專題04二元一次方程（組）

考點聚焦：核心考點+中考考點，有的

放矢

重點專攻：知識點和關鍵點梳理，查漏補缺

提升專練：真題感知+精選專練，全面突破

考點聚焦

回代入WXflMR個方程中，求出另外內個未知數

?》重點專攻

知識點1:二元一次方程組的相關概念

試卷第1頁，共20頁

1.二元一次方程的定義

定義：方程中含有兩個未知數（一般用X和了），并且未知數的次數都是1,像這樣的方程叫

做二元一次方程.

注意：（1）在方程中“元”是指未知數，“二元”就是指方程中有且只有兩個未知數.

（2）“未知數的次數為1”是指含有未知數的項（單項式）的次數是1.

（3）二元一次方程的左邊和右邊都必須是整式.

2.二元一次方程的解

定義：使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數的值，叫做二元一次方程的解.

注意：二元一次方程的每一個解，都是一對數值，而不是一個數值，一般要用大括號聯立起

[x=a

來，即二元一次方程的解通常表示為人的形式.

[y=b

3.二元一次方程組的定義

定義：把具有相同未知數的兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組.此

外，組成方程組的各個方程也不必同時含有兩個未知數.例如，二元一次方程組

j3x+4歹=5

[x—2,

\a,x+b.y=G

注意：（1）它的一般形式為：（其中外,出，可,打不同時為零）.

[a2x+b2y=c2

（2）更一般地，如果兩個一次方程合起來共有兩個未知數，那么它們組成一個二元一次方

程組.

（3）符號“{”表示同時滿足，相當于“且”的意思.

4.二元一次方程組的解

定義：一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.

注意：（1）方程組中每個未知數的值應同時滿足兩個方程，所以檢驗是否是方程組的解，應

把數值代入兩個方程，若兩個方程同時成立，才是方程組的解，而方程組中某一個方程的某

一組解不一定是方程組的解.

（2）方程組的解要用大括號聯立；

（3）一般地，二元一次方程組的解只有一個，但也有特殊情況，如方程組h-/無解,

\2x+y=6

試卷第2頁，共20頁

而方程組{2：：方^12的解有無數個.

知識點2:二元一次方程組的解法

1.解二元一次方程組的思想：消元轉化為一元一次方程

2.解二元一次方程組的基本方法：代入消元法和加減消元法

（1）用代入消元法解二元一次方程組的一般過程：

①從方程組中選定一個系數比較簡單的方程進行變形，用含有x（或V）的代數式表示了

（或X）,即變成y=ax+6（或x=ay+6）的形式；

②將y=ox+6（或》=即+6）代入另一個方程（不能代入原變形方程）中，消去了（或

x）,得到一個關于x（或了）的一元一次方程；

③解這個一元一次方程，求出x（或V）的值；

④把x（或了）的值代入了=辦+6（或x=ay+6）中，求了（或x）的值；

⑤用“{”聯立兩個未知數的值，就是方程組的解.

注意：（1）用代入法解二元一次方程組時，應先觀察各項系數的特點，盡可能選擇變形后比

較簡單或代入后化簡比較容易的方程變形；

（2）變形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程組中的另一個方程；

（3）要善于分析方程的特點，尋找簡便的解法.如將某個未知數連同它的系數作為一個整

體用含另一個未知數的代數式來表示，代入另一個方程，或直接將某一方程代入另一個方程,

這種方法叫做整體代入法.整體代入法是解二元一次方程組常用的方法之一，它的運用可使

運算簡便，提高運算速度及準確率.

（2）用加減消元法解二元一次方程組的一般過程：

①根據“等式的兩邊都乘以（或除以）同一個不等于0的數，等式仍然成立”的性質，將原

方程組化成有一個未知數的系數絕對值相等的形式；

②根據“等式兩邊加上（或減去）同一個整式，所得的方程與原方程是同解方程”的性質，

將變形后的兩個方程相加（或相減），消去一個未知數，得到一個一元一次方程；

③解這個一元一次方程，求出一個未知數的值；

④把求得的未知數的值代入原方程組中比較簡單的一個方程中，求出另一個未知數的值；

⑤將兩個未知數的值用“{”聯立在一起即可.

注意：當方程組中有一個未知數的系數的絕對值相等或同一個未知數的系數成整數倍時，用

加減消元法較簡單.

試卷第3頁，共20頁

知識點3:實際問題與二元一次方程組

注意：（1）解實際應用問題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據應用題的實際意義，檢查求

得的結果是否合理，不符合題意的解應該舍去；

（2）“設，，、“答”兩步，都要寫清單位名稱；

（3）一般來說，設幾個未知數就應該列出幾個方程并組成方程組.

知識點4：三元一次方程組

1.定義：含有三個未知數，并且含有未知數的項的次數都是1的方程叫做三元一次方程；

含有三個相同的未知數，每個方程中含未知數的項的次數都是1,并且一共有三個方程，像

這樣的方程組叫做三元一次方程組.

4x+y-z=12,2a+lb=3,

3x+2y+z=-5,<3〃一c=1,等都是三元一次方程組.

x-y+5z=1,一6+3。=4

注意：理解三元一次方程組的定義時，要注意以下幾點：

（1）方程組中的每一個方程都是一次方程；

（2）如果三個一元一次方程合起來共有三個未知數，它們就能組成一個三元一次方程組.

2.三元一次方程組的解法

解三元一次方程組的基本思想仍是消元，一般的，應利用代入法或加減法消去一個未知數,

從而化三元為二元，然后解這個二元一次方程組，求出兩個未知數，最后再求出另一個未知

數.解三元一次方程組的一般步驟是：

（1）利用代入法或加減法，把方程組中一個方程與另兩個方程分別組成兩組，消去兩組中

的同一個未知數，得到關于另外兩個未知數的二元一次方程組；

（2）解這個二元一次方程組，求出兩個未知數的值；

（3）將求得的兩個未知數的值代入原方程組中的一個系數比較簡單的方程，得到一個一元

一次方程；

（4）解這個一元一次方程，求出最后一個未知數的值；

（5）將求得的三個未知數的值用“{”合寫在一起.

試卷第4頁，共20頁

注意：（1）有些特殊的方程組可用特殊的消元法，解題時要根據各方程特點尋求比較簡單的

解法.

（2）要檢驗求得的未知數的值是不是原方程組的解，將所求得的一組未知數的值分別代入

原方程組里的每一個方程中，看每個方程的左右兩邊是否相等，若相等，則是原方程組的解,

只要有一個方程的左、右兩邊不相等就不是原方程組的解.

3.三元一次方程組的應用

列三元一次方程組解應用題的一般步驟：

（1）弄清題意和題目中的數量關系，用字母（如x,乃z）表示題目中的兩個（或三個）未

知數；

（2）找出能夠表達應用題全部含義的相等關系；

（3）根據這些相等關系列出需要的代數式，從而列出方程并組成方程組；

（4）解這個方程組，求出未知數的值；

（5）寫出答案（包括單位名稱）.

注意：（1）解實際應用題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據應用題的實際意義，檢查求得

的結果是否合理，不符合題意的應該舍去.

（2）“設”、“答”兩步，都要寫清單位名稱，應注意單位是否統一.

（3）一般來說，設幾個未知數，就應列出幾個方程并組成方程組.

<?提升專練------------------------------------------

鬻題型歸納

【考點01二元一次方程的定義】

（22-23七年級上?湖南常德?期中）

1.下列是二元一次方程的是（）

A.x+2y=3B.x2+y=lC.-+-=2D.2x-l=5

3x

（23-24七年級下?四川南充?期中）

2.若2/7=3是二元一次方程，則加=,"=

（23-24七年級上?重慶?期末）

3.已知方程（機-3）+2廣筋=io是關于X、夕的二元一次方程.貝0+〃=.

（23-24七年級下?山東煙臺?期末）

試卷第5頁，共20頁

4.請寫出一個關于工,歹的二元一次方程，使其滿足》的系數是大于2的整數，歹的系數是

小于-l的整數，且x=l,>=3是這個二元一次方程的解.這個方程可以是

【考點02判斷是否是二元一次方程組】

⑵-24七年級下?云南德宏?期末）

5.下列方程組中是二元一次方程組的是

x—y=1x2+y2=4

A.B.

2x+z=4x+y=5

11

x+y=3—+—5

C.D.xy

=5

x-2y=4

（23-24七年級下?江蘇連云港?期末）

6.下列方程組是二元一次方程組的是（

x-y=3Li_3

A.B.〈y

y+z=4

2x+y=5

xy=3x=3+y

C.D.

3x-y=43〉+4x=4

（22-23七年級下?北京海淀?期中）

7.下列方程組中,是二元一次方程組的是)

2x—3y=l2x=l

xy=l2x+z=0

A.B.C.D.〈

x+y=21=23x-2y=2

J

（23-24七年級下?河北石家莊?期中）

111

xy=1x=l—I—=Ix=2x+y=5

8.在方程組=xy7中，是二元一次方程

x+2y=3,=13y-x=ly=/+z

x+y=I

組的有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【考點03代入消元法】

（22-23七年級下?重慶江津?期中）

9.解下列方程組.

試卷第6頁，共20頁

x+2y=6

(1)

2x-y—7

x+yfx-y_t

⑵23

4（%+））-5（工一））二-38

（22-23七年級下?浙江?期中）

10.用適當方法解下列方程組:

y=3x-5

(1)

5x+y=11

xZ±l=1

(2)j23

3x+2y=10

（23-24七年級上?安徽?期末）

11.解二元一次方程組:

x=3y-2

(1)

4y=7-3x

2x-3y=-5

⑵

3x_4y=-6

（22-23七年級下?新疆阿克蘇?期末）

12.解下列方程組:

x-2y=3

(1)3x+2y=9；

(2)

4(x-y)+3(x+7)=9

【考點04加減消元法】

（23-24八年級上?江蘇南通?期末）

x+2y=8

13.若無、y滿足方程」r，則的值是

2x+y=J

（24-25八年級上?山東濟南?期中）

14.解方程組:

3x+2y=ll①

(1)3x-5y=4?；

試卷第7頁，共20頁

曰+四=1①

(2)j23

x+y=4②

（23-24七年級下?山東濟寧?期末）

3x-4y=-6

15.（1）解方程組:

2x+3y=13

x+yx-y

<2\3=6

（2）解方程組:

4(x+y)_5(x_y)=2

（23-24七年級下?廣東肇慶?期末）

16.解下列方程組:

2x-y=7

3x+2y=0

2x-5y=-21

（2）,；_

[4x+3歹=23

【考點05二元一次方程組解的綜合應用】

（22-23七年級下?四川內江?期中）

17.利用加減消元法解二元一次方程組<；（臺時，下列做法，正確的是（）

[51一3歹二6②

A.要消去V,可以將①X5XDX2

B.要消去x,可以將①x3+②x（-5）

C.要消去V,可以將①x5+②x3

D.要消去x,可以將①x5-②x2

（23-24七年級下?湖南益陽?期中）

18.（w-3）x+2/T+6=o是關于x,了的二元一次方程，則加=.

（23-24七年級下?海南海口?期中）

19.已知二元一次方程2x-3y=5,用含y的代數式表示x,貝口=.

（23-24七年級下?浙江寧波?期中）

Ix+mv=5?

20.已知關于x,y的方程組，.小，將此方程組的兩個方程左右兩邊分別對應

\mx-y=3+2加②

相加，得到一個新的方程，當加每取一個值時，就有一個方程，這些方程有一個公共解，

試卷第8頁，共20頁

這個公共解為.

【考點06方案選擇】

（23-24七年級下?四川眉山?期中）

21.用長方形硬紙板做長方體盒子，底面為正方形，側面是相同的長方形，經測量，一張硬

紙板有如圖4種裁剪方案.A方案：剪3個側面；8方案：剪2個側面和2個底面；C方案:

剪1個側面和4個底面；。方案：剪6個底面.現有35張硬紙板，請你設計一種不浪費紙板

的裁剪組合方案，并計算最多可以做多少個盒子？

盒子A方案B方案C方案D方案

（23-24七年級下?重慶彭水?期中）

22.某面粉加工廠要加工一批小麥，2臺大面粉機和5臺小面粉機同時工作lh加工小麥32噸；

3臺大面粉機和2臺小面粉機同時工作lh共加工小麥26噸.

（1）1臺大面粉機和1臺小面粉機每小時各加工小麥多少噸？

（2）該廠現有450噸小麥需要加工，計劃使用8臺大面粉機和10臺小面粉機同時工作5h,能

否全部加工完？請你幫忙計算一下.

（23-24七年級下?山東荷澤?期中）

23.干佛山、總勺突泉、大明湖并稱濟南三大風景名勝區，為了激發學生個人潛能和團隊精神，

某學校組織學生去千佛山開展素質拓展活動.己知千佛山景區成人票每張30元，學生票按

成人票五折優惠.某班教師加學生一共去了50人，門票共需810元.

（1）這個班參與活動的教師和學生各多少人？（應用二元一次方程組解決）

（2）該班在購買活動獎品時，N獎品每件20元，8獎品每件50元，如果準備用200元購買,

A,5兩種獎品（200元恰好用完，兩種獎品都有），請你幫班級設計出購買力,3兩種獎品

的購買方案.

（22-23七年級下?江蘇南通?期中）

24.隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車正逐漸成為人們喜愛的交通工

具.某汽車制造商開發了一款新能源汽車，計劃一年生產安裝360輛.由于抽調不出足夠的

熟練工來完成安裝任務，工廠決定招聘部分新工人，他們經過培訓后也能獨立進行新能源汽

車的安裝.生產開始后，調研部門發現：1名熟練工和3名新工人每月可安裝12輛新能源

試卷第9頁，共20頁

汽車；2名熟練工和5名新工人每月可以安裝22輛新能源汽車.

（1）每名熟練工和新工人每月分別可以安裝多少輛新能源汽車？

（2）如果工廠招聘〃（0<?<10）名新工人，使得招聘的新工人和抽調的熟練工剛好能完成

一年的安裝任務，那么工廠有哪幾種新工人的招聘方案？

（3）在（2）的條件下，工廠給安裝新能源汽車的每名熟練工人每月發放4000元的工資，給

每名新工人每月發2400元的工資，那么工廠應招聘多少名新工人，使新工人的數量多于熟

練工，同時工廠每月支出的工資總額少（元）盡可能少？

【考點07行程問題】

（22-23七年級下?云南曲靖?期末）

25.從甲地到乙地有一段上坡路與一段平路，如果上坡每小時走3km,平路每小時走4km,

下坡每小時走5km,那么從甲地到乙地需要36分鐘，從乙地到甲地需要24分鐘，甲地到

xy36

__=_____

34-60

乙地全程是多少？根據題意，老師給出的方程組為則方程組中x表示,

二+2=*

.5460

（23-24七年級下?北京延慶?期末）

26.學校和博物館相距20千米，小明與小強分別從學校和博物館出發，相向而行.如果小

明比小強早出發30分鐘，那么在小強出發后2小時，他們相遇；如果他們同時出發，那么1

小時后兩人還相距11千米.求小明、小強每小時各走多少千米.

（23-24七年級下?江蘇徐州?期末）

27.用二元一次方程組解決問題：

4、8兩地相距12km,甲騎電動車從工地出發到5地，與此同時，乙騎電動車從2地出發

到/地，兩人均保持勻速行駛.已知第10分鐘兩人相遇，又經過4分鐘，里剩余路程是乙

剩余路程的8倍.求甲、乙二人的騎行速度.

（23-24七年級上?山東濱州?期末）

28.列方程解應用題：

（1）/車和3車從甲，乙兩地同時出發，沿同一路線相向勻速而行.出發后1.5小時兩車相距

75公里，之后再行駛2.5小時/車到達乙地，而8車還差40公里才能到達甲地.求甲地和

乙地相距多少公里？

（2）某工廠車間有60個工人生產A零件和B零件，每人每天可生產A零件15個或B零件

20個（每人每天只能生產一種零件），一個A零件配兩個B零件，且每天生產的A零件和B

試卷第10頁，共20頁

零件恰好配套.工廠將零件批發給商場時，每個A零件可獲利10元，每個B零件可獲利5

元.

①求該工廠有多少工人生產A零件？

②因市場需求，該工廠每天要多生產出一部分A零件供商場零售使用，現從生產B零件的

工人中調出多少名工人生產A零件，才能使每日生產的零件總獲利比調動前多600元？

【考點08分配問題】

（23-24七年級下?山東淄博?期中）

29.某旅館的客房有三人間和兩人間兩種，三人間每人每天40元，兩人間每人每天50元，

一個50人的旅游團到該旅館住宿，租住了若干客房，且每個客房正好住滿，一天共花去住

宿費2320元，兩種客房各租住了多少間？

⑵-24七年級下?廣東廣州?期中）

30.列方程或方程組解應用題

福林制衣廠現有24名制作服裝的工人，每天都制作某種品牌的襯衫和褲子，每人每天可制

作這種襯衫3件或褲子5條.已知制作一件襯衫可獲得利潤30元，制作一條褲子可獲得利

潤16元，若該廠要求每天獲得利潤2100元，則需要安排多少名工人制作襯衫？多少名工人

制作褲子？

（22-23七年級上?廣西賀州?期末）

31.某校預計安排若干間宿舍給七年級男寄宿生住，若每間宿舍住6人，則有4人住不下,

若每間住7人，則有1間只住2人且空余8間宿舍，求該校七年級男寄宿生有多少人？預計

安排給七年級男寄宿生的宿舍有多少間？

（22-23七年級下?海南海口?期中）

32.學校準備租用一批汽車，現有甲、乙兩種大客車，甲種客車每輛載客量45人，乙種客

車每輛載客量30人，已知2輛甲種客車和3輛乙種客車共需租金1540元，3輛甲種客車和2

輛乙種客車共需租金1560元.

（1）求1輛甲種客車和1輛乙種客車的租金分別是多少元？

（2）學校計劃租用甲、乙兩種客車共8輛，送330名師生集體外出活動，剛好全部坐滿，問租

車費用是多少？

【考點09銷售盈虧問題】

（23-24七年級下?江蘇淮安?期中）

33.為迎接春季運動會，學校先在體育用品商店購買30個足球和60條跳繩用去720元，后

試卷第11頁，共20頁

又購買10個足球和50條跳繩用去360元.

(1)足球、跳繩的單價各是多少元？

(2)該店最近正在開展促銷活動，所有商品都按相同的折數打折銷售，在該店促銷期間購買

100個足球和100條跳繩只需1800元，該店的商品按原價的幾折銷售？

(23-24七年級下?重慶?期中)

34.近日被市民們親切的稱為“背簍專線”的重慶輕軌四號線受到人們的關注，某天張大爺乘

坐“背簍專線”將自己種植的新鮮水果櫻桃和枇杷拿去市區售賣，已知2斤櫻桃和3斤枇杷共

可賣95元，3斤櫻桃和2斤枇杷共可賣105元.

⑴請問張大爺售賣的櫻桃和枇杷每斤的售價各為多少元？

(2)張大爺這天一共有20斤櫻桃和30斤枇杷，經過一天的售賣，櫻桃一共賣出了櫻桃總量

的70%,由于天氣炎熱，在剩下的櫻桃中出現了7〃％的損壞不能售賣.枇杷售出了枇杷總

量的。，張大爺決定對剩下的櫻桃打8折銷售，剩下的枇杷直接每斤降價〃?元，很快便將

所有水果銷售一空，張大爺這天賣水果一共收入了889元，求加的值.

(23-24七年級上?重慶北倍?期中)

35.列方程解應用題：7月，某水果店用370元購進葡萄、西瓜，其中西瓜的重量比葡萄的

2倍還多5千克，每千克葡萄、每千克西瓜的進價分別為5元、2元，售價分別為8元、5

元.

(1)求購進兩種水果各多少千克？

(2)8月，水果店以7月的進價又購進葡萄、西瓜兩種水果，其中葡萄、西瓜的重量都不變,

葡萄降價y元銷售，西瓜按原價銷售，8月份兩種水果售完后的總利潤是315元，求y的值.

(23-24七年級上?黑龍江哈爾濱?期中)

36.黑馬鈴薯又名“黑金剛”，它富含碘、硒等多種微量元素，特別是含有花青素、花青原素，

素有“地下蘋果，，之稱.老李今年種植了5畝A品種黑馬齡薯，10畝3品種黑馬鈴薯，其中A

品種的平均畝產量比8品種的平均畝產量低20%,共收獲兩個品種黑馬鈴薯14000千克.

(1)求A,3兩個品種黑馬鈴薯平均畝產量各多少千克？

試卷第12頁，共20頁

（3）在（2）的條件下某蔬菜商人分兩次向老李收購完這些黑馬齡薯.收購方式如下：A,B

兩個品種各自獨立裝箱，A品種每箱40千克，8品種每箱100千克，老李給出如下優惠：

收購A或8的數量（單位：箱）不超過30箱超過30箱

-優惠方式收購總價打九五折收購總價打八折

第一次收購了兩個品種共60箱，且收購的8品種箱數比A品種箱數多；受某些因素影響，

蔬菜商人第二次收購時做出了價格調整：每箱A的收購價不變，每箱3的收購價比第一次的

收購價降低，，優惠方式不變.兩次收購完所有的黑馬鈴薯后，蔬菜商人發現第二次支付給

0

老李的費用比第一次支付給老李費用多11400元，求蔬菜商人第一次收購A品種黑馬鈴薯多

少箱？

【考點10三元一次方程組】

（23-24七年級下?福建泉州?期中）

3x+z=6

37.解方程組4x-.y+2z=ll時，要使解法較為簡便，應（）

5x+2y-3z=4

A.先消去xB.先消去VC.先消去zD.先消去常數

（23-24七年級下?山東煙臺?期中）

2a+b-3c=19

38.三元一次方程組，4a+26+c=3消去一個未知數后，所得二元一次方程組是（）

a-b+c=0

\5a-2b=19\2a+b=4\a+b=\j3a+6=3

A，]+6=lB.13q+6=3C,（3q_26=19[5a-2b=19

（23-24七年級下?四川眉山?期中）

39.在等式y="2+6x+c中，當x=-l時，＞=0；當x=3時，y=0；當x=o時，

7=-3.則這個等式為_____________________

（24-25八年級上?山東濟南?期中）

40.【閱讀理解】

在求代數式的值時，有些題目可以用整體求值的方法，化難為易.

（3x+2y+z-4①

例：已知，/[1的，求2x+y+z的值.

[7x+4y+3z=10②

試卷第13頁，共20頁

解：②-①得：4x+2y+2z=6③

③xg得：2x+y+z=3,

所以，2x+y+z的值為3.

【類比遷移】

fx+2y+3z=10

（1）已知X求3x+4y+5z的值；

[5x+6y+7z=26

【實際應用】

（2）某班級班委準備把本學期賣廢品的錢給同學們買期中獎品，根據商店的價格，若購買3

本筆記本、2支簽字筆、1支記號筆需要28元；若購買7本筆記本、5支簽字筆、3支記號

筆需要66元；本班共45位同學，則購買45本筆記本、45支簽字筆、45支記號筆需要多少

錢？

過關檢測

一、單選題

（23-24七年級下?云南文山?期中）

41.若（“-1）即+3y=l是關于x的二元一次方程，則。的值為（）

A.1B.-1C.±1D.2

（23-24八年級上?河南駐馬店?期末）

42.已知3x-7y=41,用含x的代數式表示了可得（）

7y+41--7^+41廠41-3x八3x-41

A.x=--------B.x=—:-------C.y=---------D.y=---------

3377

（23-24七年級上?河南鄭州?階段練習）

43.在長方形/BCD中放入六個長、寬都相同的小長方形，所標尺寸如圖所示，則圖中陰影

部分的面積之和為（）

試卷第14頁，共20頁

(23-24七年級下?江蘇徐州?期中)

44.如圖，用四個完全相同且長、寬分別為x,y(x>y)的長方形紙片圍成一個大正方形

ABCD,中間是空的小正方形EFG".已知4B=7,EF=3,則下列關系式中不乖砸的是()

C.x2-/=21D.x2+y2=40

(24-25七年級上?北京?期中)

45.正正和陽陽一起玩猜數游戲.正正說：“你隨便選定三個小于8的正整數，按下列步驟

進行計算：第一步把第一個數乘以4,再減去15；第二步把第一步的結果乘以2,再加上第

二個數；第三步把第二步的結果乘以8,再加上第三個數.只要你告訴我最后的得數，我就

能知道你所選的三個正整數.”陽陽表示不信，但試了幾次以后，正正都猜對了.請你利用

所學過的數學知識來探索該“奧秘”，回答：當“最后的得數”是102時，陽陽最初選定的三個

正整數按順序分別是()

A.1,4,6B.6,4,1C.6,2,5D.5,2,6

(22-23七年級下?重慶蒙江?期中)

46.《九章算術》是我國古代著名的數學專著，其“方程”章中給出了“遍乘直除”的算法解方

3x+2y+z=39①

程組.比如對于方程組，2x+3.y+z=34②，先將方程①中的未知數系數排成數列32139,

龍+2y+3z=26③

然后執行如下步驟：(如圖)第一步，將方程②中的未知數系數乘以3,然后不斷地減一行,

直到第二行第一個數變為0;第二步，對第三行做同樣的操作，其余步驟都類似.

方程①：32139

第一步方程②：23134—693102……-4-051a

第二步方程③：12326fM……f06839

其實以上步驟的本質就是在消元，根據以上操作，有下列結論：(1)數列M為：369618

(2)a=24(3)6=4其中正確的有()

A.(1)(2)B.(2)(3)C.(1)(3)D.(1)(2)(3)

試卷第15頁，共20頁

二、填空題

（23-24七年級下?浙江紹興?期中）

47.已知關于x,y的二元一次方程組I"*（。是常數），若不論。取什么實數，

—3y=4。+6

代數式米-了"是常數）的值始終不變，貝廉=.

（23-24七年級下?河北石家莊?期中）

[2x+y=5

48.已知無、了滿足方程組/,則x-y的值為____.

[x+2y=4

（24-25七年級上?重慶?期中）

49.對于一個三位正整數力，如果"滿足：它的百位數字、十位數字之和與個位數字的差等

于7,那稱這個數為“七巧數”.例如："1=452,?「4+5-2=7,.1452是“七巧數”；

%=724,?;7+2-4=5w7,.1724不是“七巧數”.最小的“七巧數”是；若“七巧數”加

滿足:所有數位的數字之和是9的倍數，且它的百位數字大于十位數字，則m的最大值是

（23-24七年級下?福建泉州?期中）

50.已知X、了、z是三個非負實數，滿足3x+2y+z=5,x+y-z=2,若S=2x+y-z,

則S的最大值與最小值的差為.

三、解答題

（22-23七年級下?重慶沙坪壩?期中）

51.解方程組：

2,x—3y=—1

(1)

x+2y=3

2=1+小

(2)23

2(x+l)_y=7

u+vu-v/

------+-------=6

(3)23

4(w+v)-5(w-v)=2

0.3m-1.5w3m-n

----------------F=14

0.34

(4)<

mn-1-

——+------=11

123

（23-24七年級下?北京?期中）

試卷第16頁，共20頁

52.解方程組:

4(x-y=2①

(1)‘。=2②

[23

x+y+z=13@

(2)y+z=10②

x+y—2z=—5③

(22-23七年級下?河南洛陽?期中)

53.下面所示為七下教材38頁中三元一次方程組的解題過程，請根據教材提供的做法和有

關信息解決問題.

2x-3y+4z=3①

例1解方程組：3x-2y+z=7②

x+2y-3z=l③

解由方程②，得z=7-3x+2y...........步驟一④

將④分別代入方程①和③，得

2x-3y+4(7-3x+2y)=3

步驟二

x+2y-3(7-3元+2y)=l

f~x+y=—5

整理，得、...

[5x-2y=11

fx=1

解這個二元一次方程組，得°

卜=-3

代入④，得z=7-3-6=-2.

x=1

所以原方程組的解是㈠=-3,

2=-2

(1)我們在之前學習了二元一次方程組的解法，其基本思想是：通過“消元”，消去一個未知數,

將方程組轉化為一求解，方法有_和_.其中的步驟二通過一法消去未知數Z,將三元一次方程

組變成了一，體現了數學中_思想.

x+2y-z=4

(2)仿照以上思路解方程組-2x+y+z=5消去字母Z后得到的二元一次方程組為一.

3x+4y+z=10

(23-24七年級上?浙江杭州?期中)

試卷第17頁，共20頁

54.如圖，在一張長方形紙條上畫一條數軸.

>,，/..............忸，，，

4-3-2-101234567.........-4-3j2-101234567

圖1圖2

(1)折疊紙條使數軸上表示-3的點與表示9的點重合，折痕與數軸的交點表示的數是「如果

數軸上兩點之間的距離為7,經過上述的折疊方式能夠重合，那么左邊這個點表示的數是」

(2)如圖2,點/、B表示的數分別是-2、4,數軸上有點C,使點C到點3的距離是點C到

點N距離的3倍，那么點C表示的數是多少？

(3)如圖2,若將此紙條沿/、3兩處剪開，將中間的一段紙條對折，使其左右兩端重合，這

樣連續對折5次后，再將其展開，分別求出最左端和最右端的折痕與數軸的交點表示的數.

(23-24七年級下?廣東廣州?期中)

55.關于x,y的二元一次方程組，如果方程組的解x,>滿足x-y=l,我們就說方程組的

解尤與/具有“鄰好關系”，請完成下面問題：

Iy=2x-4

⑴方程組Jc的解x與y是否具有“鄰好關系”？請說明理由;

[3x+2y=13

2x+y=5k+\

(2)方程組/AJ-的解x與〉具有“鄰好關系”，求左的值.

x+=4左+2

(23-24七年級下?福建廈門?期中)

3x+y=5?-4

56.已知關于x,了的二元一次方程組-,其中。為實數.

x—y=—a

(1)當a=2時，求方程組的解；

(2)求x+V的值(用含。的代數式表示)；

(3)試說明無論。取何數時，代數式6x-3y的值始終不變.

(23-24七年級下?福建泉州?期中)

32r

—I—=7

xy11

57.閱讀：某同學在解方程組。；時，運用了換元法，方法如下：設—=〃?，一=〃,

1-1=14xJ

X歹

\3m+2n=7

則原方程組可變形為關于加，〃的方程組C解這個方程組得到它的解為

2m—n=14

試卷第18頁，共20頁

m=511X~5

由-=5,—=-4,求得原方程組的解為.請利用換元法解方程組:

n=-4xy1

5

+—=11

x-12y

3

---=13

2〉

(24-25七年級上?安徽六安?期中)

58.如圖，己知點/在數軸上對應的數為0,點2對應的數為6,且a,6滿足

|a+20|+|Z?-40|=0.

⑴求點A與點B在數軸上對應的數a和b；

(2)現動點尸從點/出發，沿數軸向右以每秒4個單位長度的速度運動；同時，動點。從點

B出發，沿數軸向左以每秒2個單位長度的速度運動，設點P的運動時間為，秒.

①若點P和點。相遇于點C,求點C在數軸上表示的數；

②當點尸和點0相距15個單位長度時，直接寫出t的值.

(24-25七年級上?廣東深圳?期中)

59.如下表，從左邊第一個格子開始向右數，在每個小格子中都填入一個整數，使得其中任

意三個相鄰格子中所填整數之和都相等.

3a-6C7-6

⑴填空：?=,,第2024個格子中的數是；

(2)前"個格子中所填整數之和是否可能為2020?若能，求出〃的值；若不能，請說明理由;

(3)如果在前〃個格子中任取兩個數并用大數減去小數得到差值,而后將所有的這樣的差值累

加起來稱為前"項的累差值，例如前3項的累差值列式為：+-6)|+卜-(-6)|,那

么前10項的累差值為多少？

(23-24七年級下?浙江?期中)

60.滴滴快車是一種便捷的出行工具，計價規則如下表:

計費項目里程費時長費遠途費

試卷第19頁，共20頁

單價L8元/公里0.3元/分鐘0.8元/公里

注：車費由里程費、時長費、遠途費三部分構成，其中里程費按行車的實際里程計算；時長

費按行車的實際時間計算；遠途費的收取方式為：行車里程7公里以內(含7公里)不收遠

途費，超過7公里的，超出部分每公里收0.8元.

(1)一人乘坐滴滴快車，用了20分鐘到目的地，快車共行駛了x(x>7)公里，他共用_7C

(用含x的代數式表示).

(2)甲、乙兩好友出行，因順路兩人乘坐同一輛滴滴快車(多人乘坐只需一人支付全程費

用)，在途中乙先下車，此時計費器顯示已產生了8.4元費用，又過了8分鐘，甲到達目的

地，并在支付14.4元給司機時發現快車全程共行駛了5公里，求乙的乘車時長和實際里程.

(3)丙、丁兩人各自乘坐滴滴快車，丁比丙行車里程多1.5公里，如果下車時兩人所付車費相

同，且兩人計費項目也相同，那么這兩輛滴滴快車的行車時長相差_(直接寫出答案).

試卷第20頁，共20頁

1.A

【分析】本題考查了二元一次方程，根據二元一次方程的定義：含有兩個未知數，并且含有

未知數的項的次數都是1的整式方程叫做二元一次方程即可判斷求解，掌握二元一次方程的

定義是解題的關鍵.

【詳解】解：A、x+2y=3是二元一次方程，該選項符合題意；

B、方程中未知數的最高次數是2,不是二元一次方程，該選項不合題意；

C、方程的左邊不是整式，不是二元一次方程，該選項不合題意；

D、方程只含有一個未知數，不是二元一次方程，該選項不合題意；

故選：A.

2.12

【分析】本題考查了二元一次方程，根據二元一次方程的定義即可求解，掌握二元一次方程

的定義是解題的關鍵.

【詳解】解：一2廣=3是二元一次方程，

3m—2—1,"—1=1,

=l,n=2,

故答案為：1,2.

3.2

【分析】本題考查了二元一次方程的定義，能熟記二元一次方程的定義是解此題的關鍵，注

意：只含有兩個未知數，并且所含未知數的項的最高次數是1的整式方程，叫二元一次方程.

根據二元一次方程的定義，求出加和〃的值，代入進行計算即可.

【詳解】解：???方程（加-3），*+2產,=10是關于x、>的二元一次方程，

加一3w0

<|m-2|=1,

3—2〃=1

[m=l

解得：「

[幾=1

.,.m+n=1+1=2,

故答案為：2.

4.3x-2y=-3（答案不唯一）

答案第1頁，共36頁

【分析】本題考查二元一次方程的知識，解題的關鍵是掌握二元一次方程的解，根據題意,

寫出滿足題意的X,了的系數，再把X=1代入，驗證V的值，即可.

【詳解】解：由題意得，X的系數是大于2的整數，y的系數是小于-1的整數，

?1?3x—2y--3滿足題意，

=>=3是這個二元一次方程的解，

二當x=1時，3-2y--3,

解得：>=3,

3x-2.y=-3符合題意.

故答案為：3x-2y=-3（答案不唯一）.

5.C

【分析】此題考查的是二元一次方程組的判斷，掌握二元一次方程組的定義是解決此題的關

鍵.

根據二元一次方程組的定義逐一判斷即可.

fx-y=]

【詳解】解：A.、-，是三元一次方程組，故A不符合題意；

B.[X2A+y二2=4是二元二次方程組’故B不符合題意;

C.1I3x、+一y;=二35是二元一次方程組,故C符合題一意;

—I—=5

D.xy是分式方程組，故D不符合題意.

x-2y=4

故選：C.

6.D

【分析】本題考查了二元一次方程組的定義；

如果方程組中含有兩個未知數，且含未知數的項的次數都是一次，那么這樣的整式方程組

叫做二元一次方程組，據此判斷即可.

【詳解】解：A、含有3個未知數，不是二元一次方程組；

B、第一個方程不是整式方程，不是二元一次方程組；

C、第一個方程不是二元一次方程，不是二元一次方程組；

答案第2頁，共36頁

D、符合二元一次方程組的定義，是二元一次方程組;

故選：D.

7.D

【分析】利用二元一次方程組的定義判斷即可.

【詳解】解：A.方程孫=1,含未知數的項的次數是2次，故該方程組不是二元一次方程

組，選項不符合題意;

B.方程'=2不是整式方程，故該方程組不是二元一次方程組，選項不符合題意;

X

C.該方程組含有三個未知數，故該方程組不是二元一次方程組，選項不符合題意;

D.該方程組是二元一次方程組，選項符合題意.

故選：D.

【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的定義，解題的關鍵是熟練掌握二元一次方程的定

義，含有兩個未知數，且未知數的次數為1的整式方程是二元一次方程.

8.A

【分析】本題主要考查二元一次方程組的定義，二元一次方程組也滿足三個條件：①方程

組中的兩個方程都是整式方程.②方程組中共含有兩個未知數.③每個方程都是一次方

程.根據二元一次方程組的定義求解即可.

x=1x=2

【詳解】2，是二元一次方程組，共2個,

y=l3y-x=l

故選：A.

x=4

9.(1)

?=1

x=2

⑵

y=-4

【分析】本題主要考查解二元一次方程組，解題的關鍵是掌握方程組解法，根據未知數系數

的特點，選擇合適的方法.

(1)運用代入消元法求解即可;

(2)先將方程組整理后，再運用代入法求解即可.

x+2y=6①

【詳解】⑴解:

2x-y=7②'

答案第3頁，共36