重難點03循環小數化為分數

、一【考點剖析】

1.【閱讀理解】根據實際需要，計算的結果有時要用小數表示，有時要用分數表示.分數、小數進行比較時

也需要進行互化.我們己經學會了一些基本的互化方法，但還有很多知識可能沒有學會，但雙非常重要.

例如：如何將無限循環小數0.6、0.36化成分數.

解1：因為0.6x10=6.6,所以0.6x10—0.6=6.6—0.6=6,又因為0.6x10—0.6=9x0.6,所以

??2

9x86=6,從而得0.6=—.

3

解2：因為0.36x10=3.6,0.36x100=36.6,兩式相減得：

0.36x100-0.36x10=36.6-3.6=33,又0.33x100—0.3Ax10=0.36義90,所以0.36義90=33,從而

11

得0.36=—.

30

用上述方法將無限循環小數0.7,0.154化成小數（需要寫出過程）.

2.將下列循環小數化為分數.

(1)0.3；(2)0.21；(3)0.36；(4)0.321.

3.求證：0.6=—.

3

4.求證：0.36=—

30

【過關檢測】

一、單選題

7

1.將無限循環小數0.骨化為分數，可設0.7=尤，貝iJ10x=7+x,解得：X=（.仿此，將無限循環小數0.73

化為分數為（）.

,772173

A.—B.—C.D.—

113310199

11

2.我們知道，無限循環小數都可以轉化為分數，例如：將0.3=尤，則尤=0.3+元x,解得x=；,即

0.3=g,仿此方法，將0.45化成分數是（）

,3955

A.—B.—C.—D.—

1111911

二、填空題

3.一般地，任何一個無限循環小數都可以寫為分數形式，那么應該怎樣寫呢？我們以無限循環小數0.4為

4

例進行說明：設0.4=尤，由0.4=0.444…，可知10x=4.444…，所以10x—x=4,解方程得：尤=§.于

是，得0.4=2.將0.8寫成為分數形式是;將0.25寫成為分數形式是.

4.無限循環小數o.g可以寫成分數形式，求解過程是：設0.333=x,則0.0333于是可列方程

歷x+0.3=x,解得x所以0.3=；.若把0屆化成分數形式，仿照上面的求解過程，可得=

5.把無限循環小數化為分數，可以按如下方法進行：以為例，設Q7=x，由0.7=0.777…可知，

77

10%-7.777-,所以10x-x=7.解方程，得于是0.7=J仿照上述方法，無限循環小數0」化為

分數是.

6.一般地，任何一個無限循環小數都可以寫成分數形式，以無限循環小數0.3為例：設0.3=無，由

0.3=0.3…可知，10x=3.33…，所以10x-x=3,解方程，得x=g于是，得0.3=g.運用上面的方法可以

將0.234化成分數形式為.

三、解答題

7.(1)計算0.16+0.142857+0.125+01=.

19

(2)1.2x1.24+—=

27--------

8.閱讀材料：數學通古達今、博大精深，奧妙無窮，為使同學們在更廣闊的數學天地中提升自學能力，

我們七年級上冊的數學教材"實驗與探究"中，有一篇文章"無限循環小數化分數"，教我們用方程的思想按

如下方法，把無限循環小數化為分數.請認真研讀下列例題，理解例題中解決數學問題的思想、方法，然后

學習、借鑒、類比、遷移這些思想、方法解答下列三個問題：

7

以0.7為例?設0.7=為由O.7=0.777...,可知10x=7.777...,所以10x=7+x,解得尤=§,于是0.7=

2

9,

⑴類比：請按照這個方法把無限循環小數0.6化為分數；

⑵遷移：請按照這個方法把無限循環小數0巧7化為分數；

⑶拓展：請按照這個方法把無限循環小數1.6化為分數.

9.閱讀材料，解答下面問題.

無限循環小數化分數：利用一元一次方程可以將任何一個無限循環小數化成分數形式.下面以Q6為例說

明：

設x=0.6①，

由0.6=0.666….

可得10x=6.666…②，

由②-①，得10x-x=6

22

解得：x=-,所以，。.6=；

33

模仿：

（1）將無限循環小數0半化成分數形式.

（2）0.12=.（直接寫出答案）

10.閱讀下列材料、并完成任務.

無限循環小數化分數

我們知道分數g寫出小數形式即0.3,反過來，無限循環小數0.3寫成分數形式即:，一般地，任何一個無

限循環小數都可以寫成分數形式.

先以無限循環小數0印為例進行討論.

77

設0.7=x,由0.7=0.777.可知，10尤=7.777所以10x—x=7,解方程，得》="于是，得。.7="

再以無限循環小數0.73為例，做進一步的討論.

無限循環小數0.73=0.73737373,它的循環節有兩位，類比上面的討論可以想到如下做法.

設0.73=x,由0.73=0.73737373-可知，100尤=73.737373.

所以100x-尤=73.解方程，得工畸73，于是，0-73=￡73

類比應用（直接寫出答案，不寫過程）

①0.2=_.②0.12=_.③1.23=_.

能力提升

將0.213化為分數形式，寫出過程.

拓展探究

①2.019=_;

②比較大小0.9二L（填""或"="或"<"）；

③若0.142857=；,則4.857142=_.

11.閱讀與理解：用下面的方法可以把循環小數0抬化成分數：設0.66663=尤，10%=6.6666...,可得方

2?9

程：10x-x=6,解得x=即0.6="參考以上方法，解決下面的問題.

⑴把0.3化成分數.

⑵把0.43化成分數.

⑶把5.243化成分數?

⑷通過閱讀，解題，你有什么發現與收獲嗎？

重難點03循環小數化為分數

【考點剖析】

1.【閱讀理解】根據實際需要，計算的結果有時要用小數表示，有時要用分數表示.分數、小數進行比較時

也需要進行互化.我們已經學會了一些基本的互化方法，但還有很多知識可能沒有學會，但雙非常重要.

例如：如何將無限循環小數0.6、0.36化成分數.

解1：因為0.6x10=6.6,所以0.6x10—0.6=6.%—0.6=6,又因為0.6x10—0.6=9x0.6,所以

???

9x0.6=6,從而得0.6=—.

3

解2：因為0.36x10=3.6,0.36x100=36.6,兩式相減得：

0.36x100-0.36x10=36.6-3.6=33,又0.36x100—0.34x10=0.36x90,所以0.36x90=33,從而

得0.36』.

30

用上述方法將無限循環小數0.7,0.154化成小數(需要寫出過程).

■717

【答案】0.7=—；0.154=—；

9110

【解析】解：(1)因為07x10=7.7,所以07x10-07=7,又因為07x10-07=9x07,所以7=9x07,

從而得0.7=1.(2)0.154x10=1.5々①，0.154x1000=154.5i②；②-①得：999x0.154=153,

9

所以0.154="153=17

999TT6

2.將下列循環小數化為分數.

(1)0.3；(2)0.21；(3)0.36；(4)0.321.

1753

【答案】(1)-L；(2)—⑶—；(4)

33330165

31217

【解析】(1)0.3=—=—；(2)0.21=—=—

9333

(3)0.36=^^33JJ.321-331853

(4)0.321二

9090-30990990165

【總結】考察循環小數化為分數的方法，參考知識精要.

2

3.求證：0.6=—.

3

????o

【答案】設0.6=a,則6.6=10〃，所以10a-a=6.6-0.6=6,所以9a=6,所以〃二一.

3

【解析】考察分數化為循環小數的方法.

4.求證：0.36--.

30

【答案】設0.3%=a,貝|3.%=10“，36.6=100a,所以lOOa-lOo=36.Z-3.Z=33,

所以90。=33,所以4=1.

30

【解析】考察分數化為循環小數的方法.

【過關檢測】

一、單選題

7

1.將無限循環小數0啰化為分數，可設0.7=尤，貝iJ10x=7+x,解得：X、.仿此，將無限循環小數0.73

化為分數為（）.

772173

A.—B.—C.---D.—

113310199

【答案】D

【分析】根據題意，設設0.73=x,則100x=73+x,根據解一元一次方程的方法，求出x的值即可.

【詳解】設0.73=x,

貝i]100x=73+x,

移項，可得：100x-x=73,

合并同類項，可得：99尤=73,

系數化為1,可得：X喘73，

73

00.73=—.

99

故選：D.

【點睛】此題主要考查無限循環小數化分數的方法，以及解一元一次方程的方法，要熟練掌握解一元一次

方程的一般步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1.

2.我們知道，無限循環小數都可以轉化為分數，例如：將0.3=尤，則尤=0.3+$x,解得x=即

0.3=1,仿此方法，將0.45化成分數是（）

【答案】D

【分析】根據例題方法直接計算即可得到答案；

【詳解】解：設0.45=x,則無=0.45++x,

解得尤=0.45*四=3，

9911

故選D.

【點睛】本題考查循環小數轉化分數，解題的關鍵是讀懂題目中方法.

二、填空題

3.一般地，任何一個無限循環小數都可以寫為分數形式，那么應該怎樣寫呢？我們以無限循環小數0.4為

4

例進行說明：設0.4=%,由0.4=0,444…，可知10x=4.444…，所以10x—x=4,解方程得：x=~.于

4

是，得。4=弓.將0.8寫成為分數形式是;將0.25寫成為分數形式是.

…4825

【答案】9河

4

【分析】仿照0.4化為］的過程進行解得即可.

【詳解】解：0.8=0.888--■

設0.8=x,

所以10x=8.88…,

所以1Ox—x=8,

Q

解得：F；

0.25=252525?-?

設0.25=x,

所以100x=25.2525…，

所以100x-x=25,

25

解得：二.

工…g825

故答案：5,

【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，理解題意是解題的關鍵.

4.無限循環小數o.g可以寫成分數形式，求解過程是：設0.333則0.0333=^-x,于是可列方程

11?1

木尤+0.3=無，解得無=；,所以0.3=%若把Q0；化成分數形式，仿照上面的求解過程，可得QOW=

【答案】2

lo

【分析】設0.05555……=x,找出規律公式：x+0.05=x,解方程即可.

【詳解】設0.05555……=x,則0.005555……='無

于是可列方程為：2尤+0.05=彳，

51

-

解得：x=

91018

故答案為：

【點睛】此題主要考查了一元一次方程的應用，解答本題的關鍵是找出其中的規律，即通過方程形式，把

無限小數化為整式形式.

5.把無限循環小數化為分數，可以按如下方法進行：以Q7為例，設0.7=x，由0.7=0.777…可知，

10x=7.777…，所以10x-x=7.解方程，得戶/7，于是0.7=7(.仿照上述方法，無限循環小數°i化為

y(j5,

分數是.

【答案】I

【分析】設0.1=尤，則10x=l.lll…，列出關于x的方程10x—x=l,解方程得出x的值，即可得出答案.

【詳解】解：設o1=x，

回0.1=0.111…，

團iox=i.in…，

町0%-1=1,

解得：x=3，

團0」化為分數是g.

故答案為：—.

【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應用，解題的關鍵是理解無限循環小數，列出方程.

6.一般地，任何一個無限循環小數都可以寫成分數形式，以無限循環小數0.3為例：設0.3=無，由

03=0.3…可知，10x=3.33…，所以10%7=3,解方程，得x=g于是，得0.3=g.運用上面的方法可以

將0.234化成分數形式為.

【答案】

【分析】設0.234=x,則234.234=1000x,列出關于x的一元一次方程，解之即可.

【詳解】解：設0.234=%,貝IJ234.234=1000%,

團1000%—％=234,

解得：.至二至,

999111

故答案為：元］

【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵.

三、解答題

7.(1)計算0.16+0.142857+0.125+0.1=

19

(2)1.2x1.24+——=

27

27520

【答案】

5049

【分析】(1)首先將每個循環小數改寫成分數，然后再根據異分母分數加法法則計算即可;

(2)首先將每個循環小數改寫成分數，然后再根據分數的混合運算法則計算即可.

【詳解】解：(1)0.16+0.142857+0.125+0.1

16-114285711

-----1-----1—I—

100-1099999989

1111

=—+—+—+—

6789

275

504

19

(2)1.2x1.24+—

27

=1幺1*+上

99927

=—11x-12-3-1-1-9

99927

20

9

【點睛】本題考查了分數的混合運算，解本題的關鍵在把循環小數轉化為分數.

8.閱讀材料：數學通古達今、博大精深，奧妙無窮，為使同學們在更廣闊的數學天地中提升自學能力，

我們七年級上冊的數學教材"實驗與探究"中，有一篇文章"無限循環小數化分數"，教我們用方程的思想按

如下方法，把無限循環小數化為分數.請認真研讀下列例題，理解例題中解決數學問題的思想、方法，然后

學習、借鑒、類比、遷移這些思想、方法解答下列三個問題：

7

以為例?設0.7=為由0.7=0.777...,可知10x=7.777...,所以10x=7+x,解得x=§,于是0.7=

2

9,

⑴類比：請按照這個方法把無限循環小數0.6化為分數；

⑵遷移：請按照這個方法把無限循環小數0.67化為分數；

⑶拓展：請按照這個方法把無限循環小數16化為分數.

【答案】⑴:

【分析】（1）仿照閱讀材料中的方法計算即可得到結果；

（2）仿照閱讀材料中的方法計算即可得到結果；

（3）仿照閱讀材料中的方法和（1）結論進行計算即可得到結果.

【詳解】⑴解:設0.6=x，

由0.6=0.666，

可知：x=0.666,

010%=6.666=6+0.666=6+x,

團10x=6+x,

2

解得冗=葭

?2

團0.6=—；

3

(2)解:設0.67=x，

由0.67=0.6767,

可知：x=0.6767,

團100x=67.6767…=67+0.6767…=67+%,

團100%=67+元,

解得X*，

0.67=—；

099

(3)解：團1.6=1+06

由⑴得0.6=2

3

25

01.6=1+0.6=14--=-.

33

【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應用，要熟練掌握解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括

號、移項、合并同類項、系數化為L

9.閱讀材料，解答下面問題.

無限循環小數化分數：利用一元一次方程可以將任何一個無限循環小數化成分數形式.下面以0.6為例說

明：

設x=0.6①，

由0.6=0.666….

可得10x=6.666…②，

由②-①，得10x-x=6

22

解得：%=-,所以，0.6=§

模仿：

(I)將無限循環小數0印化成分數形式.

(2)0.12=.(直接寫出答案)

74

【答案】(1)0.7=-;(2)—.

【分析】(1)根據0.6轉化分數的方法，設0.皆=x,仿照例題的解法即可得出結論；

(2)根據0.6轉化分數的方法，設0.12=x,仿照例題的解法(xlO換成X100)即可得出結論；

【詳解】(1)解：設x=07①

由07=0.777…

可得10x=7.777…②

由②-①，得10x-x=7

7

解得X

7

00.7=-

9

(2)設0.12=x,

方程兩邊都乘以100,可得100x0/2=100x

由0.12=0.1212...,可知100x0.12=12.1212..=12+0.12,

即12+x=100x.

44

解得：x=—.即0.12=不

【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，讀懂題意，能夠仿照例題將循環小數轉化為分數是解題的關

鍵.

10.閱讀下列材料、并完成任務.

無限循環小數化分數

我們知道分數g寫出小數形式即0.3,反過來，無限循環小數0.3寫成分數形式即:，一般地，任何一個無

限循環小數都可以寫成分數形式.

先以無限循環小數0.皆為例進行討論.

77

設0.7=x,由0.7=0.777.可知，10%=7.777,所以10x-尤=7,解方程，得x=g,于是，得0.7=§.

再以無限循環小數0.73為例，做進一步的討論.

無限循環小數0.73=0.73737373,它的循環節有兩位，類比上面的討論可以想到如下做法.

設0.73=x,由0.73=0.73737373可知，100x=73.737373..

所以100x-x=73.解方程，得苫=7總3，于是，0.73=—73.

類比應用(直接寫出答案，不寫過程)

①0.2=_.②0.12=_.③1.23=_.

能力提升

將0.213化為分數形式，寫出過程.

拓展探究

①2.019=_;

②比較大小0.9」（填""或"="或"<"）；

③若0.142857=；,則4.857142=_.

【答案】類比應用:①|；②。③器；能力提升：0.213=&拓展探究：①翳;②二；③,

【分析】類比應用：根據0.骨轉化分數的方法，設o.3=x,仿照例題的解法即可得出結論；根據0.73轉化分

數的方程，分別設0.i3=x，1."=x,仿照例題的解法即可得出結論；

能力提升：設0.213=x，由1000x-x=213求解；

拓展探究：①設2.019=x，則10x=20.19191919.,：1000x=20：L9.191919.,：L000x-：L0x=：L999,即可得出結果；（2）

先將0.9化成分數即可得出結果；③設0.142857=x,4.857142=y（D，貝I1000x=142.857142②，由②-①式可

得出結果.

【詳解】類比應用

解：①設0.2二x，則10x=2.222,所以10x-尤=2,解方程，得工="得0.2=3；

②設0.近內，則，100x=12.121212.所以100x-x=12.解方程，得%*=捻，o.G4；

③設遇g=x,則,100%=123.232323.所以100x-尤=122.解方程，得犬=翥.

故答案為：①|；②③焉；

能力提升

解：設0.213=%,1000%=213.213,

1000%-x=213.213-0.213,

999%=213,

21371

x=----=----,

999333

71

于是0.213=—.

333

拓展探究：