專題2函數性質及應用（2）【高考趨勢】函數的刻劃一般是從兩個方面：一是式，二是形，兩者常需相互轉化，互要呼應，對于基本等函數的組合與復合，若作圖較為方便，一般最好借助圖象直觀解題；若作其圖象較為困難，則要挖掘問題的內在性質解題。由于新課程中導數的內容更加豐富，因此利用導數研究諸如y=x-lnx的單調性、最值及解（或證）不等式等問題，是學會研究函數的重要方法之一，也是近年來高考命題的主要方向之一。【考點展示】1、定義在R上的函數f(x)既是奇函數，又是周期函數，T是它的一個正周期，若將方程f(x)=0在閉區(qū)間[-T，T]上的根的個數記為n，則n至少為。2、設f(x)是定義在R上的函數，若f(x)=f(2008-x)，則f(x)有對稱軸為；若f(2008-x)=-f(2008+x)，則f(x)有對稱中心為3、若f(x)=lnx+2x2+mx+1在（0，+∞）內單調遞增，則m的取值范圍是4、若對任意x∈R，不等式|x|≥ax恒成立，則實數a的取值范圍是5、函數y=f(1+x)的圖象與y=f(1-x)的圖象關于對稱。對于任意實數滿足條件，若則_______________。7、若是（-∞，+∞）上的減函數，則a的取值范圍是【樣題剖析】例1、定義在R上的函數f(x),對于任意x，yR，均有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)，且f(0)≠0。（1）求證：f(0)=1;（2）求證：y=f(x)是偶函數；（3）若存在常數c，使f()=0成立，求證：函數y=f(x)是周期函數。例2、已知a是實數，函數f(x)=2ax2+2x-3-a，如果函數y=f(x)在區(qū)間[-1，1]上有零點，求a的取值范圍。例3、已知函數f(x)=ex-kx,xR(1)若k=e，試確定函數f(x)的單調區(qū)間；（2）若k0，且對于任意x≥0，f(x)0恒成立，試確定函數k的取值范圍。例4、設a≥0，f(x)=x-1-ln2x+2alnx（x0）（1）令F(x)=xf(x)，討論F(x)在（0，+∞）內的單調性并求極值。（2）求證：當x1時，恒有xln2x-2alnx+1【總結提練】1、對于抽象函數問題，必須掌握常規(guī)函數方程的意義，如考點展示題2，f(x)=f(2008-x)表示函數y=f(x)的圖象關于直線x=1004對稱，f(2008-x)=-f(2008+x)表示函數y=f(x)的圖象關于點（2008，0）對稱。一般地，f(a+x)=f(a-x)表示了函數y=f(x)的圖象關于直線x=a對稱，f(a+x)=-f(a-x)表示了函數y=f(x)的圖象關于點(a,0)對稱，更一般地，f(a+x)=f(b-x)表示了函數y=f(x)的圖象關于直線x=對稱，f(a+x)=-f(b-x)表示了函數y=f(x)的圖象關于點（對稱。2、判斷函數的單調性，求函數的最值（極值），利用其單調性證明不等式等是近幾年高考中的高頻試題（如例2、例4），盡管有些函數的圖象不能準確畫出，但利用導數大致記得劃其形狀，即畫出示意圖，在解題中尤為重要。【自我測試】1、已知對任意實數x，有f(-x)=-f(x)，若x0時f(x)0，則x0時，比較f(x)與0的大小，必有f(x)0。2、在R上定義的函數f(x)是偶函數，且f(x)=f(2-x)，若f(x)在區(qū)間[1，2]上是減函數，則f(x)在區(qū)間[-2，-1]上，在區(qū)間[3，4]上。（單調遞增/單調遞減）。3、設f(x)=g(x)是二次函數，若f[g(x)]的值域是[0，+∞），則g(x)的值域是4、已知f(x)=asinx+x2+2x-3，f(2)=3，則f(-2)=5、已知集合A={x|-1≤x-a≤1}，B={x|x2-5x+4≥0}，若A∩B=φ，則實數a的取值范圍是6、已知函數f(x)=x3-12x+8在區(qū)間[-3，3]上的最大值與最小值分別為M，m，則M-m=7、已知函數f(x)=x|x-a|+2x-3（1）當a=4,2≤x≤5時，問x分別取何值時，函數y=f(x)取得最大值和最小值，并求出相應的最大值和最小值。（2）求a的取值范圍，使得函數y=f(x)在R上恒為增函數。8、如圖，在函數y=lgx的圖象上有A，B，C三點，它們的橫坐標分別為m，m+2，m+4（m≥1）。（1）若△ABC面積為S，求S=f(m)；（2）判斷S=f(m)的增減性，并求S的最大值。9、已知f(x)是定義在R上的不恒為0的函數，且對任意的a,bR，都滿足f(a·b)=af(b)+bf(a)。（1）求f(0),f(1)的值。（2）判斷f(x)的奇偶性，并證明你的結論；（3）若f(2)=2,求證：f(在R上有定義，對任何實數和任何實數，都有（Ⅰ）證明；