第11講二次函數與一元二次方程(4個知識點+6個考點)

T模塊導航A一*素養目標—

模塊一思維導圖串知識1.通過探索，理解二次函數與一元二次方程之間的聯

模塊二基礎知識全梳理(吃透教材)系.

模塊三核心考點舉一反三2.能運用二次函數及其圖象確定方程和不等式的解或

模塊四小試牛刀過關測解集.

3.根據函數圖象與x軸的交點情況確定未知字母的值

或取值范圍.

模塊一思維導圖串知識

次

二

拋物線y=ar2+

函

hx+c(aK0)與數

與

工軸的交點的橫一兩個y4ac>&不相等的-

元

坐標即為方程二交點實數根

次

2方一兀二次

有

個

ar++c=0兩

程

的

的

相等方程吐+

的兩個2

(a#0)二次函數一

關

系

根

數

實

點機

交r+c=O

個根y=ax2+bx

(30)的

+c的圖象根的情況

據與z軸的交

無62-4ac<0

求點情況

象交點、..、無實數根

方

數形結合P次

根

的應用似

模塊二基礎知識全梳理

知識點一、二次函數與一元二次方程的關系

1.二次函數圖象與x軸的交點情況決定一元二次方程根的情況

求二次函數y=ax?+Z?x+c(aWO)的圖象與x軸的交點坐標，就是令y=0,求ax?+6x+c=0中x

的值的問題.此時二次函數就轉化為一元二次方程，因此一元二次方程根的個數決定了拋物線與x軸的交

點的個數，它們的關系如下表：

判別式一元二次方程

二次函數^=ax2+bx+c(aw0)

2

△=b1-4acax+bx+c=0(aw0)

圖象與X軸的交點坐標根的情況

一元二次方程

拋物線y=af+w0)與x

a>0

△>0ax2+bx+c=0(a豐0)

軸交于(西,0)，(x,0)(Xj<x)兩

22有兩個不相等的實數根

第1頁共28頁

2

y上口-b±yJb-4ac-b±slb2-4QC

點，M,—,

a<0°\1,22a%=2a

此時稱拋物線與X軸相交

a>0一元二次方程

拋物線歹二ax2+Z?x+c(aw0)與x

0ax2+bx+c=0(。豐0)

△=0軸交切于這一點，此時稱有兩個相等的實數根

a<0\b

拋物線與X軸相切X1=X2=~~

/V2a

a>0一元二次方程

V2

拋物線y=ax+bx+c(aw0)與xax1+bx+c=0(。牛0)

△<0

，了軸無交點，此時稱拋物線與X軸相離在實數范圍內無解(或稱

a<0c無實數根)

要點歸納：

二次函數圖象與X軸的交點的個數由y_的值來確定的.

(1)當二次函數的圖象與x軸有兩個交點時，也=6'-4函＞0,方程有兩個不相等的實根；

(2)當二次函數的圖象與x軸有且只有一個交點時，&=/-4何=0,方程有兩個相等的實根；

(3)當二次函數的圖象與x軸沒有交點時，△=川-4。＜11，方程沒有實根.

2.拋物線與直線的交點問題

拋物線與x軸的兩個交點的問題實質就是拋物線與直線的交點問題.我們把它延伸到求拋物線

y=ax2+bx+c(aWO)與y軸交點和二次函數與一次函數y=自+4(左W0)的交點問題.

拋物線y="2+bx+c(aWO)與y軸的交點是(0,c).

,[y=kx+b.,

拋物線y=a/+6x+c(aWO)與一次函數y=Ax+2(kWO)的交點個數由方程組,的

y=ax-+bx+c

解的個數決定.

當方程組有兩組不同的解時=兩函數圖象有兩個交點；

當方程組有兩組相同的解時。兩函數圖象只有一個交點；

當方程組無解時=兩函數圖象沒有交點.

總之，探究直線與拋物線的交點的問題，最終是討論方程(組)的解的問題.

要點歸納：

第2頁共28頁

求兩函數圖象交點的問題主要運用轉化思想，即將函數的交點問題轉化為求方程組解的問題或者將求方

程組的解的問題轉化為求拋物線與直線的交點問題.

知識點二、利用二次函數圖象求一元二次方程的近似解

用圖象法解一元二次方程a?+bx+c=0(<2W0)的步驟：

1.作二次函數)，=口:+的圖象，由圖象確定交點個數，即方程解的個數；

2.確定一元二次方程以'=。(〃w。)的根的取值范圍.即確定拋物線y=ax'w

與x軸交點的橫坐標的大致范圍；

3.在(2)確定的范圍內，用計算器進行探索.即在(2)確定的范圍內，從大到小或從小到大依次取值，用表

格的形式求出相應的y值.

4.確定一元二次方程a/+6x+c=口(百工0)的近似根.在(3)中最接近。的y值所對應的x值即是一元二

次方a/+bx+c=0(a#0)的近似根.

要點歸納：

求一元二次方程ax；'+bx+c=x0)的近似解的方法(圖象法)：

(1)直接作出函數y=°爐+bx+c的圖象，則圖象與x軸交點的橫坐標就是方程+&工+c=0的根；

(2)先將方程變為a/+bx=再在同一坐標系中畫出拋物線廠二口1+6K和直線>二一。圖象交點的

橫坐標就是方程的根；

(3)將方程化為x'+2不+1￡=o,移項后得，=-,設>=/和,=-2丁一在同一坐標系

aaaaaa

中畫出拋物線尸=/和直線)，=芻x-E的圖象，圖象交點的橫坐標即為方程+壇+c=o的根.

aa

知識點三、拋物線與x軸的兩個交點之間的距離公式

當△>()時，設拋物線V+樂+。與X軸的兩個交點為A(X］,0),B(x2,0),則X］、工2是一元

bc

二次方程a—+bx+c=o的兩個根.由根與系數的關系得玉+x2=——，xxx2=—.

aa

2222

|AB|=|x2—|=-^(x2—XI)=-^(Xj+x2)—4XJX2=J1一］~-4x—b-4ac_y/b-4ac

a2IaI

即\AB\=^(A>0)

l?l

要點四、拋物線與不等式的關系

二次函數^=ax2+Z?x+c(aW0)與一元二次不等式a/+/)%+c>0(aW0)及ax?+/)%+c<0(aWO)

第3頁共28頁

之間的關系如下(%[<X,):

a>0

判別式拋物線y=ax2++c與不等式ax?+/?x+c<0的解

不等式分+&C+C〉0的解集

x軸的交點集

Av

L/

△>0X<X］或X>%2玉<X<

O|XN/X2X

有兩個交點

J上

△=0耳XW'i（或XW%2）無解

Xi(X2)X

有一一個交點

△<0--------全體實數無解

無交點

注：a<0的情況請同學們自己完成.

要點歸納：

拋物線y="2+bx+c在X軸上方的部分點的縱坐標都為正，所對應的X的所有值就是不等式

辦2+bx+C〉0的解集；在X軸下方的部分點的縱坐標都為負，所對應的X的所有值就是不等式

"2+6x+c<0的解集.不等式中如果帶有等號，其解集也相應帶有等號.

6模塊三核心考點舉一反三------------------------------

考點1：二次函數圖象與X軸交點情況判斷

【例1】下列函數的圖象與X只有一個交點的是()

A.y—x3B.y=/+2x+3C.y—x-2,x+3D.y=*—2x+l

解析：選項A中^—4ac=22—4XlX(—3)=16>0,選項B中9-4ac=22—4X1X3=—8<0,選項C中

Z?2-4ac=(-2)2-4XlX3=-8<0,選項D中lf~4ac=(-2)2-4X1X1=0,所以選項D的函數圖象與x

軸只有一個交點，故選D.

【變式1-1](2023?郴州)已知拋物線y=x2-6x+”與x軸有且只有一個交點，則加=.

【解答】解：???拋物線y=--6x+m與x軸有且只有一個交點，

第4頁共28頁

方程x2-6x+m=0有唯一解.

即A=b2-4ac=36-4m—0,

解得：m—9.

故答案為：9.

【變式1-2］（2023秋?九年級課時練習）已知拋物線了=f-6x+機-1,當用時，拋物線與x軸有

兩個公共點；當m時，拋物線與x軸有一個公共點；當m時，拋物線與x軸沒有公共點.

【答案】<10=10>10

【詳解】?.?拋物線丁=/一6無+〃2-1,

.,.當A=b2-4ac=（-6『-4xlx（m-1）=-4m+40>0,即加<10時,

拋物線與x軸有兩個公共點；

當公=^用+40=0,即小=10時，拋物線與x軸有一個公共點；

當八=^^+40<0,即機>10時，拋物線與x軸沒有公共點.

故答案為：<10,=10,>10.

【變式1-3］（2023春?浙江嘉興?九年級校考階段練習）已知二次函數'-（加+2）X+7"（%為常數）

⑴若該二次函數圖像經過（2,1）,求二次函數解析式；

（2）求證：不論7"取何值，該二次函數圖像與X軸總有兩個交點；

⑶當-14尤43時，y的最小值為-3,求加的值.

【答案】（1）了=》2-》-1：

（2）見解析；

⑶〃z=±2^/2

【詳解】（1）解：將（2,1）代入解析式了=x2-（m+2）x+機可得4-2（加+2）+%=1

解得m=-1,

貝?。輞—x2-x-1

（2）證明：將y=0代入解析式了=x?-（加+2）尤+加可得x2-（m+2）x+"7=0

判別式△=-4m=-2）~>0

一元二次方程f-（m+2）x+機=0始終有兩個解，

即二次函數圖像與x軸總有兩個交點；

（3）解：二次函數一（加+2）x+機的對稱軸為工=二1^

m+2

當----<-1時，HPm<-4,此時-1VXV3在對稱軸的右側，

2

又：1>0,開口向上

.?.當-14x43時，，隨x的增大而增大，

第5頁共28頁

當x=-l時，J7最小，即1+（加+2）+加=一3,

解得加=—3,不符合題意，舍去；

m+7

當一1?-------（3時，即一4?加工4,止匕時對稱軸在一IV3中間

2

當x=等時，y最小，即（丁］2一（加+2）（竺曰+根=一3

解得加=±2及，符合題意，

當3＜二三時，即機＞4,此時對稱軸在TWxV3的右邊

2

當x=3時，了最小，即加=3,

解得加=3,不符合題意，舍去；

綜上,m=+25/2

考點2：利用二次函數圖象與x軸交點坐標確定拋物線的對稱軸

【例2】如圖，對稱軸平行于y軸的拋物線與x軸交于（1,0）,（3,0）兩點，則它的對稱軸為

解析：：點（1,0）與（3,0）是一對對稱點，其對稱中心是（2,0）,...對稱軸的方程是x=2.

方法總結：解答二次函數問題，若能利用拋物線的對稱性，則可以簡化計算過程.

【變式2-1］（2023?廣東惠州?二模）已知拋物線y=x2+6x+c經過點（1,0）和點（-3,0）,則該拋物線的對稱

軸為（）

A.y軸B.直線x=-lC.直線x=-2D.直線x=2

【答案】B

【分析】根據N、8兩點的縱坐標相同可知43兩點關于對稱軸對稱，據此即可求出答案.

【詳解】解：：拋物線y=x2+bx+c經過點（1,0）和點（-3,0）,

???拋物線對稱軸為直線-看一,

故選B.

【點睛】本題主要考查二次函數的對稱性，熟練掌握利用二次函數的對稱性求解函數的對稱軸是解題的關

鍵.

【變式2-2】二次函數了="2+法+。的圖象與x軸相交于（-1,0）和（5,0）兩點，則該拋物線的對稱軸

是.

【分析】根據拋物線的與橫軸的交點到對稱軸的距離相等，可知其對稱軸為與橫軸兩交點的和的一半.

第6頁共28頁

【解答】解：,??二次函數y="2+bx+。的圖象與％軸相交于（_i,o）和（5,0）兩點，

二.其對稱軸為：%=1+5=2.

2

故答案為：x=2.

【點評】本題考查了拋物線與、軸的交點，解題的關鍵是知道關于對稱軸對稱的兩點到原點的距離相等.

【變式2-3】如圖，拋物線y=+（6-+冽-3與x軸交于4（石，0）、B（X2,0）兩點（再<%2），

父y軸于C點，且X]+超=0.

（1）求拋物線的解析式，并寫出頂點坐標及對稱軸方程.

（2）在拋物線上是否存在一點尸使AP5C二AO5C?若存在，求出點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

【分析】（1）根據玉+馬=0,可得出拋物線的對稱軸為〉軸即、=0，由此可求出加的值.進而可求出拋

物線的解析式.根據拋物線的解析式即可得出其頂點坐標和對稱軸方程.

（2）如果AP5C3AO5C,由于AO5C是等腰直角三角形，那么尸有兩種可能：①尸，。重合；②尸與0

關于直線5c對稱，而這兩種尸點均不在拋物線上，因此不存在這樣的尸點.

【解答】解：（1）???玉+/=0

/.6-=0

/.加=±6,

???拋物線與>軸交于正半軸上，

:.m=6.

拋物線解析式了=-；/+3,

拋物線頂點坐標C（0,3）-拋物線對稱軸方程x=0.

（2）3點坐標為（3,0）.

假設存在一點P使NPBC=\OBC.

因為AO3C是等腰直角三角形，3c是公共邊，

故尸點與。點必關于8C所在直線對稱.點P坐標是（3,3）.

當x=3時，y/3,即點P不在拋物線上，

第7頁共28頁

所以不存在這樣的點尸，使AP5C=AO5C.

【點評】本題主要考查了二次函數的性質、二次函數解析式的確定以及全等三角形的判定等知識點.

考點3:利用函數圖象與x軸交點情況確定字母取值范圍

【例3】若函數曠=勿*+（勿+2）入+,必+1的圖象與x軸只有一個交點，那么"的值為（）

2

A.0B.0或2C.2或一2D.0,2或一2

解析：若勿W0,二次函數與x軸只有一個交點，則可根據一元二次方程的根的判別式為零來求解；若皿=0,

原函數是一次函數，圖象與x軸也有一個交點.由（勿+2）2—4m（1必+1）=0,解得勿=2或一2,當勿=0時原

2

函數是一次函數，圖象與x軸有一個交點，所以當勿=0,2或一2時，圖象與x軸只有一個交點.

方法總結：二次函數yuaf+bx+c,當4ac>0時，圖象與x軸有兩個交點；當—4ac=0時，圖象

與x軸有一個交點；當52—4ac<0時，圖象與x軸沒有交點.

【變式3-1】函數歹+（加+2）x+g冽+1的圖象與1軸只有一個交點，則加的值為（）

A.0B.0或2C.0或2或一2D.2或一2

【分析】根據函數y=?ix2+（僅+2）x+gm+l的圖象與x軸只有一個交點，利用分類討論的方法可以求得他

的值，本題得以解決.

【解答】解：?.■函數y=加工2+（加+2）x+；m+l的圖象與x軸只有一個交點，

二.當加=0時，y=2x+l,此時y=0時，x=-0.5,該函數與x軸有一個交點，

當〃―0時，函數y=mx2+（m+2）x+:機+1的圖象與x軸只有一個交點，則△=（加+2）2+1）=0,

解得，%=2,m2=—2,

由上可得，加的值為0或2或-2,

故選：C.

【點評】本題考查拋物線與x軸的交點，解答本題的關鍵是明確題意，利用分類討論的數學思想解答.

【變式3-2］若函數了=以/+（加+2）x+機+1的圖象與x軸只有一個交點，那么加的值為（）

A.0B.0或2或-2C.2或-2D.0或也或-逋

33

【分析】分為兩種情況：函數是二次函數，函數是一次函數，求出即可.

【解答】解：分為兩種情況：

①當函數是二次函數時，

,/函數y=妙2+（m+2）x+m+1的圖象與x軸只有一個交點，

△=（m+2）2-4m（m+1）=0且加w0,

第8頁共28頁

解得：m=±---；

3

②當函數是一次函數時，機=0,

此時函數解析式是y=2x+l,和X軸只有一個交點.

故選：D.

【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點，正確利用根的判別式和分類討論是解題關鍵.

【變式3-3]（2023春?福建福州?九年級?？计谥校┮阎魏瘮怠?/+辦+6的圖象與x軸交于/,8兩

點，若CM+03VI,則6的取值范圍是.

-11

【答案】V;

44

【詳解】解：根據題意設/+辦+6=0的兩個根為加、"，

則加+〃=-a,mn=b.

*/|m|+1w|<1,

/.（|m|+1w|）2=m2+/+2\mn|=（m+nf-2mn+2\mn\=a2-2b+2\b\<.

①當620時，a2-2b+2b<1,

a2<1.

又一+。％+6=0的判別式△=/—4b>0，

,a21

b<—<一.

44

0W6<一.

4

②當6<0時，a2-2b-2b<\,

0<a2<4b+1.

/.~—<b<0.

4

綜上，<].

44

故答案為：<].

44

考點4：利用拋物線與x軸交點坐標確定一元二次方程的解

【例4】小蘭畫了一個函數y=*+ax+6的圖象如圖，則關于x的方程*+ax+力=0的解是（）

A.無解B.x=lC.x=-4D.x=—l或x=4

第9頁共28頁

解析：二,二次函數y=*+ax+6的圖象與x軸交于(-1,0)和(4,0),即當x=-1或4時，x+ax+b=Q,

.,.關于x的方程*+@入+6=0的解為Xi=—1,4=4,故選D.

方法總結：本題容易出錯的地方是不知道二次函數的圖象與一元二次方程的解的關系導致無法求解.

【變式4-1]若二次函數了=/+區的圖象的對稱軸是經過點(2,0)且平行于夕軸的直線，則關于X的方程

f+6x=5的解為()

A?%]—-0,X]~4B?%—1,%?=5C?國=1,x2=-5D?石——1,x2=5

【分析】根據對稱軸方程一2=2,得6=—4,解f一4x=5即可.

2

【解答】解：???對稱軸是經過點(2,0)且平行于》軸的直線，

2

解得：b=-4,

二.關于x的方程為4X=5,

解得再=一1,%=5,

故選：D.

【點評】本題主要考查二次函數的對稱軸和二次函數與一元二次方程的關系，難度不大.

【變式4-2】已知二次函數'二分+所+C的部分圖象如圖，則關于x的一元二次方程辦2+&+°=0的解為

A.Xj——49%2=2B.Xj——3,%2=-1C.——4，x?——2D.石=—2，x?—2

【分析】根據拋物線的對稱性求解.

【解答】解：因為拋物線與X軸的兩個交點關于對稱軸對稱，

設另一個交點的橫坐標為X,

貝!|x+2=2x(-l),

解得：x=-4,

故選：A.

【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點，拋物線的對稱性是解題的關鍵.

【變式4-3](2023?四川綿陽?統考二模)二次函數y=a/+6x+c的部分對應值如列表所示：則一元二次方

第10頁共28頁

程a(2x-l)2+b(2x_l)+c=7的解為

X-30135

y7-8-9-57

【答案】再=一1,x2=3

【分析】利用拋物線與x軸的交點問題得到一元二次方程62+區+°=7的解為為=-3,%=5,再把方程

磯2廠1）2+〃2》-1）+0=7看作關于（2工-1）的一元二次方程，則2》-1=-3或2尤-1=5,然后解兩個一次方

程即可.

【詳解】解：由表值值數據得x=-3或x=5時，y=7,

，一兀二次方程ax?+bx+c—l的解為占=-3,x2=5,

把方程0（2》-1）2+〃2X-1）+。=7看作關于（2工-1）的一元二次方程，

2x-1--32x-1=5,

解得玉=T，%=3,

即一元二次方程。（2x-Ip+6（2x-l）+c=7的解為玉=-1,x2=3.

故答案為：占=-1,x2=3.

考點5：利用拋物線解一元二次不等式

解析：觀察圖象，可知當一3VxVl時，拋物線在x軸上方，此時y>0,即a*+Z?x+c>0,.,.關于x的不

等式af+Ar+c>。的解集是一3Vx<1.故選C.

方法總結：拋物線_7=@/+族+。在x軸上方部分的點的縱坐標都為正，所對應的x的所有值就是一元二次

不等式af+^x+c>。的解集；在x軸下方部分的點的縱坐標均為負，所對應的x的所有值就是一元二次不

等式ax+fe+c<0的解集.

【變式5-1］（2023秋?九年級課時練習）二次函數>="2+法+。的圖象如圖所示，則關于x的不等式

a*+6x+c>0的解集是（）

第11頁共28頁

A.x<—1B.x>3C.-l<x<3D.x<—l或x〉3

【答案】D

【分析】根據二次函數y=ax2+6x+c的圖象與x軸的交點坐標求解即可.

【詳解】?.?二次函數y=a，+6x+c與x軸交于點（-1,0）,（3,0）

二次函數開口向上，

二關于x的不等式ax?+bx+c>0的解集是苫<-1或x>3.

故選：D.

【點睛】此題主要考查了二次函數與一元二次不等式之間的聯系：根據當>>0時，利用圖象得出不等式解

集是解題關鍵.

【變式5-2]（2024?任城區校級四模）已知一次函數必=6+6（后40）和二次函數%=依2+6x+c（aW0）的

部分自變量和對應的函數值如表：

12345

必01234

%0-1038

則關于x的不等式辦2+（6-左）x+c<6的解集是（）

A.2<x<5B.1<x<4C.x<l或x>4D.不能確定

【分析】先利用描點法畫出兩函數圖象，然后寫出一次函數圖象在拋物線上方所對應的自變量的范圍即可.

一次函數必=履+6（左片0）和二次函數%=亦2+云+°370）的圖象相交于點（1,0）,（4,3）,

當l<x<4時，即foc+6>ax2+bx+c，

所以關于x的不等式辦2+（b-k）x+c<b的解集為1<x<4.

第12頁共28頁

故選：B.

【點評】本題考查了二次函數與不等式（組）：利用兩個函數圖象在直角坐標系中的上下位置關系比較函數

的大小，則相應自變量的取值范圍為對應的不等式的解集.

【變式5-3］（2023?官渡區二模）如圖，在平面直角坐標中，拋物線（a>0）和直線

0）交于點。和點則不等式ax1+bx<kx的解集為.

【解答】解：：拋物線>=亦2+云（a>0）和直線（左>0）交于點。和點/,

，0<x<3時，直線在拋物線的上方，

...不等式ax2+bx<kx的解集為：0Vx<3.

故答案為：0<x<3.

考點6：確定拋物線相應位置的自變量的取值范圍

【例6】二次函數y=a*+Z?x+c（aW0）的圖象如圖所示，則函數值y>0時，x的取值范圍是（）

C.-1<^<3D.x<—1或x>3

解析：根據圖象可知拋物線與x軸的一個交點為（一1,0）且其對稱軸為x=l,則拋物線與x軸的另一個交

點為（3,0）.當y>0時，函數的圖象在x軸的上方，由左邊一段圖象可知x<—1,由右邊一段圖象可知x

>3.因此，xV—1或x>3.故選D.

方法總結：利用數形結合思想來求解，拋物線與x軸的交點坐標是解題的關鍵

【變式6-1］（2023秋?雷州市期末）二次函數了="2+樂+0（040）的圖象如圖所示，則函數值y>0時，x

的取值范圍是（）

A.%<—1B.x>3C.-1<x<3D.x<-l或x>3

【分析】根據圖象，寫出函數圖象在X軸上方部分的X的取值范圍即可.

【解答】解：由圖可知，XC-1或x>3時，y>0.

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故選：D.

【點評】本題考查了二次函數與不等式，此類題目，利用數形結合的思想求解更簡便.

【變式6-2].(2024?織金縣一模)二次函數了=辦2+3"+〃(.>0)的圖象過點(；,0),則使函數值y>0成

立的x的取值范圍是()

A7Tl71「fl1

A.x—x>一B.—<x<—C.x<0x〉一D.0<x<一

222222

【分析】根據二次函數的對稱軸和與x軸的交點坐標解答即可.

a

【解答】解：二次函數)二辦?+3辦+〃，。>0開口向上，對稱軸為直線、=-5，

,?,圖象過點。,0),

7

圖象過(一3，0),

71

.,.使函數值y>0成立的x的取值范圍是：x<-]或

故選：A.

【點評】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，找到二次函數與x軸的交點坐標是關鍵.

【變式6-3].(2023秋?豐臺區期末)已知二次函數>=亦2+笈+°(。40)圖象上部分點的橫坐標x,縱坐

標〉的對應值如下表所示：

X-10124

y830-13

(1)求二次函數的解析式及頂點坐標；

(2)直接寫出當y>0時，x的取值范圍.

【分析】(1)依據題意，觀察表格數據，先求出對稱軸是直線x=^=2,頂點坐標為(2,T),從而可設

二次函數的解析式為y=a(x-2)2-1,又圖象過(1,0),計算進而可以得解；

(2)依據題意，令y=f-4x+3=0,得x=l或x=3,又拋物線開口向上，從而>>0時，x的取值范圍

是函數圖象是x軸上方的部分對應的自變量，進而可以判斷得解.

【解答】解：(1)由題意，根據表格數據，可得拋物線的對稱軸是直線x=3=2,

2

頂點坐標為(2,-1).

二.可設二次函數的解析式為y=a(尤-2)2-1.

又圖象過(1,0),

u—1=0.

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.*.<7=1.

.,.二次函數的解析式為了=（工一2）2-1=/-4尤+3.

（2）由題意，令y=x2-4x+3=0,

x=1或x=3.

又拋物線開口向上，

，>>0時，x的取值范圍是函數圖象是x軸上方的部分對應的自變量.

，x<l或x>3.

【點評】本題主要考查了二次函數的圖象與性質，解題時要熟練掌握并能靈活運用是關鍵.

6模塊四小試牛刀過關測-------------------------------

一.選擇題

1.（23-24九年級上?山東煙臺?期中）已知二次函數y=af+6x+c的圖象在x軸的下方，則〃，b,c滿足

的條件是（）

A.a>0,b2-4ac>0B.a>0,b2-4ac<0

C.a<0,b2—4ac<0D.a<0,b2-4ac>0

【答案】C

【分析】本題考查了二次函數的圖像與性質，解題的關鍵是掌握二次函數的圖像與性質，根據二次函數的

圖像在x軸的下方，可得拋物線開口向下，「與x軸無交點，即可判斷.

【詳解】解：；二次函教>="2+加+°的圖象在》軸的下方，

拋物線開口向下，與x軸無交點，

即a<0,b2-4ac<0,

故選：C.

2.（2023?四川綿陽一模）二次函數必=ax?+6x+c與一次函數%=M+C的圖像如圖所示，則滿足

ax?+6無<的x的取值范圍為（）

A.-3<x<0B.x<-3或x>0C.x<-3或x>lD.0<x<3

【答案】C

【分析】

本題考查了二次函數與不等式，根據函數圖象可得"2+法<MX中X的取值范圍就是二次函數圖象在一次函

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數圖象下方部分的X的取值范圍即可.

【詳解】解：由圖像可得，當》<-3或x>l時，二次函數的圖像在一次函數圖像的下方，

即必<%，

...當x<-3或無>1時，ax1+bx+c<mx+c，

.,.當x<-3或x>1時，ax2+bx<mx，

故選：C.

3.（23-24九年級上?吉林?階段練習）將拋物線^=-X2+4向下平移2個單位長度得到的拋物線必定經過（）

A.（-2,4）B.（-1,1）C.（0,4）D.（1,-3）

【答案】B

【分析】此題主要考查了二次函數圖象與幾何變換，正確掌握平移規律是解題關鍵.直接將原函數寫成頂

點式，再利用二次函數平移規律：左加右減，上加下減，進而得出平移后解析式，再把各選項的點代入判

斷即可.

【詳解】解：將拋物線>=-，+4向下平移2個單位長度得到的拋物線解析式為：>=-/+2,

當x=-2時，y=-（-2）2+2=-2,故（-2,4）不在此拋物線上，故A選項不合題意；

當尸-1時，^=-（-1）2+2=1,故（T1）在此拋物線上，故B選項符合題意；

2

當x=0時，y=-0+2=2,故（0,4）不在此拋物線上，故C選項不合題意；

當x=l時，y=-f+2=l,故（1,-3）不在此拋物線上，故D選項不符合題意；

故選：B.

4.（23-24九年級上?山東濰坊?期中）已知二次函數y=/-5x-6,當y=0時，x的值是（）

A.2或-3B.-1或6C.-6或1D.-3或-2

【答案】B

【分析】此題考查了拋物線與x軸的交點，列出關于x的方程是解本題的關鍵.令y=0得到關于x的一元二

次方程，求出方程的解即可得到x的值.

【詳解】解：令y=。，得到，-5》-6=0,

即（x-6）（x+1）=0,

解得：x=T或6.

故選：B

5.（23-24九年級上?山東泰安?期中）已知二次函數>=爾+云+。的圖象與x軸的正半軸交于點/（不⑼，

點5（%,0）,與歹的正半軸交于點。（0,必）且苞=%，/=2再，那么6的值為（）

33-22

A.-B.——C.-D.——

2233

【答案】B

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【分析】此題主要考查了拋物線與X軸交點坐標與函數解析式的關系，由于二次函數y=尤+C的圖象

與x軸的正半軸交于點/(玉,0),點5伍,0),與歹的正半軸交于點C(O/J且芯="，4=2再,由此得到

c=玉,,接著把點”(再,0),點3(%,0)代入解析式即可得到方程組，解方程組即可求解，根據交點坐標滿

足函數關系式得到關于待定字母的方程是解題的關鍵.

【詳解】解：..?二次函數y=62+bx+c的圖象與x軸的正半軸交于點/(占,0),點8&,0),與了的正半軸

交于點C(O，M)且再=必，x2=2xj,

c=xlf

.[O=QX；+bx1+再

[0=4ax；+2bxi+

b=一3咐,

。代入第一個方程得：b=3

3國2

故選：B.

6.(2024?觀山湖區二模)拋物線％="2+云+&0W0)的部分圖象如圖所示,其與苫軸時的一個交點為(-3,0),

對稱軸為直線x=-l,將拋物線乃沿著x軸的正方向平移2個單位長度得到新的拋物線%,則當%<0時，

x的取值范圍是()

A.—3<%<—1B.—l<x〈lC.—l<x<3D.l<x<3

【分析】依據題意，由弘與X軸時的一個交點為(-3,0),對稱軸為直線x=-l,從而與X軸的另一個交點為

(-1+2,0),即(1,0),又拋物線必="2+法+或。20)的開口向上，故當必<0時，進而當將拋

物線乃沿著x軸的正方向平移2個單位長度得到新的拋物線力，則拋物線力與x軸的交點為(-1,0),(3,0),

進而可以判斷得解.

【解答】解：由題意，?.?必與x軸時的一個交點為(-3,0),對稱軸為直線x=-l,

與x軸的另一個交點為(-1+2,0),即(1,0).

拋物線必+bx+c(aW0)的開口向上，

.,.當“<0時，-3cx<1.

將拋物線乂沿著x軸的正方向