第三章線性系統(tǒng)的時域分析法3.1控制系統(tǒng)的時域指標

所謂時域分析法，就是在時間域內(nèi)研究控制系統(tǒng)性能的方法，它是通過拉氏變換直接求解系統(tǒng)的微分方程，得到系統(tǒng)的時間響應(yīng)，然后根據(jù)響應(yīng)表達式和響應(yīng)曲線分析系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。

分析控制系統(tǒng)的第一步是建立模型，數(shù)學(xué)模型一旦建立，第二步分析控制性能，分析有多種方法，主要有時域分析法，根軌跡法，頻域分析法等。每種方法，各有千秋。均有他們的適用范圍和對象。本章先討論時域法。

為了研究控制系統(tǒng)的輸出響應(yīng)，必須了解輸入信號的變化形式。在工程實際中，有些系統(tǒng)的輸入信號是已知的（如恒值系統(tǒng)），但對有些控制系統(tǒng)來說，常常不能準確地知道其輸入量是如何變化的（如隨動系統(tǒng)）。

因此，為了方便分析和設(shè)計，使各種控制系統(tǒng)有一個比較的基礎(chǔ)，需要選擇一些典型測試信號作為系統(tǒng)輸入，然后比較各種系統(tǒng)對這些測試信號的響應(yīng)。常用的測試信號在第一章已經(jīng)介紹，它們是脈沖信號、階躍信號、斜坡信號、拋物線信號及正弦信號。這些信號都是簡單的時間函數(shù)，并且易于通過實驗產(chǎn)生，便于數(shù)學(xué)分析和試驗研究。

如果控制系統(tǒng)的實際輸入大部分是隨時間逐漸增加的信號，選用斜坡函數(shù)較合適；如果作用到系統(tǒng)的輸入信號大多具有突變性質(zhì)時，則選用階躍函數(shù)較合適。

需要注意的是，不管采用何種典型輸入型號，對同一系統(tǒng)來說，其過渡過程所反應(yīng)出的系統(tǒng)特性應(yīng)是統(tǒng)一的。這樣，便有可能在同一基礎(chǔ)上去比較各種控制系統(tǒng)的性能。此外，在選取測試信號時，除應(yīng)盡可能簡單，以便于分析處理外，還應(yīng)選擇那些能使系統(tǒng)工作在最不利的情況下的輸入信號作為典型實驗信號。

本章主要討論控制系統(tǒng)在階躍信號、斜坡信號、加速度信號等輸入信號作用下的輸出響應(yīng)。1.典型測試信號（1）單位脈沖信號拉氏變換為

單位脈沖函數(shù)是對脈沖寬度足夠小的實際脈沖函數(shù)的數(shù)學(xué)抽象，可用于考查系統(tǒng)在脈沖擾動后的恢復(fù)運動。拉氏變換為

單位階躍函數(shù)是用于考查系統(tǒng)對于恒值信號跟蹤能力時的實驗信號。非單位值情況下，階躍函數(shù)的數(shù)學(xué)表達式為R為常量，是階躍函數(shù)的幅值。（2）單位階躍信號（3）單位速度（斜坡）信號拉氏變換為

單位速度函數(shù)是用于考查系統(tǒng)對勻速信號跟蹤能力時的實驗信號。（4）單位加速度（拋物線）信號拉氏變換為

勻加速函數(shù)是用于考查系統(tǒng)機動跟蹤能力時的實驗信號。（5）正弦信號拉氏變換為A是正弦函數(shù)的幅值正弦函數(shù)主要用于頻域分析，有時也用于時域分析。2動態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)過程

（1）動態(tài)過程（過渡過程、瞬態(tài)過程）：系統(tǒng)在典型輸入信號作用下，系統(tǒng)輸出量從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應(yīng)過程；根據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)選擇的情況，動態(tài)過程表現(xiàn)為衰減、發(fā)散和等幅振蕩幾種形態(tài)。用動態(tài)性能指標描述。

（2）穩(wěn)態(tài)過程：系統(tǒng)在典型輸入信號作用下，當時間t趨于無窮大時，系統(tǒng)輸出量的表現(xiàn)方式；穩(wěn)態(tài)過程表征系統(tǒng)輸出量最終復(fù)現(xiàn)輸入量的程度，提供系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的信息，用穩(wěn)態(tài)性能指標描述。

可見，控制系統(tǒng)在典型輸入信號作用下的時域性能指標由動態(tài)性能指標和穩(wěn)態(tài)性能指標兩部分組成。

為便于分析和比較，假定系統(tǒng)在單位階躍輸入信號作用前處于靜止狀態(tài)，而且系統(tǒng)輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)均等于零。對于大多數(shù)控制系統(tǒng)來說，這種假設(shè)是符合實際情況的。控制系統(tǒng)的典型單位階躍響應(yīng)曲線如下圖所示。3動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能0tσ超調(diào)量允許誤差±Δ10.90.50.1trtptstdh(t)0.02或0.05)(∞h)(∞h)(∞h)(∞h穩(wěn)定是系統(tǒng)運行的首要條件，只有當動態(tài)過程收斂時，研究其動態(tài)性能才有意義。

一般認為，階躍輸入對系統(tǒng)來說是最為嚴峻的工作狀態(tài)，如果系統(tǒng)在階躍函數(shù)作用下的動態(tài)性能滿足要求，在其他輸入形式作用下的動態(tài)性能也能滿足要求。因此，通常在階躍函數(shù)作用下測定或計算系統(tǒng)的動態(tài)性能。而系統(tǒng)的動態(tài)性能指標就用其在單位階躍函數(shù)作用下的響應(yīng)，即系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的特征量來描述。（1）動態(tài)性能指標

上升時間tr

（RisingTime）:響應(yīng)曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%所需的時間。上升時間越短，響應(yīng)速度越快。對于振蕩系統(tǒng)，也可定義為由零開始，首次達到穩(wěn)態(tài)值所需的時間。

峰值時間tp

（PeakTime）：響應(yīng)曲線達到第一個峰值所需要的時間。

延遲時間td

（DelayTime）：響應(yīng)曲線第一次達到穩(wěn)態(tài)值的一半所需的時間

調(diào)節(jié)時間ts（SettlingTime）：響應(yīng)曲線達到并永遠保持在一個允許誤差范圍內(nèi)所需的最短時間。允許誤差范圍用穩(wěn)態(tài)值的百分數(shù)（通常取5%或2%）表示。

超調(diào)量（MaximumOvershoot）：指響應(yīng)的最大偏離量h(tp)與終值之差的百分比，即（2）穩(wěn)態(tài)性能指標

穩(wěn)態(tài)誤差ess

：期望值與實際值之差。

或評價系統(tǒng)的響應(yīng)速度；同時反映響應(yīng)速度和阻尼程度的綜合性指標，從整體上反映系統(tǒng)的快速性。評價系統(tǒng)的阻尼程度。衡量系統(tǒng)控制精度和抗干擾能力。ess3-2一階系統(tǒng)的時間響應(yīng)一、一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型由一階微分方程描述的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)。

在零初始條件下，利用拉氏反變換或直接求解微分方程，可以求得一階系統(tǒng)在典型輸入信號作用下的輸出響應(yīng)。典型閉環(huán)控制一階系統(tǒng)如圖3-1所示.其中1/Ts是積分環(huán)節(jié)，T是時間常數(shù)。圖3-1T是表征系統(tǒng)慣性大小的重要參數(shù)R(s)C(s)1/Ts-j0-1/T二、單位階躍響應(yīng)

設(shè)系統(tǒng)的輸入為單位階躍函數(shù)r(t)=1(t),其拉氏變換為則輸出的拉氏變換為

對上式進行拉氏反變換，求得單位階躍響應(yīng)為(3-4)

上式表明，當初始條件為零時，一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的變化曲線是一條單調(diào)上升的指數(shù)曲線,式中的1為穩(wěn)態(tài)分量，為瞬態(tài)分量，當t→∞時，瞬態(tài)分量衰減為零。在整個工作時間內(nèi)，系統(tǒng)的響應(yīng)都不會超過穩(wěn)態(tài)值。由于該響應(yīng)曲線具有非振蕩特征，故也稱為非周期響應(yīng)。一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖所示。斜率1C(t)0.95T3T0.632圖

一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)圖中指數(shù)響應(yīng)曲線的初始（t=0時）斜率為.因此，如果系統(tǒng)保持初始響應(yīng)的變化速度不變，則當t=T時，輸出量就能達到穩(wěn)態(tài)值。實際上，響應(yīng)曲線的斜率是不斷下降的，經(jīng)過T時間后，輸出量C（T）從零上升到穩(wěn)態(tài)值的63.2%。經(jīng)過3T～4T時，C（t）將分別達到穩(wěn)態(tài)值的95%～98%。可見，時間常數(shù)T反應(yīng)了系統(tǒng)的響應(yīng)速度，T越小，輸出響應(yīng)上升越快，響應(yīng)過程的快速性也越好。

斜率1C(t)0.95T3T0.632圖3-2一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)C（t）由式（3-4）可知，只有當t趨于無窮大時，響應(yīng)的瞬態(tài)過程才能結(jié)束，在實際應(yīng)用中，常以輸出量達到穩(wěn)態(tài)值的95%或98%的時間作為系統(tǒng)的響應(yīng)時間（即調(diào)節(jié)時間），這時輸出量與穩(wěn)態(tài)值之間的偏差為5%或2%。系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線可用實驗的方法確定，將測得的曲線與上圖的曲線作比較，就可以確定該系統(tǒng)是否為一階系統(tǒng)或等效為一階系統(tǒng)。此外，用實驗的方法測定一階系統(tǒng)的輸出響應(yīng)由零值開始到達穩(wěn)態(tài)值的63.2%所需的時間，就可以確定系統(tǒng)的時間常數(shù)T。(3-4)例3.1一階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示，若kt=0.1,試求系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間ts;如果要求ts≤0.1秒。試求反饋系數(shù)kt應(yīng)取多大？解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)100/sktR(s)C(s)對上式進行拉氏反變換，求得單位脈沖響應(yīng)為由此可見，系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)就是系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的拉氏反變換。一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)曲線如圖3-4所示。

（t≥0）(3-5)0.368C(t)3T斜率C(t)T2Tt圖3-4一階系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)三、單位脈沖響應(yīng)

設(shè)系統(tǒng)的輸入為單位脈沖函數(shù)r(t)=δ(t),其拉氏變換為R(s)=1,則輸出響應(yīng)的拉氏變換為

一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)是單調(diào)下降的指數(shù)曲線，曲線的初始斜率為，輸出量的初始值為。當t趨于∞時，輸出量c(∞)趨于零，所以它不存在穩(wěn)態(tài)分量。在實際中一般認為在t=3T～５T時過渡過程結(jié)束，故系統(tǒng)過渡過程的快速性取決于T的值，T越小系統(tǒng)響應(yīng)的快速性也越好。由上面的分析可見，一階系統(tǒng)的特性由參數(shù)T來表述，響應(yīng)時間為（3-4）T；在t=0時，單位階躍響應(yīng)的斜率和單位脈沖響應(yīng)的幅值均為;單位斜坡響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為T。T值越小，系統(tǒng)響應(yīng)的快速性越好，精度越高。式中，t-T為穩(wěn)態(tài)分量，為瞬態(tài)分量，當t→∞時，瞬態(tài)分量衰減到零。一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)曲線如圖3-5所示。

（t≥0）(3-6)TtTC(t)r(t)=to圖3-5一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)四、單位斜坡響應(yīng)

設(shè)系統(tǒng)的輸入為單位斜坡函數(shù)r(t)=t，其拉氏變換為則輸出的拉氏變換為顯然，系統(tǒng)的響應(yīng)從t=0時開始跟蹤輸入信號而單調(diào)上升，在達到穩(wěn)態(tài)后，它與輸入信號同速增長，但它們之間存在跟隨誤差。即且可見，當t趨于無窮大時，誤差趨近于T，因此系統(tǒng)在進入穩(wěn)態(tài)以后，在任一時刻，輸出量c(t)將小于輸入量r(t)一個T的值，時間常數(shù)T越小，系統(tǒng)跟蹤斜坡輸入信號的穩(wěn)態(tài)誤差也越小。輸入信號輸出響應(yīng)表中各響應(yīng)說明如下：（1）一階系統(tǒng)只有一個特征參數(shù)，即其時間常數(shù)T。在一定的輸入信號作用下，其時間響應(yīng)c（t）由其時間常數(shù)唯一確定。下表列出了一階系統(tǒng)對三種典型輸入信號的響應(yīng)(2)一階系統(tǒng)的響應(yīng)時間為（3-4）T；在t=0時，單位階躍響應(yīng)的斜率和單位脈沖響應(yīng)的幅值均為1/T;單位斜坡響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為T。T值越小，系統(tǒng)響應(yīng)的快速性越好，精度越高。輸入信號輸出響應(yīng)這一關(guān)系表明，系統(tǒng)對輸入信號導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)等于系統(tǒng)對該輸入信號響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)；系統(tǒng)對輸入信號積分的響應(yīng)等于系統(tǒng)對該輸入信號響應(yīng)的積分；積分常數(shù)由初始條件確定。

這一結(jié)論適用于任何線性定常連續(xù)控制系統(tǒng)。因此，研究線性定常連續(xù)控制系統(tǒng)的時間響應(yīng)，可以只對其中一種典型輸入信號，如單位階躍信號的時間響應(yīng)進行計算和測定。（3）因為脈沖函數(shù)δ(t)和斜坡函數(shù)t1(t)分別是階躍函數(shù)1(t)的對時間t的一階微分和積分，故系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)和單位斜坡響應(yīng)分別是系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)對時間t的一階微分和積分。

由二階微分方程描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)。在控制工程實踐中，二階系統(tǒng)應(yīng)用極為廣泛，此外，許多高階系統(tǒng)在一定的條件下可以近似為二階系統(tǒng)來研究，因此，詳細討論和分析二階系統(tǒng)的特征具有極為重要的實際意義。C(t)R(t)_C(t)圖3-7二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖（3-9）

設(shè)一個二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖3-7所示。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

其中K為系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)，T為時間常數(shù)。§3-3二階系統(tǒng)的時域響應(yīng)與式（3-9）相對應(yīng)的微分方程為

可見，該系統(tǒng)是一個二階系統(tǒng)。為了分析方便，將系統(tǒng)的傳遞函數(shù)改寫成如下形式式中，稱為自然頻率，（或無阻尼振蕩頻率），稱為阻尼比（或阻尼系數(shù)）。(3-11)系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為（3-12）它的兩個根(閉環(huán)極點)為（3-13）二階系統(tǒng)特征根（即閉環(huán)極點）的形式隨著阻尼比取值的不同而不同。

1.二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

設(shè)系統(tǒng)的輸入為單位階躍函數(shù)，則系統(tǒng)輸出響應(yīng)的拉氏變換表達式為

對上式取拉氏反變換，即可求得二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。

當阻尼比小于0時，系統(tǒng)具有實部為正的極點，輸出響應(yīng)是發(fā)散的，此時系統(tǒng)已無法正常工作。P85它們在S平面上的位置如圖3-9所示。此時，輸出可寫成[s]o圖3-9欠阻尼時的極點分布當時，系統(tǒng)具有一對共軛復(fù)數(shù)極點，且在S平面的左半部分，即(1)欠阻尼（）的情況將它們代入上式并將式中的第二項分成兩項得式中，稱為阻尼振蕩頻率。由含共軛復(fù)數(shù)極點求拉氏反變換的方法，得，，取拉氏反變換得到c(t)，見P32表2-3---序號15、17令,則。于是有

稱阻尼角。系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為1，瞬態(tài)分量是一個隨時間t的增大而衰減的正弦振蕩過程。振蕩的角頻率為，它取決于阻尼比和無阻尼自然頻率。衰減速度取決于的大小。此時系統(tǒng)工作在欠阻尼狀態(tài)，輸出響應(yīng)如右圖所示。tC(t)10附圖

欠阻尼響應(yīng)當時，系統(tǒng)具有兩個相等的負實數(shù)極點，，如圖3-9所示。此時有

留數(shù)法部分分工展開得：

將代入，并進行拉氏反變換，得o[s]圖3-9臨界阻尼時極點的分布（2）臨界阻尼（）的情況

該式表明，當時，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)由零開始單調(diào)上升，最后達到穩(wěn)態(tài)值1，其響應(yīng)曲線如右圖所示。是輸出響應(yīng)的單調(diào)和振蕩過程的分界，通常稱為臨界阻尼狀態(tài)。t1oC(t)附圖

臨界阻尼響應(yīng)(3-16)（3）過阻尼（>1）的情況

當>1時，系統(tǒng)具有兩個不相等的負實數(shù)極點，它們在S平面上的位置如圖3-9所示。此時，輸出可寫成

j0[s]圖3-9過阻尼時極點分布式中將A0、A1、A2代入上式，并進行拉氏反變換，得

（3-17)式(3-11)表明，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由穩(wěn)態(tài)分量和瞬態(tài)分量組成，其穩(wěn)態(tài)分量為1，瞬態(tài)分量包含兩個衰減指數(shù)項，隨著t增加，指數(shù)項衰減，響應(yīng)曲線單調(diào)上升，其響應(yīng)曲線如附圖所示。C(t)to1附圖

過阻尼響應(yīng)當>>１時，閉環(huán)極點比距虛軸遠的多，故比衰減快的多。因此，可以忽略對系統(tǒng)輸出的影響，從而把二階系統(tǒng)近似看作一階系統(tǒng)來處理。在工程上，當時，這種近似處理方法具有足夠的準確度。通常，稱阻尼比時二階系統(tǒng)的運動狀態(tài)為過阻尼狀態(tài)。C(t)to1圖3-7過阻尼響應(yīng)

可見，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)是無阻尼的等幅振蕩過程，其振蕩頻率為。響應(yīng)曲線如圖3–9（b）所示。綜上所述，不難看出頻率和的物理意義。圖3-9無阻尼時的極點分布和響應(yīng)[s]o(a)C(t)(b)1to（4）無阻尼（）的情況

當時，系統(tǒng)具有一對共軛純虛數(shù)極點

,它們在S平面上的位置如圖3-9（a）所示。將代入單位階躍響應(yīng)式得根據(jù)上面的分析可知，在不同的阻尼比時，二階系統(tǒng)的響應(yīng)具有不同的特點。因此阻尼比是二階系統(tǒng)的重要特征參數(shù)。若選取為橫坐標，可以作出不同阻尼比時二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線,

——無阻尼自然振蕩頻率，此時系統(tǒng)輸出為等幅振蕩.

——阻尼振蕩頻率。系統(tǒng)輸出為衰減正弦振蕩過程。綜上所述，不難看出頻率和的物理意義。無因次時間如圖3-10所示，此時曲線只和阻尼比有關(guān)。由圖可見，越小，響應(yīng)特性振蕩得越厲害，隨著增大到一定程度后，響應(yīng)特性變成單調(diào)上升的。從過渡過程持續(xù)的時間看，當系統(tǒng)無振蕩時，以臨界阻尼時過渡過程的時間最短，此時，系統(tǒng)具有最快的響應(yīng)速度。當系統(tǒng)在欠阻尼狀態(tài)時，若阻尼比在0.4～0.8之間，則系統(tǒng)的過渡過程時間比臨界阻尼時更短，而且此時的振蕩特性也并不嚴重。圖3-10二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)

一般希望二階系統(tǒng)工作在=0.4～0.8的欠阻尼狀態(tài)下，在工程實際中，通常選取作為設(shè)計系統(tǒng)的依據(jù)。2．欠阻尼二階系統(tǒng)的動態(tài)過程分析

在實際應(yīng)用中，控制系統(tǒng)性能的好壞是通過系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的特征量來表示的。為了定量地評價二階系統(tǒng)的控制質(zhì)量，必須進一步分析和對系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的影響，并定義二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的一些特征量作為評價系統(tǒng)的性能指標。除了一些不允許產(chǎn)生振蕩的系統(tǒng)外，通常希望二階系統(tǒng)工作在=0.4～0.8的欠阻尼狀態(tài)下。在工程實際中，通常選取作為設(shè)計系統(tǒng)的依據(jù)。

當=0.4～0.8，系統(tǒng)在具有適度振蕩特性的情況下，能有較短的過渡過程時間，因此下面有關(guān)性能指標的定義和定量關(guān)系的推導(dǎo)，主要是針對二階系統(tǒng)的欠阻尼工作狀態(tài)進行的。控制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)一般來說是與初始條件有關(guān)的，為了便于比較各種系統(tǒng)的控制質(zhì)量，通常假設(shè)系統(tǒng)的初始條件為零。系統(tǒng)在欠阻尼情況下的單位階躍響應(yīng)為

(3-14)

對應(yīng)的響應(yīng)曲線如右圖所示，下面就根據(jù)式（3-14）和右圖所示曲線來定義系統(tǒng)的瞬態(tài)性能指標，同時討論性能指標與特征量之間的關(guān)系。1、上升時間

響應(yīng)曲線從零開始上升，第一次到達穩(wěn)態(tài)值所需的時間，稱為上升時間。根據(jù)上述定義，當時，，，由式（3-14）：超調(diào)量C(t)上升時間峰值時間調(diào)節(jié)時間誤差帶穩(wěn)態(tài)誤差o1.0t附圖

二階系統(tǒng)瞬態(tài)性能指標即所以（k=0,1,2……）由于上升時間是c(t)第一次到達穩(wěn)態(tài)值的時間，故取k=1，所以

由式(3-19)可以看出，當一定時，阻尼比越大，上升時間越長，當一定時，越大，越小。(3-19)由定義，將式（3-14）對時間求導(dǎo)，并令其等于零，即得經(jīng)變換可得所以即（k=1,2，……）因為峰值時間是C(t)到達第一個峰值的時間，故取=1,所以2、峰值時間

響應(yīng)曲線c(t)從零開始到達第一個峰值所需時間，稱為峰值時間。（3-20）可見，當一定時，越大，越小，反應(yīng)速度越快。當一定時，越小，也越小。由于是閉環(huán)極點虛部的數(shù)值，越大，則閉環(huán)極點到實軸的距離越遠，因此，也可以說峰值時間與閉環(huán)極點到實軸的距離成反比。3、超調(diào)量

在響應(yīng)過程中，輸出量C（t）超出其穩(wěn)態(tài)值的最大差量與穩(wěn)態(tài)值之比稱為超調(diào)量。超調(diào)量可表示為式中為輸出量的最大值，為輸出量的穩(wěn)態(tài)值。將式（3-20）代入式（3-14）求得輸出量的最大值為所以根據(jù)超調(diào)量的定義，并考慮到，求得（3-21）由上式：

該式表明，只是的函數(shù)，而與無關(guān)，越小,則越大。當二階系統(tǒng)的阻尼比確定后，即可求得對應(yīng)的超調(diào)量。反之，如果給出了超調(diào)量的要求值，也可求得相應(yīng)的阻尼比的數(shù)值。一般當時，相應(yīng)的超調(diào)量。與關(guān)系曲線如圖3-12所示。（3-21）10090807060504030201000.20.40.60.81.0圖3-12欠阻尼二階系統(tǒng)超調(diào)與阻尼比關(guān)系曲線

4、調(diào)節(jié)時間響應(yīng)曲線到達并停留在穩(wěn)態(tài)值的（或)誤差范圍內(nèi)所需的最小時間稱為調(diào)節(jié)時間（或過渡過程時間）。根據(jù)調(diào)節(jié)時間的定義應(yīng)有下式成立式中（或0.02）將式（3-14）及代入上式得為簡單起見，可以采用近似的計算方法，忽略正弦函數(shù)的影響，認為指數(shù)項衰減到0.05（或0.02）時，過渡過程即進行完畢，于是得到由此可求得若取，則得

若取，則得

在時，上面兩式可分別近似為和該式表明，調(diào)節(jié)時間近似與成反比。由于是閉環(huán)極點實部的數(shù)值，越大，則閉環(huán)極點到虛軸的距離越遠，因此，可以近似地認為調(diào)節(jié)時間與閉環(huán)極點到虛軸的距離成反比。在設(shè)計系統(tǒng)時，通常由要求的超調(diào)量所決定，而調(diào)節(jié)時間則由自然振蕩頻率所決定。也就是說，在不改變超調(diào)量的條件下，通過改變的值可以改變調(diào)節(jié)時間。

(3-23)(3-22)根據(jù)定義，振蕩次數(shù)式中稱為系統(tǒng)的阻尼振蕩周期。若取，，若取，振蕩次數(shù)只與阻尼比有關(guān)。阻尼比和無阻尼自振頻率是二階系統(tǒng)兩個重要特征參數(shù)，它們對系統(tǒng)的性能具有決定性的影響。當保持不變時，提高使、、下降，從而提高系統(tǒng)的快速性，同時保持和N不變。當保持不變時，增大可使和下降,但使和上升5．振蕩次數(shù)N

響應(yīng)曲線在0～ts

時間內(nèi)波動的次數(shù)稱為振蕩次數(shù)。二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的性能指標歸納如下：顯然在系統(tǒng)的振蕩性能和快速性之間是存在矛盾的，例如上升時間（響應(yīng)速度）和超調(diào)量（阻尼程度或相對穩(wěn)定性）。要使二階系統(tǒng)具有滿意的動態(tài)性能，必須選取合適的阻尼比和無阻尼自振蕩率。通常可根據(jù)系統(tǒng)對超調(diào)量的限制要求選定，然后在根據(jù)其它要求來確定。

過阻尼二階系統(tǒng)的動態(tài)過程分析

過阻尼系統(tǒng)響應(yīng)緩慢，對于一般要求時間響應(yīng)快的系統(tǒng)過阻尼響應(yīng)是不希望的。但在有些應(yīng)用場合則需要過阻尼響應(yīng)特性：例如（1）大慣性的溫度控制系統(tǒng)、壓力控制系統(tǒng)等。（2）指示儀表、記錄儀表系統(tǒng)，既要無超調(diào)、時間響應(yīng)盡可能快。另外，有些高階系統(tǒng)可用過阻尼二階系統(tǒng)近似。過阻尼動態(tài)性能指標：延遲時間、上升時間、調(diào)節(jié)時間因為求上述指標，要解一個超越方程，只能用數(shù)值方法求解。利用曲線逆合法給出近似公式（1）延遲時間計算（2）上升時間計算

（3）調(diào)節(jié)時間計算

例3-2：角度隨動系統(tǒng)如圖所示，設(shè)

K

為開環(huán)增益，T=0.1s為伺服電動機的時間常數(shù)。若要求：單位階躍響應(yīng)無超調(diào)，而且，求K的取值、系統(tǒng)的延遲時間和上升時間.解：因為考慮系統(tǒng)盡量快的無超調(diào)響應(yīng)，則可選阻尼比為臨界阻尼二階系統(tǒng)性能的改善改善二階系統(tǒng)性能的兩種方法：比例-微分控制測速反饋控制（1）比例-微分控制1以角度隨動系統(tǒng)為例(a)比例控制[0，t1)系統(tǒng)阻尼小，修正轉(zhuǎn)矩過大；輸出超調(diào)[t1,t3)轉(zhuǎn)矩反向，起制動作用，但慣性與制動轉(zhuǎn)矩不夠大，仍超調(diào)[t3,t5)誤差又為正，修正轉(zhuǎn)矩又為正，力圖使輸出趨勢減小……(b)控制措施：附加誤差的微分量

[0，t2)內(nèi)減小正向修正轉(zhuǎn)矩，增大反向制動轉(zhuǎn)矩；

[t2,t4)內(nèi)減小反向制動轉(zhuǎn)矩，增大正向修正轉(zhuǎn)矩理論分析：比例-微分控制對系統(tǒng)性能的影響1有零點二階系統(tǒng)比例-微分控制不改變系統(tǒng)的自然頻率，但增大了系統(tǒng)的阻尼比。適當選擇開環(huán)增益和微分時間常數(shù)，既可減小系統(tǒng)斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差，又可使系統(tǒng)具有滿意的階躍響應(yīng)性能。當輸入為單位階躍函數(shù)時:P95給出了：（1）求上升時間的關(guān)系曲線；（2）峰值時間；（3）超調(diào)量；（4）調(diào)節(jié)時間

結(jié)論：（1）微分控制可增大系統(tǒng)阻尼，減小階躍響應(yīng)的超調(diào)量，縮短調(diào)節(jié)時間；（2）允許選取較高的開環(huán)增益，減小穩(wěn)態(tài)誤差；（3）微分對于噪聲（高頻噪聲）有放大作用，在輸入端噪聲較強時，不用比例-微分控制。（2）測速反饋控制開環(huán)增益結(jié)論：（1）測速反饋可以增加阻尼比，但不影響系統(tǒng)的自然頻率；（2）測速反饋不增加系統(tǒng)的零點