考點(diǎn)鞏固卷18空間向量與立體幾何（九大考點(diǎn)）

展考點(diǎn)陵覽

考點(diǎn)⑴空間向量及其運(yùn)算

;考點(diǎn)叱望㈣共面向型定理

5/考點(diǎn)03求平面的法向量

If/

同

,考點(diǎn)04列用空間向老證明平行，垂克

向

■

與考點(diǎn)05求空間角

立\\、考點(diǎn)（）6已知夾角求其他量

體V

幾工考點(diǎn)。二求異面近線/3］面或者面外面的距離

何

［考點(diǎn)08求點(diǎn)到線的距離

、考點(diǎn)（刃點(diǎn)的存在性問題

〈/考點(diǎn)訓(xùn)線

考點(diǎn)01空間向量及其運(yùn)算

1.已知三棱錐。-/5C,點(diǎn)M,N分別為AB,OC的中點(diǎn)，且OB=b，次=［用Z，b,工表

B.^a+b-c

D.-^-a-b

2.已知空間向量T=（3,0,l）石=（一2,1,〃）忑=（1,2,3）,直（"）Z=2,則3與B的夾角的余弦值為（）

A.巫

B?-等D-V

21

3.設(shè)空間向量4=（-1,2,加）,6=（2,",-4）,若?/區(qū),貝!］忖一可=

4.在長(zhǎng)方體28CD-4耳CQ］中，設(shè)/。=/4=1,AB=2,則西?匈=.

5.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正四面體48CD中，E,尸分別為棱的中點(diǎn)，則礪.礪=

6.已知向量3=（1,2,3）石=（-2,-4,一6）洞=舊，若（,+今,=7,貝1］0?=.

考點(diǎn)02空間共面向量定理

7.已知點(diǎn)A,B,C,。分別位于四面體的四個(gè)側(cè)面內(nèi)，點(diǎn)。是空間任意一點(diǎn)，則

“歷=:方+工礪+J前”是“A,B,C,。四點(diǎn)共面”的（）

236

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

8.已知（2,-1,3）,彼=（一1,4,-2）,3=（1,3"）,若石，瓦濟(jì)三向量共面,

則實(shí)數(shù)4等于（）

A.1B.2

C.3D.4

9.（多選）在下列條件中，使M與/,B,C不一定共面的是（）

A.OM=3OA-2OB-OCB.OM+OA+OB+OC=0

-----1—■—-1―.

C.MA+MB+MC=0D.OM^-OB-OA+-OC

10.設(shè)日，b,c是三個(gè)不共面的向量，現(xiàn)在從①m+B；②2-3；③3+3；@b+c;⑤7+刃+/中選出可

以與3,3構(gòu)成空間的一個(gè)基底的向量，則所有可以選擇的向量為（填序號(hào)）.

11.如圖，從〃48c。所在平面外一點(diǎn)。作向量工？=左次，礪=左無，詼=瑜心而=左歷.求證:

D'

(1)/,瓦C',。'四點(diǎn)共面;

⑵平面A'B'C'D'H平面ABCD.

12.如圖所示，已知尸是平行四邊形/BCD所在平面外一點(diǎn)，連接P4,PB,PC,PD,點(diǎn)、E,F,G,H分

別為△尸4B,APBC,&PCD,APD!的重心.求證：E,F,G,〃四點(diǎn)共面.

考點(diǎn)03求平面的法向量

13.已知向量48=(2,4,x),平面a的一個(gè)法向量〃=。,乃3),若48ua,則()

A.x=6,y=2B.x=2,y=6

C.3x+4y+2=0D.4x+3y+2=0

14.已如點(diǎn)4（1,1,0）,8（T0,2）,C（0,2,0）者在平面a內(nèi)，則平面々的一個(gè)法向量的坐標(biāo)可以是（）

A.^1,1,--jB.^1,-1,-jC.（2,2,3）D.（2,-2,-1）

15.（多選）已知平面a與平面廣平行，若元=（1,-2,4）是平面a的一個(gè)法向量，則平面廣的法向量可能為

（）

A.（-1,2,-4）B.（-1,2,4）C.（2,4,-8）D.（2,-4,8）

16.（多選）己知平面口內(nèi)兩向量￡=（1,1,1）1=（0,2,-1）,且工=機(jī)￡+:而+（4,-4,1）,若）為平面。的一個(gè)法

向量，貝U（）

A.m=-1B.m=1

C.n=2D.n=—2

17.在正方體/BCD-4片GA中，棱長(zhǎng)為2,G,E,尸分別為441,AB,8c的中點(diǎn)，求平面GM的一個(gè)

法向量.

考點(diǎn)04利用空間向量證明平行，垂直

18.如圖所示，在正方體48C。-中，￡是棱。Q的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在棱上，且印=2萬高，若

87〃平面/0E,則2=()

19.如圖，正三棱柱中，E/分別是棱上的點(diǎn)，AiE=BF=^AAl.

證明：平面CEF_L平面NCG4.

20.如圖所示，已知矩形48CD和矩形4DE尸所在的平面互相垂直，點(diǎn)M,N分別在對(duì)角線8。，AE1.,

S.BM=-BD,AN=-AE.求證：MN1AD.

33

21.如圖，在四棱錐尸中,底面Z5C。為矩形，平面尸4O_L平面Z5CD,ADVMN,AB=2,

AD=AP=4M,N分別是5C,的中點(diǎn).求證：〃平面尸4瓦

p

22.如圖，在三棱柱48。-48cl中，8月，平面/3C,D,￡分別為棱48,8G的中點(diǎn)，BC=2,

AB=264G=4.證明：DE〃平面NCG4.

23.如圖，在四棱錐尸中，底面Z8CD是正方形，底面Z8C。，E是尸C的中點(diǎn)，已知

AB=2,PA=2.

BC

(1)求證：AELPD-,

(2)求證：平面尸5D_L平面尸/C.

考點(diǎn)05求空間角

24.如圖，在棱錐O-4BC中，04,OB,OC兩兩垂直，0/=1,08=2,OC=3,則直線08與平面4BC

所成角的正弦值為()

A.亞D.—

7

JT

25.如圖，在幾何體中，AD//BC,/.BAD=-,AB=AD=IBC=4,AE//CF,AE=2CF=2,AE1

平面ABCD,則直線EF與平面ABCD所成角的正弦值為.

26.如圖，在四棱錐尸一4BCD中，NABC=NCDA=90°,ZBAD=120°,AB=AD=2,E為尸C的中點(diǎn).

(1)求證：BE//平面尸40；

⑵若PC=PD=2C，平面尸CD1平面/BCD,求二面角2-CP-。的余弦值.

27.如圖，在長(zhǎng)方體"BCD-44。A中，點(diǎn)￡，尸分別在棱蟲,C。上，且NE=3E4，3CF=FC—

(1)證明:BE//D.F.

(2)若/3=1,40=2,AAt=4,求平面DE尸與平面9夾角的余弦值.

28.如圖，正三棱柱/8C-48C］中，/4=2/C=2,麗=/，而=不，A^A=c,而7=2調(diào).

(2)求異面直線BM與4c所成角的余弦值.

29.如圖，等腰直角0BC,ZC=90°,BC=4,D、E分別為/C、48中點(diǎn)，將△/￡＞后沿。E翻折成

△PDE,得到四棱錐尸-3CDE,M為尸3中點(diǎn).

(1)證明：平面尸BC；

(2)若直線尸E與平面PBC成角為30°,求直線PC與平面PEB所成角的正弦值.

考點(diǎn)06已知夾角求其他量

30.如圖，在四棱錐尸-/BCD中，己知尸平面/BCD,且四邊形48CD為直角梯形,

ZABC=ZBAD=~,PA=AD=M,NB=3。=1.點(diǎn)。是線段8尸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線C。與。尸所成的角最

小時(shí)，則線段8。的長(zhǎng)為

31.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-44GA中，N4=/。=2,48=3,P為線段跳）上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線AP與平面ABR

所成角的正弦值取最大值時(shí)，三DP=

ADB

G

L一十才

B

32.正四棱柱NBC。-4片GA中，8c與平面/CG4所成角的正弦值為e,則異面直線8。與。。所成

4

角的余弦值為.

33.如圖，平行六面體Z8CD-48cA中，底面N8CO和側(cè)面BCG?都是矩形，￡是CO的中點(diǎn)，D,E±

CD,AB=2BC=2,且平面2CC//與平面功助的夾角的余弦值為長(zhǎng)，則線段。/￡的長(zhǎng)度為____.

3

34.如圖，在直三棱柱中，AACB=W,2AC=A4=BC=2,。為/4上一點(diǎn).若二面角

4-OC-G的大小為60。，則的長(zhǎng)為

35.三棱錐/一BCD中，AB=BD=DA=2,3C=CD=8,記二面角4一3。-C的大小為當(dāng)。e

00

時(shí)，直線與。所成角的余弦值的取值范圍是.

考點(diǎn)07求異面直線，點(diǎn)到面或者面到面的距離

36.如圖，已知正方體NBC。-，//。。/的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)P為線段8G上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)尸到直線/C的距離

的最小值為（）

A.1B.—C.述D.—

234

37.（多選）如圖，正方體/BCD-44G4的棱長(zhǎng)為2,E為線段。2中點(diǎn)，尸為線段8修中點(diǎn)，則（）

A.點(diǎn)4到直線與￡的距離為拽B.直線4E到直線尸q的距離為2

3

C.點(diǎn)8到平面的距離為亞D.直線尸。到平面的距離為與

38.（多選）如圖，在棱長(zhǎng)為1正方體/BCD-44GA中，M為3G的中點(diǎn)，E為4cl與。M的交點(diǎn)，F(xiàn)

為由才與的交點(diǎn)，則下列說法正確的是（）

A.4cl與垂直

B.即是異面直線4G與3c的公垂線段，

TT

c.異面直線4G與4c所成的角為曰

D.異面直線4G與間的距離為也

3

39.如圖，在三棱柱4BC-44G中，底面/3C為正三角形，且側(cè)棱底面/3C,底面邊長(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng)

都等于2,0,。分別為/C,4G的中點(diǎn)，則平面與平面8CQ之間的距離為.

40.已知在邊長(zhǎng)為6的正方體/BCD-45cA中，點(diǎn)分別為線段4。和2A上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)六=

L)XD

時(shí)，線段取得最小值.

41.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體/BCD-4用GA中，E為線段。，的中點(diǎn)，尸為線段84的中點(diǎn).

(1)求直線尸。I到直線4￡的距離;

（2）求直線FC,到平面AB再的距離.

考點(diǎn)08求點(diǎn)到線的距離

42.如圖，N3CD-EFG〃是棱長(zhǎng)為1的正方體，若尸在正方體內(nèi)部且滿足萬=；刀+；而+：荏，貝"

到的距離為（）

43.（多選）已知正方體N8CO-4片GA的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)及。分別是44,4G的中點(diǎn)，尸在正方體內(nèi)部且滿

—?3—?1—?2—?

足=148+貝！|下列說法正確的是（）

A.點(diǎn)A到直線8E的距離是也B.點(diǎn)。到平面N5G。的距離為正

54

C.點(diǎn)尸到直線的距離為IfD.平面48。與平面8c〃間的距離為立

44.如圖，在四棱錐尸-/BCD中，平面N8CD,底面N8CD為正方形，S.PA^AB=2,F為梭PD

的中點(diǎn)，點(diǎn)M在尸/上，且PM=2MZ,則CD的中點(diǎn)E到直線旅的距離是

45.如圖，該幾何體是由等高的半個(gè)圓柱和二個(gè)圓柱拼接而成，點(diǎn)G為弧。的中點(diǎn)，且C,E,D,G

四點(diǎn)共面.

（2）若平面AD尸與平面/3G所成二面角的余弦值為手，且線段長(zhǎng)度為2,求點(diǎn)G到直線。尸的距離.

考點(diǎn)09點(diǎn)的存在性問題

46.如圖，長(zhǎng)方體/BCD-/圈GA中，點(diǎn)￡,尸分別是棱84上的動(dòng)點(diǎn)（異于所在棱的端點(diǎn)）.給出

以下結(jié)論：①在F運(yùn)動(dòng)的過程中，直線尸。能與/E平行；②直線4。與斯必然異面；③設(shè)直線AF

分別與平面4月GA相交于點(diǎn)P,Q,則點(diǎn)G可能在直線P0上.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

47.圖①是直角梯形/BCD,ABHCD,AD=90°,四邊形ABCE是邊長(zhǎng)為2的菱形，并且NBCE=60。，以

BE為折痕將A8CE折起，使點(diǎn)C到達(dá)G的位置，且/G=&.

(1)求證：平面臺(tái)。￡，平面/BED；

(2)在棱DG上是否存在點(diǎn)P,使得點(diǎn)P到平面/8G的距離為半？若存在，求出直線EP與平面/BQ所成

角的正弦值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

48.已知正四棱臺(tái)/8。。-4片。10的體積為竺亞，其中N8=2/百=4.

3

⑴求側(cè)棱44與底面48C