浙教版中考數學第一輪專題復習講義

第三單元函數及其圖象

《第14講二次函數的圖象與性質(-)》

【知識梳理】

1.二次函數與一元二次方程

二次函數y=a^+bx+c與一元二次方程a^+bx+c=Q有著密切的關系，二次函數的圖象與x

軸的交點的橫坐標對應一元二次方程的實數根，拋物線與x軸的交點情況可由對應的一元二次

方程根的判別式廿一4ac的符號判定.

(1)函數圖象與x軸有兩個交點Q方2—4ac>0Q方程有兩個不相等的實數根.

(2)函數圖象與x軸有一個交點今從-4加=00方程有兩個相等的實數根.

(3)函數圖象與x軸沒有交點今也一4加<00方程沒有實數根.

2.二次函數的圖象與系數的關系

(1)二次函數的圖象與性質是數形結合的型體現，二次函數丁=。%2+法+。(分0)的圖象特征與a,

b,c及根的判別式b2-4ac的符號之間的關系如下表：

項目

字母的符號圖象的特征

字母

a>0開口向上

CL

a<0開口向下

b=0對稱軸為y軸

bab>Q(b與a同號)對稱軸在y軸左側

ab<O(b與a異號)對稱軸在y軸右側

c=0經過原點

Cc>0與y軸正半軸相交

c<0與y軸負半軸相交

b~—4ac=0與X軸有唯一交點(頂點)

b2~4ac>Q與X軸有兩個交點

b2~4ac<0與X軸沒有交點

(2)特殊值:當%=1時，y=o+6+c;當x=-1時，y=q—>+c.若a+>+c>0,則當x=1時,

y>0.若a—Z?+c>0,則當尤=—1時,y>0.

【考題探究】

類型一二次函數與方程'不等式的關系

【例1][2024?長春改編]已知拋物線y=N—x+c(。是常數)，若拋物線與x軸有兩個不同的交

點，則c的取值范圍是eV：；若拋物線與x軸只有一個交點，則c的值是:；若拋物線與x

軸沒有交點，則C的取值范圍是c>：.

變式1一1[2024?通遼]關于拋物線丁二%2一23^加加一4(根是常數)，下列結論正確的是①

(填寫所有正確結論的序號).

①當m=0時，拋物線的對稱軸是y軸.

②若此拋物線與x軸只有一個公共點，則機=—4.

③若點A(〃z—2,yi),B(m+1,”)在拋物線上，則yi<>2.

④無論m為何值，拋物線的頂點到直線y=x的距離都等于2V1

【解析】當》/=0時，拋物線為y=*2—4,

，拋物線的對稱軸是y軸，①正確.

若此拋物線與x軸只有一個公共點，

則J=4/w2—4(?12+7?—4)=—4?/+16=0,

/?m=4,②錯誤.

?拋物線為y=x2-2mx-\-m2+m—4,

?二對稱軸是直線x=-2=m.

又?.?拋物線開口向上，

J拋物線上的點離對稱軸越近的數值越小.

又?.?點4(^—2,ji),B(m+1,72),

?-yi>y2,③錯誤.

,拋物線y=*2—2?ix+7/+，〃-4的頂點為(加，4),

頂點在直線J=x—4上.

又;直線y=x與j=x—4平行，

/.頂點到直線y=x的距離等于兩條平行線間的距離.

又:直線7=*一4與y軸的夾角為45°,

且j=x—4是y=x向下平移4個單位得到的，

兩平行線間的距離為4sin45°=4X-^-=2V2,

???頂點到直線y=x的距離為21，④正確.

綜上所述，正確的結論是①④.

變式1—2[2023?寧波]已知二次函數丁=加一(3a+l)x+3(存0),下列說法正確是(C)

A.點(1,2)在該函數的圖象上

B.當。=1且一1WXW3時，0WyW8

C.該函數的圖象與x軸一定有交點

D.當a>0時，該函數圖象的對稱軸一定在直線x=g的左側

【解析】對于y=a*2—(3a+l)x+3,

當x=l時，j=aXl2-(3a+l)Xl+3=2-2a.

,:畔0,

.*.y=2—2a^2,

AAA(l,2)不在該法教的圖象上，A不正確.

當a=l時，拋物線的函數表達式為y=x2—4x+3=(x—2)2—1,

:,當—時，-1W/W8,B不正確.

令y=0,則ax2—(3a+1)x+3=0.

VJ=[—(3a+l)]2-4ax3=(3a—1)2^0,

???該函數的圖象與^軸一定有支點，C正確.

?.?該拋物線的對稱軸為直線X=3=三+2，。>0,

2a22a

22a2

3

.?.該拋物線的對稱軸一定在直線x=&的右側，D不正確.

變式1一3[2023?臺州]拋物線1=加一a（存0）與直線相交于A（xi,yi）,3（x2,”）兩點,

若xi+x2<0,則直線y=ax+左一定經過（D）

A.第一、二象限B.第二、三象限

C.第三、四象限D.第一、四象限

【解析】,拋物線）=依2—a（存°）與直線相交于A（XI，yi）,5（*2，L）兩點，

.\kx=ax2—a,^.ax2—kx—a=0,

：.X1+X2=-,.Yvo.

aa

當。>0,kVO時，直線y=ar+左經過第一、三、四象F艮；

當aVO,左>0時，直線y=ax+左經過第一、二、四象F艮.

綜上所述，直線y=ax+4一定經過第一、四象F艮.

類型二二次函數的圖象特征與系數a,4c的關系

【例2][2024?廣安]如圖，二次函數丁=加+笈+°（〃，b,。為常數，。加）的圖象與無軸相交

于點A（一|,0）,對稱軸是直線x=一%有以下結論:①aA<0;②若點（一1,yi）和點（2,券）都在

拋物線上，則yi<*;③所2+ZwW；a—，（現為任意實數）;④3a+4c=0,其中正確的有（C）

例2圖

A.③B.①②

C.③④D.②③④

【解析】,二次函數開口方向向下，與y軸相交于正半軸,

；?aVO,c>0.

V--<o,；.b<.,.abc>0,①錯誤.

2a。,

-1

?.?對稱軸是直線x=-5，點（一1,山）和點（2,）2）都在拋物線上，

[1>）2，②錯誤.

111

??當x=/n時，y=am1+bm+c,當x=-—時，的教職最大值-a-—A+c,

242

、11

??對于任意實教機有am1+bm+c^-a—-b+c,

42

*.am2+bm^-a--b,③正確.

42

?b_1??_

?~9??b—a.

2a2

.當x=-3時，j=0,

\-a--Z>+c=0,

42

\9a-6b+4c=0,

即3a+4c=0,④正確.

綜上所述，正確的有③④.

變式2[2023?樂山]如圖，拋物線ynar+fet+c（存0）經過點A（—1,0）,B（m,0）,且1<加<

2.有下列結論:①。<0;②。+6>0;③0<a<—c;④若點。（一日，乃），。戰%）在拋物線上，則

其中正確的是（C）

變式2圖

A.①②

B.②③

C.①②③

D.①③④

【解析】???拋物線開口向上，

又二?拋物線的對稱軸在y軸的右側，

??1V0,①正確.

二?拋物線與y軸的支點在％軸下方，?'cVO.

???拋物線經過點A(—1,0),

；?〃一力+c=0,*.c=b~a.

*/當x=2時，y>0,

???4〃+20+c>0,

：.4a+2b+b-a>0,：.3a+3b>0,

：.a+b>0,②正確.

\9a—b+c=O,*.a+c=b.

VZ><0,.*.a+c<0,.?.OVaV—c,③正確.

TK?—1

易知對稱軸為直線％=—^一,且lVznV2,

A0<—2<-2,

**?皮C(一|，月)到對稱軸的距離比點。(|,%)到對稱軸的距離近，

；?yiVy2,④錯誤.

綜上所述，正確的是①②③.

類型三二次函數的綜合運用

【例3][2024?浙江]已知二次函數y=f+fcv+c3，c為常數)的圖象經過點A(—2,5),對稱

軸為直線X=—/

(1)求二次函數的表達式.

(2)若點3(1,7)向上平移2個單位長度，向左平移見機>0)個單位長度，恰好落在y=/+加;+c

的圖象上，求機的值.

(3)當一2WxW〃時，二次函數y=f+6x+c的最大值與最小值的差為：，求〃的取值范圍.

4

解:⑴由題意，

((—2)2—2b+c=5,(7)=1,

得b1斛得

一『=一；，(c=3,

22

；?二次函數的表達式為j=x2+x+3.

(2)VAB(l,7)向上平移2個單傳長度，向左平移機⑺>0)個單傳長度后的坐標為(1一機，9),

且落在j=x2+x+3的圖象上，

/.9=(l-/w)2+(l-zn)+3,

/.機2—3機—4=0,

斛得機1=—1(舍去)，加2=4,

:?m的值為4.

(3)分三種情況討論:

①當一g時，二次的數)=必+*+3的最大值為(-2)2+(—2)+3=5,最小值為層+〃

+3,

?*.5-(〃2+〃+3)=￡

,-.?2+?+1=0>

1

斛得ni=n2=--

②當一時，二次的數y=%2+%+3的最大值為(-2>+(—2)+3=5,最小值為(一+

1+3得

5一節=:成立，

③當〃>1時，二次的數y=%2+x+3的最大值為/+〃+3,最小值為(一+(一2)+3號

/+〃+3_?=：

??./+〃-2=0,

解得〃=1或一2(均舍去).

1

綜上所述，〃的取值范圉是一^W/iWL

變式3—1:2023?紹興］在平面直角坐標系xOy中，一個圖形上的點都在一邊平行于x軸的矩形

內部（包括邊界），這些矩形中面積最小的矩形稱為該圖形的關聯矩形.例如:如圖，函數y=（x—

2＞（0W尤W3）的圖象（拋物線中的實線部分），它的關聯矩形為矩形0ABe.若二次函數y=^+bx

+c（0WxW3）圖象的關聯矩形恰好也是矩形OABC,則。=1或||.

【解析】易知點C（0,4）,B（3,4）,y=42+方x+c（0WxW3）的對稱軸為直線*=一24

4

分情況討論：

①當一20W0,即力20時，y=$2+歷;+c（0WxW3）隨X的增大而增大，

*c=0,

??AQ

-+3b+c=4,

14

7

斛得力=石，符合題意；

②當一2。三3,即8W—三時，7=、2+加；+80?工?3）隨X的增大而城小，

24

*c=4,

-+3b+c=0,

I4

將得8=一娛符合題意；

③當0＜一2萬＜3,即一時，易知:義4廿一2萬2+c=0,

,,.c=b2.

當x=0,y=c=4時,

斛得Z＞=±2（不合題意，舍去）；

Q17

當x=3,y=-+3》+c=4時，將得萬=-或8=--（均不合題意，舍去）.

422

7”

綜上所述，，=石或一行

變式3—2[2023?麗水]已知點（一加，0）和（3加，0）在二次函數丁=加+/?元+3（〃，"是常數，。邦）

的圖象上.

⑴當相=—1時，求〃和6的值.

（2）若二次函數的圖象經過點A（〃，3）且點A不在坐標軸上，當一2〈用V—1時，求〃的取值范圍.

⑶求證:"+4〃=0.

解：（1）當機=—1時，圖象過點（1,0）和（一3,0）,

(0=a+b+3,

：.a=-1,b=-2.

(0=9a—36+3,

（2）由圖象過點（-m,0）和（3加，0）可知，對稱軸為直線x=//z.

又;圖象過皮（〃，3）,（0,3）,

；?根據圖象的對稱性，得〃=2

又;一2VmV—1,:.—4V“V—2.

（3）???圖象過點（一加，0）和（3加，0）,

；?根據圖象的對稱性，得一一=機,

2a

.*.b=—2am,頂點坐標為(機，am2+bm+3).

將點（一機，0）和（3加，0）分別代入的數表達式可得

0=am2—bm+3,①

0=9am2+3&m+3.(2)

①X3+②，得12。源+12=0,

am1+bm+3=am1—2am1+3=—am2+3=4,

?12a—b2.

..--------=4,

4a

；?12〃一乂=16。,:."+4〃=0.

變式3—3[2023?杭州]設二次函數y=o?+法+i（存0,6是實數）.已知函數值y和自變量元的

部分對應取值如下表所示:

x-10123

minip…

⑴若m=4,

①求二次函數的表達式.

②寫出一個符合條件的x的取值范圍，使得y隨x的增大而減小.

(2)若在機，n,p這三個實數中，只有一個是正數，求。的取值范圍.

解:⑴①由題意，

f4a+2b+l=l,

得

(a—6+1=4,

(a=l,

解得

(b=-2,

/.j=x2—2x+l.

②答嚏■不唯一，如xVl.

(2)'.?四教y的圖象經過點(0,1),(2,1),

，四教y的圖象的對稱軸是直線x=L

:.b=-2a,

??wi=p=a-Z>+l=3a+1,

n=a+Z>+l=-a+1.

又：在機，n,p這三個實教中，只有一個是正教,

〃>0,nz=pW0,

(—a+l>0,

斛得aW—/

(3a+l<0,

【課后作業】

L拋物線y=一—十以一4與坐標軸的交點個數是(C)

A.OB.1

C.2D.3

2.[2025?預測]若二次函數y=ax2+l的圖象經過點(一2,0),則關于x的方程o(x-2)2+l=0

的實數根為(A)

A.xi=0,X2=4B.XI=-2,%2=6

35

C.xi=-,%2=-D.xi=-4,%2=0

22

3.[2023?成都改編]如圖，二次函數6的圖象與x軸相交于A(—3,0),3兩點，則

A,3兩點之間的距離為(C)

A.3B.4

C.5D.6

【解析】杷點A(—3,0)代入y=ax2+x—6,得0=9a—3—6,斛得a=l,

**.j=x2+x—6.

令y=0,則0=*2+x—6,斛得xi=-3,*2=2,

.*.AB=2-(-3)=5,

：.A,5兩點之間的距離為5.

4.[2024?陜西]已知一個二次函數丁=加+法+。(存0)的自變量x與函數y的幾組對應值如下表:

X???-4-2035

y???一24-80-3-15

則下列關于這個二次函數的結論正確的是(D)

A.圖象開口向上

B.當x>0時，y隨x的增大而減小

C.圖象經過第二、三、四象限

D.圖象的對稱軸是直線x=l

4a-2b+c=-8,

c=0,

{9a+3b+c=-3,

a=-l,

b=2,

{c=0.

??二次四的表達式為y=-x2+2x.

Va=—KO,拋物線的開口向下.A不正確.

，拋物線的對稱軸為直線x=L且當x>l時，y隨x的增大而減小.B不正確，D正確.

令y=0,得一7+2*=0,

解將?=0，*2=2,

拋物線與x軸的交點生標為（0,0）和（2,0）.

又;拋物線的頂點生標為（1,1）,

拋物線經過第一、三、四象F艮.C不正確.

5.如圖，拋物線y=af（存0）與直線y=fec+c（厚0）的兩個交點坐標分別為A（—2,4）,3（1,1）,

則方程a^=bx+c的解為xi=—2,比=1.

6.拋物線丁=以2+法+。（分0）的部分圖象如圖所示，其與x軸的一個交點的坐標為（一3,0）,對

稱軸為直線x=—1,則當y<0時，x的取值范圍是一3V*V1.

【解析】?.,拋物線y=Q*2+加;+c（&/））與*軸的一個交點的生標為（-3,0）,對稱軸為直線七

=—1,

工拋物線與x軸的另一個交點的生標為（1,0）.

由圖象可知，當yVO時，x的取值范圉是一3VxVL

7.若二次函數丁=/+法一5的對稱軸為直線x=2,則關于x的方程N+bx—5=0的解為.作=5,

【解析】,二次法教y=x?+加r-5的對稱軸為直線x=2,——=2,斛得/>=-4,

/.X2—4x—5=0,斛得xi=5,X2=-1.

8.已知關于x的一元二次方程x2+x-m=0.

（1）若方程有兩個不相等的實數根，求機的取值范圍.

(2)二次函數y=%2+%—根的部分圖象如圖所示，求一元二次方程d+x一機=。的解.

解:(1)二?一元二次方程x2+x-zn=0有兩個不相等的實數根，

.?."-4ac>0,即1+4機>0,

:?m>-

4

-1

(2)易得二次的數y=22+%—機圖象的對稱軸為直線x=一3，

1

...拋物線與X軸的兩個交點關于直線X=13對稱.

由圖可知拋物線與x軸一個交點為(1,0),

，另一個交點為(一2,0),

.?.一元二次方程x2+x—m=0的解為xi=l,*2=—2.

9.[2024?嘉興模擬]已知二次函數y=f—2奴一3(。為常數).

(1)若該二次函數的圖象經過點(2,-3).

①求a的值.

②自變量x在什么范圍內時，y隨x的增大而增大？

⑵若點A(/n,0),B(n,0),C(m+1,p),D(n+1,q)均在該二次函數的圖象上，求證:p+q=2.

解:(1)①由題意，得4一4°-3=—3,

斛得a=l.

②由①，得7=——2*—3=(*—1)2—4.

又,.7=1>0,

當x>1時，y隨x的增大而增大.

(2)丁點4(加，0),B(n,0),

拋物線的對稱軸是直線

拋物線為y=x2—(m+n)x—3.

又,點C(7〃+l,p),D(n+1,q),

??.p=(zn+l)2—(/n+〃)(/n+l)—3=/n—〃—zn〃—2,q=(〃+l)2—(機+〃)(〃+1)-3=〃—///一機〃

—2,

..p+q=-2mn—4.

又二?點A(m,0)在拋物線上，

/.初2—(帆+〃)帆-3=0,

:.mn=-3,

/.p+9=-2X(-3)-4=2.

10.[2024?連云港]已知拋物線y=ax1+bx+c(a,b,c是常數，a<0)的頂點坐標為(1,2).小烽

同學得出以下結論:①HcVO;②當%>1時，y隨工的增大而減小;③若加+云+C=0的一個根為

3,則a=—④拋物線丁=加+2是由拋物線丁=加+笈+。向左平移1個單位，再向下平移2

個單位得到的.其中一定正確的是(B)

A.①②B.②③

C.③④D.②④

【解析1?.,頂點金標為(1,2),

——=1,.\b=12a.

2a

又TaVO,；.b>0.

Va+Z>+c=2,/.c=2—a—Z>=2—a—(-2a)=2+a,

：.c無法判斷符號.故①錯誤；

Va<0,拋物線開口向下.

?.?對稱軸為直線x=L.?.當x>l時，y隨x的增大而減小.故②正確；

■:b=-2a,c=2+a,

".y=ax2—2ax+2+a.

'?,當x=3時，_y=0,

.*.0=9a—6a+2+a,.\a=—/故③正確；

Vj=ax2+Z>x+c=a(x-1)2+2,

，將拋物線向左平移1個單位，再向下平移2個單位得到y=a(x-l+l)2+2-2=ax2.故④錯誤.

綜上所述，一定正確的是②③.

11.[2024?遂寧]如圖，已知拋物線了=加+笈+c(a",c為常數，#0)的對稱軸為直線x=—1,

且該拋物線與x軸相交于點A(l,0),與y軸的交點3在(0,—2),(0,—3)之間(不含端點)，則

下列結論正確的是(B)

①"c>0;

②9。-3b+c〉0;

③

2

④若方程ax+Zzx+c=x+1兩根為機，n(m<n)9則一3<加<1<幾

第11題圖

A.④B.③④

C.①②③D.①③④

【解析】???拋物線開口向上,

/.a>0.

又?.?對稱軸為x=—1V0,

:.a,1同號,，b>0.

e?*拋物線與y軸的支點6在(0,—2)和(0,—3)之間，

???-3VcV—2V0,：.abc<0,故①不正確;

?.?對稱軸為直線x=-1,且該拋物線與x軸相支于點4(1,0),

；?與X軸相支于另一點(一3,0).

??\=-3時，y=9。-38+c=0,故②不正確；

由題意可得，方程ax2+Ox+c=o的兩個極為X]=LM=-3.

Q

又?必=一,...c=-3〃.

a

又;一3VcV—2,:.一3V—3〃V—2,

故③正確；

若方程ax2+Z>x+c=x+l兩極為m,n(m<ri),則直線y=x+l與拋物線的交點的橫生標為nt,

;直線y=x+l過第一、二、三象F艮，且過點(一1,0),

二直線y=x+l與拋物線的交點左第一、三象F艮，由圖象可知一3VnzVlV”.故④正確.

綜上所述，正確的結論是③④.

12.[2024?杭州校級模擬]在二次函數丁=/+2蛆+冽一1中.

(1)若該二次函數圖象經過點(0,0),求該二次函數的表達式和頂點坐標.

(2)求證:不論m取何值，該二次函數圖象與x軸總有兩個公共點.

(3)若m<0時，點A(7?—2,p),3(2,q),C(n,p)都在這個二次函數圖象上且加一1>4>"，求”

的取值范圍.

解,二次四教7=/+2用》+?/—1的圖象經過點(0,0),

??.m―1=0,

??二次的的表達式?為2x.

又?.〉=必+2%=(%+1)