專題突破卷13解三角形的圖形歸類（含中線、角平分線、高）

蜃題型預策

四邊形問題

四邊形的最值問題

外接圓問題

內切圓問題

垂線問題

角平分線問題

中線問題

其余等分點問題

題型突破

1.四邊形問題

1.如圖，在四邊形/8CZ）中，已知的面積為岳=曰（/。―/序一8c2）,記A/C￡＞的面積為S2.

D

AC

B

⑴求/48C的大小；

Q）若CD=6BC,設/C4D=30。，4CD=120。，問是否存在常數4,使得耳=拉2成立，若存在，求4

的值；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）120。

（2）存在彳=匕叵合題意

3

【分析】（1）利用余弦定理及三角形面積公式，求得tanB的值，得/4BC的大小；

（2）設N/C8=a,利用正弦定理得關于。的代數式，解出夕，利用三角形面積公式，求出2的值.

【詳解】（1）在中，由余弦定理，AC2=AB2+BC2-2AB-BCcosB,

因為d=^-（AC2-AB2-BC2）=~AB-BCsinB,所以-V^cosBusinB,

即tan8=-VL又因為Be（0。,180。）,所以//BC=120。.

(2)設=則//C￡>=120°-a,D=30°+a,ZCAB^60°-a,

CDAC

在A/CD中，由正弦定理,

sinZCADsinD

BCAC

在“3c中，由正弦定理,

sinACABsinJ?

兩式作商，得sin(60°-a)sin(30°+a)=cos(30°+a)sin(30°+a)=；,

即sin(60°+2a)=g,因為ae(0°,120。)，所以60°+2a=150°,a=45°,

I=gNC-8Csin45°,S2=1^C-DCsin（120°-45°）,

假設E=九$2，所以.包=24/c.￡）c.（走X包+'x也），

2222222

解得文=三8.

3

【點睛】設N4CB=a,由題目中角的條件，及CD=6BC,考慮在兩個三角形中利用正弦定理建立關系式

進行計算.

2.如圖所示，在平面四邊形4BCD中，ZABC=150°,ZACD^60°,48=百，BC=\,CD=5.

A

⑴求3。的長；

⑵若NC與2。交于點。，求的面積.

【答案】（1）不

35A/3

32

【分析】（1）根據余弦定理在“BC中求解4C=近，進而根據和差角公式可得

cosZBCD=cos（ZACB+//CD）=、，即可由余弦定理求解，

（2）根據三角形邊角關系，結合余弦定理和和差角公式即可求解NO=小，利用面積公式即可求解.

8

【詳解】（1）由題意，在“8C中，ZABC=150°,48=石，BC=1,

由余弦定理得，AC2=AB2+BC2-2AB-BC-cosZABC=3+l-2x^3xlx一等］=7,

所以/。=近,

在“BC中，C0S//C2=1+713=蟲,

2幣14

所以sin乙1。2=畫，

14

所以cosNBCD=cos(NACB+NACD)=\-叵乂昱=",

'714214214

在△BCD中，由余弦定理可知BO?=8。2+82-26。-0)<05/2。。=1+7-2*1乂4*工=7,

14

所以J7.

（2）由（1）可知/C=C￡>=g,又因為440=60。，所以A/CD為等邊三角形,

所以/C/Z?=60。，AD=布，

7+7-113&n

在△BCD中，cosZBDC=-/=-7=-77，所以sin/BOC=±

2xj7xj71414

在△4。。中，cosZ^Z>(9=cos(Z^DC-Z5DC)=-x—+^-x—=—,

1721421414

5n

故sinZ.ADO=-----

14

所以cosZAOD=-cos(ZG4D+ZADO)=

所以sinZAOD=

7

V7Ao

AF)A0解得NO=些

在△/⑺中‘由正弦定理可知舊^即4不~56

sinZADO8

所以也.。=-AO-AD-sinZOAD=-x^-x=

228232

3.(2023?北京大興?統考三模)如圖，平面四邊形/BCD中，對角線4C與3。相交于點E,

ZABD=ACBD,AC±AD,AE=EB=3,DE=5.

(1)求A4D8的面積;

(2)求sinNR4c的值及EC的長度.

【答案】⑴三48

⑵sin/BAC=*,比哈

3

【分析】(1)根據勾股定理可得/。=4,結合sin//DE=w再根據面積公式求解即可；

(2)根據等腰三角形性質可得44網＞=2/歷1C,再用同角三角函數的關系與二倍角公式可得

smZBAC=^~,然后根據sin/BCE=sin(/CBE+4EC),利用兩角和的正弦公式求解，由正弦定理求解

EC即可.

【詳解】(1),/AC1AD,AE=3,DE=5

_________348

AD=slDE2-AE2=4>sinZADE=-,=—xDAxDBxsinZADB=—x4x8x—=

^AABD225y

(2)vAE=EB,ZAED=ZEAB+ZEBA,sinZAED=^f貝！Jcos/Z￡Z)=Jl—1|

3

ZAED=2ABAC,cos/AED=1-2sin29ZBAC=—,

...N3NCe(0,1^

sinNBAC=—,cosNBAC=Vl-sin2ZBAC=—，

55

XZCBD=ZABD=ZBAC,在ABCE中，ZCBE+ZBEC+ZBCE=n

sinZBCE=sin(ZCS￡+NBEC)

=sinNCBEcosZBEC+cosZCBEsinZBEC=—xi+拽x-=

555525

ECBE

由正弦定理可知,

sinZCBEsin/BCE

.EC_BE-sinNCBE°5_15

—sinZBCE~-TT-

25

4.如圖，四邊形/BCD的內角8+。=兀，AB=3,DA=\,BC=CD,且/C=J7.

(2)若點尸是線段48上的一點，PC=6求上4的值.

【答案】(嗚

⑵2

【分析】(1)設8c=8=x>0,在。BC、A/CD分別利用余弦定理可得出關于x、cos8的方程組，解

出cosB的值，結合角3的取值范圍可求得角8的值；

(2)利用正弦定理可求得=利用勾股定理求出尸8,即可求得尸/的長.

【詳解】(1)^BC=CD=x>0,

在iiABC中由余弦定理得AC?=9+x2-2x3xcosS=7,即x?+2=6xcos8①,

又在中由余弦定理得=1+'2一2xkcosQ=7,即J—6=2xcos。②,

因為6=71,貝!JcosD=COS（71-5）=-cos5,

1

聯立①②可得x=2(負值舍去)，cos5=-,因為Be(O,兀)，所以8=7(T

BCPC

(2)在aPBC中，由正弦定理知,

sinZBPC~sinB

所以sm/第C=2或

PC

JT

又Q<NBPC<n,故NBPC=5,

在直角三角形APBC中，由勾股定理知，PB=NBC-PC2=\，

5.如圖，四邊形4BCD是由。BC與正ANCD拼接而成，設43=1,smZBAC=y/3sinZACB.

⑴當/48C=90°時，設麗=x^+y元，求x,V的值；

(2)當N4BC=150°時，求線段50的長.

【答案】⑴x=2,y=l

(2)5D=V7

71

【分析】(1)由題意根據正弦定理可得BC的長，由/，3。=90。和正人/8可求得乙8。=5,再根據平

面向量線性運算，BD=BC+CD=BC+2BA,進而得出x,V的值.

(2)根據正弦定理和余弦定理可求出NC的長，進而得出cos/胡C,sinZBAC,利用余弦和差化積得到

C0S/R4。=cos]/A4C+[],再根據余弦定理得出BD的長.

【詳解】(1)在A4BC中，由sin/B/C=,

可知BC=島3=5

JI

由于NN3C=—,:.ZACB=~,ZBCD=~,

262

DC=AC=2,.-,BD=^C+CD=BC+2BA，:.x=2,y=l.

（2）在A/3C中，AC=」ABL2+BC?-2ABXBCCOSB=G，

D

2x1x77

51

cosZBAD=cos77x2

BD=yjAB2+AD2-2ABxADcosZBAD

l2+肝-2xlxy/7x—==^7

2V7

BD=4i.

6.某市準備規劃一條平面示意圖如圖所示的五邊形賽道，ED,DC,CB,BA,4E為賽道(不考慮寬度)，BE

為賽道內的一條服務通道/BCD=NCDE=ZBAE=—,DE=4km,2C=CD=?m.

(1)求服務通道5E的長度；

(2)若ZE=3km,求賽道N2的長度.

【答案】(1)5

-3+V73.

(2)------------km

2

JT

【分析】(1)連接5。，在中，由余弦定理可得BD的值，由8。=。。，可得NCBD=/CDB=>

6

TT

求出乙再利用勾股定理可求3E的值.

2

(2)根據余弦定理即可求解.

2冗

【詳解】(1)連接8。，,.?/8。=/。。￡=/胡￡=彳，DE=4km,BC=CD=?m,

.,.在△BCD中，由余弦定理，

可得&C>2=8。2+82_28。。。5/80?=3+3+2'百'6'工=9,

2

BD=3,

TT

BC=CD,:"CBD=/CDB=—,

6

2JT7T

又ZCDE=—:.ZBDE=-

32

在中，BE=^BD2+DE2=5-

/爐+9-25

⑵在“助中‘cos"f'；2x3xAB

化簡得/笈+3/B_16=0,因為＞0,所以Ay.

2.四邊形的最值問題

7.如圖，在梯形48CD中，ABHCD,AD=BC=AB=2,CD=AC.

(2)平面內點P在直線CD的上方，且滿足2/DPC=5//C2,求DP+CP的最大值.

【答案】(1)DC=1+逐

⑵行+而

【分析】(1)設OC=/C=小在A/。與△/C5中分別利用余弦定理得到關于，的方程，解得即可;

(2)首先求出NDPC,即可得到。。2=。尸+。尸2,再利用基本不等式計算可得.

［詳解］(1)DCHAB,4B=BC,：.ZACD=ZCAB=NACB,

在A/CD中，記0c=/C=t,

由余弦定理得cosZACD=,

2DC-ACt2

"人……AC2+BC2-AB2t

在△/CB中，cosZ-ACB=-----------------------=—,

2ACBC4

由產一一2=人t得/一4?+8=0,

t14

gp(/-2)(f2-2/-4)=0,

解得f=2或t=l±&,

:/=2與梯形矛盾，舍去，又/>0,

：.t=l+45,DC=l+y/5.

(2)由(1)知NC4。=N/DC=N8CD=2N/CD,

故52/CD=180°,ZACD=ZACB=36°,

故/DPC=*4CB=90。，

2

在△。尸C中，DC1=DP2+CP2,

（DP+CP）2<2（DP2+CP2）=2DC2,（當且僅當OP=C尸時，等號成立）.

DP+CP<V2+V10,

故當小9=”何時’—取得最大值內配

8.為了豐富同學們的課外實踐活動，石室中學擬對生物實踐基地（”3C區域）進行分區改造.ABNC區域

為蔬菜種植區，AC龍〃區域規劃為水果種植區，蔬菜和水果種植區由專人統一管理，AMNC區域規劃為學

生自主栽培區.AMNC的周圍將筑起護欄.己知NC=20m,AB=40m,ABAC=60°,4MCN=30°.

⑴若NV=10m,求護欄的長度（AAWC的周長）；

（2）學生自主栽培區A〃NC的面積是否有最小值？若有，請求出其最小值；若沒有，請說明理由.

【答案】⑴30+10君（m）

（2）有，300（2-73）m2

【分析】（1）利用余弦定理證得從而判斷得A/NC是正三角形，由此得解；

（2）在A/NC與中，利用正弦定理求得CN與CM關于。的表達式，從而利用三角形的面積公式得

到,的關于6的表達式，再結合三角函數的最值即可得解.

【詳解】（1）依題意，在“MC中，AC=20m,AM=10m,ABAC=60°,

所以CM?=/M2+/C2-2/M./CCOS/=300,貝AC2=CM2+AM2,即NMJ_CW,

所以N4CM=30。，又NMCN=30°,故4GV=60°,

所以A/NC是正三角形，則CN=NN=/C=20m,MN=AN-AM=lQm,

所以護欄的長度(A〃NC的周長)為CM+CN+MV=30+10G(m).

(2)學生自主栽培區AMNC的面積有最小值300(2-石)n?,理由如下：

設N/CM=9(0°<e<60°),

在A/NC中，ZMCN=30°,則//"。=180。-60。-(19+30。)=90。-61,

CNAC20io、6

由正弦定理得.=一石，得=」一，

sin600si.n("9n0°。-〃'cos。CNcos8

在△ZCM中，ZCMA=180°-60°-=120°-,

CMAC10A/3

由正弦定理得主=sm(12。-)，得.=遙西,

所以S-#"CMsm30°=麗需小

_______________300________________________300________

4(sinl20°cos。-cos120°sin9)cos02sin8cos0+273cos20

_________300________300

-sin2<9+V3cos2<9+V3-2sin(2<9+60°)+73'

所以當且僅當26?+60。=90。，即。=15。時，ACMN的面積取得最小值為冒\=300(2-君)m?.

9.在平面四邊形4BCD中；AB=BC=CD=2；AD=20

(1)若四邊形/BCD為圓內接四邊形；求/C；

(2)求四邊形ABCD面積最大值.

【答案】(1)4C=2，1+G

(2)712+873

【分析】(1)在和A/CD中，均利用余弦定理表示出NC?,可得cosB-V^cosZ)=-1,再由3+。=兀,

解出cosB的值，代入運算，得解；

(2)由(1)知，2cos3-26cosO=-2①，利用三角形面積公式，可得四邊形4BCZ)的面積

S=4+S2=2sinB+2月sin。②，由①?+②？，并結合三角恒等變換公式，求得S的最大值，得解.

【詳解】(1)連接ZC,

在AABC中，由余弦定理知，AC2=AB2+BC2-2T15-BCCOSS=4+4-2X2X2XCOS5=8-8COSS,

222

在“CD中，由余弦定理知，AC=AD+CD-2^JD-C￡>cos￡>=12+4-2x2V3x2xcosZ)=16-8V3cosD,

所以8-8cos5=16-8A/3COSD，即cosB-#>cosD=-l>

又四邊形48cZ)為圓內接四邊形，所以5+￡)=兀，BPcosS=-cosD,

所以儂八三’

所以NC?=8-8COSB=4(1+G),

所以4C=2，1+省.

(2)由(1)知，cosB-4icos￡>=-1,

所以2cos8-2&cos。=-2①，

因為-8C的面積d=g/8ICsinB=2sin8,

A/CD的面積52=^ADCDsmD=2y/3smD,

所以四邊形28co的面積S=H+邑=2sinB+2Gsin。②，

由①②分別平方相加可得

S2+4=4(sin25+cos25)+12(sin2D+cos2D)-8省(cos5cosD-sin8sin。)=16-86cos(5+Z>)<16+873,

當且僅當cos(3+Z))=-1,即3+。=兀時，等號成立，

所以$2+4416+8月，即SVJ12+84，

故四邊形42。。面積最大值為加西T.

冗

10.在圓。的內接四邊形48CD中，48=2,CD=1,NN=§，示意如圖.

(1)若/C是圓。的直徑，求4D的長；

(2)若圓。的直徑為胡，求四邊形48CD的面積.

【答案】⑴4-君

12+36或36

(2)

88

【分析】（1）連接/C,利用圓的性質、直角三角形邊角關系，結合差角的余弦公式求解作答.

（2）連接3D,利用正弦定理、余弦定理求出/28C,再利用三角形面積公式求解作答.

冗

【詳解】（1）連接/C,設則=§-。，因為ZC是圓。的直徑,

ABCD

則。3c與△4DC為直角三角形，有z尸小一sin。，

LOb^--V）

又AB=2,CD=1,即2sin8=cosq-6)=；cos6+程sin。，整理得(4-百)sin。=cos。,

所以===

tan〃sinu

連接肛因為圓。的直徑為B則在△45。中，由正弦定理得一^=6,BD=g與金，

sinABAD22

在Z\ABD中，由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB-AD-cosABAD，

2

設ND=x,貝U（姮）2=22+X2-2X2》XL,BPX-2X+-=0,解得

2242

設2C=>,同理在△BCD中有/BCA=與，（浮）2=l+/+y,解得y=^|zl,

因此四邊形N8CD的面積SABCD=S&ABD+SABCD=^AD-ABsinZBAC+^CDCBsinNBCD

二圣+9廣42f）（（2x亭+*1）￥（3+2G±25

所以四邊形488的面積為U±更或邁.

88

【點睛】思路點睛：涉及平面多邊形問題，把圖形拆分成若干個三角形，再在各個三角形內利用正弦、余

弦定理求解.

11.（2023?云南保山?統考二模）如圖，在平面四邊形48CD中，48=1,BC=3,AD=CD=2.

D

A

c

(1)當四邊形/BCD內接于圓。時，求角C；

(2)當四邊形/BCD面積最大時，求對角線8。的長.

【答案】(1)C=[

【分析】(1)根據/+。=兀，結合余弦定理求解即可；

(2)將四邊形的面積拆成兩個三角形的面積之和，由余弦定理和三角形面積公式結合三角函數的性

質即可求解.

【詳解】(1)由余弦定理可得：

BD2^AB2+AD2-2AB-AD-cosA=12+22-2xix2xcosA,

BD2^BC2+CD2-2BC-CD-cosC^32+22-2x3x2xcosC,

所以5-4cos/=13-12cosC.

又四邊形/BCD內接于圓。，

所以/+C=n,

所以5-4cos(%-C)=13-12cosC,

化簡可得cosC=g,又Ce(O,?i),

所以C=：.

(2)設四邊形N8CD的面積為S,

則S=S+S=—AB,AD,sinAH—,BC?CD,sinC,

/ASADUARrn22,

又BD2=AB2+AD2-2AB-AD-cosA=BC2+CD2-25C-CD-cosC,

S=—xlx2sinAH——x2x3sinC「S=sinA+3sinC9

所以22，即]

I2+22-2xlx2cosA=22+32-2x2x3cosCL2-3cosCcosA^

平方后相加得S?+4=10+6sinT4sinC-6cosAcosC，即S?=6-6cos(/+C),

又/+Ce（O,2?i）,

所以/+C=TT時，$2有最大值，即S有最大值.

此時，A=TI-C,代入2=3cosC-cos/得cosC=g.

又Ce(O,兀)，所以C=g

在△BCD中，可得：

BD2=BC2+CD2-2BC-CD-COSC=22+32-2X2X3XCOSJ=7,即近.

所以，對角線8。的長為療.

12.如圖，在平面四邊形/BCD中，AC=4,BCLCD.

(1)若/2=3,BC=2,CD=5,求A/CD的面積;

⑵若48=§,"=g求半+（的最大值.

3662）

【答案】（1）2^1

4

⑵婭

3

【分析】（1）先用余弦定理求出cos//CB,再利用面積公式求解;

（2）設NBCA=9,運用正弦定理分別表示出8C,/。,再利用恒等變換以及三角函數的性質求解.

【詳解】(1)在。中，由余弦定理可得cos/ACB=402+§02―=16+9—4;)

2ACBC2x4x38

7

因為BC±CD,所以sinZACD=cos/ACB=—,

8

所以的面積S=工力。?C0?sin//C7)=Lx4xVl?xZ=^^；

2284

TTTTT7T1

(2)設NBCA=9,0<6〈一，則//CD=——0,ZBAC=——3.

3233

BCAC

8

在。中，由正弦定理可得$也.2兀則3C=

8c^-0sm——73

3

ADAC

在一CD中，由正弦定理可得兀〃「二7^，貝=8cos。,

sin-----（7=

（2）6

所以=1孚+4]cose-2sin(：-e]=Tcose+￥sine=^sin(e+；；

當。二時,4D_8C取得最大值地;

3

綜上，的面積為打叵NO-BC的最大值到t.

43

3.外接圓問題

13.在圓。的內接四邊形48CD中，AB=6,BC=3,CD=2?,DA=1.則下列說法正確的是（）

,7

A.四邊形45cZ）的面積為2B.圓。的半徑為W

C.AOBD^--D.若DH1.BC于點、H,貝I麗.麗=4

2

【答案】ACD

【分析】對于A,利用圓內接四邊形對角互補及余弦定理和面積公式進行判斷；對于B,利用正弦定理求出

該外接圓的直徑；對于C,利用數量積公式求解判斷；對于D,利用數量積公式求解判斷.

1+8-AC29-AC22+9-AC2il-AC2

【詳解】對于A,連接/C,在ANC￡＞中，cosD=COS5=

4V24V2'6A/260'

o-AT211—AC249

-B+D=TI,/.cosB+cosD=--+——,=—=0,解得2。？=一

4J26J25

正-x/27五

/.cosD=----,cos5=----,/.sin5=sinZ)=

1010

77221

=—xxxsin5=—xx3X----------------

一S4ABeABBC后

221010

7收7

S“DC=g*4DxDCxsin。=；x1x272x---=一，

105

217357

，四邊形Z5CQ的面積8=m+不=歷=5,故A正確;

絲

對于B,設外接圓半徑為R,則由正弦定理得.益二繪S,

10

,該外接圓的半徑為巫，故B錯誤;

2

對于C,過點。作。GLN8于點G,過點。作于點N,

所以怒_1_而，而_L而，GO=>jR2-AG2==0,

則由垂徑定理得4G」/B=也，

22

，八,i+2-BD29+S-BD2人

'：A+C=TI,「.cosA+cosC=----f=——+-----f=——=0,

2V212V2

解得g，；.cosC=^,，C=；,ZW=/"sin(兀-/)=lx"=交,

24v722

BN=AB+AN=^J2+—=^^

22

Ad-BD=(AG+Gdy(BN+ND^=AG-BN+NDGd+AG-ND+BN-Gd=AG-BN+ND-Gd

c

=-|^G|.|5^|+|W|.|GO|=-^-X^1+^XV2=-1,故正確；

對于D,由C選項得C=P，DF\=CD-sin-=272x—=2,

442

麗.麗=|麗’麗卜osN3D"=|而『=4,故D正確.

故選：ACD.

14.如圖，已知圓。內接四邊形/3CD中，4B=2,BC=6,AD=CD=4,則下列說法正確的是

B.四邊形ABCD的面積為86

C.該外接圓的直徑為第

D.BO-CD=-4

【答案】ABD

【分析】A,連接5。，設BD=t,由cos4+cosC=0結合余弦定理可得￡,即可得C；B,由A分析結合面

積公式可判斷選項正誤；C,由正弦定理可判斷選項正誤；D,注意到麗?西=麗?(而-前)，后由數量

積幾何意義可判斷選項正誤.

【詳解】A選項，連接5Z),設BD=t,由題可得4+。=兀，貝!Jcos4+cosC=0.則由余弦定理:

”+—+42+6-2=on=2^7，則cosC=――----=—=>C=—,故A正確;

16484823

B選項，四邊形ABCD的面積S=SRAn+SRrn=-x—X(2X4+4X6)=8A/3，故B正確.

ABAD△BCD22、

BD_2近_4721

C選項，注意到三角形BCD外接圓為圓。，則由正弦定理，外接圓直徑為=^7?=方="I-

~2

故C錯誤;

D選項，BdCD=Bd(JD-Jc^=BdBD-BOBC,取即，8c中點為RG,由垂徑定理結合向量數

------*-------------?-------------?------,1------?21------?2

量積幾何意義可知2。?。=8尸-80-86］。=—區0BC=14-18=-4,故D正確.

22

故選：ABD

15.平面多邊形中，三角形具有穩定性，而四邊形不具有這一性質.如圖所示，四邊形N8CD的頂點在同

一平面上，已知AB=BC=CD=2,AD=26.

(1)當AD長度變化時，6cos/-cosC是否為一個定值？若是，求出這個定值；若否，說明理由.

(2)記4ABD與ABCD的面積分別為H和邑,請求出S；+S；的最大值.

【答案】⑴6cos/-cosC為定值，定值為1

⑵14

【分析】(1)法一：在△23。中由余弦定理得出coM=嶼二空二，在△8C0中由余弦定理得

8

cosC=88〃2,兩式相減可得答案；法二：在中由余弦定理得

8

BD?=16-8瓜osA,在△回1)中由余弦定理得2》=8-8cosC,兩式相減可得答案；

(2)由面積公式可得S；+S；=-24cos2/+8A/§COS4+12,令cos/=/Je(-1,1)轉化為二次函數配方求最值即

可.

【詳解】(1)法一：在中，由余弦定理8%=-2+/82—1￡>2,

2AD-AB

,口,(151+展-BD?,16-BD-

得cosA=--------尸------,即nnJ3cos4二--------①,

2x273x28

7272_RD2

同理，在△BC。中，cosC=,

2x2x2

即cos。/一姐②,

8

①一②得gcos/-cosC=1,

所以當8。長度變化時，岳oM-cosC為定值，定值為1;

法二：在中，由余弦定理BO?MNOZ+NSZ-Z/OIBCOSN

得BD【=Q52-—2x202xcosA,BD2=16-^cosA,

同理，在△3CD中，BD2=CD2+CB2-2CD-CBcosC=8-8cosC,

所以16-8gco"=8-8cosC,

化簡得Geos/-1=cosC，即6cos/-cosC=1,

所以當BD長度變化時，岳oM-cosC為定值，定值為1;

(2)S^+Si=-AB2-AD2-sin2y4+-BC1-CD1-sin2C

1244

=IZsin?/+4sin2C=12sin2y4+4-4cos2C

=12sin2^4+4-4(ecos4-I)2

=-24COS2T4+S4icosA+12,

2

所以V=-24/+8底+12=-24+14,

所以，=且，即cos/="時，

66

W+S；有最大值為14.

16.已知平面四邊形中，AB=26,BC=2-道,0)=3,AD=4,且四邊形/BCD有外接圓E.

⑴求角。的大小；

(2)求tan/。/C的值.

【答案】(1)。=]

(2)tan/ZMC=￥

【分析】(1)連接/C,在AA8C和A/CD中，分別利用余弦定理結合。+2=兀求解；

TT

(2)在ANCD中，利用正弦定理得到4sin/D/C=3sin/DC4,再結合。=§求解.

【詳解】(1)解：如圖所示：

A

:四邊形/BCD有外接圓E,二。+3=兀.連接/C,

在。5c中，由余弦定理可得

"2=(2上了+(2-石『-2x2后x(2-⑹cos3=19-4用(8月-12kos。①,

在A/CD中，由余弦定理可得NC2=42+32-2x4x3xcosO=25-24cos。②，

由①②可得cosO=；.

DG(0,兀),

4

⑵在“。中，由正弦定理可得而方而

sinZDCA

即4sinADAC=3sinNDCA.

IT

由(1)可知。=1,

(27r)227t

.?.4sinNZ14C=3sin——ZD^C=3sin——cosZD^C-3cos—sinZDAC,

I3J33

%h3

=-----cosDAC+—sin^DAC,

22

o/T5

???—cos^DAC=-sinZDAC,

22

tan/ZMC=-----.

5

17.如圖，已知5。為。。的直徑，點A、尸在。。上，AD1BC,垂足為。，BF交AD于E,且

AE=BE.

(1)求證：AB=AF；

3

(2)如果sin/尸8c=1,AB=4y/5,求4。的長.

【答案】(1)證明見解析

(2)8

［分析】(1)連接AC,由已知條件推導出NBAD=NBCA=ZBFA,ZABF=/BAD,從而得到

ZABF=NBFA,由此能證明42=4F.

3

(2)由已知條件推導出/尸。8=2N/C8,BF1CF,sinZFBC-cosZFCB=cos2ZACB=-,從而得到

cosAACB,由(1)得cos/24D=cos//C2,在RtA4BD中，由cos/B/。即可得出.

【詳解】(1)證明：連接/C,

ADLBC,

ABDA=90°,

:.ZDBA+ZBAD=90°,

又：8C是。。的直徑,

.../BAC=90。，

:.ZCBA+ZBCA=90°,

，ABAD=ZBCA,

又?；ZACB=AAFB,

:.ZBAD=ZAFB,

?/AE=BE,

/./ABF=/BAD,

:.ZABF=ZAFB,

AB=AF.

(2)解：?/AB=AF,

AACB=ZACF=-/FCB,

2

，/FCB=2NACB,

v5C是。。的直徑，

BF1CF,

3

sinZFBC=cosZFCB=cos2ZACB=-,

3

2(COSZ^C5)2-1=-,且N/CB為銳角,

cos/ACB—1—,

由⑴得NACB=NBAD,

2

二.cos/BAD=cos/ACB=-j=,

在RtZ^43Z)中，

/Cf4DAD2

COsZBAD=-=^=-^,^AD=8.

18.如圖所示，四邊形N8CD的外接圓為圓O,8C=2,/C=3,tan8=-2VL

D

(1)求sin//