十三余弦定理(時間:45分鐘分值:90分)【基礎全面練】1.(5分)在△ABC中,AB=1,AC=2,cosA=56,則BC=(A.1 B.52 C.53 D【解析】選D.由余弦定理知,BC2=AB2+AC2-2AB·ACcosA=53,解得BC=152.(5分)(2024·成都高一檢測)在△ABC中,a=4,b=5,c=6,則sinC=()A.378 B.34 C.74【解析】選A.由a=4,b=5,c=6,得cosC=42+5所以sinC=1?cos2C=1?(3.(5分)在△ABC中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知b2+c2-a2=2bc,則角A為()A.π6 B.π4 C.π3 【解析】選B.因為b2+c2-a2=2bc,所以cosA=b2+c2?又A∈(0,π),所以A=π4【補償訓練】在△ABC中,A=60°,且邊AB,AC的和為9,積為323,那么BC=(A.5 B.6 C.7 D.8【解析】選C.設△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,由題意有b+c=9,bc=323,則BC=a=b(b+c)4.(5分)(2024·大同高一檢測)已知△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且b=7,B=5π6,c=3,則a=(A.2 B.3 C.2 D.1【解析】選D.在△ABC中,因為b=7,B=5π6,c=3,由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB,即7=a2+3-2a×3cos5π6,可得a2+3a-4=0,解得a=1或a=-4(舍去5.(5分)(2024·重慶高一檢測)在△ABC中,5a=7b=8c,則△ABC的最大角與最小角的和是A.60° B.90° C.120° D.135°【解析】選C.結合5a=7b=8c,不妨設a=5,b=7,c=8,根據大邊對大角可知:A<B<C,由余弦定理可得:cosB=a2+c2?b22ac=25+64?492×5×8=12,又因為0°<B<180°,所以B6.(5分)(多選)在△ABC中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,則下列說法正確的是()A.在△ABC中,若a2+b2-c2>0,則C是銳角B.在△ABC中,若a2<b2+c2,則A>B+CC.在△ABC中,若4sinAcosA=0,則△ABC一定是直角三角形D.任何三角形的三邊之比不可能是1∶2∶3【解析】選ACD.對于A,由a2+b2-c2>0及余弦定理可得cosC=a2+b2?c22ab>0,又C∈(0,π),所以C∈0,π2,對于B,由a2<b2+c2及余弦定理可得cosA=b2+c2?a22bc>0,又A∈(0,π),所以A∈0,π2,所以A是銳角,所以B+C>對于C,因為4sinAcosA=0,A∈(0,π),所以sinA≠0,所以cosA=0,則A=π2,所以△ABC一定是直角三角形,故C正確對于D,若三角形三邊之比是1∶2∶3,不妨設三邊分別為x,2x,3x(x>0),則兩短邊之和為3x,不滿足三角形兩邊之和大于第三邊,故任何三角形的三邊之比不可能是1∶2∶3,故D正確.7.(5分)若△ABC的內角A,B,C所對的邊a,b,c滿足(a+b)2-c2=4,且C=60°,則ab的值為__________.

答案:4【解析】由(a+b)2-c2=4,得a2+b2-c2+2ab=4,由余弦定理得a2+b2-c2=2abcosC=2abcos60°=ab,則ab+2ab=4,所以ab=438.(5分)(2024·開封高一檢測)記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若cosC=23,a=3b,則cosA=答案:-6【解析】因為cosC=23,a=3b,由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,所以c2=9b2+b2-2×3b×b×23,所以c=6b,所以cosA=c2+b9.(5分)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且acosB+acosC=b+c,則△ABC的形狀是______________.

答案:直角三角形【解析】在△ABC中,acosB+acosC=b+c,所以a×a2+c2?b22ac所以(b+c)(a所以a2-b2-c2+2bc=2bc,所以a2=b2+c2,則A=π2所以△ABC為直角三角形.10.(10分)(2024·忻州高一檢測)在△ABC中,內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,根據下列條件解三角形:(1)已知b=3,c=1,A=60°,求a;(2)已知a=31,b=5,c=6,求A.【解析】(1)在△ABC中,b=3,c=1,A=60°,由余弦定理可得,a=b2+c2?2(2)在△ABC中,a=31,b=5,c=6,由余弦定理可得,cosA=b2+c2?a22bc=25+36?312×5×6=【補償訓練】已知A,B,C為△ABC的三個內角,其所對的邊分別為a,b,c,且2cos2A2+cosA=0(1)求A的大小;(2)若a=23,b=2,求c的值.【解析】(1)因為cosA=2cos2A2-1,2cos2A2+cosA=0,所以2cos所以cosA=-12所以A=120°.(2)由余弦定理,知a2=b2+c2-2bccosA,又a=23,b=2,cosA=-12所以(23)2=22+c2-2×2×c×-12,化簡,得c2+2c-8=0,解得c=2或c=-4(舍去).【綜合應用練】11.(5分)在△ABC中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若a=6,c=4,sinB2=33,則b=(A.9 B.36 C.2 D.6【解析】選D.因為sinB2=33,所以cosB=1-2sin2B2=1-2×332=13.由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=62+42-2×6×4×13=36,【補償訓練】(多選)在△ABC中,滿足(a2+c2-b2)tanB=3ac的角B的值為()A.π6 B.π3 C.5π6 【解析】選BD.因為(a2+c2-b2)tanB=3ac,所以a2+c2?即cosB·tanB=sinB=32因為0<B<π,所以角B的值為π3或2π12.(5分)(多選)(2024·張家口高一檢測)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,則下列結論正確的是()A.若cos2B2=a+c2cB.若ab>c2,則0<C<πC.若·>0,則△ABC是銳角三角形D.若△ABC為銳角三角形,則sinA>cosB【解析】選BD.對于A項,因為cos2B2=1+cosB2=a+c2c由cosB=a2+c2?b化簡得a2+b2=c2,故△ABC一定為直角三角形,故A錯誤;由ab>c2,得cosC=a2+b2?c22ab>a2+因為C∈(0,π),所以0<C<π3,故B正確對于C項,因為·=bccosA>0,所以cosA>0,所以A為銳角,但無法確定角B,C是否為銳角,故C錯誤;對于D項,因為△ABC為銳角三角形,所以0<A則0<π2-B<A<π又因為y=sinx在0,π2內單調遞增,所以sinπ2-B<sinA,即cosB<sinA,故D項正確.13.(5分)(2024·唐山高一檢測)在△ABC中,AB=5,BC=7,AC=8,D是AB邊上一點,CD⊥AB,則CD=________.

答案:43【解析】因為AB=5,BC=7,AC=8,所以由余弦定理可得:cosA=AC2+AB2?因為0<A<π,所以A=π3,所以在Rt△ACD中,CD=8sinA=8sinπ3=414.(10分)已知△ABC的三個內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,(a+b+c)(b+c-a)=3bc.(1)求A的大小;(2)若b+c=2a=23,試判斷△ABC的形狀.【解析】(1)因為(a+b+c)(b+c-a)=3bc,所以a2=b2+c2-bc,而a2=b2+c2-2bccosA,所以2cosA=1,所以cosA=12因為A∈(0,π),所以A=π3(2)在△ABC中,a2=b2+c2-2bccosA,且a=3,所以(3)2=b2+c2-2bc·12=b2+c2-bc.又因為b+c=23,與①聯立,解得bc=3,聯立b+c=23,bc=3,所以△ABC為等邊三角形.15.(10分)在△ABC中,BC=a,AC=b,a,b是方程x2-23x+2=0的兩個根,且2cos(A+B)=1.(1)求角C的度數;(2