專題7.5復數全章十大基礎題型歸納（基礎篇）【人教A版（2019）】題型1題型1復數的分類及辨析1．（24-25高一下·全國·課后作業）下列四種說法正確的是（

）A．如果實數a=b，那么a?b+(a+b)iB．實數是復數．C．如果a=0，那么z=a+biD．任何數的偶數次冪都不小于零．【解題思路】根據復數的概念及分類，逐項判定，即可看求解.【解答過程】對于A中，若a=b=0，那么a?b+(a+b)i對于B中，由復數的概念，可得實數是復數，所以B正確；對于C中，若a=0且b=0時，復數z=a+bi對于D中，由虛數單位i2故選：B.2．（23-24高一下·上海浦東新·期中）下列命題一定成立的是（

）A．若z∈C，則B．若x,y,z∈C,C．若a∈R，則(a+2)D．若p,q∈C,p>0且q>0，則pq>0【解題思路】根據復數的概念和性質逐項進行檢驗即可判斷.【解答過程】對于A，當z=i時，z2=?1<0對于B，當x?y=i,y?z=1時，(x?y)2+(y?z)對于C，若a+2=0，則(a+2)i并不是純虛數，故選項C對于D，因為p,q∈C,p>0且q>0，所以p,q為正實數，則pq>0且p+q>0，故選項故選：D.3．（24-25高一·上海·課堂例題）在下列復數中，哪些是實數？哪些是虛數？哪些是純虛數？各數的實部和虛部分別是什么？?5+6i、22+22【解題思路】直接利用復數的基本概念逐一分析得答案．【解答過程】?3、0是實數，?3的實部為?5+6i、22+22?5+6i的實部為?5，虛部為6；22+22i的實部與虛部均為22；cos4．（24-25高一下·上海·課后作業）若z=m2?3m+2+m【解題思路】根據復數的分類解出m，再將m代入z1即可得到答案.【解答過程】因為z=m2?3m+2+mm=2時，z1m=?1時，z1題型2題型2已知復數的類型求參數

1．（23-24高一下·福建福州·期末）若(x2?4)+(x2A．±2 B．?2 C．2 D．?1【解題思路】根據純虛數的定義，列出方程組，求解即可.【解答過程】因為(x2?4)+(x2故選：C.2．（23-24高一下·安徽安慶·期末）已知a，b均為實數，復數：z=a2?b+(b?2a)i，其中i為虛數單位，若z<3，則A．?1,3 B．(?∞,?1)∪(3,+∞) C．【解題思路】由復數為實數及不等關系列不等式，解一元二次不等式即可.【解答過程】由題z=a2?b+b?2ai則有a2?2a?3<0，解得?1<a<3，即a的取值范圍為故選：A.3．（23-24高一下·甘肅定西·期末）已知復數z=m(1)若復數z是純虛數，求實數m的值；(2)當非零復數z的實部和虛部互為相反數時，求實數m的值．【解題思路】（1）由條件可得實部為零，虛部不為零得出答案；（2）由條件可得m2【解答過程】（1）由復數z=m2+6m?7+m2（2）由復數z的實部和虛部互為相反數，得m2化簡得2m2+5m?7=0，解出m=?當m=1時，z=0不符合題意，m=1（舍去），而m=?7所以實數m的值為?74．（23-24高一下·廣東清遠·期末）已知復數z=m2?m?6(1)z為實數；(2)z為純虛數；(3)z為虛數．【解題思路】（1）根據復數z為實數的條件，列方程和不等式組m的值；（2）根據復數z為純虛數的條件，列方程和不等式求m的值；（3）根據復數z為虛數的條件，列不等式組求m的值即可.【解答過程】（1）當m2?2m?15=0且m+3≠0時，復數z為實數，解得所以m=5時，復數z為實數；（2）當m2?m?6m+3=0且m+3≠0且解得m=3或m=?2，所以m=3或m=?2時，復數z為純虛數；（3）當m+3≠0且m2?2m?15≠0時，復數z為虛數，解得m≠?3且所以m≠?3且m≠5時，復數z為虛數.題型3題型3復數的幾何意義1．（23-24高一下·新疆巴音郭楞·期末）若z=?7+3i（i為虛數單位），則復數z的共軛復數z在復平面內對應的點位于（

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解題思路】首先得到其共軛復數，再根據復數的幾何意義判斷即可.【解答過程】因為z=?7+3i，所以z所以復數z在復平面內對應的點為?7,?3，位于第三象限.故選：C.2．（23-24高一下·湖北·期末）當34<m<1時，復數m(4+iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解題思路】根據復數的運算法則和復數的幾何意義可得(4m?3,m?1)，結合34【解答過程】m(4+i所以該復數在復平面所對應的點的坐標為(4m?3,m?1)，又34<m<1，所以所以點(4m?3,m?1)位于第四象限.故選：D.3．（23-24高一下·新疆巴音郭楞·期末）已知復數z=3m2?2m?1+(1)若復數z為純虛數，求m的值；(2)若復數z在復平面上對應的點在第一象限，求m的取值范圍.【解題思路】（1）首先判斷復數的實部與虛部，根據復數的類型得到方程（不等式）組，解得即可；（2）根據實部、虛部均大于0得到不等式組，解得即可.【解答過程】（1）復數z=3m2?2m?1+6m因為復數z為純虛數，則3m2?2m?1=0（2）因為復數z在復平面上對應的點為3m所以3m2?2m?1>06m即m的取值范圍為?∞4．（23-24高一·上海·課堂例題）求實數m的值或取值范圍，使得復數z=m2?8m+15(1)實軸上；(2)虛軸上；(3)第四象限．【解題思路】（1）根據題意可得m2（2）由m2?8m+15=0求m，代入（3）由m2?8m+15>0m【解答過程】（1）由題意可得：m2?5m?14=0，解得m=7或（2）由題設，m2?8m+15=(m?3)(m?5)=0，可得m=3或當m=3時，z=?20i當m=5時，z=?14i綜上，m=3或m=5.（3）由題設m2可得m∈(?2,3)∪(5,7).題型4題型4復數的模的計算1．（23-24高一下·浙江寧波·期末）已知復數z=a?i的實部與虛部相等，則z?i=A．2 B．5 C．22 D．【解題思路】由實部與虛部概念可得a=?1，代入計算可求出結果.【解答過程】易知z=a?i的實部為a，虛部為?1由題意可知a=?1，則z?i故選：B.2．（23-24高一下·福建廈門·期末）若z=z?3=z?A．1 B．2 C．3 D．2【解題思路】設z=x+yi，x,y∈R，結合條件求出【解答過程】設z=x+yi，x,y∈R，則又z=z?3解得x=32y=12故選：A.3．（24-25高一上·上海·課堂例題）若復數z=(x?1)+(2x?1)i的模小于10，求實數x【解題思路】利用復數模的公式求解即可.【解答過程】由題意，得(x?1)2整理，得5x2所以實數x的取值范圍是?44．（24-25高一·全國·隨堂練習）已知z=4?3i?1+【解題思路】根據復數模的定義及模的性質求解.【解答過程】因為z=4?3所以z=題型5題型5復數的加、減運算1．（23-24高一下·貴州畢節·階段練習）若z1=13?3i，z2=4+A．9?4i B．9?2i C．?9+4i【解題思路】直接利用復數的減法運算求解.【解答過程】若z1=13?3i，z故選：A.2．（24-25高一下·全國·課后作業）若z+2?3i=3?2i（i為虛數單位），則z=A．5?5i B．1+i C．1+5i【解題思路】移項化簡可得z．【解答過程】∵z+2?3i=3?2i故選：B.3．（2024高一下·全國·專題練習）計算：(1)

2?1(2)(3+2i(3)(1+2i(4)(6?3i【解題思路】（1）（2）（3）（4）根據復數的加減法法則直接求解即可.【解答過程】（1）2?1（2）(3+2i（3）(1+2=(1+2i)+(i（4）(6?3=[6+3?3?(?2)]+[?3+2?(?4)?1]i=8+24．（2024高一下·全國·專題練習）計算(1)2+4(2)5?(3)?3?4(4)2?【解題思路】根據題意，結合復數的加法與減法的運算法則，準確運算，即可求解.【解答過程】（1）解：由復數的運算法則，可得2+4i（2）解：由復數的運算法則，可得5?3+2（3）解：由復數的運算法則，可得?3?4i（4）解：由復數的運算法則，可得2?i題型6題型6復數的乘、除運算1．（23-24高一下·福建龍巖·期中）復數z=1+i2A．2+2i B．2?2i C．?2+2i【解題思路】利用復數的運算法則即可得出．【解答過程】z=1+故選：A．2．（23-24高一下·陜西商洛·期末）已知復數z滿足z?i=21?iA．1+2i B．1?2i C．?1+2i【解題思路】由題意可得z=2【解答過程】因為z?i所以z=2故選：A.3．（23-24高一下·廣東佛山·期中）計算：(1)(?3?4(2)((3)3+2i2?3【解題思路】（1）根據復數的加、減法運算求解；（2）根據復數的乘法運算求解；（3）根據復數的除法運算求解.【解答過程】（1）由題意可得：(?3?4i（2）由題意可得：(3（3）由題意可得：3+2i2?3i4．（2024高一下·全國·專題練習）計算：(1)?1+i(2)1+2i(3)1+i【解題思路】根據復數除法的運算法則，結合復數乘方、加減法的運算法則對（1）（2）（3）進行求解即可.【解答過程】（1）?1+i（2）1+2i（3）1+=i題型7題型7根據復數的四則運算結果求參數1．（23-24高一下·河南鄭州·階段練習）復數z1=a+3i，z2=?4+bi，a,b為實數，若z1A．?7 B．7 C．?1 D．1【解題思路】由z1+z2為實數，z1【解答過程】因為z1+z2=a?4+又z1?z2=a+4+3?bi綜上可知a=?4b=?3，所以a+b=?7故選：A.2．（2024·河南·模擬預測）已知i是虛數單位，若復數z=a+i1+ia∈RA．?13 B．13 C．?【解題思路】根據復數的除法運算求得復數的實部和虛部，由題意列式，求得答案.【解答過程】z=a+i1?解得a=1故選：B.3．（24-25高一·全國·隨堂練習）設復數z=a?i1?ia>0，若復數w=z【解題思路】先化簡復數z，再化簡復數w，再由w的虛部減去其實部，即可求得a，再將a代入w求解即可.【解答過程】由已知，z=a?∴w=z=a+124+a+124i+由已知a+12∵a>0，∴解得a=2.∴復數w的實部為2+124?∴復數w=34．（23-24高一下·江蘇常州·期中）在復平面內，復數z對應的點在第四象限，設z+2(1)若a=2，求z；(2)若a∈R，求z【解題思路】（1）設z=m+ni（2）根據a∈R，可得等式左邊化簡后得復數虛部等于零，可得出m,n【解答過程】（1）設z=m+ni由z+2z=a即m+ni+2因為a=2，即m+2m所以m+2mm2所以z=1?i（2）由（1）結合a∈R可得n?2nm2所以z=題型8題型8求輔角主值1．（24-25高一下·重慶·階段練習）復數cosπ4?A．π4 B．3π4 C．5π4【解題思路】將復數的代數形式為三角形式，即可求出輻角的主值．【解答過程】復數cos=cos所以復數cosπ4?故選：D.2．（23-24高三上·福建泉州·期中）任意復數z=a+bi（a、b∈R，i為虛數單位）都可以寫成z=rcosθ+isinθ的形式，其中r=a2+bA．π6 B．π3 C．2π3【解題思路】將復數寫成三角形式，可得結果.【解答過程】復數z=32+12故選：A.3．（24-25高一下·全國·課后作業）寫出下列復數的輻角的主值(1)-4(2)2(3)?(4)2【解題思路】利用復數的輻角求主值的方法求解即可.【解答過程】（1）?4=4cosπ+isinπ，所以arg（2）2i=4cos（3）?3?3（4）2cosπ34．（2024高一下·上海·專題練習）已知f(z)=z?1，且f(z(1)求復數z1=2?2i的三角形式，并且復數z(2)求|z【解題思路】（1）直接利用三角變換可得復數z1的三角形式及輻角主值arg（2）設z2=x+yi(x,y∈R【解答過程】（1）z1則argz（2）設z2=x+yi(x,y∈R又f(z)=z?1，于是則1?x=4y+2=4，解得x=?3，y=2，即z因此z1?z題型9題型9復數的代數形式與三角形式的互化1．（24-25高一上·全國·課后作業）請將以下復數表示為三角形式（輻角取主值）：(1)3+(2)1?i(3)-1【解題思路】求出模及幅角，即可將復數的代數形式化為三角形式．【解答過程】（1）因為r=32+1=2，cosθ=于是3+（2）因為r=1+?12=2，cos于是1?i（3）因為r=?12+0=1，cosθ=?1于是?1=cosπ2．（24-25高一上·上海·課堂例題）將下列復數用三角形式表示：(1)12(2)?1?3【解題思路】求出各復數的模和輻角，化簡成的形式即可得解.【解答過程】（1）r=122+?設θ為復數的輻角主值，θ為第四象限的角，故θ=7因為cos7π4所以12（2）?1?33．（24-25高一·全國·課后作業）把下列復數表示成三角形式．(1)12(2)?1?(3)?1(4)a【解題思路】根據復數的三角表示公式，可得答案.【解答過程】（1）12cosπ4?其中r=242+2（2）由?1?i，則r=?12顯然復數對應的點在第三象限，所以?1?i的輻角θ=所以?1?i（3）?12cosπ3其中r=?142+（4）因為a<0，所以r=0+a2=a所以ai4．（24-25高一·全國·課后作業）把下列復數表示成三角形式，并畫出與之對應的向量．(1)6；(2)1+i(3)1?3(4)?3【解題思路】對（1）（2）（3）（4）中的復數，先畫出圖像，結合圖像求得輻角主值和模，從而求得其三角形式.【解答過程】（1）設復數的模為r，輻角主值為θ．6對應的向量如下圖中OZ∵r=6，cosθ=1，sinθ=0，又∴θ=0，∴6=6(cos（2）設復數的模為r，輻角主值為θ．1+i對應的向量如下圖中O∵r=2，cosθ=2又θ∈[0,2π)，∴∴1+i（3）設復數的模為r，輻