2025年大學統計學期末考試題庫：基礎概念題全面復習試題考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、集合與樣本空間要求：掌握集合的基本概念，樣本空間及其表示方法。1.設集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，求A∩B，A∪B，A-B，B-A。2.設集合S={x|x≤5}，求S的補集S'。3.設集合A={a,b,c}，集合B={d,e,f}，求A×B。4.設集合C={x|x=2k，k∈Z}，求C的子集個數。5.設集合D={x|x=3k+1，k∈Z}，求D的子集個數。6.設集合E={x|x=4k+1，k∈Z}，求E的子集個數。7.設集合F={x|x=5k+2，k∈Z}，求F的子集個數。8.設集合G={x|x=6k-1，k∈Z}，求G的子集個數。9.設集合H={x|x=7k+3，k∈Z}，求H的子集個數。10.設集合I={x|x=8k+4，k∈Z}，求I的子集個數。二、概率論基礎要求：理解概率的基本概念，掌握概率的運算規則。1.從1到10這10個數字中，隨機抽取一個數字，求抽到偶數的概率。2.從1到10這10個數字中，隨機抽取一個數字，求抽到質數的概率。3.甲、乙兩人投籃，甲投籃命中率是60%，乙投籃命中率是70%，求甲、乙兩人投籃至少命中一個的概率。4.某班級共有30名學生，其中有18名男生，12名女生。隨機抽取一名學生，求抽到女生的概率。5.從一副52張的撲克牌中，隨機抽取一張牌，求抽到紅桃的概率。6.從一副52張的撲克牌中，隨機抽取一張牌，求抽到方塊的概率。7.從一副52張的撲克牌中，隨機抽取一張牌，求抽到黑桃的概率。8.從一副52張的撲克牌中，隨機抽取一張牌，求抽到梅花的概率。9.從一副52張的撲克牌中，隨機抽取一張牌，求抽到J的概率。10.從一副52張的撲克牌中，隨機抽取一張牌，求抽到Q的概率。三、隨機變量及其分布要求：了解隨機變量的概念，掌握隨機變量的分布函數和概率分布。1.設隨機變量X的分布函數為F(x)=0（x<0），F(x)=x/2（0≤x<1），F(x)=1（x≥1），求X的分布函數。2.設隨機變量Y的概率分布列為：|Y|0|1|2|3||----|-----|-----|-----|-----||P|0.1|0.2|0.3|0.4|求Y的期望值和方差。3.設隨機變量Z服從正態分布N(μ,σ^2)，其中μ=0，σ=1，求Z小于-1的概率。4.設隨機變量W服從二項分布B(n,p)，其中n=5，p=0.3，求W等于3的概率。5.設隨機變量X服從均勻分布U(a,b)，其中a=1，b=3，求X大于2的概率。6.設隨機變量Y服從指數分布Exp(λ)，其中λ=0.5，求Y小于1的概率。7.設隨機變量Z服從泊松分布P(λ)，其中λ=2，求Z等于3的概率。8.設隨機變量W服從卡方分布χ^2(n)，其中n=4，求W大于6的概率。9.設隨機變量X服從t分布t(n)，其中n=10，求X小于-1的概率。10.設隨機變量Y服從F分布F(n1,n2)，其中n1=5，n2=8，求Y小于2的概率。四、期望值與方差的計算要求：計算隨機變量的期望值和方差。1.設隨機變量X的分布列為：|X|1|2|3||----|-----|-----|-----||P|0.2|0.3|0.5|求E(X)和Var(X)。2.設隨機變量Y的概率密度函數為：f(y)=2y，對于0≤y≤1求E(Y)和Var(Y)。3.設隨機變量Z服從標準正態分布N(0,1)，求E(Z^2)和Var(Z^2)。4.設隨機變量W的概率質量函數為：|W|0|1|2||----|-----|-----|-----||P|0.3|0.5|0.2|求E(W)和Var(W)。5.設隨機變量X服從均勻分布U(1,4)，求E(X)和Var(X)。五、隨機事件的獨立性要求：判斷隨機事件是否相互獨立。1.設事件A和B，已知P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(A∩B)=0.1，判斷事件A和B是否相互獨立。2.設事件C和D，已知P(C)=0.5，P(D)=0.6，P(C|D)=0.8，判斷事件C和D是否相互獨立。3.設事件E和F，已知P(E)=0.7，P(F)=0.9，P(E∪F)=0.8，判斷事件E和F是否相互獨立。4.設事件G和H，已知P(G)=0.2，P(H)=0.3，P(G|H)=0.6，判斷事件G和H是否相互獨立。5.設事件I和J，已知P(I)=0.4，P(J)=0.5，P(I∩J)=0.2，判斷事件I和J是否相互獨立。六、假設檢驗要求：應用假設檢驗的基本原理進行問題解答。1.對總體均值的假設檢驗，已知樣本均值為55，樣本標準差為5，樣本容量為100，總體標準差為10，總體均值為50，使用0.05的顯著性水平，檢驗假設H0：μ=50與H1：μ≠50。2.對總體比例的假設檢驗，已知樣本比例為0.4，樣本容量為200，總體比例為0.5，使用0.01的顯著性水平，檢驗假設H0：p=0.5與H1：p≠0.5。3.對兩個獨立樣本均值差的假設檢驗，已知樣本1均值為40，樣本2均值為45，樣本1標準差為3，樣本2標準差為4，樣本容量分別為50和60，使用0.05的顯著性水平，檢驗假設H0：μ1=μ2與H1：μ1≠μ2。4.對兩個相關樣本均值差的假設檢驗，已知樣本均值為45，樣本標準差為10，樣本容量為100，使用0.01的顯著性水平，檢驗假設H0：μ1=μ2與H1：μ1≠μ2。5.對兩個比例差的假設檢驗，已知樣本1比例為0.6，樣本2比例為0.4，樣本容量分別為150和200，使用0.05的顯著性水平，檢驗假設H0：p1=p2與H1：p1≠p2。本次試卷答案如下：一、集合與樣本空間1.A∩B={2,3}，A∪B={1,2,3,4}，A-B={1}，B-A={4}。解析思路：集合的交集是兩個集合共有的元素，并集是兩個集合所有元素的集合，差集是第一個集合有而第二個集合沒有的元素。2.S'={x|x>5}。解析思路：補集是全集除去原集合的所有元素。3.A×B={（a,d），（a,e），（a,f），（b,d），（b,e），（b,f），（c,d），（c,e），（c,f）}。解析思路：兩個集合的笛卡爾積是所有可能的有序對組成的集合。4.C的子集個數為2^3=8。解析思路：一個集合有n個元素，它的子集個數是2^n。5.D的子集個數為2^3=8。解析思路：與第4題同理。6.E的子集個數為2^3=8。解析思路：與第4題同理。7.F的子集個數為2^3=8。解析思路：與第4題同理。8.G的子集個數為2^3=8。解析思路：與第4題同理。9.H的子集個數為2^3=8。解析思路：與第4題同理。10.I的子集個數為2^3=8。解析思路：與第4題同理。二、概率論基礎1.抽到偶數的概率為5/10=0.5。解析思路：有5個偶數（2,4,6,8,10），共有10個數字。2.抽到質數的概率為4/10=0.4。解析思路：有4個質數（2,3,5,7），共有10個數字。3.甲、乙至少命中一個的概率為P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.6+0.7-0.42=0.88。解析思路：使用概率的加法原理和減法原理。4.抽到女生的概率為12/30=0.4。解析思路：有12名女生，共有30名學生。5.抽到紅桃的概率為13/52=0.25。解析思路：一副撲克牌有13張紅桃牌，共有52張牌。6.抽到方塊的概率為13/52=0.25。解析思路：與第5題同理。7.抽到黑桃的概率為13/52=0.25。解析思路：與第5題同理。8.抽到梅花的概率為13/52=0.25。解析思路：與第5題同理。9.抽到J的概率為4/52=0.077。解析思路：一副撲克牌有4張J牌，共有52張牌。10.抽到Q的概率為4/52=0.077。解析思路：與第9題同理。三、隨機變量及其分布1.E(X)=1×0.2+2×0.3+3×0.5=2.4，Var(X)=(1-2.4)^2×0.2+(2-2.4)^2×0.3+(3-2.4)^2×0.5=0.84。解析思路：期望值是每個值乘以其概率的總和，方差是每個值與期望值的差的平方乘以其概率的總和。2.E(Y)=∫(0to1)2ydy=[y^2]from0to1=1，Var(Y)=E(Y^2)-(E(Y))^2=∫(0to1)4y^2dy-1=[y^3]from0to1-1=3。解析思路：使用積分計算期望值和方差。3.E(Z^2)=Var(Z)+[E(Z)]^2=1+0=1，Var(Z^2)=E(Z^4)-[E(Z^2)]^2=3-1^2=2。解析思路：標準正態分布的方差為1，期望值的平方等于方差。4.E(W)=0×0.3+1×0.5+2×0.2=0.9，Var(W)=(0-0.9)^2×0.3+(1-0.9)^2×0.5+(2-0.9)^2×0.2=0.61。解析思路：與第1題同理。5.E(X)=∫(1to4)(x/2)dx=[(x^2)/4]from1to4=3，Var(X)=E(X^2)-(E(X))^2=∫(1to4)(x^2/4)dx-3^2=2。解析思路：使用積分計算期望值和方差。四、期望值與方差的計算1.E(X)=1×0.2+2×0.3+3×0.5=2.4，Var(X)=(1-2.4)^2×0.2+(2-2.4)^2×0.3+(3-2.4)^2×0.5=0.84。解析思路：與第三題第1題同理。2.E(Y)=∫(0to1)2ydy=[y^2]from0to1=1，Var(Y)=E(Y^2)-(E(Y))^2=∫(0to1)4y^2dy-1=[y^3]from0to1-1=3。解析思路：與第三題第2題同理。3.E(Z^2)=Var(Z)+[E(Z)]^2=1+0=1，Var(Z^2)=E(Z^4)-[E(Z^2)]^2=3-1^2=2。解析思路：與第三題第3題同理。4.E(W)=0×0.3+1×0.5+2×0.2=0.9，Var(W)=(0-0.9)^2×0.3+(1-0.9)^2×0.5+(2-0.9)^2×0.2=0.61。解析思路：與第三題第4題同理。5.E(X)=∫(1to4)(x/2)dx=[(x^2)/4]from1to4=3，Var(X)=E(X^2)-(E(X))^2=∫(1to4)(x^2/4)dx-3^2=2。解析思路：與第三題第5題同理。五、隨機事件的獨立性1.事件A和B不相互獨立，因為P(A∩B)=0.1≠P(A)P(B)=0.4×0.3=0.12。解析思路：兩個事件相互獨立的條件是它們的交集的概率等于各自概率的乘積。2.事件C和D不相互獨立，因為P(C|D)=0.8≠P(C)=0.5。解析思路：條件概率不等于事件C的概率，說明它們不獨立。3.事件E和F不相互獨立，因為P(E∪F)=0.8≠P(E)P(F)=0.7×0.9=0.63。解析思路：兩個事件的并集的概率不等于各自概率的乘積，說明它們不獨立。4.事件G和H不相互獨立，因為P(G|H)=0.6≠P(G)=0.2。解析思路：條件概率不等于事件G的概率，說明它們不獨立。5.事件I和J不相互獨立，因為P(I∩J)=0.2≠P(I)P(J)=0.4×0.5=0.2。解析思路：兩個事件的交集的概率等于各自概率的乘積，但這里交集的概率與乘積相等，說明它們是獨立的。六、假設檢驗1.使用t檢驗，計算t值t=(55-50)/(5/√100)=5/0.5=10，自由度為99，查表得臨界值為±1.66，因為t=10>1.66，拒絕原假設H0。解析思路：計算t值，比較t值與臨界值，判斷是否拒絕原假設。2.使用z檢驗，計算z值z=(0.4-0.5)/(√(0.5×0.5/200))=-0.5/0.025=-20，查表得臨界值為±2.576，因為z=-20<-2.576，拒絕原假設H0。解析思路：計算z值，比較z值與臨界值，判斷是否拒絕原假設。3.使用t檢驗，計算t值t=(40-45)/(√(3^2/50+4^2/60))=-5/√(0.36/50+0.16/60)=-5/√(0.0072+0.0027)=-5/√0.0099=-5/0.099=-50.51，自由度為89，查表得臨界值為±1.660，因為t=-50.51<-1.660，拒絕原假設H0。解析