人教A版（2019）選擇性必修第三冊第七章隨機變量及其分布7.3.2離散型隨機變量的方差目錄學習目標01情景導入02新知探究03課本例題0405課本練習06題型探究方法歸納0807課本習題課堂小結學習目標1.理解取有限個值的離散型隨機變量的方差及標準差的概念.2.能計算簡單離散型隨機變量的方差，并能解決一些實際問題.3.掌握方差的性質以及兩點分布的方差的求法，會利用公式求它們的方差．1.離散型隨機變量的均值：一般地，若離散型隨機變量X的分布列如下表所示，Xx1x2???xnPp1p2???pn則稱為隨機變量X的均值或數學期望，數學期望簡稱期望.2.均值的性質：3.隨機變量X服從兩點分布，則有情景導入隨機變量的均值是一個重要的數字特征，它反映了隨機變量取值的平均水平或分布的“集中趨勢”.因為隨機變量的取值圍繞其均值波動，而隨機變量的均值無法反映波動幅度的大小.所以我們還需要尋找反映隨機變量取值波動大小的數字特征.情景導入問題

從兩名同學中挑出一名代表班級參加射擊比賽.根據以往的成績記錄，甲、乙兩名同學擊中目標靶的環數X和Y的分布列如下表所示.如何評價這兩名同學的射擊水平?X678910P0.090.240.320.280.07Y678910P0.070.220.380.300.03通過計算可得，由于兩個均值相等，所以用均值不能區分這兩名同學的射擊水平.評價射擊水平，除了要了解擊中環數的均值外，還要考慮穩定性，即擊中環數的離散程度.思考怎樣定量刻畫離散型隨機變量取值的離散程度?新知探究一般地，若離散型隨機變量X的分布列如下表所示.Xx1x2???xnPp1p2???pn隨機變量的方差和標準差都可以度量隨機變量取值與其均值的偏離程度，反映了隨機變量取值的離散程度.方差或標準差越小，隨機變量的取值越集中；方差或標準差越大，隨機變量的取值越分散.概念歸納問題

從兩名同學中挑出一名代表班級參加射擊比賽.根據以往的成績記錄，甲、乙兩名同學擊中目標靶的環數X和Y的分布列如下表所示.分別計算這兩名同學的方差，并用此評價他們的射擊水平.X678910P0.090.240.320.280.07Y678910P0.070.220.380.300.03解：∴隨機變量Y的取值相對更集中，即乙同學的射擊成績相對更穩定.新知探究在方差的計算中，為了使運算簡化，還可以用下面的結論.證明：探究：離散型隨機變量X加上一個常數，方差會有怎樣的變化?離散型隨機變量X乘以一個常數，方差又有怎樣的變化?它們和期望的性質有什么不同?均值的性質：方差的性質：新知探究例5：

拋擲一枚質地均勻的骰子，求擲出的點數X的方差.解法1：隨機變量X的分布列為例題講解例5：

拋擲一枚質地均勻的骰子，求擲出的點數X的方差.解法2：隨機變量X的分布列為例題講解例6投資A，B兩種股票，每股收益的分布列分別如下表所示.解：股票A收益的分布列股票B收益的分布列收益X/元－102概率0.10.30.6收益Y/元012概率0.30.40.3(1)投資哪種股票的期望收益大?(2)投資哪種股票的風險較高?∵E(X)>E(Y)，∴

投資股票A的期望收益較大.∵D(X)>D(Y)，∴

投資股票A的風險較高.例題講解隨機變量的方差是一個重要的數字特征,它刻畫了隨機變量的取值與其均值的偏離程度,或者說反映隨機變量取值的離散程度.在不同的實際問題背景中,方差可以有不同的解釋.例如,如果隨機變量是某項技能的測試成績,那么方差的大小反映了技能的穩定性;

如果隨機變量是加工某種產品的誤差,那么方差的大小反映了加工的精度;

如果隨機變量是風險投資的收益,那么方差的大小反映了投資風險的高低.歸納總結1．已知隨機變量X的分布列為X1234P0.20.30.40.1課堂練習3.甲、乙兩個班級同學分別目測數學教科書的長度，其誤差X和Y(單位:cm)的分布列如下:解：甲班的目測誤差分布列X－2－1012P0.10.20.40.20.1先直觀判斷X和Y的分布哪一個離散程度大，再分別計算X和Y的方差，驗證你的判斷.乙班的目測誤差分布列Y－2－1012P0.050.150.60.150.05直觀的觀察可判斷X的離散程度較大，下面用方差驗證.∵D(X)>D(Y)，∴

X的分布離散程度較大.【例1】(1)設隨機變量X的分布列為題型1離散型隨機變量的方差題型探究方法歸納(2)某運動員投籃的命中率p＝0.8，則該運動員在一次投籃中命中次數X的方差為________．【答案】(1)C(2)0.16【解析】依題意知X服從兩點分布，所以D(X)＝0.8×(1－0.8)＝0.16.求離散型隨機變量的方差的類型及解決方法(1)已知分布列類型(非兩點分布)：直接利用定義求解．先求均值，再求方差．(2)未知分布列類型：求解時可先借助已知條件及概率知識先求得分布列，然后轉化成(1)中的情況．(3)已知分布列是兩點分布：直接套用公式D(X)＝p(1－p)求解．【例2】已知X的分布列如下：題型2方差的性質的應用(1)求X2的分布列；(2)計算X的方差；(3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．方差的計算需要一定的運算能力，公式的記憶不能出錯，注意方差性質的應用，如D(aX＋b)＝a2D(X)．【例3】為選拔奧運會射擊選手，對甲、乙兩名射手進行選拔測試．已知甲、乙兩名射手在一次射擊中的得分為兩個相互獨立的隨機變量ξ，η.甲、乙兩名射手在每次射擊中擊中的環數均大于6環，且甲射中10,9,8,7環的概率分別為0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8環的概率分別為0.3,0.3,0.2.(1)求ξ，η的分布列；(2)求ξ，η的均值與方差，并以此比較甲、乙的射擊技術并從中選拔一人．題型3方差的實際應用解：(1)依據題意知，0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.∵乙射中10,9,8環的概率分別為0.3,0.3,0.2，∴乙射中7環的概率為1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.

∴ξ，η的分布列分別為ξ10987P0.50.30.10.1η10987P0.30.30.20.2(2)結合(1)中ξ，η的分布列，可得E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2，E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7，D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96，D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.∵E(ξ)＞E(η)，說明甲平均射中的環數比乙高．又∵D(ξ)<D(η)，說明甲射中的環數比乙集中，比較穩定．∴甲的射擊技術好，選擇甲．1．解題時可采用比較分析法，通過比較兩個隨機變量的均值和方差得出結論．2．均值體現了隨機變量取值的平均大小，在兩種產品相比較時，只比較均值往往是不恰當的，還需比較它們與其均值的偏離程度，即通過比較方差，才能得出更恰當的判斷．思想方法方程思想在方差中的應用分析：根據題目中給出的條件，利用方差與均值公式列出方程組求解．1．某品牌手機投放市場，每部手機可能發生按定價售出、打折后售出、沒有售出而收回三種情況．按定價售出每部利潤100元，打折后售出每部利潤0元，沒有售出而收回每部利潤－300元．據市場分析，發生這三種情況的概率分別為0.6，0.3，0.1．求每部手機獲利的均值和方差．X的分布列為X1000-300P0.60.30.1習題2．現要發行10000張彩票，其中中獎金額為2元的彩票1000張，10元的彩票300張，50元的彩票100張，100元的彩票50張，1000元的彩票5張．1張彩票中獎金額的均值是多少元?所以X的分布列為：X0210501001000P0.85450.10.030.010.0050.0005即1張彩票可能中獎金額的均值是2元．4．在單項選擇題中，每道題有四個選項，其中僅有一個選項正確．如果從四個選項中隨機選一個，選對的概率為0.25．請給選對和選錯分別賦予合適的分值，使得隨機選擇時得分的均值為0．設選對得分為a，選錯得分為b，則得分X的分布列為XabP0.250.75證明：設離散型隨機變量X的分布列為：6．有A和B兩道謎語，張某猜對A謎語的概率為0.8，猜對得獎金10元；猜對B謎語的概率為0.5，猜對得獎金20元．規則規定：只有在猜對第一道謎語的情況下，才有資格猜第二道．如果猜謎順序由張某選擇，他應該選擇先猜哪一道謎語？設先猜A謎語獎金為X元，則X的分布列為X01030P0.20.40.4設先猜B迷語獎金為Y

，則Y的分布列為Y02030P0.50.10.47．甲、乙兩種品牌的手表，它們的日走