解三角形綜合壓軸小題歸類（16題型提分練）

更盤點?置擊看考

目錄

題型一：三角形幾解求參.........................................................................1

題型二：判斷三角形形狀：化角為邊型..............................................................2

題型三：判斷三角形形狀：化邊為角型..............................................................3

題型四：面積公式的應用..........................................................................3

題型五：求邊長或者周長..........................................................................4

題型六：解三角形求角度..........................................................................5

題型七：范圍與最值：知角和邊求周長..............................................................6

題型八：范圍與最值：知角和邊求面積..............................................................7

題型九：范圍與最值：判斷角型....................................................................8

題型十：范圍與最值：無長度求比值型..............................................................9

題型十一：范圍與最值：正切型最值................................................................9

題型十二：正余弦定理與三角形外心...............................................................10

題型十三：正余弦定理與角平分線.................................................................11

題型十四：正余弦定理與中線.....................................................................12

題型十五：正余弦定理與三角形高.................................................................14

題型十六：解三角形綜合應用.....................................................................15

^突圍?檐;住蝗分

題型一：三角形幾解求參

指I點I迷I津

判斷三角形解的個數有2種：

畫圖法：以己知角的對邊為半徑畫弧，通過與鄰邊的交點個數判斷解的個數。

①若無交點，則無解；

②若有一個交點，則有一個解；

⑥若有兩個交點，則有兩個解；

④若交點重合，雖然有兩個交點，但只能算作一個解。

公式法：運用正弦定理進行求解。

（l）a=bsinA,A=0,則一個解;

②a>bsinA,A>0,則兩個解；

③aVbsinA,A<0,則無解。

1.（23-24高三?陜西榆林?）在ZS/BC中，角C的對邊分別為a,b,c,若8=60。，b=30LABC

只有一個解，貝壯的取值范圍為（）

A.（0,373）B.（0,36]C.（36,6）D.（0,3Q]U{6}

TT

2.（23-24高三?江蘇南通?）已知△4BC的內角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,若滿足條件/=：,

6

c=2的有兩個，則〃的取值范圍為（）

A.（1,2）B.（2,+8）C.[1,2）D.（1,2]

3.（2023?四川綿陽?模擬預測）命題）：“若△ZBC與SEF滿足：

4

AB=DE=x,BC=EF=2,cosA=cosD=-,則△ZBC三△。石尸”.已知命題?是真命題，則工的值不可以是

（）

107

A.1B.2C.—D.-

33

7T

4.（23-24高三下?浙江?）在448。中，ZA=-,AB=4,BC=a,且滿足該條件的△48C有兩個，則。的取

值范圍是（）

A.（0,2）B.（2,273）C.（2,4）D,（273,4）

5.（22-23高三?北京）已知在△4BC中，48=60。,6=6，若滿足條件的三角形有且只有一個，則°的取

值范圍是（）

A.{a|O<a<>/3}B.{0|0<0<&或。=2}

C.{a|0<a<V3}D.{a10<a4G或。=2}

題型二：判斷三角形形狀：化角為邊型

"旨I點I迷I津

正余弦定理：化角為邊型

若式子中含有余弦的齊次式，優先考慮余弦定理"角化邊"；

AQ

1.（2021高三?全國?專題練習）設△ZBC的三邊長為3C=a,CA=b,AB=c,若tan—=—,

2b+c

D1-

tan—=------,則△48C是（）.

2a+c

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形

2.（20-21高三?上海浦東新?）已知△48C的三條邊。,6,c和與之對應的三個角4瓦C滿足等式

acos3+6cosC+ccos4=bcosZ+ccosB+acosC貝ij止匕三角形的形》犬是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰或直角三角形D.等腰直角三角形

3.（18-19高三?四川雅安?階段練習）在△NBC中，￡空=竺&上整，則A48C的形狀是（）

a-bsin（4—5）

A.等腰三角形但一定不是直角三角形

B.等腰直角三角形

C.直角三角形但一定不是等腰三角形

D.等腰三角形或直角三角形

4.（23-24高三?江蘇徐州）在ZU8C中，若l-cos.J-cosy,則△”c的形狀為（）

c-cosnb-cosC

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

5.(23-24高三?安徽蕪湖?)已知a,6,c分別是△/8C三個內角44C的對邊，下列關于的形狀判斷

一定正確的為()

A.sin2A+sin2B=sinC,則△NBC為直角三角形

B.sin2+sin25=sinC,則△4BC為等腰三角形

C.si/N+silB+sin2c=2，則UBC為直角三角形

D.sin271+sin25+sin2C=2,則△4BC為等腰三角形

題型三：判斷三角形形狀：化邊為角型

:指I點I迷I津

正余弦定理：化邊為角型

(1)若式子中含有正弦的齊次式，優先考慮正弦定理"角化邊"；

1.(22-23高三?上海青浦?階段練習)已知△4BC中，角/,B,C的對邊分別是a,b,c,下列命題中，真

命題的個數是()

(1)若/tanB=6?tan/,則△48C是等腰三角形；

(2)若sin/=cos3,則△48C是直角三角形；

(3)若cos/cos5cosc<0,則△48C是鈍角三角形；

(4)若cosQ-8)cos(3-C)cos(C-N)=l,則a/BC是等邊三角形.

A.1B.2C.3D.4

2.(22-23高三?福建福州?)△/BC中三個角的對邊分別記為a、b、c,其面積記為S,有以下命題：①

s=12sm￡smC_②若2cos3sin4=sinC,則△/8C是等腰直角三角形；③

2sinZ

sin2C=sin2A+sin2B-2smAsinBcosC;@(a2+62)sin(y4-S)=(a2-Z>2)sin(/4+5),則LABC是等腰或直角

三角形.其中正確的命題是

A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

3.(23-24高三?重慶?)ZUBC中，角43,C所對應的邊分別是a,6,c,c=acosB+ccosA,則△/3C的形

狀是()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

4.（23-24高三?廣東廣州?）在△N8C中，角/、B、C所對的邊為0、從c若*=強0，則△48C的形狀

ctanC

是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形

5.（2024?山東?二模）在△48C中，設內角4/C的對邊分別為。也。,設甲：b-c=a（cosC-cosB）,設乙:

△4BC是直角三角形，則（）

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

題型四：面積公式的應用

指I點I迷I津

三角形面積，不僅僅有常見的“底乘高”，還有以下：

111abe

(T)SAABC=-absinC=-bcsinA=-acsinB=----

2224R

1

(2)SAABC=—(a+b+c)-r(r是切圓的半徑)

□

1.(23-24高三?重慶?)已知△4BC的內角A,B,C的對邊分別為。，b,c,ZUBC的面積為S,

S=f^2-c2\in^,—則/=()

(2JtanAtanCtan5

A.120°B.135°C.150°D.165°

2.（2023?江西景德鎮?模擬預測）已知△45。中，設角A、B、。所對的邊分別為Q、b、c,△45C的面積

為S,3sin2B+2sin2C=sin（sin+2sin5sinC）,則i的值為（）

11

A.-B.-C.1D.2

42

3.（2023?海南?二模）在銳角三角形ABC中，角A,B,C的對邊分別是a,b,c,已知

a=石,（〃+/-3）tanA=V3bc,2cos2=（后-1kosc，則AABC的面積

A3-V3c3V2+V6c3V2-V6n3+V3

A.--------D.------------C.------------D.--------

2444

TT

4.(21-22高三上?江西宜春?)在。43。中，角A、B、C所對的邊分別為。、b、c,已知/>=2,/=§,且

ch

-——-=—貝IJA4BC的面積為

1-cosCcosA

A.V3B.2gC.遞或后D.

G或

3

5.(23-24高三?廣西百色)ZUBC的內角/,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

bsinC+csinB=4asinSsinC,b1+c2-a2=8,則△/5C的面積為()

A2R2V3r88A/3

333

題型五：求邊長或者周長

指I點I迷I津

解三角形，主要考查正弦定理、余弦定理，還考查三角形面積公式，兩角差的正弦公式，同角間的三角

函數關系，正切函數性質等等.注意正弦定理在進行邊角轉換時等式必須是齊次，關于邊應伉。的齊次式

或關于角的正弦sin4sin?,sinC的齊次式，齊次分式也可以用正弦定理進行邊角轉換.求范圍問題，通

常是把量表示為三角形某個角的三角函數形式，利用此角的范圍求得結論.

I.（23-24高三?湖北黃岡?）在△NBC中,內角4瓦。的對邊分別為a,b,c,已知26sin/=3百，a=3,

為鈍角，b-c=2,貝同=（）

A.5B.6C.7D.8

2.（23-24高三?江蘇淮安?）在△N8C中,角4B,C所對的邊分別為a,b,c,若N=60。，a=瓜,

a2+b2-c2=6ab，貝!J。=()

A.1B.2C.4D.6

3.（23-24高三?山西長治?）在△NBC中,角A,B,C所對應的邊分別為a,b,c,a=2c=2,

4+BC.p...、

tan--------btan-=4,貝()

22

A.V2B.V3C.2D.V5

4.（23-24高三?四川成都）在△4BC中，a,b,c分別為內角N,B,C的對邊，若

3

3sin2C=sin2A+sin2B+2smAsinB,cosC=-,^^ABC=?貝!Jc=()

A.墳B.4C.9D.5

33

jr

5.(23-24高三?江蘇南京)在“BC中，角/,B,C對邊分別為a,b,c.若2bcosC=2a-c,/=—,

4

6=3,則實數a的值為()

A.6B.3C.V6D.G

題型六：解三角形求角度

i----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

"旨I點I迷I津

求三角形角度，要涉及到角的銳鈍的判斷，可以通過余弦值的正負判斷。如果不能直接判斷，那么借助

其他角來判斷。如涉及到銳角三角形，則三個角都要轉化判斷銳鈍。

ah

1.（23-24高三下?江蘇南京）在中，己知。也c分別為角4SC的對邊.若7+―=3cosC,且

ba

cos(4-5)=一—,則cosC=()

6

A.一逑B.—C.—D.立或_逑

99229

2.（23-24高三?青海西寧）在△ASC中，內角45C所對的邊分別是。也c,若

asmA+bsinB-csinC八.一,.,,、

--------------..............=2sinC,則C的大小w為（z）

3.（23-24高三?安徽蚌埠）在LABC中，角48,C的對邊分別為3瓦c,已知cos8+cosC=2sinZsin8,0=標,

則。=()

7171_7171

A.-B.-C.-D.一

6432

4.(2024?江西宜春?模擬預測)在△/5C中，角A,B,。所對的邊分別為b,。，若

(a2+3c2-Z)2)tanB=43ac,則cos55=()

5.(24-25高三?江蘇?假期作業)記△/5C的內角A,B,。的對邊分別為。，b,c.若

a2tanB=b2tanA,(a+c)(a-c)=b(b-V3c),則5=()

71_d兀71-兀、2兀71,、.71

A.一或一B.-C.一或一D.一或一

6262363

題型七：范圍與最值：知角和邊求周長

指I點I迷I津

解三角形中最值或范圍問題，通常涉及與邊長，周長有關的范圍問題，與面積有關的范圍問題，或與角度

有關的范圍問題，

常用處理思路：

①余弦定%結合基本不等式構造不等關系求出答案；

②采用正弦定理邊化角，利用三角函數的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制,

通常采用這種方法；

⑶巧妙利用三角換元，實現邊化角，進而轉化為正弦或余弦函數求出最值

1.（23-24高三?江蘇淮安）在△48C中，角/,B,C所對的邊分別為a,b,c,若〃=石，且

V3cosfi+sinfi=c,則△48C的周長的取值范圍為（）

A.（6,2月］B.［73,273］C.（26,3月］D.12百,3石］

2.(23-24高三?黑龍江大慶)在△ABC中，角B,C的對邊分別為a,b,c,S為△ABC的面積，a=2,

且2s=R-3-C)2,則a/BC的周長的取值范圍是()

A.(2,275]B.(4,275+2]C.(6,275+2]D.(4,75+2]

3.(2024?全國?模擬預測)在銳角△4BC中，若Gsin/W+%9=sin8sinC,且gsinC+cosC=2,

ac

貝IJa+6能取至IJ的值有（）

A.5B.4C.2GD.3

4.（22-23高三?福建福州）設銳角MBC的三個內角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且c=l,/=2C,則△4BC

周長的取值范圍為（）

A.（3,2+V2]B.（3,3+V3]C.（2+在3+⑨D.（2+72,3+73]

5.（22-23高三上?福建泉州?開學考試）在銳角△48C中，角4瓦。的對邊分別為見仇。，S為△ASC的面積,

°=2,且2s=/-伍-則ZUBC的周長的取值范圍是（）

A.（4,6]B.（4,275+2]

C.（6,2^/5+2]D.（4,若+2]

題型八：范圍與最值：知角和邊求面積

i指I點I迷I津

；三角形面積，不僅僅有常見的“底乘高”，還有以下：

；111abc

\^）S/\ABC~~~flbsinC~~-Z?csinA.---tzcsinB~~

2224A

!②聯/80=5（。+6+。＞?尸是切圓的半徑）

1.（23-24高三?山東淄博）在△/BC中，角。所對的邊分別為〃也c,若

sin2A-sin2C+sin2B=smAsinB,且c=3,則△Z5C面積的最大值為（）

A.V3B.咂C.—D.273

44

2.（23-24高三?山東聊城）在△45。中，角4,B,C的對邊分別為mb,c,c=2,

a2+b2=^y^-?Z）sinC+4,則△45。面積的最大值為（）

A.B.1C.V3D.2百

2

3.（23-24高三?陜西渭南?階段練習）在△/3C中，角/,B,C的對邊分別為a,b,c,若。=2,4=30°,

則△4BC面積的最大值為（）

A.3百B.273C.3+百D.2+百

4.（22-23高三下?山西?階段練習）在中，角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,C=1,

asmA+2bsinB=sinC,則△ZBC面積的最大值是（）

5.（20-21高三?安徽?階段練習）在△A8C中，角4瓦。的對邊分別是a,6,c,且

sin（8+C）+2sin/cos3=0.若6=2,則△ASC面積的最大值為（）

273473

A.—D.2^/3

3-I-丁

題型九：范圍與最值：判斷角型

指I點I迷I津

求復合型角,

1.以給了函數值的角度為基角來拆角。

2.討論基角的范圍，確認基南的正余弦值符號

1.（23-24高三?廣東湛江?階段練習）記UBC的內角48,C的對邊分別為a,6,c,已知

a2-b2a2+b2-c2

,若△ABC為銳角三角形，則角8的取值范圍是（）

c2ab

717171兀兀71

A.B.C.D.

%6'4453

2.（23-24高三?湖南株洲?期末）在銳角△4BC中，角/,B,C的對邊分別為a,b,c,若。=C-2（2COSB，

則“sin?'的取值范圍為（）

4sin4—sinC

A.[2近,+s）B.（2女,+8）C.[272,3]D.（2近,3）

3.（23-24高三?江蘇連云港）在中，內角A,B,C所對的邊分別為b,c,若

V2sin4=sin（C-5）,則角A的最大值是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

4.（23-24高三?上海）△ABC的內角A,B,。的對邊分別為〃，b,c,滿足〃2_伍-c/vbe,則角A的

范圍是（）

71

6,71

2bsirU+sinC

5.（2024?安徽合肥?模擬預測）已知△,角4B、C的對邊分別為.、氏,滿足二則角

5的最大值為（）

2兀

T

題型十：范圍與最值：無長度求比值型

指I點I迷I津

解三角形：最值范圍

1、可以用余弦定理+均值不等式來求解。

2、可以利用正弦定理，結合角與角所對應的邊，轉化為角的形式，再進行三角恒等邊形，化一，求解最值與范

圍，要注意三角形是否有“銳角、鈍角”三角形的角度范圍限制

I.（23-24高三?江蘇南京?階段練習）在銳角△A8C中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c若

sinH―伊三，則片的取值范圍是（）

2V4Z>b+c

2.（23-24高三?吉林）已知銳角△/BC是單位圓的內接三角形，角4,B,C的對邊分別為Q,b,c,且

sin2A+sin2C-sin2B=4sin2AcosB-2sinAsinBcosC,則一的取值范圍是()

a

C.(后26)

3.（23-24高三?陜西商洛）記△45。的內角B,C的對邊分別為a,b,c,若bsinZ+V^acosB=0,

仔=—則￡=（）

V2]_

B.—C.D.

2~4~3

4.（23-24高三?湖北?階段練習）在銳角△45。中，角4民。的對邊分別為。也c,且△45。的面積

2

S=6c（l-cos/）,則L的取值范圍為（）

be

5.（23-24高三?江蘇南通）在△48C中，角所對的邊分別為,若c-b=26coJ,則一^的取

a-b

值范圍是（）

A.（-1,2）B.[a]C.g，31D.（2,3）

題型十一：范圍與最值：正切型最值

指I點I迷I津

1.正切主要恒等式：

tana+tanB

tan(a+P)=--------------------(T(a+P))

1-tanatariP

tana-tan0

tan(a-p)=-..................(T(a-p?

1?tanatariP

正切和差公式變形：

tana±tanP=tan(a±P)(l+tanatariP),

tana+tanPtana-tan(3

tanatari0=1---------------------=----------------------1.

tanma+陽tan團0團

2.在三角形中，tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

A-RC

1.（23-24高三上?四川南充?階段練習）△ZBC的周長為18,若cos—^-=2sin,,則的內切圓半徑

的最大值為（）

A.1B.V3C.2D.4

2.（2022?黑龍江哈爾濱?二模）在銳角中，角力,B,C的對邊分別為〃，b,c,△/呂。的面積為S,

2V1

若sin（/+C）=v~1，則tan/+的取值范圍為（）

b-a3tan（8-N）

3.（23-24高三上?山東德州?階段練習）在銳角△4BC中，角B,C的對邊分別為a,b,c,S為AABC

A2_i_2

的面積，且2s=/一9-c）一9,則2上Jr的取值范圍為____.

be

4.（22-23高三下?四川南充?開學考試）已知△/臺。的內角4B,C所對的邊分別為a,b,c,若

s’11/sin。=￡-丁：,則tanC的取值范圍為

sinBb+c—a

5.（21-22高三上?江蘇南通?）在銳角AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知

a2+2abcosC=3b2，則tanAtanBtanC的最小值是.

題型十二：正余弦定理與三角形外心

;指I點I迷I津

:三角形所在的外接圓的處理方法：

1.外接圓的圓心到三角形的三個頂點的距離相等。銳角三角形外心在三角形內部。直角三角形外心在三角

;形斜邊中點上。

:鈍角三角形外心在三角形外。

abc

2.正弦定理：--=--=--=2R,其中R為外接圓半徑

sinAsinBsinC

1.（2023高三上?全國?專題練習）在A/BC中，。為邊NC上一點，AB=AC=6JD=4,若△N8C的外心

恰在線段2D上，則2C=—.

2.（21-22高三上?河南?階段練習）在鈍角三角形/BC中，內角/,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

,,a=2,點。為A42c的外3△05C的面積為G，則△048與△CMC的面積之和的最大值為.

3.（17-18高三?湖南?開學考試）若點。是等腰△NBC的外心，且/8。。=120°,底邊BC=2,貝I]的

面積是?

4.（22-23高三?四川達州）已知△4BC的內角川瓦C所對的邊分別為內6,c,滿足a=3,b+6cosB=2c,

A

若M為△48C的外心，的延長線交BC于。，且=火，則人=—；△48C的面積為.

2—

5.（22-23高三?湖北?階段練習）在△JBC中，已知/B=2,/C=5,N34C=6O。，尸是A42C的外心，則//尸3

的余弦值為.

題型十三：正余弦定理與角平分線

指I點I迷I津

內切圓圓心，是三角形三個內角角平分線的交點，A/BC的三邊長分別為見"c,△Z3C的面積為S,內切圓半

2s

r=-------

徑為廠，貝寸a+b+c,

SA=；（a+6+c）ro

1.（2023?江西?模擬預測）如圖，若/。是△NBC的角平分線，貝U4D2=/B./C_2Z）.CD,該結論由英國

數學家斯庫頓發現，故稱之為斯庫頓定理，常用于解決三角形中的一些角平分線問題.若圖中

在&ABC內任取一點P,則點P恰好落在△/AD內的概率為

A

DD

53_44

A.—B.-C.一D.-

9595

2.（2023?青海玉樹?模擬預測）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為。、6、。，若

asmA=bsinB+（c-b）sinC,AD為AABC的角平分線,且c=2b,則a的值為（）

A.2gB.3gC.477D.677

3.（22-23高三?浙江杭州?期中）在△48C中，ABAC=90°,4D是NA4c的角平分線，AB=3,NC=4,

￡是NC的中點，則DE的長度為（）

A2歷口2行「歷D.叵

A.----------D.----------C.--------

7777

4.（21-22高三上?浙江?階段練習）已知內接于半徑為2的OO,內角4,5,C的角平分線分別與。。

相交于E,F三點,若/。-0$7+8￡*-057+。尸-05萬=/1（5111/+51115+5詁。），則4=

A.1B.2C.3D.4

JT

5.（21-22高三?河北保定）在448C中，B=1,"為NC邊上的一點，且的W=2,若由/為—4BC的角平

分線，則二27-二17的取值范圍為

題型十四：正余弦定理與中線

指I點I迷I津

中線的處理方法

------?1?.--------?21/.2*,**2

AD=-（AB+AC）AM=-\AB+2AB-AC+AC

1.向量法：2'o4\

2.補全為平行四邊形。再轉而在新三角形中用正余弦定理

2.余弦定理法（補角法）：

如圖設式）=OC,

在中，由余弦定理得48?①

在△/口）中，由余弦定理得NC?+r）c2-2*4Dxr）Cxcos/4DC，②

因為NAMB+NAMC=兀，所以cosZADB+cosZADC=0

所以①+②式即可

3.延伸補形法：如圖所示，延伸中線，補形為平行四邊形

1.（23-24高三?海南海口）△48C中，角A,B,C的對邊分別為“，b,c,

sin25+sin2C-sin2^4=sin5sinC,a=4,2c邊上的中線為旗,則△48C的面積為（）

A.V3B.2GC.3D.4

2.（23-24高三?江蘇鎮江?階段練習）在△4BC中，角/,B,C的對邊分別為a,b,c,b=2,

b2+c2-a2=bc,若3c邊上的中線49=療，則△NBC的外接圓面積是（）

A.4兀B.8兀C.12TID.16兀

3.（22?23高三?四川成都）如圖，在△ZBC中，已知43=2,4c=5,ZBAC=60°fBC,4C邊上的兩條

中線/M,3N相交于點尸，則N4P2的余弦值為（）

V132V13?2回4>/9I

DD.

13139191

4.（20-21高三四川自貢?開學考試）如圖，在△NBC中，ZACB=90°,AC=BC,4。為中線，過點C作

CE1.4。于點E,延長CE交48于點尸，若/C=l,則C戶的值為（）

V5

D.

3

5.（2022高三?全國?專題練習）在等腰△/8C中，4C=BC,3c邊上的中線/。=4,則△4BC面積S的最

大值為（）

c283264

B.—C.—D.

33T