專題19立體幾何初步（II）（七大題型+模擬精練）

01題型歸納

目錄：

?題型01平面的基本性質(zhì)

?題型02空間共點(diǎn)、共線、共面等問題

?題型03異面直線

?題型04空間直線與平面的位置關(guān)系

?題型05空間平面與平面的位置關(guān)系

?題型06空間中的角、距離問題綜合

?題型07空間中動(dòng)點(diǎn)、旋轉(zhuǎn)、翻折等動(dòng)態(tài)問題

?題型01平面的基本性質(zhì)

1.下列說法正確的是（）

A.若直線/,加,〃兩兩相交，則直線/,加,〃共面

B.若直線/,加與平面a所成的角相等，則直線/,用互相平行

C.若平面。上有三個(gè)不共線的點(diǎn)到平面月的距離相等，則平面。與平面平行

D.若不共面的4個(gè)點(diǎn)到平面1的距離相等，則這樣的平面&有且只有7個(gè)

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合空間中直線與平面位置關(guān)系的判定和性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.

【解析】對(duì)于A中，當(dāng)直線/,加，〃交于同一點(diǎn)時(shí)，則直線可能不共面，所以A錯(cuò)誤；

對(duì)于B中，當(dāng)直線/,加傾斜方向不同時(shí)，直線/，加與平面a所成的角也可能相等，所以B錯(cuò)誤;

對(duì)于C中，當(dāng)這3個(gè)點(diǎn)不在平面用的同側(cè)時(shí)，平面"與平面廣相交，所以C錯(cuò)誤；

對(duì)于D中，根據(jù)題意，顯然這4個(gè)點(diǎn)不可能在平面a的同側(cè)，

當(dāng)這4個(gè)點(diǎn)在平面a兩側(cè)1,3分布時(shí)，這樣的平面a有4個(gè)，

當(dāng)這4個(gè)點(diǎn)在平面a兩側(cè)2,2分布時(shí)，這樣的平面a有3個(gè)，

所以這樣的平面a有且只有7個(gè)，所以D正確.

故選：D.

2.下列說法正確的是（）

A.四邊形確定一個(gè)平面

B.如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)

C.經(jīng)過三點(diǎn)確定一個(gè)平面

D.經(jīng)過一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面

【答案】B

【解析】略

3.已知a,￡是兩個(gè)不同的平面，則下列命題錯(cuò)誤的是（）

A.若=且Ze4，則/e/

B.若是平面々內(nèi)不共線三點(diǎn)，,則

C.若直線aua,直線6u￡,則。與Z?為異面直線

D.若Zetz且Betz,則直線“Bua

【答案】C

【分析】根據(jù)基本事實(shí)3（公理2）可判斷A；根據(jù)基本事實(shí)1（公理3）可判斷B；根據(jù)異面直線的定義可

判斷C；根據(jù)基本事實(shí)2（公理1）可判斷D.

【解析】對(duì)于A,由根據(jù)/ea且則A是平面1和平面廣的公共點(diǎn)，

又0□￡=/,由基本事實(shí)3（公理2）可得故A正確；

對(duì)于B,由基本事實(shí)1（公理3）：過不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面，

又Ae仇B(yǎng)￡0,且48,Cea,則C￡,故B正確；

對(duì)于C,由于平面。和平面，位置不確定，則直線。與直線6位置亦不確定，可能異面、相交、平行、重合,

故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由基本事實(shí)2（公理1）：如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)，

故D正確.

故選：C.

4.下列結(jié)論正確的是（）

A.兩個(gè)平面a,￡有一個(gè)公共點(diǎn)就說a,夕相交于過/點(diǎn)的任意一條直線.

B.兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面.

C.如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合.

D.若直線。不平行于平面a,且aCa,則a內(nèi)的所有直線與a異面.

【答案】B

【分析】利用推論可判斷B正確；對(duì)A項(xiàng)，由基本事實(shí)3可知；對(duì)C項(xiàng)，兩個(gè)相交的平面有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn);

對(duì)D項(xiàng)，平面內(nèi)可找到無數(shù)條直線與。相交.

【解析】對(duì)選項(xiàng)A,由基本事實(shí)3,兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)A,那么它們有且只有一條過/點(diǎn)的公共直線，

而不是任意一條過點(diǎn)A的直線都是兩平面的交線，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若兩兩相交的三條直線交于一點(diǎn)，則三條直線最多可以確定三個(gè)平面，故B正確；

對(duì)選項(xiàng)C,若這三個(gè)公共點(diǎn)共線，兩平面可能相交，不一定重合，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)選項(xiàng)D,若直線。不平行于平面1，且acza,

則直線。與平面a相交，設(shè)交點(diǎn)為。，

則平面內(nèi)所有過點(diǎn)。的直線都與。相交于點(diǎn)。，而不是異面，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：B.

?題型02空間共點(diǎn)、共線、共面等問題

5.已知互不重合的三個(gè)平面a、或、y,其中ac￡=a,0r\y=b,yC\a=c,且=尸，則下列結(jié)論一

定成立的是（）

A.6與c是異面直線B.。與c沒有公共點(diǎn)

C.bileD.bC\c=P

【答案】D

【分析】根據(jù)題設(shè)條件可得相應(yīng)的空間圖形，從而可得正確的選項(xiàng).

［解析1"aC\b-P,：.Pea,Peb,

-：a=a^\P,b=,：.Pea,PeB,P^Y,

?.?<zc/=c,.-.Pec,.-.bP\c=P,:.aoc-P,

如圖所示：故A,B,C錯(cuò)誤;

6.如圖，在三棱柱/8C-44G中,E,F,G,H分另U為B4，cq，4與，4G的中點(diǎn)，則下列說法錯(cuò)誤的是

（）

A.E,尸,G,“四點(diǎn)共面B.EF//GH

C.EG,FH,A4三線共點(diǎn)、D.NEGB\=NFHC1

【答案】D

【分析】對(duì)于AB,利用線線平行的傳遞性與平面公理的推論即可判斷；對(duì)于C,利用平面公理判斷得EG,

的交點(diǎn)尸在44,從而可判斷；對(duì)于D,舉反例即可判斷.

【解析】對(duì)于AB,如圖，連接EF,GH,

因?yàn)镚H是△43?的中位線，所以GH//BG，

因?yàn)?E//C/,且2g=G尸，所以四邊形瓦EFG是平行四邊形,

所以EF〃B￡,所以EF//GH,所以已尸收以”四點(diǎn)共面，故AB正確;

對(duì)于C,如圖，延長EG,五H相交于點(diǎn)尸，

因?yàn)槭琫EG,EGu平面4844，所以尸e平面

因?yàn)槭琫9，F(xiàn)Hu平面NCG4，所以尸6平面NCG4，

因?yàn)槠矫?BBHH平面ACCXAX=AA,,

所以Pe/4,所以EG,尸三線共點(diǎn)，故C正確；

對(duì)于D,因?yàn)椤?]=尸G,當(dāng)GB產(chǎn)"G時(shí)，tanNEGB#tanNFHQ,

TT

又Q<NEGB],NFHCI<3,則/EGB”FHC],故D錯(cuò)誤.

故選：D.

?題型03異面直線

7.設(shè)加，”是兩條不同的直線，生力是兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（）

A.若加〃a,”//a,則加〃"B.若機(jī)〃"，加//a,則“〃a

C.若mua,〃u0,則九〃是異面直線D.若aU/3,mua,nu0,貝l]〃z〃"或小，〃是異面直線

【答案】D

【分析】利用空間中線、面的位置關(guān)系一一判定選項(xiàng)即可.

對(duì)于A,可設(shè)加=42，"=44,&為平面4C,顯然加//a,"http://e,但”7C〃=4，故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,可設(shè)機(jī)=4A，〃=40,a為平面/C,顯然加//〃,〃z//a,但"ua,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,可設(shè)加=4。”"=分別為平面4G，平面4C,

顯然加ua,”u〃，但加〃”，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若a//dmuajiu/3,則兩平面不會(huì)有交點(diǎn)，所以m//〃或小，〃是異面直線，

故D正確.

故選：D

8.已知四邊形/BCD是矩形，平面/8。,/8=1,5。=2,尸/=2,石為3。的中點(diǎn)，則異面直線/E與PD

所成的角為（）

兀兀71

A.—B.—C.—D.兀

643

【答案】C

【分析】借助于長方體，由E,尸為相應(yīng)的棱的中點(diǎn)，得PD//EF,所以//即即為異面直線NE與尸D所成

的角或補(bǔ)角，計(jì)算即可.

【解析】根據(jù)題意，借助于長方體，及尸為相應(yīng)的棱的中點(diǎn)，所以PD//EF,

所以N/5F即為異面直線4E?與PD所成的角或補(bǔ)角，

根據(jù)題意可得，EF=-PD=^AD'+PA1=V2,

22

AE=VAB2+BE2=V2，AF=VAB1+BF2=-72，

TT

所以為等邊三角形，Z^EF=-.

故選：C.

9.已知圓錐SO的母線長為6,AB是底面圓的直徑，C為底面圓周上一點(diǎn)，ZAOC=1200,當(dāng)圓錐SO的體

積最大時(shí)，直線/C和如所成角的余弦值為（）

A.—B.—C.—D.2

2354

【答案】A

【分析】設(shè)圓錐S。的底面半徑為「，高為%利用圓錐體積公式可得%=g兀（367?3）,結(jié)合可導(dǎo)數(shù)求出圓

錐體積最大時(shí)，力=26，r=2指,延長C。交。。于點(diǎn)。，連接則四邊形4（"。是平行四邊

形，所以直線/C與跖所成的角為/S8。或其補(bǔ)角，求出cos/SBD,即可求解.

【解析】如圖，圓錐S。的母線長/=6.設(shè)圓錐SO的底面半徑為，，高為訪，

則/+/=36,圓錐SO的體積-=!兀///=；兀叫36-斤）=g兀（36/z-/）.

令〃〃）=36,-/?（〃>0）,則/㈤=36-3/=-3（〃-2道）（力+2月）.令/㈤=0,得人=或力=-2后.

因?yàn)椤?gt;0,易知/㈤在（。,2@上單調(diào)遞增，在（2省,+同上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)〃=26時(shí)，/小）取得最大值，此時(shí)r=24/=2后.

因?yàn)镹/OC=120°,所以/C=gr=6jL

延長CO交。。于點(diǎn)。，連接AD,80,50,則四邊形/CAD是平行四邊形，所以BD//AC,BD=AC=6垃,

所以直線/C與S3所成的角為乙或其補(bǔ)角.

在等腰三角形S3。中，SB=SD=6,BD=6y/2,所以cos/SAD=m,

2

所以直線/c與SB所成角的余弦值為e.

2

故選：A.

10.直線/與平面1成角為30。，點(diǎn)P為平面&外的一點(diǎn)，過點(diǎn)P與平面成角為60。，且與直線/所成角為50。

的直線有（）

A.0條B.1條C.2條D.4條

【答案】C

【分析】過戶與平面。成60。角的直線形成一個(gè)圓錐的側(cè)面（即圓錐的母線與底面成60。角），然后考慮這些

母線中與直線/成50。角的直線有幾條，通過圓錐的軸截面可得.

【解析】如圖所示，設(shè)直線/與平面口相交于8,直線/在平面夕的射影為直線BC.

且直線/與平面a所成角為30°,

即ZDBC=30°.

設(shè)圓錐的頂點(diǎn)為尸點(diǎn)，圓錐的軸尸平面

即圓錐的任意一條母線與平面a所成角都等于60°.

當(dāng)過尸點(diǎn)的母線為直線時(shí)，

直線PB與平面a所成角為60°,直線尸3與直線/所成角為30°,即/尸8。=30°,

當(dāng)過尸點(diǎn)的母線沿BC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到直線PC時(shí),

直線PC與直線/所成角為90°,即/，尸C,

所以過P點(diǎn)的直線從尸3沿?cái)?shù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到直線PC時(shí)，

與直線/所成角的范圍為[30°,90°],

故存在一條過P點(diǎn)的直線與直線/所成角為50。，

同理可得，過P點(diǎn)的直線從沿?cái)?shù)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到直線PC時(shí)，

也存在一條過P點(diǎn)的直線與直線/所成角為50°,

所以過P點(diǎn)的直線與平面a所成角為60。，與直線/所成角為50°的直線有2條.

故選：C.

?題型04空間直線與平面的位置關(guān)系

11.若加，〃為兩條直線，1為一個(gè)平面，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.若加//a,幾u(yù)a,則加〃〃B.若加//a,nlla,則加〃〃

C.若加//a,n-La,則加_L〃D.若加//a,nLa,則加與〃相交

【答案】C

【分析】ABD可舉出反例；C選項(xiàng)，根據(jù)線線平行和線面垂直的性質(zhì)得到答案.

【解析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于A,若加//a,〃ua,則加與〃平行或異面，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若加//a,nlla,則加與〃異面、平行或相交，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,設(shè)直線/,滿足/ua且/〃加，

若“_L(Z,則〃_L/,而〃/加，則7“J_77,C正確；

對(duì)于D,若機(jī)//a,nla,則加與“相交或異面，D錯(cuò)誤.

故選：C.

12.如圖，已知四棱錐中，平面尸4D_L平面48CD,NADC=90°,AD=2BC=2.CD=4,

BCHAD,E,F分別為AB,PC的中點(diǎn).

⑴求證：EF〃平面P/。；

(2)若側(cè)面打。為等邊三角形，求四面體8-CE尸的體積.

【答案】⑴證明見解析

⑵心

3

【分析】(1)由三角形中位線結(jié)合BM〃CD且=得到四邊形是平行四邊形，所以NHUEF,

由線面平行的判定證得斯〃平面PAD；

(2)由面面垂直得到線面垂直從而得到尸到平面28CD的距離〃=^尸初=6,在梯形/BCD中得到AEBC

的面積，由VB_CEF=VF_EBC得到所求棱錐體積.

【解析】(1)如圖，取4D的中點(diǎn)“，取的中點(diǎn)N,取尸。的中點(diǎn)〃，連接NH,EN,BM,HF.

因?yàn)椤ǎ謩e為尸。,PC的中點(diǎn)，所以HF//CD且HF=gcD,

因?yàn)镹,E分別為/N,48的中點(diǎn)，F(xiàn)斤以ENIIBM&EN=；BM,

又因?yàn)锽M"CD且BM=CD,所以HFI/NE旦HF=NE,

所以四邊形尸EN5是平行四邊形，所以NH//EF.

又由斯（Z平面尸平面P4D,所以￡尸//平面尸/D.

(2)

如圖，連接尸

因?yàn)锳P4。為等邊三角形，所以尸Af_L4D,

因?yàn)槠矫媸?0_L平面48cD,平面尸/Dc平面/8CD=/Z）,尸Afu平面尸40,所以PA/1平面48CD.

因?yàn)?。=4,所以/尸=4，AM=2,PM=yjAP1-AM2=273-

又因?yàn)槭瑸槭５闹悬c(diǎn)，所以點(diǎn)尸到平面ABCD的距離h=^-PM=V3.

2

在梯形/BCD中，由//DC=90°,/D=23c=2CD=4,可得A8=2&,所以==也，

11py

又由/￡8C=135°,所以S=-xBExBCsinZEBC=-x42x2x—=l,

應(yīng)c222

故唳CEF=VFEBC=~S,EBCh=-xV3x1=—,所以四面體8-CE尸的體積為心?

z>—CzlPr3Azlz>C3^33

13.如圖，在四棱錐尸一48CD中，底面48co是菱形，/3/。=120。，48==。,「。，底面

ABCD,點(diǎn)￡在棱尸。上.

⑴求證：/C_L平面PAD；

（2）若。尸=2,點(diǎn)￡為尸。的中點(diǎn)，求二面角尸一/C-E的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵垃

7

【分析】（1）先根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理得尸。，4。，再結(jié)合菱形性質(zhì)利用線面垂直的判定定理證明即

可.

(2)根據(jù)二面角的平面角定義作出二面角的平面角，然后利用直角三角形的邊角關(guān)系求解即可.

【解析】(1)因?yàn)槭?平面/BCD,/Cu平面/BCD,所以尸OL/C,

因?yàn)镹BC。為菱形，所以NC/AD,

又8。^尸。=。,8。匚平面尸82P。(=平面尸5。，

所以/C_L平面尸80.

(2)如圖，連接OE,則0￡u平面/CE,

由“C_L平面PAD,OEu平面尸8。，OPu平面P8Q,得NCJ_OE,NC_L。尸，

故/POE即為二面角P-/C-E的平面角，

在菱形/3CD中，AB=AD=2,ZBAD=U0°,

所以BD=2也,0D=#,,

又P0=2,所以PB=PD=《22+(后=出,

由點(diǎn)￡為尸D的中點(diǎn)，^OE=-PD=—,PE=-PD=—,

2222

所以△尸。E為等腰三角形，在△尸。￡內(nèi)過點(diǎn)E作高，垂足為“，則"0=1,

所以cos々。人3〃陽法=五=丁，即二面角尸一/C-E的余弦值為”.

—7

14.如圖，在四棱錐E-A8co中，￡(3，平面/88,/3〃。。4/。。為等邊三角形,

DC=2/B=2,C3=CE,點(diǎn)尸為棱BE上的動(dòng)點(diǎn).

(1)證明：DC，平面BCE；

(2)當(dāng)二面角歹-4C-3的大小為45。時(shí)，求線段CF的長度.

【答案】(1)證明詳見解析

【分析】(1)先求得8C,再根據(jù)線面垂直的判定定理證得DC，平面BCE.

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法列方程來求得廠點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得CF的長度.

【解析】(1)依題意/A4c=//CD=60。，所以。3=J22+F-2X2X1XCOS60°=g，

所以/笈+尊？=/c2,所以則。CLCB,

由于CE_L平面23CD,Z?Cu平面23CD,所以CE1DC,

由于2(3門尊=。,8。9￡匚平面8。后，所以DC,平面BCE.

(2)由(1)可知。C,CE,C8兩兩相互垂直，由此以C為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

/(1,6,0),5(0,代,0),設(shè)尸(0j,6-0,0Wtw6,

平面/8C的法向量為玩=(0,0,1),

設(shè)平面E4c的法向量為萬=(x,y,z),

n-CA=x+y/3y=0

則不麗=)+(g_’z=0，

故可設(shè)元=卜陋t+3,t—,

Zk

?題型05空間平面與平面的位置關(guān)系

15.已知兩條直線加，"和三個(gè)平面a,B，y,下列命題正確的是（）

A.若mIIa.m\\/3,則a〃/

B.若a_L￡,?-Ly,則力〃7

C.若aJ-7,P\.Y,aC\/3=m,則"zJL/

D.若“uy.n//a,"II/,a[\f3=m,則加〃/

【答案】C

【分析】利用面面平行的判定定理可判斷出A和B正誤，利用線面垂直的判定定理可判斷出C的正誤，利

用線面平行的判定定理可判斷出D的正誤.

【解析】對(duì)于A,當(dāng)m||a,加||〃時(shí)，兩平面a,￡可能平行可能相交，所以A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,a1/3,oil/,兩平面y可能平行可能相交，所以B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,當(dāng)々n/=加，,尸_L7時(shí),

設(shè)aPlz=6,僅Cl7=c,在y取一點(diǎn)O,過。分另U作OB_L6于8,0C_Lc于C,

則03_La,OC±/?,因?yàn)?!"!￡=加，

所以機(jī)ua,mu(3,所以08_L加，0C1m,

因?yàn)?5noe=O,OBuyQCuy,所以加，九所以C正確;

對(duì)于D,當(dāng)nuy,n//a,〃||萬時(shí),

可得加〃/或機(jī)u，，所以D錯(cuò)誤.

故選：C.

16.如圖，已知四棱錐中，底面/BCD為平行四邊形，點(diǎn)M,N,。分別在上.

口)若PM:MA=BN:ND=PQ:QD,求證：平面肱V。〃平面P8C；

(2)若點(diǎn)。滿足尸。：8=2:1,則點(diǎn)又滿足什么條件時(shí)，3M〃平面/0C?并證明你的結(jié)論.

【答案】⑴證明見解析

(2)”為尸/中點(diǎn)，證明見解析

【分析】(1)根據(jù)平行線分線段成比例和線面平行的判定定理可證得平行于平面尸8C,由面面平

行的判定可證得結(jié)論；

(2)當(dāng)M為尸/中點(diǎn)時(shí)，取尸。中點(diǎn)E,根據(jù)三角形中位線性質(zhì)、線面平行和面面平行的判定可證得平面

〃平面BEN,由面面平行性質(zhì)可得結(jié)論.

【解析】(1)：PM:MA=PQ:QD,MQHAD,

???四邊形/3CD為平行四邊形，.，同。//?。，

??,8Cu平面尸BC,苗0<2平面9(7,，”。〃平面心。；

■：BN-.ND=PQ-.QD,QNHPB,

,.,P2u平面「8C,QN<z平面尸3C,0N〃平面P5C；

■：MQ^QN=Q,MQ,QNu平面初V。，.?.平面ACV0〃平面尸BC.

(2)當(dāng)〃■為尸/中點(diǎn)時(shí)，〃平面/QC,

證明如下：設(shè)BOc/C=O,取P。中點(diǎn)E,連接BE,ME,。。,

p

???四邊形/BCD為平行四邊形，為8。中點(diǎn),

???￡為尸。中點(diǎn)，PQ：QD=2A,二。為。E中點(diǎn),OQHBE,

???BEu平面BEAf,O0U平面8EA/,.1。。〃平面BEA/；

???ME分別為尸4P0中點(diǎn)，,ME%。，

；Affiu平面BEM,40(Z平面8EN,；./0〃平面3EM,

■■■OQ^AQ^Q,/。，。。匚平面/。。，平面NQC〃平面3EW,

BNu平面BEN,.18"〃平面/QC.

TT

17.如圖，在四棱錐P-48CD中，尸2=3,AB=2,四邊形N5CD為菱形，ZABC=y,P4J_平面

ABCD,E,F,。分別是8C,PC,尸。的中點(diǎn).

⑴證明：平面跖。//平面尸48；

(2)求二面角A-EF-Q的正弦值.

【答案】⑴證明見解析;

喈■

【分析】(1)先利用中位線定理證得斯//尸8,FQHAB,再利用線面與面面平行的判定定理即可得證；

(2)依題意建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面NEF與平面斯。的法向量，再利用空間向量法，結(jié)合三

角函數(shù)的基本關(guān)系式即可得解.

【解析】(1)因?yàn)樗倪呅?BCD為菱形，所以/8//CD,

又E,F,0分別是2C,PC,尸。的中點(diǎn)，

所以尸0//C。，EF//PB,敬FQIIAB,

因?yàn)樗?Z平面尸48,PBu平面尸ZB,

所以EF//平面尸4B,同理可得尸。//平面尸48.

因?yàn)镋FcF0=F,EF,尸0u平面研。，

所以平面EF。//平面尸28.

7T

(2)因?yàn)樗倪呅蜰3CD為菱形，NABC、,

所以“8C為等邊三角形，BC//AD,

因?yàn)镋是8c的中點(diǎn)，所以4ELBC,故NEL4D,

因?yàn)樯?_1_平面48CD,AE,4Du平面48CD,

所以尸/_L4E,PA±AD,故尸/,AE,40兩兩垂直，

以N為坐標(biāo)原點(diǎn)，AE,AD,N尸所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

所以4（0,0,0）,￡（6,0,0）,尸（0,0,3）,C（V3,l,0）,￡＞（0,2,0）,

AE=（V3,0,0）,至13、

故尸AF=2J

m-AE=Cx=0

設(shè)平面4EF的法向量為成=(x,y,z),

-Vr13

m-Ar=—x-\——y--z=0

222

解得x=0,令z=l,則＞=-3,故而=（0,-3,1）,

設(shè)平面E尸。的法向量為萬=(X1,%,zJ,又EF=,QF=］，一于0

I，I7

V313

ii^EF=----x,—y,H—Z[_0n

212121

則V

61_n

n-QF=彳再一/=°

解得向=0,令X]=l得，%=#?,故元=(1,君,0),

TT

設(shè)二面角z-斯-。的平面角為e,結(jié)合圖形可知o<e<],

\m-n\3屈

則cos^=|cosm,n|=|-3V3|

|/司.同J9+1xJl+320

故二面角A-EF-Q的正弦值為

18.如圖所示的幾何體是由等高的直三棱柱和半個(gè)圓柱組合而成，為半個(gè)圓柱上底面的直徑,

ZACB=90°,NC=8C=2,點(diǎn)E,尸分別為/C,48的中點(diǎn)，點(diǎn)。為團(tuán)的中點(diǎn).

(1)證明：平面BCD//平面尸;

(2)若尸是線段G尸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)CC=2時(shí)，求直線4尸與平面3。所成角的正弦值的最大值.

【答案】(1)證明見解析

⑵當(dāng)

【分析】(1)先證明QD//FB,FB=CQ,進(jìn)而證明尸為平行四邊形，可得BD//FQ,再證明

EF//BC,由面面平行的判定定理得證；

(2)方法1,建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解；方法2,先證明平面平面A4CC，過4作

A^H工EC、交ECl于H,則乙令"就是直線/尸與平面8C。所成角，利用平面幾何求出4尸最小，得解.

【解析】(1)連接CQ,由點(diǎn)。為用G的中點(diǎn)，片G為半個(gè)圓柱上底面的直徑知NDC4=45。,

由//CB=90。，AC=BC=2,知NC；5/=45。，CQ=血，

貝UNDQB1=NC44,又4,42G四點(diǎn)共面，所以44//。。，

由AXABBX為直三棱柱的側(cè)面知44HAB,即A\B\!/FB,則C、D//FB,

由尸為的中點(diǎn)/C=BC=2得尸B=0=CQ,

所以四邊形FBDC、為平行四邊形，則3D//尸G,

又BDu平面BCD,FC"平面BCD,,則FCX//平面BCD,

因?yàn)镋,尸分別為/C,42的中點(diǎn)，所以EF//BC,

又跖心平面8cO,,8Cu平面BCD,,所以斯〃平面8cD,

又EFCFC,=F,EF,FCAU平面EFCX,所以平面BCD//平面JEF.

(2)(法一)以｛0,函，無｝為一組空間正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

則E(l,0,0),F(l,l,0),C,(0,0,2),A,(2,0,2),

所以麗=(0,1,0),西=(一1,0,2),乖=(-1,1,-2),FC[=(-1,-1,2),

設(shè)屏=2西=(-%-424),2e[0,l],

貝1]不=羽+而=(-2_lT+l,2/l_2),

由平面BCD//平面CtEF知直線4P與平面BCD所成角即為直線4尸與平面CXEF所成角,

設(shè)平面GE尸的法向量為〃=（x,y,z）,

n-EF=y=Q

由《---,取z=l,得x=2,

n-EC】=-x+2z=0

則平面CXEF的一個(gè)法向量為n=（2,0,1）,

設(shè)直線4尸與平面GE尸所成角為0,則

又Xe[0,l],則4=:時(shí)，sin，的最大值為宜

35

所以直線4尸與平面BCD所成角的正弦值的最大值為孚.

（法二）在直三棱柱/3C-44。中，CG，底面/8C,

因?yàn)轷臮底面/8C,所以CC1,成，

由（1）知EFIIBC,BC1AC,所以EF1/C,

又4CACC,=C,AC,CCXu平面44CC,

所以跖1平面44CC，

因?yàn)樗箄平面ErG，

所以平面瓦匕，平面N4GC，

過4作4"_LEG交EC［于H,

因?yàn)槠矫鍱FQc平面AA,C,C=C,E,所以AtH1平面QEF,

又平面8c。//平面GEF,

則直線AP與平面BCD所成角即為直線AP與平面CXEF所成角N4PH,

因?yàn)镽tzXqECs,且正方形ABCD的邊長為2,

所以等=!'則

4

又sinN4PH=AH=亞，要使sinN4P〃值最大,

4P~4P

則AXP最小，在△吊尸G中4尸=FQ=瓜4G=2,

過4作4尸，￡尸交尸G于尸，由等面積可求出4尸=等，此時(shí)sinN4P以=半.

所以直線4尸與平面BCD所成角的正弦值的最大值為學(xué).

?題型06空間中的角、距離問題綜合

19.在平行六面體ABC。一431GA中，已知===1,AAXAB=ZAtAD=ABAD=60°,則下列選

項(xiàng)中錯(cuò)誤的一項(xiàng)是（）

A.直線4c與2。所成的角為90。

B.線段4c的長度為百

C.直線4c與5月所成的角為90°

D.直線4c與平面/BCD所成角的正弦值為逅

3

【答案】D

【分析】在平行六面體ABCD-4片G2中，取刀=落而=B,聾=c,利用空間向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積

運(yùn)算，逐一分析選項(xiàng)，即可得出答案.

【解析】在平行六面體"BCD-4片GA中，令翔=a,AD=b，AA^C,

由=/。=44]=1，N4/B=AAXAD=/.BAD=60°,

得|G[=|b|=[31=],a-b=b-c=a-c=—,

對(duì)于A,顯然京=)+B-e,jD^-a+b>

貝ij布?麗=(1+3-5>(-3+6)=-片+廬+ai-Be=o,即花_L而，

因此直線4c與AD所成的角為90。，A正確；

對(duì)于B,|4C|2=(a+ft-c)2=a2+b2+c2-2b-c=2,即|花|=0,B正確;

2

對(duì)于C,A1C-BBi=(a+b-c)-c=a-c+b-c-c=0,即萬_L函，

因此直線4c與臺(tái)片所成的角為90。，C正確；

對(duì)于D,在平行六面體/BCD-44G。中，四邊形是菱形，即

又4cl.8。，4Cc/C=C,4C,/Cu平面4c4,于是2。）平面4。/,

又瓦?u平面48CD,則平面4（N_L平面48C￡）,

連接/C交50于點(diǎn)。，在平面4a內(nèi)過點(diǎn)4作于點(diǎn)E,如圖，

由平面4c4rl平面4SCZ）=4C,因此&EJ■平面23cD,即直線4c與平面48cD所成角為,

AC=a+b，則同產(chǎn)=卜+討=12+廬+2限不=3,即|陽=5

1A

由AAJ/BB,及選項(xiàng)C知，N44。=90°則sinZ4a=太=?D錯(cuò)誤.

故選：D

20.在四棱錐P-n8CD中，AP4D為等邊三角形，四邊形/BCD為矩形，且AB3BC，平面平面

/8C。，則直線/C與平面PCD所成角的正弦值為（）

【分析】取M為尸。的中點(diǎn)，先證明平面PCD,得N/CM為所求線面角，由邊長間的關(guān)系求正弦值.

［解析】平面PAD，平面ABCD,又平面PADc平面ABCD=AD,

CDu平面/BCD,CDVAD,則CD_L平面尸4D,

又CDu平面PCD,故平面PCO_L平面P4D,

取尸。的中點(diǎn)“，連接如圖所示，

平面尸平面0=平面ZA/u平面尸，

△P4D為等邊三角形,則故/平面PCQ,

則直線AC與平面PCD所成角即為NACM,

/T

令BC=a,則AB--\p2ci，AC—s/3ci，AM=---a,

2

故smZ.ACM=---=—.

d/2

故選：A

21.已知棱長為1的正方體力BCD-4與G2,MN分別是和5C的中點(diǎn)，則"N到平面4G。的距離為

()

石Ry/6rGV6

3322

【答案】C

【分析】延長血W交DC延長線于點(diǎn)。，連接4。,￡0,由幾何關(guān)系證明到平面4G。的距離即點(diǎn)。到

平面4G。的距離，再由等體積法@4兇=Log求出結(jié)果即可;

【解析】

延長MN交DC延長線于點(diǎn)。，連接43G。，AC,

因?yàn)椤?N分別是和8c的中點(diǎn)，則〃/C,

由正方體的性質(zhì)可得/c///￡,所以MV〃4G，

又4Gu平面4G。，平面4G。，所以MN//平面4aD,

所以到平面4G。的距離即點(diǎn)。到平面4G。的距離,設(shè)為〃，

則=匕4-2DG，

因?yàn)檎襟w的棱長為1,

所以DQ=I",AtD=DC】=AG=亞，,

所以上4g,〃=卜吶W,即［xgx（收）x/z=!xgxjxlxln/z=g,

3113134、,3222

故選：C.

22.在四面體/3CP中，平面48cl平面尸4C,△尸NC是直角三角形，P4=PC=4,AB=BC=3,則二

面角/-PC-2的正切值為.

【答案】1/0.5

【分析】設(shè)/C,PC的中點(diǎn)分別為E,。，證得2E_L平面尸ZC,得到BEJ_PC,再由尸尸C,證得尸C，平

面BDE,得至UPC_LAD,得出ZBDE為二面角/-PC-8的平面角，在直角ABDE中，即可求解.

【解析】設(shè)/C,尸C的中點(diǎn)分別為瓦。，連接BE,DE,則DE//P/,

因?yàn)?8=3C,所以5EL/C,

又因?yàn)槠矫鍺3C工平面尸/C,平面48Cc平面P4C=/C,

所以2￡_L平面尸/C,因?yàn)槭珻u平面尸/C,所以BE_LPC,

因?yàn)椤鱎4C是直角三角形，且?/=PC=4,所以P/LPC,

所以DEL尸C且DE=」x4=2,

2

又因?yàn)镈EcBE=E,且。E,BEu平面區(qū)DE,所以PCI平面5D￡,

因?yàn)?Ou平面5DE,則尸CL8。，所以乙BOE為二面角/-尸。-8的平面角，

在直角△出陽中，可得tan4BDE=變=超-（2揚(yáng)二1

DE22

故答案為：y.

久

/V\n

/\V

/\x/\

./EA1\

?y.....vV7*->>cr

'A//

B

?題型07空間中動(dòng)點(diǎn)、旋轉(zhuǎn)、翻折等動(dòng)態(tài)問題

23.若將正方體ABCD-/MGA繞著棱AB旋轉(zhuǎn)30°后,CD所在位置為CD,的位置,則直線和平面CDC

所成的角為.

【答案】15。哈

【分析】由對(duì)稱性，不妨設(shè)點(diǎn)C在正方形38CC內(nèi)，可得平面/3C'。與平面CDC'的夾角為75。，然后根

據(jù)正方體的性質(zhì)結(jié)合條件求解即可.

【解析】如圖，由對(duì)稱性，不妨設(shè)點(diǎn)C'在正方形BBCC內(nèi)，

則ABCC'為頂角ZCBC=30°的等腰三角形，NBCC'=ZBCC=75°,

所以平面ABCD'與平面C0C'的夾角為75。，旋轉(zhuǎn)后顯然BB、與平面ABC'D'垂直，

所以直線和平面CDC所成的角為90。-75。=15。.

故答案為：15。.

27r

24.邊長都是為1的正方形ABC。和正方形/BE尸所在的兩個(gè)半平面所成的二面角為彳，P、。分別是對(duì)

角線NC、B尸上的動(dòng)點(diǎn)，且=則尸。的取值范圍是（）

A.($11B.C.浮，物D.g刀

【答案】D

【分析】由二面角的平面角定義，可得NQ成為平面48CD和平面48EF所在的兩個(gè)半平面所成的二面角的

平面角，設(shè)"=F0=x,(0<x<V2),利用相似三角形得出。”和明，再利用余弦定理求得尸。的表達(dá)式,

進(jìn)而求得取值范圍.

［角軍析］設(shè)/尸=FQ=x,(0<x<V2),貝!|PC=3Q=0_x,

由題意，P,。在43上的投影是同一點(diǎn)，設(shè)為H,連接。“，PH,

則NQHP為平面48CD和平面48EF所在的兩個(gè)半平面所成的二面角的平面角,

貝叱。如哼，

Y

由AAPHSAACB,可得PH=,

由ABQHSABFX,可得QH=在U，

在中，由余弦定理可得:

「小士+(黑)「2咤、生"吳三產(chǎn)

因?yàn)镺WXW0，所以P。%中],則p°eg,i].

故選：D.

25.如圖，AB//CD.CD//EF,AB=DE=EF=CF=2,CD=4,AD=BC=如,AE=2f,M為CD的

中點(diǎn).

（1）證明：￡〃//平面3庭；

（2）求點(diǎn)M至IJ4DE的距離.

【答案】（1）證明見詳解；

⑵處

【分析】（1）結(jié)合已知易證四邊形斯。以為平行四邊形，可證EM//PC,進(jìn)而得證;

（2）先證明04,平面助初，結(jié)合等體積法嗑TDE=%-EDM即可求解.

【解析】（1）由題意得，EF//MC,且跖=MC,

所以四邊形跖。飲是平行四邊形，所以EM//FC,

又CFu平面BCF,EM,平面BCF,

所以瓦W7/平面BCF；

(2)取DM的中點(diǎn)0,連接。4,OE,因?yàn)?8//MC,且?guī)?MC,

所以四邊形/MC2是平行四邊形，所以/M=2C=JIU,

又AD=&5,故△4DM是等腰三角形，同理是等腰三角形，

o^^OA±DM,OELDM,0A=^AD2-=3,0E==也,

又AE=26所以O(shè)W+OE?=/￡■?,故CM_LOE.

又,所以。4_1_平面瓦加,

易知S?EDM=；X2X6=6.

在IxADE中,cosZDEA=±1，=—,

2x2x2734

crpi./rtvA_1、、AV13_V39

rJS以sin/DEA—---,S-——x2x2。3x=----.

4'應(yīng)npA'242

設(shè)點(diǎn)M到平面ADE的距離為d,由VM_ADE-EDM'

得]SA4DE，d=]S?EDM，＜得d=,

故點(diǎn)M到平面ADE的距離為止.

13

26.已知棱長為1的正方體-43cA內(nèi)有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M,滿足=且M3=l,則四棱錐

M-體積的最小值為.

【答案】！一1

36

【分析】利用正方體的空間垂直關(guān)系去證明平面4。＜等內(nèi)的點(diǎn)M都滿足M4="A，再去證明動(dòng)點(diǎn)M在以

“為圓心，以正為半徑的圓上，從而利用點(diǎn)M在圓上的性質(zhì)去解決最值問題.

2

【解析】解：如圖所示，設(shè)2。1口4。=〃，

由正方體性質(zhì)可知，平面4。。瓦，

由于（Wu平面AD.LOM,又因?yàn)椤＞€段N2的中點(diǎn)，

所以M4=MD1,

即點(diǎn)M在平面4DC旦內(nèi)，

又因?yàn)椤?=1,所以與點(diǎn)M在以點(diǎn)3為球心，1為半徑的球面上，

又因?yàn)?。，平面4DC瓦