禹州一模數學試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題5分，共30分）

1.已知二次函數y=ax^2+bx+c（a≠0）的圖象開口向上，且頂點坐標為（1，-2），則下列說法正確的是（）

A.a>0，b>0，c>0

B.a>0，b<0，c<0

C.a<0，b>0，c>0

D.a<0，b<0，c<0

2.在直角坐標系中，點A（-1，2）關于直線y=x的對稱點為B，則直線AB的斜率為（）

A.-1

B.1

C.2

D.-2

3.已知等差數列{an}的公差為d，且a1+a5=8，a3+a7=16，則d的值為（）

A.2

B.4

C.6

D.8

4.在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，∠C=75°，則sinB：sinC的值為（）

A.1：2

B.2：1

C.1：√3

D.√3：1

5.已知函數f(x)=x^3-3x+1，若f(x)在x=1處取得極值，則f(1)的值為（）

A.-2

B.0

C.2

D.3

二、填空題（每題5分，共25分）

6.已知等比數列{an}的公比為q，且a1=1，a3=8，則q的值為______。

7.在直角坐標系中，點P（-2，3）關于y軸的對稱點為Q，則點Q的坐標為______。

8.已知函數f(x)=2x^2-3x+1，若f(x)在x=1處取得極值，則f(1)的值為______。

9.在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，∠C=75°，則cosA的值為______。

10.已知等差數列{an}的公差為d，且a1+a5=8，a3+a7=16，則d的值為______。

三、解答題（每題15分，共45分）

11.（1）已知函數f(x)=x^2-4x+3，求f(x)的對稱軸方程。

（2）若函數f(x)=ax^2+bx+c（a≠0）的圖象開口向上，且頂點坐標為（1，-2），求a、b、c的值。

12.（1）已知等差數列{an}的公差為d，且a1=1，a3=8，求d的值。

（2）已知等比數列{bn}的公比為q，且b1=2，b3=32，求q的值。

13.（1）在直角坐標系中，點P（-2，3）關于y軸的對稱點為Q，求直線PQ的方程。

（2）已知函數f(x)=2x^2-3x+1，若f(x)在x=1處取得極值，求f(1)的值。

四、解答題（每題15分，共45分）

14.（1）已知正方體的邊長為a，求證：對角線長為√3a。

（2）若等差數列{an}的首項為a1，公差為d，求證：an=a1+(n-1)d。

15.（1）已知等比數列{bn}的首項為b1，公比為q，求證：bn=b1*q^(n-1)。

（2）若函數f(x)=x^3-3x+1，求證：f(x)在區間（-∞，+∞）內單調遞增。

16.（1）在直角坐標系中，已知點A（1，2）和點B（4，5），求證：線段AB的中點坐標為（2.5，3.5）。

（2）已知函數f(x)=ax^2+bx+c（a≠0），若f(x)在x=1處取得極值，求證：f(1)=a+b+c。

五、計算題（每題10分，共20分）

17.計算下列各式的值：

（1）(3^4)^2

（2）(a^2*b^3)^3/(a^4*b^6)

18.計算下列各式的值：

（1）sin(45°)+cos(45°)

（2）(sin^2(60°)+cos^2(60°))^3

六、綜合題（每題20分，共40分）

19.（1）已知函數f(x)=ax^2+bx+c（a≠0）的圖象開口向上，且頂點坐標為（1，-2），求f(x)的解析式。

（2）若等差數列{an}的首項為a1，公差為d，且a1+a5=8，a3+a7=16，求等差數列{an}的前10項和。

20.（1）在直角坐標系中，已知點A（1，2）和點B（4，5），求直線AB的斜率和截距。

（2）若函數f(x)=2x^2-3x+1，求函數f(x)的導數f'(x)，并求f'(x)的零點。

試卷答案如下：

一、選擇題

1.B.a>0，b<0，c<0

解析思路：二次函數開口向上，a>0，頂點坐標為（1，-2），根據頂點公式b=-2a，c=-a。

2.B.1

解析思路：點A（-1，2）關于直線y=x對稱，則B點坐標為（2，-1），斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)=(2-(-1))/(-1-2)=1。

3.B.4

解析思路：由等差數列的性質，a3=a1+2d，a7=a1+6d，聯立a1+a5=8，a3+a7=16，解得d=4。

4.D.√3：1

解析思路：由三角形內角和公式，∠C=180°-∠A-∠B，代入∠A=60°，∠B=45°，解得∠C=75°。由正弦定理，sinB/sinC=b/c=a/c，即sinB：sinC=√3：1。

5.B.0

解析思路：函數f(x)在x=1處取得極值，f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，解得x=1，代入f(x)，得f(1)=0。

二、填空題

6.2

解析思路：由等比數列的性質，a3=a1*q^2，a1=1，a3=8，解得q=2。

7.（2，-3）

解析思路：點P（-2，3）關于y軸對稱，則點Q的x坐標為-(-2)=2，y坐標不變，即Q（2，-3）。

8.0

解析思路：函數f(x)在x=1處取得極值，f'(x)=2x-3，令f'(x)=0，解得x=1，代入f(x)，得f(1)=0。

9.√3/2

解析思路：由正弦定理，sinA/a=sinC/c，代入∠A=60°，∠C=75°，解得sinA=√3/2。

10.4

解析思路：由等差數列的性質，a3=a1+2d，a7=a1+6d，聯立a1+a5=8，a3+a7=16，解得d=4。

三、解答題

11.（1）對稱軸方程為x=2。

解析思路：二次函數的對稱軸為x=-b/2a，代入b=-4，a=1，解得x=2。

（2）a=1，b=-4，c=-2。

解析思路：由頂點公式，b=-2a，c=-a，代入頂點坐標（1，-2），解得a=1，b=-4，c=-2。

12.（1）d=4。

解析思路：由等差數列的性質，a3=a1+2d，a7=a1+6d，聯立a1+a5=8，a3+a7=16，解得d=4。

（2）q=2。

解析思路：由等比數列的性質，b3=b1*q^2，b1=2，b3=32，解得q=2。

13.（1）直線PQ的方程為x+y=0。

解析思路：點P（-2，3）關于y軸對稱，則點Q的x坐標為-(-2)=2，y坐標不變，即Q（2，-3）。由兩點式方程，得x+y=0。

（2）f(1)=0。

解析思路：函數f(x)在x=1處取得極值，f'(x)=2x-3，令f'(x)=0，解得x=1，代入f(x)，得f(1)=0。

四、解答題

14.（1）對角線長為√3a。

解析思路：正方體的對角線長等于邊長的√2倍，而√2^2=2，√3^2=3，所以對角線長為√3a。

（2）an=a1+(n-1)d。

解析思路：由等差數列的定義，an=a1+(n-1)d，其中d為公差。

15.（1）bn=b1*q^(n-1)。

解析思路：由等比數列的定義，bn=b1*q^(n-1)，其中q為公比。

（2）f(x)在區間（-∞，+∞）內單調遞增。

解析思路：函數f(x)的導數f'(x)=3x^2-3，導數大于0時，函數單調遞增，即3x^2-3>0，解得x>1或x<-1，所以在區間（-∞，+∞）內單調遞增。

16.（1）線段AB的中點坐標為（2.5，3.5）。

解析思路：由中點公式，x坐標為(1+4)/2=2.5，y坐標為(2+5)/2=3.5。

（2）f(1)=a+b+c。

解析思路：函數f(x)在x=1處取得極值，f'(x)=2x-3，令f'(x)=0，解得x=1，代入f(x)，得f(1)=a+b+c。

五、計算題

17.（1）(3^4)^2=81^2=6561。

解析思路：冪的乘方，底數相同，指數相乘。

（2）(a^2*b^3)^3/(a^4*b^