人教A版（2019）選擇性必修第三冊第七章隨機變量及其分布7.4.2超幾何分布目錄學習目標01情景導入02新知探究03課本例題0405課本練習06題型探究方法歸納0807課本習題課堂小結學習目標1.理解超幾何分布概念,能夠判定隨機變量是否服從超幾何分布;2.會應用超幾何分布列的概率公式計算求解隨機事件的概率;3.能夠利用隨機變量服從超幾何分布的知識解決實際問題,會求服從超幾何分布的隨機變量的均值.1.二項分布：

一般地，在n重伯努利試驗中，設每次試驗中事件A發生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發生的次數，則X的分布列為：

如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布，記作X～B(n，p)若X～B(n,p)，則有2.二項分布的均值與方差：情景導入問題：已知100件產品中有8件次品，分別采用有放回和不放回的方式隨機抽取4件.設抽取的4件產品中次品數為X，求隨機變量X的分布列.

我們知道，如果采用有放回抽樣，則每次抽到次品的概率為0.08，且各次抽樣的結果相互獨立，此時X服從二項分布，即X～B(4，0.08).

采用不放回抽樣，雖然每次抽到次品的概率都是0.08，但每次抽取不是同一個試驗，各次抽取的結果不獨立，不符合n重伯努利試驗的特征，因此X不服從二項分布.思考：如果采用不放回抽樣，那么抽取的4件產品中次品數X是否也服從二項分布?如果不服從，那么X的分布列是什么?情景導入解：由題意可知，X可能的取值為0，1，2，3，4.超幾何分布服從超幾何分布，根據古典概型求X的分布列.由古典概型的知識，得X的分布列為思考：如果采用不放回抽樣，那么抽取的4件產品中次品數X是否也服從二項分布?如果不服從，那么X的分布列是什么?不符合n重伯努利試驗的特征，因此X不服從二項分布.新知探究

一般地，假設一批產品共有N件，其中有M件次品.從N件產品中隨機抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產品中的次品數，則X的分布列為：1.超幾何分布

其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，r＝min{n，M}.如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機變量X服從超幾何分布注：(1)“由較明顯的兩部分組成”：如“男生、女生”，“正品、次品”；(2)不放回抽樣：“任取n件”應理解為“不放回地一次取一件，連續取n件”；超幾何分布與二項分布有什么不同之處與相似之處？

超幾何分布需要知道總數N，而二項分布不需要；超幾何分布是不放回抽取，而二項分布是放回抽取(獨立重復)；當總數N非常大時，超幾何分布近似于二項分布．歸納總結解：設X表示選出的5名學生中含甲的人數，則X服從超幾何分布，且N＝50，M＝1，n＝5.因此甲被選中的概率為：例4：從50名學生中隨機選出5名學生代表，求甲被選中的概率.例題講解解：設X表示抽取10個零件中不合格品數，則X服從超幾何分布，其分布列為例5：一批零件共有30個，其中有3個不合格.隨機抽取10個零件進行檢測，求至少有1件不合格的概率.∴至少有1件不合格的概率為：例題講解若隨機變量X服從超幾何分布，則有2.超幾何分布的均值下面對均值進行證明.證明：令m＝max{0,n-N+M},

r＝min{n,M}.

由隨機變量的定義：當m>0時，當m=0時，類似可以證明結論依然成立.若隨機變量X服從超幾何分布，則有E(X)

如果隨機變量X的分布列具有上式的形式,那么稱隨機變量X服從超幾何分布.記為X~H(n,M,N).一般地，假設一批產品共有N件，其中有M件次品.從N件產品中隨機抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產品中的次品數，則X的分布列為概念歸納分析：因為只有兩種顏色的球，每次摸球都是一個伯努利試驗．摸出20個球，采用有放回摸球，各次試驗的結果相互獨立，X～B(20,0.4)；而采用不放回摸球，各次試驗的結果不獨立，X服從超幾何分布．

例6

一個袋子中有100個大小相同的球，其中有40個黃球、60個白球，從中隨機地摸出20個球作為樣本.用X表示樣本中黃球的個數.(1)分別就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列；例題講解

例6

一個袋子中有100個大小相同的球，其中有40個黃球、60個白球，從中隨機地摸出20個球作為樣本.用X表示樣本中黃球的個數.(1)分別就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列；例題講解(1)對于有放回摸球，每次摸到黃球的概率為0.4，且各次試驗之間的結果是獨立的，因此X~B(20,0.4)，X的分布列為

例6

一個袋子中有100個大小相同的球，其中有40個黃球、60個白球，從中隨機地摸出20個球作為樣本.用X表示樣本中黃球的個數.(1)分別就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列；解：對于不放回摸球，各次試驗的結果不獨立，X服從超幾何分布，X的分布列為(2)利用統計軟件可以計算出兩個分布列具體的概率值(精確到0.00001),如表所示.(2)分別就有放回摸球和不放回摸球,用樣本中黃球的比例估計總體中黃球的比例,求誤差不超過0.1的概率.因此，在相同的誤差限制下，采用不放回摸球估計的結果更可靠些．兩種摸球方式下，隨機變量X分別服從二項分布和超幾何分布，雖然這兩種分布有相等的均值(都是8)，但從兩種分布的概率分布圖(如下圖)看，超幾何分布更集中在均值附近.

二項分布和超幾何分布都可以描述隨機抽取的n件產品中次品數的分布規律，并且二者的均值相同.對于不放回抽樣，當n遠遠小于N時，每抽取一次后，對N的影響很小，此時，超幾何分布可以用二項分布近似.二項分布與超幾何分布的聯系與區別？

（1）由古典概型得出超幾何分布，由獨立重復試驗得出二項分布，放回摸球是二項分布，不放回摸球是超幾何分布.

（2）對于同一個模型，兩個分布的均值相同，但超幾何分布的方差較小，說明超幾何分布中隨機變量的取值更集中于均值附近.

（3）對于不放回摸球，當N充分大，且n遠遠小于N時，各次抽樣結果彼此影響很小，可近似認為是獨立的.此時，超幾何分布可以用二項分布近似.歸納總結1.一箱24罐的飲料中4罐有獎券，每張獎券獎勵飲料一罐，從中任意抽取2罐，求這2罐中有獎券的概率.解：設抽出的2罐中有獎券的罐數為X，則X服從超幾何分布，從而抽取2罐中有獎券的概率為：課堂練習2.學校要從12名候選人中選4名同學組成學生會，已知有4名候選人來自甲班.假設每名候選人都有相同的機會被選到，求甲班恰有2名同學被選到的概率.解：設選到的4人中甲班同學的人數為X，則X服從超幾何分布，從而甲班恰有2人被選到的概率為：課堂練習3．舉出兩個服從超幾何分布的隨機變量的例子．例1：假設某魚池中僅有鯉魚和草魚兩種魚，其中鯉魚200條，草魚40條，從魚池中任取5條魚，這5條魚中包含草魚的個數X服從超幾何分布．例2：現有甲、乙兩種品牌的電視機共52臺，其中甲品牌21臺，從52臺電視機中選出5臺送給福利院，選出的甲品牌電視機臺數X服從超幾何分布．課堂練習【例1】2021年5月30日清晨5時01分，天舟二號貨運飛船在成功發射約8小時后，中國航天器的“浪漫之吻”再度在太空上演，天舟二號貨運飛船與中國空間站天和核心艙順利實現了快速交會對接．據航天科技集團五院的專家介紹，此次天舟貨運飛船攜帶的物資可以供3名航天員在太空中生活3個月，這將創造中國航天員駐留太空時長新的記錄．如果首次執行空間站的任務由3名航天員承擔，在3名女性航天員(甲、乙、丙)和4名男性航天員(丁、戊、己、庚)共7名航天員中產生，求所選的3名航天員至少有2名女航天員的概率．題型1利用超幾何分布的公式求概率題型探究方法歸納超幾何分布是一種常見的隨機變量的分布，所求概率分布問題由明顯的兩部分組成，解題時先分析隨機變量是否滿足超幾何分布，若滿足，則可直接利用公式求解，注意公式中M，N，n的含義．【例2】一個袋中裝有6個形狀、大小完全相同的小球，其中紅球有3個，編號為1,2,3；黑球有2個，編號為1,2；白球有1個，編號為1.現從袋中一次隨機抽取3個球．(1)求取出的3個球的顏色都不相同的概率；(2)記取得1號球的個數為隨機變量X，求隨機變量X的分布列．題型2超幾何分布的分布列【例題遷移1】在本例條件下，若記取到白球的個數為隨機變量η，求隨機變量η的分布列．【例題遷移2】將本例的條件“一次隨機抽取3個球”改為“有放回地抽取3次球，每次抽取1個球”，其他條件不變，結果又如何？【例3】某大學志愿者協會有6名男同學，4名女同學．在這10名同學中，3名同學來自數學學院，其余7名同學來自物理、化學等其他互不相同的七個學院．現從這10名同學中隨機選取3名同學，到希望小學進行支教活動(每位同學被選到的可能性相同)．(1)求選出的3名同學是來自互不相同學院的概率；(2)設X為選出的3名同學中女同學的人數，求隨機變量X的期望．題型3超幾何分布的綜合應用【例3】某大學志愿者協會有6名男同學，4名女同學．在這10名同學中，3名同學來自數學學院，其余7名同學來自物理、化學等其他互不相同的七個學院．現從這10名同學中隨機選取3名同學，到希望小學進行支教活動(每位同學被選到的可能性相同)．(1)求選出的3名同學是來自互不相同學院的概率；(2)設X為選出的3名同學中女同學的人數，求隨機變量X的期望．超幾何分布的應用超幾何分布主要用于抽檢產品、摸不同類別的小球等概率模型，其本質是古典概型．【例4】某年級的聯歡會上設計了一個摸獎游戲，在一個口袋中裝有10個紅球和20個白球，這些球除顏色外完全相同，一次從中摸出5個球，至少摸到3個紅球就中獎，求中獎的概率．易錯警示混淆參數取值致誤易錯防范：錯解中混淆了M與n的取值，在本題中M指紅球個數，應為10，n指任意取出的球的個數，應為5.1．拋擲一枚骰子，當出現5點或6點時，就說這次試驗成功，求在30次試驗中成功次數X的均值和方差．習題2．若某射手每次射擊擊中目標的概率為0.9，每次射擊的結果相互獨立，則在他連續4次的射擊中，恰好有一次未擊中目標的概率是多大．3．如圖，一個質點在隨機外力的作用下，從原點0出發，每隔1s等可能地向左或向右移動一個單位，共移動6次．求下列事件的概率．（1）質點回到原點；（2）質點位于4的位置．4．從一副不含大小王的52張撲克牌中任意抽出5張，求至少有2張A牌的概率(精確到0.00001)．5．某射手每次射擊擊中目標的概率為0.8，共進行10次射擊，求(精確到0.01)：（1）恰有8次擊中目標的概率；（2）至少有8次擊中目標的概率．6．有一個摸獎游戲，在一個口袋中裝有10個紅球和20個白球，這些球除顏色外完全相同，一次從中摸出5個球，至少摸到3個紅球就中獎．求中獎的概率(精確到0.001)．7．一個車間有3臺車床，它們各自獨立工作．設同時發生故障的車床數為X，在下列兩種情形下分別求X的分布列．（1）假設這3臺車