九平面向量數乘運算的坐標表示(時間:45分鐘分值:80分)【基礎全面練】1.(5分)(2024·南昌高一檢測)已知向量a=(3,2),b=(0,-1),則-2a+4b等于()A.(6,0) B.(-6,0)C.(-6,-8) D.(6,8)【解析】選C.向量a=(3,2),b=(0,-1),則-2a+4b=(-6,-4)+(0,-4)=(-6,-8).2.(5分)已知a=(5,-2),b=(-4,-3),c=(x,y),若a-2b+3c=0,則c=()A.1,83 B.133,83C.133,43 D.-133,-43【解析】選D.因為a=(5,-2),b=(-4,-3),且a-2b+3c=0,所以c=-13(a-2b)=-133,-43【補償訓練】(2024·保定高一檢測)已知命題p:m=(a,a2),n=(1,2),m與n共線,命題q:a=2,則p是q的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選B.充分性:由m與n共線,則a1=a22,解得a=2或0,p是必要性:當a=2,時m=(2,4),由21=42,則m與n共線,p是q3.(5分)(2024·無錫高一檢測)已知點A(1,3),B(m-5,1),C(3,m+1),若A,B,C三點共線,則的坐標為()A.(-2,2) B.(2,-2)C.(2,2) D.(-2,-2)【解析】選D.由題意可知=(m-6,-2),=(2,m-2),由于A,B,C三點共線,所以與共線,則有(m-6)(m-2)=-4?(m-4)2=0?m=4,所以=(-2,-2).4.(5分)(2024·廣州高一檢測)已知點O(0,0),向量=(2,3),=(6,-3),點P是線段AB的三等分點,則點P的坐標是()A.143,-1 B.103,1C.143,-1或103,1 D.143,1或103,1【解析】選C.方法一:因為=(2,3),=(6,-3),可得=-=(4,-6),又因為點P是線段AB的三等分點,則=23=83,-4或=13=43,-2,所以=+=143,-1或=+=103,1,即P點的坐標為143,-1或103,1.方法二:由方法一知,=23或=13,設點P(x,y)則=-=(x-2,y-3),又=-=(4,-6),所以x?2=23×4y?3=所以x=143即P點的坐標為143,-1或103,1.5.(5分)(多選)(2024·南陽高一檢測)已知向量a,b是兩個非零向量,在下列四個條件中,一定能使a,b共線的是()A.2a-3b=4e且a+2b=-2eB.存在相異實數λ,μ,使λa-μb=0C.xa+yb=0(其中實數x,y滿足x+y=0)D.a=(1,-2),b=(-1,2)【分析】對于A選項,可直接解出a=27e,b=-87e,則a,b共線;對于BD選項,由向量共線定理即可判定;對于C選項,當x=y=0時,【解析】選ABD.對于A,因為2a-3b=4e且a+2b=-2e,解得a=27e,b=-87e,此時一定能使a,b共線,則A對于B,存在相異實數λ,μ,使λa=μb,由向量共線定理即可判定a,b共線,故B選項正確;對于C,當x=y=0時,a,b不一定共線,則C選項錯誤;對于D,a=-b,由向量共線定理即可判定a,b共線,故D選項正確.6.(5分)已知向量a=(m,2)與b=(-2,-4)共線,則3a-b=________.

答案:(5,10)【解析】向量a=(m,2)與b=(-2,-4)共線,則(-4)×m=2×(-2),解得m=1,所以3a-b=3(1,2)-(-2,-4)=(5,10).7.(5分)(2023·上海高一檢測)已知三點P,P1,P2在一條直線上,點P1(0,-6),P2(4,0),且=-2,則點P的坐標為____________.

答案:(2,-3)【解析】設點P(x,y),由P1(0,-6),P2(4,0),則=(4,6),=(-x,-6-y),又=-2,則4=?2×(?x)6=?2×(?6?y即P(2,-3).8.(10分)(2023·清遠高一檢測)如圖所示,已知?ABCD的頂點A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6).(1)求頂點D的坐標;(2)已知點M(8,10),判斷A,M,C三點的位置關系,并證明.【解析】(1)由平行四邊形可得:=,又A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),=(4,1),所以=-=(5,6)-(4,1)=(1,5),所以D的坐標為(1,5);(2)A,M,C三點共線;因為A(-1,-2),C(5,6),M(8,10),所以=(6,8),=(9,12)=32,又,有公共點A,所以A,M,C三點共線.【綜合應用練】9.(5分)已知向量a=(1,-2),b=(x,-1),c=(-4,x),若2a+b,a-c反向共線,則實數x的值為()A.-7 B.3 C.3或-7 D.-3或7【解析】選A.因為向量a=(1,-2),b=(x,-1),c=(-4,x),所以2a+b=(2+x,-5),a-c=(5,-2-x),因為2a+b,a-c反向共線,所以(2+x)×(-2-x)-(-5)×5=0,解得x=3或x=-7,又2a+b,a-c反向共線,代入驗證可知x=3時為同向,舍去,x=-7滿足條件,所以x=-7.10.(5分)(多選)已知λ,μ∈R,=(λ,1),=(-1,1),=(1,μ),那么()A.+=(λ-1,1-μ)B.若∥,則λ=2,μ=12C.若A是BD的中點,則B,C兩點重合D.若點B,C,D共線,則μ=1【解析】選AC.A選項,+=-+-=-=(λ,1)-(1,μ)=(λ-1,1-μ),A選項正確;B選項,若∥,則λμ=1,故也可取λ=3,μ=13,B選項錯誤;C選項,若A是BD的中點,則=-,即(λ,1)=(-1,-μ)?λ=μ=-1,所以==(-1,1),所以B,C兩點重合,C選項正確;D選項,由于B,C,D三點共線,所以∥,=-=(-1,1)-(λ,1)=(-1-λ,0),=-=(1,μ)-(λ,1)=(1-λ,μ-1),則(-1-λ)×(μ-1)=0×(1-λ)?λ=-1或μ=1,所以D選項錯誤.11.(5分)已知點A(4,0),B(4,4),C(2,6),O為坐標原點,則AC與OB的交點P的坐標為________.

【分析】方法一:利用向量的共線可設=λ=(4λ,4λ),表示出,的坐標,根據向量共線列出方程,即可求得答案;方法二:設點P(x,y),進而表示出相關向量的坐標,根據向量共線,列出方程,求得答案.答案:(3,3)【解析】方法一:由O,P,B三點共線,可設=λ=(4λ,4λ),則=-=(4λ-4,4λ),又=-=(-2,6),由,共線,得(4λ-4)×6-4λ×(-2)=0,解得λ=34,所以=34=(3,3),所以點P的坐標為(3,3);方法二:設點P(x,y),則=(x,y),因為=(4,4),且與共線,所以4x-4y=0,即x=y.又=(x-4,y),=(-2,6),且,共線,所以(x-4)×6-y×(-2)=0,解得x=y=3,所以點P的坐標為(3,3).12.(10分)(2024·鄭州高一檢測)已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),判斷與是否共線?如果共線,它們的方向相同還是相反?【解析】因為=(1,3)-(-1,-1)=(2,4),=(2,5)-(-1,-1)=(3,6),因為2×6-3×4=0,所以∥,所以與共線.又=23,所以與的方向相同.13.(10分)如圖,已知直角梯形ABCD中,AD⊥AB,AB=2AD=2CD,過點C作CE⊥AB于E,M為CE的中點,用向量的方法證明:(1)DE∥BC;(2)D,M,B三點共線.【證明】如圖,以E為原點,AB所在直線為x軸,EC所在直線為y軸建立平面直角坐標系,令||=1,則||=1,||=2.因為CE⊥AB,且AD=DC,所以四邊形AECD為正方形,所以可求得各點坐標分別為E(0,0),B(1,0),C(0,1),D(-1,