq\f(3,28) D．eq\f(1,7)A[先計(jì)算從四個(gè)陰數(shù)和五個(gè)陽(yáng)數(shù)共9個(gè)數(shù)字中隨機(jī)選取3個(gè)不同的數(shù)，總共有Ceq\o\al(3,9)種選法，在計(jì)算符合條件和等于15的三個(gè)數(shù)的種類，即可算出概率．從四個(gè)陰數(shù)和五個(gè)陽(yáng)數(shù)共9個(gè)數(shù)字中隨機(jī)選取3個(gè)不同的數(shù)，總共有Ceq\o\al(3,9)＝84種選法，其和等于15的三個(gè)數(shù)的種類共有8種，即：(圖形中各橫，各列，對(duì)角線所在的三個(gè)數(shù)字之和均為15)．故其和等于15的概率是：eq\f(8,84)＝eq\f(2,21)，故選A.]以數(shù)學(xué)家為素材【例3】(2024·全國(guó)卷Ⅱ)我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的探討中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如30＝7＋23.在不超過30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的概率是()A．eq\f(1,12) B．eq\f(1,14)C．eq\f(1,15) D．eq\f(1,18)C[不超過30的素?cái)?shù)有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10個(gè)，從中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)有Ceq\o\al(2,10)種不同的取法，這10個(gè)數(shù)中兩個(gè)不同的數(shù)的和等于30的有3對(duì)，所以所求概率P＝eq\f(3,C\o\al(2,10))＝eq\f(1,15)，故選C.][評(píng)析]以我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的探討中取得的成果為載體，呈現(xiàn)了我國(guó)數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的地位，可將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的古典概型問題，結(jié)合古典概型解答．【素養(yǎng)提升練習(xí)】1.我國(guó)數(shù)學(xué)家鄒元治利用如圖證明白勾股定理，該圖中用勾(a)和股(b)分別表示直角三角形的兩條直角邊，用弦(c)來(lái)表示斜邊，現(xiàn)已知該圖中勾為3，股為4，若從圖中隨機(jī)取一點(diǎn)，