第9章?中心對稱圖形一平行四邊形

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十個概念

??1、圖形的旋轉：將圖形繞一個定點轉動一定的角度，這樣的圖形運動稱為圖形的旋轉.

?旋轉三要素：旋轉中心、旋轉角、旋轉方向.

??2、中心對稱：一個圖形繞著某一點旋轉180。，如果它能夠和另一個圖形重合，那么稱這兩個圖形關

于這點對稱，也稱這兩個圖形成中心對稱，這個點叫做對稱中心.

?注意：1.中心對稱是對兩個圖形而言，它表示兩個圖形之間的對稱關系；

2.中心對稱是一種特殊的旋轉，旋轉角必須是180°.

?中心對稱與軸對稱的區別：

43時翕中心附和

Njk.->KsA?.**4

fl?索可檢軸—afj*T*ft*111—點

圖形沿時膿軸對折(加如1*0)Jii用窗圖彩曉對林中心介

時稱的注線酸時稱軸率汽平分<J.11

??3、中心對稱圖形：把一個圖形繞某一點旋轉180。，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形互相重合,

那么這個圖形叫做中心對稱圖形.這個點就是它的對稱中心.

?注意：中心對稱圖形是對一個圖形而言，是一個圖形所具有的性質.

?中心對稱與中心對稱圖形的聯系和區別：

中&k

區別⑵在小兩呦之間的好舞X；京1

(3)C,t料:&A"陷?圖F*1

??4、平行四邊形：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.

如圖，記作：“口/5CD"(要注意字母順序)，讀作：“平行四邊形/BCD”.

??5、矩形：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.矩形也叫長方形.

如圖，在口/BCD中，ZABC=90°,則口/8CO是矩形.

AI)

3-----------L

B(

??6、菱形：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.

如圖，在口/BCD中，AB=BC,則口N8C。是菱形.

麻

??7、正方形：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形.

如圖，在口/BCD中，AB=BC,NABC=90°,則口48四是正方形.

口

??8、反證法：證明時，不是從已知條件出發直接證明命題的結論成立，而是先提出與結論相反的假設,

然后由這個“假設”出發推導出矛盾的結果，說明假設是錯誤的，因而命題的結論成立.這種證明的方法稱為

反證法.

?用反證法證明問題，通常分為三步：

(1)一是“反設”，即設命題結論的反面成立；

(2)二是“推出矛盾”，從假設出發，經過推理得出和反面命題矛盾，或者與學過的定理、公理或已知條件相

矛盾；

(3)三是“得出原命題正確”.得出假設命題不成立是錯誤的，即所求證命題成立.

??9、兩條平行線之間的距離：兩條平行線中，一條直線上任意一點到另一條直線的距離，叫做兩條平

行線之間的距離.兩條平行線之間的距離處處相等.如圖，AB=CD.

??10、三角形的中位線：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.

如圖，在△48C中，點。、E、F分別是邊48、BC、C4的中點，則線段EF、ED都是△NBC的中位

線.注意中線和中位線的區別.

七個性質

??1、旋轉的性質：一個圖形和它經過旋轉所得到的圖形中，對應點到旋轉中心距離相等，兩組對應點

分別與旋轉中心連線所成的角相等.

??2、中心對稱的性質：成中心對稱的兩個圖形中，對應點的連線經過對稱中心，且被對稱中心平分.

注意：成中心對稱的兩個圖形具有圖形旋轉的一切性質.

??3、平行四邊形的性質：

定理：平行四邊形的對邊相等，對角相等，對角線互相平分.

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if,M功，Ph11相專d8m?

j.J\￡ABCZ/M7X

他時相相$邕向“k乙80：

__________________做）等

對角線對角線互相平分t

對稱性工21邊形是中心對“圖形,“角城的

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林中心

??4、矩形的性質：

定理：矩形的四個角都是直角，對角線相等.

矩形是特殊的平行四邊形，它除了具有平行四邊形所有的性質外,還具有自身特殊的性質，總結歸納如下:

矩形性旗符號諳言圖示

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??5、菱形的性質：

定理：菱形的四條邊相等，對角線互相垂直.

菱形也是特殊的平行四邊形，它除了具有平行四邊形所有的性質外，還具有自身特殊的性質，總結歸納如下:

菱形性質符號語言圖示

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??6、正方形的性質：

正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的所有性質，歸納如下:

正方形ft質符號語言圖示

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??7、三角形中位線的性質:

三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.

1

如圖，在△48C中，是△N8C的中位線，,DE//BC,DE=^BC.

?與三角形中位線有關的結論：

三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.

(1)三角形的三條中位線把原三角形分成4個全等的小三角形，每個小三角形的周長為原三角形周長的《面

積為原三角形面積的：；

(2)三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分.

f一、

兩種作圖

??1、旋轉作圖

?旋轉作圖的一般步驟：

(1)根據題意確定旋轉中心、旋轉方向、旋轉角；

(2)找出構成圖形的關鍵點；

(3)作出各關鍵點旋轉后的對應點：

①連：把圖形中的每個關鍵點與旋轉中心分別連接起來；

②轉：把每條連線繞旋轉中心按旋轉方向分別旋轉相同的角度；

③截：在所得角的另一邊截取與關鍵點到旋轉中心的距離相等的線段，得到各個關鍵點的對應點.

(4)按原圖形中各關鍵點的順序連接所作的各對應點，并標注相應的字母，得到所求作的圖形；

(5)寫出結論，說明作出的圖形即為所求作的圖形.

?確定旋轉中心的一般步驟：

⑴找出兩組對應點；

(2)分別作每組對應點所連線段的垂直平分線；

(3)兩條垂直平分線的交點即為旋轉中心.

??2、中心對稱的作圖

?作已知圖形關于某一點對稱的圖形的步驟：

(1)連接：把各個關鍵點與對稱中心連接起來；

(2)延長：把關鍵點與對稱中心的連線延長；

(3)截取：在延長線上截取線段，使其長度等于相應關鍵點與對稱中心的連線長；

(4)畫圖：按照原圖順序依次連接各對應點，即得所求作的圖形.

四個判定

??1、平行四邊形的判定

?從邊的關系判定平行四邊形：

(1)定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.

(2)判定定理1：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；

判定定理2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

?從對角線的關系判定平行四邊形：

判定定理3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

注意：一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形不一定為平行四邊形.

??2、矩形的判定

定理：三個角是直角的四邊形是矩形.對角線相等的平行四邊形是矩形.

判定矩形的常見思路如下:

??3、菱形的判定

定理：四邊相等的四邊形是菱形.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

判定菱形的常見思路如下：

??4、正方形的判定

定理：有一組鄰邊相等的矩形是正方形.有一個角是直角的菱形是正方形.

正方形判定的思路與方法歸納如下:

題型歸納

圖形的旋轉

【例題】（2023?無錫）如圖，中，4B4c=55。,將△/BC逆時針旋轉a（0。＜口＜55。），得到AWE,

DE交AC于F.當a=40。時，點。恰好落在2C上，此時乙4FE等于（）

A.80°B.85°C.90°D.95°

【答案】B

【解析】解：???將A43C逆時針旋轉a（0。＜口＜55。），得到△ADE,

??.ABAC=3AE,4BAD=4CAE=4Q°,AB=AD,NC=NE,

?"=70°,

.?"=/￡1=55。，

.?.乙4尸￡=180°-55°-40。=85°,

故選：B.

【變式1】（2021?蘇州）如圖，在方格紙中，將RtA4O3繞點2按順時針方向旋轉90。后得到

則下列四個圖形中正確的是（）

【答案】B

【解析】解：/選項是原圖形的對稱圖形，故/不正確；

B選項是RtA^OS繞點B按順時針方向旋轉90。后得到RtA4，（78,故B正確；

C選項旋轉后的對應點錯誤，即形狀發生了改變，故C不正確；

。選項是按逆時針方向旋轉90。，故。不正確；

故選：B.

【變式2】（2022?上海）有一個正〃邊形旋轉90。后與自身重合，則"的值可能為（）

A.6B.9C.12D.15

【答案】C

【解析】解：A.正六邊形旋轉90。后不能與自身重合，不合題意；

B.正九邊形旋轉90。后不能與自身重合，不合題意；

C.正十二邊形旋轉90。后能與自身重合，符合題意；

D.正十五邊形旋轉90。后不能與自身重合，不合題意；

故選：C.

【變式3］（2023?上海）如圖，在A43C中，zC=35°,將A48c繞著點/旋轉a（0。<01<180。），旋轉后

的點8落在2C上，點8的對應點為。，聯結4D,是乙84c的角平分線，則a=.

■■AB=AD,乙BAD=a,AD是4B4c的角平分線,

???Z.CAD=乙BAD=a,

,-'Z-ADB=ZC+Z.C4Z>=35°+a,AB=AD,

:/B=Z.ADB=35°+a,

在中，zC+zC45+z5=180°,

.-.35°+2a+35°+a=180°,

解得：。=營）°；

故答案為：（^^）°.

【變式4】（2023?達州）如圖，網格中每個小正方形的邊長均為1,A4BC的頂點均在小正方形的格點上.

（1）將A43C向下平移3個單位長度得到A4pBiG，畫出A4/C1；

（2）將A4BC繞點C順時針旋轉90度得到A42&C2，畫出A4282C2；

(3)在(2)的運動過程中請計算出△ZBC掃過的面積.

(3)S^ABC=2x3--x2x1--x2x1--x3x1=|>

?.?^C=V12+32=V1O,

.e-907r(V10)2_5

Q扇形C一~而~一尹，

???在(2)的運動過程中&48C掃過的面積=S扇形C442+SOBC=|兀+*

口^題型二中心對稱與中心對稱圖形

【例題1】(2021?宿遷)對稱美是美的一種重要形式，它能給與人們一種圓滿、協調和平的美感，下列圖形

屬于中心對稱圖形的是()

【答案】A

【解析】解：/、是中心對稱圖形，故選項符合題意：

B＞是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故選項不符合題意;

C＞是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故選項不符合題意;

。、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故選項不符合題意.

故選：A.

【變式1-1］（2022?無錫）數學中很多圖形擁有對稱之美，請你在所學習的幾何圖形中，寫出一個既是中心

對稱圖形又是軸對稱圖形的圖形：.

【解析】解：既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的圖形較多，比例：正方形，矩形，菱形，圓；

故答案為：正方形，矩形，菱形，圓（答案不唯一，寫出一個即可）.

【例題2】（2023?溫州）如圖，在2x4的方格紙/BCD中，每個小方格的邊長為1.已知格點尸，請按要求

畫格點三角形（頂點均在格點上）.

（1）在圖1中畫一個等腰三角形PER使底邊長為四，點E在2C上，點廠在/。上，再畫出該三角形繞

矩形N8CD的中心旋轉180。后的圖形；

（2）在圖2中畫一個RtAPQ?,使NP=45。，點0在2c上，點R在/。上，再畫出該三角形向右平移1

個單位后的圖形.

A；一…；…一；-…:PA.…….……:……:…….D

PUii…:—iPL-1…i…:…i

「…-i…-:-…：-….…：-…i.…i.…［

圖1圖2

【解析】解：（1）圖形如圖1所示（答案不唯一）;

（2）圖形如圖2所示（答案不唯一）.

【變式2-1］（2022?遵義）在平面直角坐標系中，點/（a,1）與點8（-2,b）關于原點成中心對稱，則

a+b的值為（）

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】C

【解析】解：?.,點/（a,1）與點2（-2,6）關于原點成中心對稱，

???q=2,b--1,

:?a+b=L

故選：C.

【變式2?2】（2022?黑龍江）如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，AABC與八DEF關于

點。成中心對稱，AABC與△。斯的頂點均在格點上，請按要求完成下列各題.

（1）在圖中畫出點。的位置.

（2）將A48C先向右平移4個單位長度，再向下平移2個單位長度，得到AJiSG，請畫出△小名。；

（3）在網格中畫出格點"，使4〃平分4814G.

（2）如圖所示，△//Ci為所求.

（3）如圖所示，點M為所求.

E---平行四邊形的性質與判定

題型三

【例題1】（2023?無錫）已知：如圖，在口/BCD中，點￡、尸分別在8C、AD1.,ZAFB=ZCED.

求證:

(1)BF//DE；

(2)AABF^ACDE.

AFD

BEC

【解析】證明：(1)??,四邊形48cZ)是平行四邊形,

:?AD〃BC,

：.NADE=/CED,

丁ZAFB=ZCED,

：./AFB=/ADE,

：.BF//DE.

(2)??,四邊形45CD是平行四邊形，

：.AB=CDfN4=NC,

在4/3尸和△CDE中，

(Z-A=乙C

\Z-AFB=Z.CED,

LAB=CD

：.￡\ABF^/\CDE(AAS).

【變式1?1】（2023?益陽）如圖，口/8C。的對角線4C,BD交于點O,下列結論一定成立的是（）

B.OALOBC.OA=OCD.ZOBA=ZOBC

【解析】解：???四邊形是平行四邊形,

：.OA=OC,OB=OD,

故選：C.

【變式1?2】（2022?大慶）如圖，將平行四邊形沿對角線5。折疊,使點4落在E處.若"=56。,

△2=42。，則々的度數為（）

C.110°D.111°

【解析】解：?.?四邊形43CZ）是平行四邊形,

?.ABWCD,

.4BD=<DB,

由折疊的性質得：乙EBD=UBD,

???Z-ABD=Z.CDB=乙EBD,

vzl=<DB+(EBD=56°,

:&BD=(CDB=28°,

???々=180。-Z2-=50=180。-42°-28。=110。，

故選：C.

【變式1-3］（2022?南京）如圖，口48C。的頂點/,。分別在直線Z2±,lx//l2,若Nl=33,NB=

65°,則N2=°.

【解析】解：過。作加〃直線/i，

AZADE=Z1=33°,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

AZADC=ZB=65°,

ZCDE=AADC-ZADE=65°-33°=62°,

??Z〃/2，

：.DE//l2,

：.Z2=ZCDE=32°,

故答案為：32.

【變式1?4】（2023?南京）如圖，在口/BCD中，點N分別在邊BC,上，旦AM〃CN,對角線5。

分別交4",CN于點、E,F.求證

【解析】證明：連接4C交5。于。,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AO=OC,BO=DO,

U：AM//CN,

：./EAC=ZFCAf

在△4EO與△CFO中，

(Z.EAC=乙FCO

\AO=CO,

i^AOE=Z.COF

：.AAOE^/\COF(ASA)f

：.OE=OF,

：.BO-OE=OD-OF,

【變式1?5】（2023?綿陽）如圖，UU5CD的對角線4C,5。相交于點O,點、E,尸在4C上，且

（1）求證：BE//DF；

（2）過點。作（W_L5。，垂足為。，交DF于點M,若的周長為12,求四邊形BED9的周長.

【解析】（1）證明：???四邊形/8CO是平行四邊形,

：.AB//DC,AB=DC,

：.ZBAE=NDCF,

在△45E與產中，

(AB=CD

\Z-BAE=Z.DCFi

VAE=CF

：.LABEm△CDF(SAS)f

???/AEB=/CFD,

：.ZBEF=NDFE,

J.BE//DF；

(2)解：由(1)知，AABE絲ACDF,BE//DF,

:?BE=DF,

???四邊形BEDF是平行四邊形，

:.DO=BO,

'：OM±BD,

：.DM=BM,

???△5FW的周長為12,

:?BM+MF+BF=DM+MF+BF=DF+BF=12,

???四邊形BEDF的周長為24.

【例題2】（2023?杭州）如圖，平行四邊形45CZ）的對角線4C,5。相交于點。，點E,b在對角線5。上,

旦BE=EF=FD,連接力E,EC,CF,FA.

（1）求證：四邊形4￡C廠是平行四邊形.

（2）若AZBE的面積等于2,求△CR9的面積.

【解析】（1）證明：??,四邊形/BCD是平行四邊形,

：.AO=CO,BO=DO,

■;BE=DF,

：.EO=FO,

???四邊形4EW是平行四邊形；

（2）角能U：BE=EF,

:?S沙BE=SMEF=2，

???四邊形AECF是平行四邊形，

:?S沙EF=SACEF=2，EO=FO,

???△。尸。的面積=1.

【變式2-1］（2023?邵陽）如圖，在四邊形ZBCD中，ABWCD,若添加一個條件，使四邊形/8CZ）為平行四

邊形，則下列正確的是（）

A.AD=BCB.UBD-BDCC.AB=ADD.乙4=乙。

【答案】D

【解析】解：/、由/5IICO,AD=BC,不能判定四邊形/BCD為平行四邊形，故選項/不符合題意;

B、v^HCD,

???乙4BD-BDC,

???不能判定四邊形45CZ）為平行四邊形，故選項B不符合題意；

C、由45IICDAB=AD,不能判定四邊形45CD為平行四邊形，故選項。不符合題意；

、

D-AB\\CDf

.?.z^5C+zC=180°,

山=4。，

.??乙45。+乙4=180。，

-.ADWBC,

又???/5||C。，

???四邊形是平行四邊形，故選項。符合題意；

故選：D.

【變式2-2］（2022?河北）依據所標數據，下列一定為平行四邊形的是（）

【答案】D

【解析】解：/、8O°+11OV18O°,故/選項不符合條件；

2、只有一組對邊平行不能確定是平行四邊形，故2選項不符合題意；

C、不能判斷出任何一組對邊是平行的，故C選項不符合題意；

。、有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，故。選項符合題意；

故選：D.

【變式2-3］（2023?鎮江）如圖，8是NC的中點，點D、￡在/C同側，AE=BD,BE=CD.

（1）求證：A4BE當ABCD；

（2）連接。￡,求證：四邊形8C0E為平行四邊形.

【解析】證明：(1)是/C的中點,

；.AB=BC,

在AABE與ABCD中，

(AE=BD

\BE=CD,

l4B=BC

：.^ABE^/\BCD(SSS)；

(2):△/BE絲△BCD,

NABE=NBCD,

.".BE//CD,

,:BE=CD,

四邊形BCDE為平行四邊形.

【變式2-4］（2022?無錫）如圖，在口A8CD中，點。為對角線2。的中點，即過點。且分別交48、DC

于點￡、F,連接DE、BF.

求證：（1）ADOF^^BOE；

(2)DE=BF.

【解析】證明：(1):點。為對角線的中點,

：.OD=OB,

?.?四邊形是平行四邊形，

J.DF//EB,

：.ZDFE=ZBEF,

在△”?尸和△BOE中，

(Z.DFO=Z.BEO

\z-DOF=Z.BOE,

WO=BO

：.^DOF^ABOE(AAS).

(2)?；ADOF沿ABOE,

:?DF=EB,

■:DF〃EB,

???四邊形DFBE是平行四邊形，

：.DE=BF.

口二題型四用反證法證明

【例題】用反證法證明：等腰三角形的底角是銳角.

【解析】證明：用反證法.

假設等腰三角形的底角不是銳角，則大于或等于90°.

根據等腰三角形的兩個底角相等，則兩個底角的和大于或等于180。.

則該三角形的三個內角的和一定大于180。，這與三角形的內角和定理相矛盾，故假設不成立.

所以等腰三角形的底角是銳角.

【變式1]（2023?衡陽）我們可以用以下推理來證明“在一個三角形中，至少有一個內角小于或等于60。”.假

設三角形沒有一個內角小于或等于60。，即三個內角都大于60。.”，則三角形的三個內角的和大于180。.這

與“三角形的內角和等于180。”這個定理矛盾，所以在一個三角形中，至少有一個內角小于或等于60。.上述

推理使用的證明方法是（）

A.反證法B.比較法C.綜合法D.分析法

【答案】/

【解析】解：證明“在一個三角形中，至少有一個內角小于或等于60。”.

假設三角形沒有一個內角小于或等于60。，即三個內角都大于60。.”，則三角形的三個內角的和大于180。.

這與“三角形的內角和等于180。”這個定理矛盾，所以在一個三角形中，至少有一個內角小于或等于60。，這

種證明方法是反證法，

故選：A.

【變式2】用反證法證明命題“在一個三角形中，不能有兩個內角為鈍角”時，第一步應假設.

【解析】解：用反證法證明命題“在一個三角形中，不能有兩個內角為鈍角”時，應假設“在一個三角形中，

可以有兩個內角為鈍角

故答案為：在一個三角形中，可以有兩個內角為鈍角.

--------矩形的性質與判定

7題型五

【例題1】（2023?宿遷）如圖，在矩形N8CD中，BELAC,DF±AC,垂足分別為￡、F.求證：AF=

CE.

【解析】證明：???四邊形/BCD是矩形,

:,AB=CD,AB//CD,

：.ZBAE=/DCF.

又BE2AC,DFLAC,

:?NAEB=NCFD=90°.

在△45E與△CZ）產中，

（Z.AEB=4CFD

\z-BAE=Z.DCFi

VAB=CD

:?△ABE^ACDF（AAS）f

:?AE=CF,

:.AE+EF=CF+EF,

即AF=CE.

【變式1-1］（2023?杭州）如圖，矩形45CZ）的對角線4C,她相交于點O.若乙405=60°,則槳=

BC

A-|B.空C?孚D.苧

【答案】D

【解析】解：：四邊形是矩形，

:?AO=BO=CO=DO,

VZAOB=60°,

:?△ABO是等邊三角形，

：?NB4O=60°,

AZACB=30°,

：.BC=y[3AB,

.AB

??而一"T'

故選：D.

【變式1-2]（2023?蘇州）如圖，在平面直角坐標系中，點N的坐標為（9,0）,點C的坐標為（0,3）,

以ON,OC為邊作矩形CM8C.動點￡,尸分別從點O,8同時出發，以每秒1個單位長度的速度沿。4,

8c向終點4C移動.當移動時間為4秒時，NUE尸的值為（）

A.V10B.9V10C.15D.30

【答案】D

【解析】解：連接/C、EF.

???四邊形。42c為矩形，

：.B(9,3).

又；OE=BF=4,

：.E(4,0),F(5,3).

-"-AC=VOC2+OA2=V32+92=3V10,

EF=V(5-4)2+32=V10>

；.AC*EF=3國XVio=30.

故選：D.

d->EAX

【變式1-3］（2023?內江）出入相補原理是我國古代數學的重要成就之一，最早是由三國時期數學家劉徽

創建.“將一個幾何圖形，任意切成多塊小圖形，幾何圖形的總面積保持不變，等于所分割成的小圖形的面

積之和”是該原理的重要內容之一，如圖，在矩形/BCD中，AB=5,AD=U,對角線/C與8。交于點

。，點￡為5c邊上的一個動點，EFVAC,EGLBD,垂足分別為點RG,則￡F+EG=.

-------------------------*

【解析】解：連接OE,

?..四邊形48co是矩形,

AZABC=90°,BC=AD=\2,AO=CO=BO=DO,

9：AB=5,BC=12,

:?AC=]AB?+BC2=13,

13

：.OB=OC=—,

iiili

???S“BOC=SABO-COE=5xO8?EG+-OC-EF=-S^c=5X5x5x12=15,

113113I13

.?.|xyEG+|xyEF=fXy(EG+EF)=15,

：.EG+EF=^

故答案為：罵.

【變式1-4］（2023?哈爾濱）矩形45CZ）的對角線力C,5。相交于點。，點尸在矩形48CD邊上，連接

OF.若N/Z）8=38°,/BOF=3G°,貝！J//Ob=.

【解析】當產在上時，如圖，

：?OD=OA,

ZOAD=ZODA=3S°,

；?NAOB=NADO+/DAO=76°,

?：NBOF=30°,

AZAOF=ZAOB-ZBOF=46°；

???四邊形/BCD是矩形,

：.OD=OA,

ZOAD=ZODA=3S°,

AZAOB=ZADO+DAO=16°,

?；NBOF=30°,

AZAOF=ZAOB+ZBOF=106°,

?.ZAOF=46°或106°.

故答案為：46°或106°.

【例題2】(2023?大慶)如圖，在平行四邊形45cZ)中，￡為線段CZ)的中點，連接4C,AE,延長

3。交于點尸，連接DEZACF=90°.

(1)求證：四邊形4CFZ)是矩形；

(2)若C￡>=13,CF=5,求四邊形/5CE的面積.

【解析】(1)證明：???四邊形是平行四邊形,

：.AD//BC,

:?/ADE=/FCE,/DAE=/CFE,

YE為線段CZ)的中點，

：.DE=CE,

：.AADE^AFCE(AAS)f

：.AE=FE,

???四邊形ACFD是平行四邊形，

VZACF=90°,

???四邊形4CFD是矩形；

(2)解：,??四邊形ZCED是矩形，

：.ZCFD^90°,AC=DF,

V0)=13,CF=5,

DF=>JCD2-CF2=V132-52=12,

,/AADE烏AFCE,

「△CM的面積的面積=：x^x5X12=15,

平行四邊形/BCD的面積=8CJC=5X12=60,

四邊形N8CE的面積=平行四邊形N5CD的面積-/的面積=60-15=45.

【變式2-1］如圖，在口4BCD中，對角線4c與BD交于點0,添加下列條件不能判定口/lBCD為矩形的只有

()

A.AC—BDB.AB=6,BC=8,AC=10

C.Z1=Z2D.AC1BD

【答案】D

【解析】解：A、正確.對角線相等的平行四邊形是矩形.

B、正確.AB=6,BC—8,AC—10,

???AB2+^C2=62+82=102,

Z^C=90°,

二平行四邊形4BCD為矩形.

C、正確,<?,zl=z2,

AO=BO,

???AC—BD,

???平行四邊形4BCD是矩形，

D、錯誤.對角線垂直的平行四邊形是菱形.

故選：D

【變式2-2】（2023?岳陽）如圖，點M在口/BCD的邊上，BM=CM,請從以下三個選項中①/1=/

2；（2）AM=DM；③/3=/4,選擇一個合適的選項作為已知條件，使口N8CD為矩形.

（1）你添加的條件是（填序號）；

（2）添加條件后，請證明口/BC。為矩形.

【解析】（1）解：①當N1=N2時，口/BCD為矩形;

②當時，口/BCZ）為矩形，

故答案為：①（或②）；

（2）選擇①N1=N2,

證明：二?四邊形/BCD是平行四邊形，

：.AB//DC,AB=DC,

；.//+/￡>=180°,

在和中,

AB=DC

zl=z2,

BM=CM

：.AABM^DCM(SAS),

NA=ND,

：.ZA=ZD=90°,

?,?□45C7)為矩形.

【變式2-3】（2023?青島）如圖，在口48c。中，N24D的平分線交2C于點E,NDC2的平分線交4D

于點尸，點G,〃分別是/￡和CF的中點.

(1)求證：LABE義ACDF；

(2)連接斯.若EF=4F,請判斷四邊形GEE0的形狀，并證明你的結論.

【解析】(1)證明：：四邊形是平行四邊形，

J.AD//BC,AB=CD,NBAD=NDCB,NB=ND,NDAE=NAEB,NDFC=NBCF,

ZBAD和ZDCB的平分線AE,CF分別交BC、AD于點E、F,

：.ZBAE=ZDAE=，BAD,NBCF=NDCF=)DCB,

：.NBAE=ZDCF,

在和△OCF中，

(Z.B=乙D

\AB=CD,

VZ.BAE=乙DCF

:?△BAEQADCF(ASA).

(2)證明：?；ABAEmADCF,

：.AE=CF,ZAEB=ZDFC,

：.ZAEB=/BCF,

：.AE//CF,

:點G、H分別為AE、C尸的中點，

J.GE//FH,GE=FH,

.?.四邊形尸GEH是平行四邊形

?：EF=AF,G為/￡的中點，

GFLAE,

.?.四邊形/GE8是矩形.

菱形的性質與判定

3題型六

【例題1】(2023?浙江)如圖，在菱形48co中，AELBC于點、E,4F_LCD于點尸，連結￡足

(1)求證：AE—AF；

(2)若/2=60°,求//￡尸的度數.

【解析】（1）證明：：四邊形/BCD是菱形,

:.AB=AD,NB=ND.

又?.ZE_L8C于點E,AF1.CD于點F,

：.ZAEB=ZAFD=90°,

在△4BE與4ADF中，

（乙B=乙D

?：\AAEB=AAFD.

VAB=AD

：./XABE^/XADF（44S）.

：.AE=AF；

（2）解：:四邊形/5CD是菱形，

AZB+ZBAD^ISO°.

而乙8=60°,

：.ZBAD^120°.

又?.?/Z￡B=90°,Z5=60°,

:.NBAE=30°.

由（1）知△4BE學△/￡）尸，

ZBAE=ZDAF=30°.

：.ZEAF^120a-30°-30°=60°.

...△Z斯是等邊三角形.

ZAEF^60°.

【變式1-1】（2023?麗水）如圖，在菱形NBCD中，AB=],ZDAB=60°,則/C的長為（）

A.|B.1C.當D.V3

【答案】D

【解析】解：如圖，連接AD交NC于點。，

:四邊形N3CD是菱形，ZDAB=60°,

：.OA=OC,ZBAO=lZDAB=30°,ACLBD,

；.NAOB=90°,

：.OB=^AB=l，

：.OA=-JAB2-OB2=Jl2-(|)2=亭

:.AC=2OA=a,

故選：D.

【變式1-2】（2023?湘潭）如圖，菱形Z8GD中，連接/C,BD,若"=20。，貝此2的度數為（)

A.20°B.60°C.70°D.80°

【答案】C

【解析】解：???四邊形是菱形,

'.ABWCD.ACLBD,

.-.zZ>G4=zl=20°,

???42=90°-￡DCA=W°,

故選：c.

【變式1-3】(2023?牡丹江)如圖，在平面直角坐標系中，菱形48co的頂點/,3在X軸上，AB=2,A

(1,0),zJDAB=60°,將菱形/BCD繞點/旋轉90。后，得到菱形4BCQ1，則點Ci的坐標是

??,菱形4BC。的頂點/,3在x軸上，AB=2,A(1,0),乙0/5=60。,

.?.AD=AB=BC=CD=2,48邊的高是遍，

二點Ci的縱坐標為±3,橫坐標為1iV3,

.??點C的坐標為(1-V3,3)或(1+舊,-3),

故答案為：(1—V3,3)或(1+V3,-3).

【變式1-4](2023?呼和浩特)如圖，四邊形/BCD是平行四邊形，連接NC,8D交于點O,平分/

ADB交4c于點、E,BF平分/CBD交AC于點、F,連接BE,DF.

(1)求證：N1=N2；

(2)若四邊形/BCD是菱形且N2=2,/48C=120°,求四邊形5助尸的面積.

AD

【解析】（1）證明：???四邊形/BCD是平行四邊形,

：.AD//BC,OD=OB,

：.ZADO=ZCBO,

〈DE平分N4DB,BF平分NCBD,

：.ZODE=^ZADOfNOBF=/CBO,

：?/ODE=/OBF,

J.DE//BF,

VOD=OB,ZDOE=ZBOF,

:.AODE?AOBF（ASA）,

；?DE=BF,

???四邊形DEBF是平行四邊形，

J.BE//DF,

???N1=N2.

（2）解：由（1）知LODE會AOBF（ASA\

：.OE=OF,

???四邊形/BQ）是菱形，

:?BD2EF,OD=OB,AD//BC,

???四邊形。￡5廠的菱形，

■:AD//BC,ZABC=120°,

AZBAD+ZABC=18O°,

VZABC=nO°,

AZBAD=60°,

?：AD=AB,

AABD是等邊三角形，

：.BD=AB=2,ZADO=60°,

：.OD=^BD=1,

VZODE=^ZADO=30°,

：.OE=^-OD=^-,

尸=2OE=竽，

...四邊形BEDF的面積=?斯=|x2X竽=竽.

【例題2】(2023?云南)如圖，平行四邊形49a)中，AE、C尸分別是N3/D、4BCD的平分線，且￡、F

分另U在邊8C、AD1.,AE=AF.

(1)求證：四邊形/EC尸是菱形；

(2)若//3C=60°,AiBE的面積等于4打，求平行線力2與。C間的距離.

【解析】(1)證明：???四邊形N3CD是平行四邊形，

：.ZBAD=ZBCD,AD//BC,

；4E、CF分別是N84D、/BCD的平分線，

11

ABAE=Z,DAE=-/.BAD,乙BCF=乙DCF=的BCD,

???ZDAE=ZBCF,

U：AD//BC,

：./DAE=/AEB,

：.ZBCF=/AEB,

：.AE//FC,

???四邊形AECF是平行四邊形，

?：AE=AF,

???四邊形/ECF是菱形；

(2)解：連接4C,

???四邊形ABCD是平行四邊形,

：.AD//BC,

：./DAE=NAEB,

*：AE平分/BAD,

：.ZBAE=NDAE,

：.NBAE=NAEB,

:?AB=EB,

VZABC=60°,

???LABE是等邊三角形，

:.NBAE=NAEB=NABE=6G0,

的面積等于4百，

：.^-AB2=4百，

.?.45=4,

即AB=AE=EB=4,

由（1）知四邊形/KCF是菱形，

：.AE=CE=4,

：.ZEAC=ZECA,

ZAEB是△NEC的一個外角,

ZAEB=ZEAC+ZECA=60°,

：.NEAC=/ECA=30°,

/.ZBAC=ZBAE+ZEAC=90°,

即ACLAB,

由勾股定理得AC=VBC2-XB2=V(4+4)2-42=4后,

即平行線AB與DC間的距離是4省.

【變式2-1](2023?齊齊哈爾)如圖，在四邊形/BCD中，AD=BC,NC18。于點。.請添加一個條件:

【解析】解：當添加時，

?；AD=BC,

，四邊形ABCD是平行四邊形，

''ACLBD,

.??四邊形/小刀是菱形：

當添加："N8=CZ)”時，

?：AD=BC,

???四邊形/BCD是平行四邊形，

■■■ACA.BD,

，四邊形/BCD是菱形；

當添加“。3=。￡!”時，

■：AD=BC,ACVBD,

???RtAADO三Rt2\C2O(HL),

■■.AO=CO,DO=BO,

，四邊形ABC。是菱形；

當添加：時，

■■.ADWBC,

?；AD=BC,

，四邊形ABCD是平行四邊形，

??,AC1BD,

，四邊形A5CD是菱形.

故答案為：ADWBC(或/8=C。或03=0。或ADB=￡CBD等).

【變式2-2】(2023?隨州)如圖，矩形/BCD的對角線/C,AD相交于點。，DE//AC,CE//BD.

(1)求證：四邊形OCED是菱形；

(2)若8c=3,DC=2,求四邊形OCED的面積.

AD

E

/0、/

BC

【解析】(l)證明：???OE〃4C,CE//BD,

???四邊形OCED是平行四邊形，

,??矩形45CZ)的對角線4C,相交于點O,

：.AC=BD,OC=^AC,OD=^BD,

：.OC=OD,

???四邊形OCE。是菱形；

(2)解：??,四邊形ZBCD是矩形，BC=3,DC=2,

J.OA=OB—OC=OD,S矩形ZBC￡)=3X2=6,

:?s叢OCD=矩形ZBCD+6=1.5,

:四邊形OCE。是菱形，

菱形OCED的面積=2SAOS=2X1.5=3.

【變式2-3】(2023?湘西州)如圖，四邊形NBCD是平行四邊形，BM//DN