課后提升訓練十八回歸分析的基本思想及其初步應用(45分鐘70分)一、選擇題(每小題5分,共40分)1.(2014·重慶高考)已知變量x與y正相關,且由觀測數據算得樣本平均數x=3,y=3.5,則由該觀測數據算得的線性回歸方程可能是()A.=0.4x+2.3 B.=2x2.4C.=2x+9.5 D.=0.3x+4.4【解析】選A.由變量x與y正相關,可知x的系數為正,排除C,D.而所得的回歸直線必經過點(x,y),由此排除B,故選A.2.(2017·臨沂高二檢測)關于回歸分析,下列說法錯誤的是()A.回歸分析是研究兩個具有相關關系的變量的方法B.散點圖中,解釋變量在x軸,預報變量在y軸C.回歸模型中一定存在隨機誤差D.散點圖能明確反映變量間的關系【解析】選D.用散點圖反映兩個變量間的關系時,存在誤差.3.有下列說法:①殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區域內,說明選用的模型比較合適;②用R2來刻畫回歸的效果,R2值越大,說明模型的擬合效果越好;③比較兩個模型的擬合效果,可以比較殘差平方和的大小,殘差平方和越小的模型,擬合效果越好.其中正確命題的個數是()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】選D.對于①,正確,并且帶狀區域寬度越窄,說明擬合的精度越高,回歸方程的預報精度越高.對于②③,R2越大,殘差平方和越小,說明模型的擬合效果越好,故②③正確.【誤區警示】解答本題易出現以下三點錯誤一是對殘差概念不理解出現錯誤;二是對R2的概念理解不準確出現錯誤;三是對檢驗模型函數模擬效果理解不好造成失誤.4.(2017·寶雞高二檢測)已知回歸直線的斜率的估計值是1.23,樣本點的中心為(4,5),則回歸直線的方程是()A.=1.23x+4 B.C.=1.23x+0.8 D.=1.23x+0.08【解析】選D.設回歸直線方程為=1.23x+a,因為樣本點的中心為(4,5),所以5=1.23×4+a,所以a=0.08,所以回歸直線方程為=1.23x+0.08.5.(2017·山東高考)為了研究某班學生的腳長x(單位:厘米)和身高y(單位:厘米)的關系,從該班隨機抽取10名學生,根據測量數據的散點圖可以看出y與x之間有線性相關關系,設其回歸直線方程為已知∑i=110xi=225,∑i=110yi=1600,A.160 B.163 C.166 D.170【解析】選C.x=22.5,y=160,=1604×22.5=70,則回歸直線方程為=4x+70,所以估計該學生的身高為4×24+70=166.6.變量x,y具有線性相關關系,當x的取值為8,12,14和16時,通過觀測知y的值分別為5,8,9,11,若在實際問題中,y的預報值最大是10,則x的最大取值不能超過()A.16 B.15 C.17 D.12【解析】選B.因為x=16時,y=11;當x=14時,y=9,所以當y的最大值為10時,x的最大值應介于區間(14,16)內.7.為了解兒子身高與其父親身高的關系,隨機抽取5對父子的身高數據如下:父親身高x(cm)174176176176178兒子身高y(cm)175175176177177則y對x的線性回歸方程為()【解析】選C.設y對x的線性回歸方程為由表中數據得x=176,y=176,=12,=17612×176=88,所以y對x的線性回歸方程為=12x+88.8.由變量x與y相對應的一組數據(1,y1),(5,y2),(7,y3),(13,y4),(19,y5)得到的線性回歸方程為=2x+45,則y=()A.135 B.90 C.67 D.63【解析】選D.因為x=15(1+5+7+13+19)=9,y=2x+45,所以y=2×二、填空題(每小題5分,共10分)9.面對競爭日益激烈的消費市場,眾多商家不斷擴大自己的銷售市場,以降低生產成本.某白酒釀造企業市場部對該企業9月份的產品銷量x(千箱)與單位成本y(元)的資料進行線性回歸分析,結果如下:x=72,y=71,∑i=16xi2=79,∑i=16xiyi=1481,=1481-6×72【解析】由分析可得,=1.8182x+77.36,銷量每增加1000箱,則單位成本下降1.8182元.答案:1.818210.(2017·煙臺高二檢測)如圖是x和y的一組樣本數據的散點圖,去掉一組數據__________后,剩下的4組數據的相關指數最大.【解析】因為A,B,C,E四點分布在一條直線附近且貼近某一直線,D點離得遠,去掉D點剩下的4組數據的線性相關性最大.答案:D(3,10)三、解答題(每小題10分,共20分)11.(2015·福建高考)某工廠為了對新研發的一種產品進行合理定價,將該產品按事先擬定的價格進行試銷,得到如下數據:單價x(元)88.28.48.68.89銷售y(件)908483807568(1)求回歸直線方程其中=20,=yx.(2)預計在今后的銷售中,銷量與單價仍然服從(1)中的關系,且該產品的成本是4元/件,為使工廠獲得最大利潤,該產品的單價應定為多少元?(利潤=銷售收入成本)【解析】(1)x=16×(8+8.2+8.4+8.6+8.8+9)=8.5,y=16×(90+84+83+80+75+68)=80,從而=y+20x=80+20×8.5=250,故=20x+250.(2)由題意知,工廠獲得利潤z=(x4)y=20x2+330x1000=20(x8.25)2+361.25,所以當x=8.25時,zmax=361.25.即當該產品的單價定為8.25元時,工廠獲得最大利潤.12.假設關于某設備的使用年限x和支出的維修費用y(萬元),有如表的統計資料:使用年限x23456維修費用y2.23.85.56.57.0若由資料知y對x呈線性相關關系,試求:(1)線性回歸方程(2)估計使用年限為10年時,維修費用是多少.(3)計算殘差平方和.(4)求R2并說明模型的擬合效果.【解析】(1)將已知條件制成下表:i12345合計xi2345620yi2.23.85.56.57.025xiyi4.411.422.032.542.0112.3x4916253690QUOTEx于是有QUOTE∑i=15xiy=51.23×4=0.08,回歸直線方程是=1.23x+0.08.(2)當x=10時,y=1.23×10+0.08=12.38(萬元),即估計使用10年時維修費用是12.38萬元.(3)殘差平方和:QUOTE1=2.46+0.08=2.54,QUOTE2=3.77,QUOTE3=5,QUOTE4=6.23,QUOTE5=7.46,∑i=15(yi)2(4)R2=1QUOTE∑i=15(yi-)2∑【能力挑戰題】某商場經營一批進價是30元/臺的小商品,在市場試驗中發現,此商品的銷售單價x(x取整數)元與日銷售量y臺之間有如下對應數據:單價x/元35404550日銷量y/臺56412811(1)畫出散點圖并說明y與x是否具有線性相關關系?如果有,求出線性回歸方程.(方程的斜率保留一個有效數字)(2)設經營此商品的日銷售利潤為P元,根據(1)寫出P關于x的函數關系式,并預測當銷售單價x為多少元時,才能獲得最大日銷售利潤?【解析】(1)散點圖如圖所示:從圖中可以看出這些點大致分布在一條直線附近,因此兩個變量具有線