第三章圖形的平移與旋轉（單元重點綜合測試）

一、單選題

1.下列圖形是中心對稱圖形的是（）

2.如圖所示的圖案分別是三菱、大眾、奧迪、奔馳汽車的車標，其中可以看著是由“基本圖

案”經過平移得到的是（）

A.B.

C.

3.在平面直角坐標系中，將點（LT）平移到點（-3,-2）,經過的平移變換為（）

A.先向左平移4個單位長度，再向下平移6個單位長度

B.先向右平移4個單位長度，再向上平移6個單位長度

C.先向左平移4個單位長度，再向上平移2個單位長度

D.先向右平移4個單位長度，再向下平移2個單位長度

4.如圖，V相如是由「.ABC旋轉后得到的，下列說法正確的是（）

A.旋轉中心不是點AB.BC^DE

C.旋轉方向是順時針D.NBAD=NCAE

5.在第四象限內有一點"（x,y）,且國=3,祝=5那么點”關于原點對稱的點的坐標是（）

A.（-3,5）B.（3,-5）C.（-3,-5）D.（3,5）

6.如圖，將ABC繞點A逆時針旋轉70。，得到V相＞E,若點。在線段8c的延長線上，則N3的

大小是（）

7.如圖，將ABC繞頂點A逆時針旋轉得到△ABC,點B的對應點在BC上，若4=70。,

則/C4c的度數是（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

8.小明有一個俯視圖為等腰三角形的積木盒，現在積木盒中只剩下如圖所示的九個空格，下

面列有積木的四種搭配方式,其中恰好能放入盒中空格的有（）

搭配①搭配②搭配③搭配④

■BUnEM

MMES.EM■J*

C.3種D.4種

9.如圖，Rt^ABC中，ZACB=90。，ZABC=30°,M為直線上的一個動點，將線段AW繞

點A順時針旋轉60。得到線段4V,連接CN,則當CN取得最小值時，下列結論正確的是（)

A.直線OVLABB.直線CN平分43

C.直線CN與直線BC重合D.直線CN與直線AC重合

10.如圖，已知ABE,NABE=120。，將繞點3順時針旋轉60。得到CBD,連接AC,ED,

AE和CD交于點P.則下列結論中正確的是（)

A.—APC=30°

B.AC與龐;不平行

C...5DE可以看作是ABC平移而成的

D.MC和.①汨都是等邊三角形

二、填空題

11.如圖，將.ABC沿直線A3向右平移得到ABDE.若/018=50。，4=30。，則/C3。的度

數為_____

12.已知點4（2,4）與點30一1,24）關于原點對稱，則。+6=.

13.如圖所示是一個樓層的俯視圖，中間陰影部分是兩條通道，這兩條通道把樓層隔出四個

小房間，根據圖示信息，這四個小房間的總面積可表示為.

14.如圖，，筋C的頂點都在方格紙的格點上，將.ABC繞點。按順時針方向旋轉得到AB'C,

使各頂點仍在格點上，則旋轉角的度數是.

15.如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（0,3）,OAB沿x軸向右平移后得到△04?,

點A的對應點A在直線y=%上一點，則點A與其對應點H之間的距離為

16.如圖，將ABC繞點A按逆時針方向旋轉70。得到△AED,連接BE,若BE,則/C4E

的度數為°.

17.如圖，點A在x軸上，Q4=3,點8在y軸正半軸上.將AB繞著點A順時針旋轉120°得至I」AC,

若點C的橫坐標為7,過點C作CFLx軸，垂足為F，則△ACF的面積為.

18.如圖，RtABCDEF,ZC=ZF=90°,AC=4,BC=8,點。為AB的中點，點E在AB

的延長線上，將DEF繞點。順時針旋轉。度（。＜。＜180）得到DEF,當3。*是直角三角形

時，的長為.

三、解答題

19.下面兩幅圖案是中心對稱圖形嗎？如果認為是，標出它們的對稱中心.對于圖②，至少

把圖形繞整個圓的圓心旋轉多少度，就能和原圖重合?

20.在邊長為1個單位長度的正方形網格中建立如圖所示的平面直角坐標系，ABC的頂點都

在格點上，請解答下列問題：

(1)作出ABC向左平移4個單位長度后得到的并寫出點G的坐標；

(2)作出ABC關于原點。對稱的△4角02,并寫出點C?的坐標；

?)△A與6可看作△ARC以點(,)為旋轉中心，旋轉180。得到的.

21.如圖，已知「ABC,將一ABC沿直線3C平移得到(其中A、B、C分別與4、區、

G對應)，平移的距離為3c長度的|.

BC

⑴畫出滿足條件的△A4G；

9

(2)連接AG,如果「ABC的面積為萬，求出ABC的面積.

22.如圖，在，ABC中，點。在BC邊上，AB=AD,將線段AC繞點A逆時針旋轉到AE的位

置，使得NG4E=4L4D,連接。E,交AC于點H

BDC

⑴求證：BC=DE；

⑵若ZABC=75o,ZACB=25。，求ZAKD的度數.

23.圖①、圖②和圖③都是5x5的正方形網格，每個小正方形邊長均為1.按要求分別在圖①、

圖②和圖③中畫圖：

⑴在圖①中畫等腰ABC,使其面積為3,并且點C在小正方形的頂點上；

⑵在圖②中畫四邊形ARDE,使其是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形，D,E兩點都在小正方

形的頂點上；

⑶在圖③中畫四邊形ABBG,使其是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形，F,G兩點都在小正

方形的頂點上；

24.如圖，已知四邊形A5CD是正方形，點E在。C上，將VADE經順時針旋轉后與重

合，再將△鉆尸向右平移后與刀S重合.

(1)旋轉的中心為點,旋轉角的度數;

(2)如果連接所，那尸是_____三角形；

(3)試猜想線段AE和。”的數量關系和位置關系，并說明理由.

25.如圖.在Rt^ABC中，ZABC=90°,ZACB=30。，將ABC繞點C順時針旋轉一定角度得

到DEC,點、A、3的對應點分別是。、E,連接AD,點E恰好在AC上.

D

⑴求NC4D的大小；

(2)若AB=2,求AE的長度.

26.如圖，在等腰RtaABC中，ZSAC=90°,AB^AC,。在邊C4的延長線上，E在邊AB上,

AD=AE,連接DE.

觀察與思考如圖1,連接8。，CE,△曲可以由通過旋轉變換得到，請寫出旋轉中

心、旋轉方向及旋轉角的大小.

遷移與運用將圖1中的VADE繞點A旋轉,當直線OE經過BC的中點R時，連接8。，如圖

2,求證：BDAE.

操作與拓展將圖1中的VADE繞點A旋轉,當B,D,E三點在同一條直線上，且該直線恰

好經過AC的中點,直接寫出黑的值.

圖2備用圖

27.在ABC中，ABAC=9Q°,AB=AC,。在邊2C上運動(點。不與3,C重合)，連接AO,

把線段繞點A順時針旋轉90。后得到AE,連接DE,交于點H

(1)如圖1,求證：NBDE=/DAC；

(2)如圖1,當ZAED=67.5。時，請用等式表示線段8尸，BD,3C三者之間的數量關系，并加以

證明；

(3)如圖2,若BC=8,G為8C中點，連接EG,四邊形ACGE的面積是否會改變？若會改變請

說明理由，若不會改變，請求出它的面積.

第三章圖形的平移與旋轉（單元重點綜合測試）

答案全解全析

一、單選題

1.下列圖形是中心對稱圖形的是（）

【分析】本題考查的是中心對稱圖形，根據中心對稱圖形的概念判斷.把一個圖形繞某一點

旋轉180。，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形.

【解析】解：選項A、C、D的圖形都不能找到一個點，使圖形繞某一點旋轉180。后與原來的

圖形重合，所以不是中心對稱圖形.

選項B的圖形能找到一個點，使圖形繞某一點旋轉180。后與原來的圖形重合，所以是中心對

稱圖形.

故選：B.

2.如圖所示的圖案分別是三菱、大眾、奧迪、奔馳汽車的車標，其中可以看著是由“基本圖

案”經過平移得到的是（）

【答案】C

【分析】根據平移的性質：不改變物體的形狀和大小，朝一個方向移動能夠得到的圖形.

【解析】解：觀察圖形可知A,D選項的圖形由旋轉可得到，B選項的圖形由對折可得到；

選項C的圖形是通過圖形平移得到的，符合題意；

選項A、B、D圖形不能通過平移得到，不符合題意.

故選C

【點睛】此題考查了圖形的平移，平移只改變位置，不改變大小和性質，要注意與旋轉和翻

折的區別是解題的關鍵.

3.在平面直角坐標系中，將點。,~4）平移到點（-3,-2）,經過的平移變換為（）

A.先向左平移4個單位長度，再向下平移6個單位長度

B.先向右平移4個單位長度，再向上平移6個單位長度

C.先向左平移4個單位長度，再向上平移2個單位長度

D.先向右平移4個單位長度，再向下平移2個單位長度

【答案】C

【分析】本題考查點的平移.根據點的平移規則：左減右加，上加下減，進行判斷即可.

【解析】解：?；-3-1=y-2-(T)=2,

???將點(1，T)先向左平移4個單位長度，再向上平移2個單位長度，得到點(-3,-2)；

故選C.

4.如圖，VAOE是由ABC旋轉后得到的，下列說法正確的是()

A.旋轉中心不是點AB.BC/DE

C.旋轉方向是順時針D./BAD=NCAE

【答案】D

【分析】由旋轉中心，旋轉方向，旋轉前后的對應邊，旋轉角的含義可以直接求解.

【解析】解：一ADE是由ABC旋轉后得到的，

???旋轉中心為點A,BC=DE,旋轉方向可以是順時針,也可以是逆時針,旋轉角為ZBAD=ZCAE,

故選：D.

【點睛】本題考查了旋轉的性質，掌握旋轉的性質以及基本概念是解題的關鍵.

5.在第四象限內有一點M(x，>),且岡=3,聞=5那么點M關于原點對稱的點的坐標是()

A.(-3,5)B.(3,-5)C.(-3,-5)D.(3,5)

【答案】A

【分析】本題考查絕對值、點所在的象限、求關于原點對稱的點的坐標，先求得點〃的坐標，

再根據點(x,>)關于原點對稱的點的坐標為求解即可.

【解析】解:依題意，》=3-=-5,

點/(3,-5)關于原點對稱的點是(-3,5).

故選：A.

6.如圖，將ABC繞點A逆時針旋轉70。，得到VADE,若點。在線段3c的延長線上，則的

大小是（）

【答案】D

【分析】本題考查了旋轉的性質，等腰三角形的性質，掌握旋轉的性質是解題的關鍵.由旋

轉的性質可得=NBAD=70。,由等腰三角形的性質可求解.

【解析】解：將ABC繞點A逆時針旋轉70。得到

:.AB=AD,ABAD=10°,

故選：D.

7.如圖，將ABC繞頂點A逆時針旋轉得到點3的對應點玄在BC上，若4=70。,

則/CAC的度數是（）

A.40°B,50°C.60°D.70°

【答案】A

【分析】本題主要考查圖形旋轉的性質和等腰三角形的性質，根據AB=AB',ABAC=ZB'AC,

可求得ZC'AC=ZBAB'.

【解析】解：根據題意，得：

AB=AB',ABAC=AB'AC.

VZB=70°,AB^AB',

：.ZAB'B=10°.

：.ZBAB'=1SO°-ZB-ZAB'B=40°.

,?ABAC=ZBAB'+NB'AC,ZB'AC=ZC'AC+NB'AC,ABAC=ZB'AC,

ZC'AC=ZBAB'=40°.

故選：A.

8.小明有一個俯視圖為等腰三角形的積木盒，現在積木盒中只剩下如圖所示的九個空格，下

面列有積木的四種搭配方式，其中恰好能放入盒中空格的有（）

搭配①搭配②搭配③搭配④

!>>■豁EM

MMES.Ew

A.1種B.2種C.3種D.4種

【答案】D

【分析】把這四種搭配進行組合，可得出如圖的九個空格的形狀，即為本題的選項.

【解析】解：.??將搭配①②③④組合在一起，正好能組合成九個空格的形狀，

???恰好能放入的有①②③④.

故選：D.

【點睛】本題考查了圖形的剪拼，解題關鍵是培養學生的空間想象能力以及組合意識.

9.如圖，Rt^ABC中，ZACB=9Q°,ZABC=30°,“為直線上的一個動點，將線段AM繞

點A順時針旋轉60。得到線段⑷V,連接CN,則當CN取得最小值時，下列結論正確的是（）

A.直線aVLABB.直線CN平分A3

C.直線CN與直線8c重合D.直線CN與直線AC重合

【答案】B

【分析】延長AC到E,使得AE=AB,連接NE,先求出Nfi4c=60。，AB=2AC,由旋轉的性質可

得=ZMAN=60°,則/RAM=/FAN.證明.BAM四.EW（SAS）,得至lj==30。,

則點N在直線EN運動，故當CNLEN時，CN最小，設當CN，EN時，點N與點H重合，延

長8C交A3于證明△AB是等邊三角形，得到AF=AC,則AB=2AF,即直線CN平分A8.

【解析】解：如圖所示，延長AC到E,使得4E=AB,連接NE,

?.,□△ABC中，ZAC3=90°,ZABC=30°,

：.ABAC=180°-NACB-ZABC=60°,AB=2AC,

由旋轉的性質可得4W=㈤V，ZMAN=60°,

/BAC=/MAN,

：.ZBAM=/EAN,

：..BAM^EAN(SAS),

/.ZAEN=NABM=30°,

???點N在直線EN運動，

.,.當CVLEN時，CN最小，

設當CN1.EN時，點N與點”重合，延長8C交于R

ZACF=/HCE=90°-30°=60°,

...是等邊三角形，

AF=AC,

"：AB=2AC,

AB=2AF,

...直線CN平分AB,

故選B.

【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質與判定，全等三角形的性質與判定，三角形內角

和定理，含30度角的直角三角形的性質，旋轉的性質等等，確定N的運動軌跡是解題的關

鍵.

10.如圖，已知一ABE,NASE=120。，將一年繞點3順時針旋轉60。得至kCBD,連接AC,ED,

AE和8交于點P.則下列結論中正確的是（）

FE

ABD

A.』APC=30°

B.AC與BE不平行

C..比史可以看作是AFC平移而成的

D.ASC和一一8DE都是等邊三角形

【答案】D

【分析】本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的判定與性質，平行線的判定，平移的性質，

熟練掌握旋轉的性質，以及等邊三角形的判定與性質是解題的關鍵.設AE與BC相交于點產，

根據旋轉可得：■^ABC=NDBE=60。,,ABE-CBD,從而可得NBAE=NBCD,BA=BC,BE=BD,進

而可得ABC和一BED都是等邊三角形，然后利用等邊三角形的性質可得的C=60。，從而可

得ZB4C=ZZME=60。，進而可得ACBE,再利用三角形內角和定理，以及對頂角相等可得

ZAPC=ZABC=60°,最后根據ABwBD,可得一ABC和.BED不全等，從而利用平移的性質可得

不可以看作是，ABC平移而成的，即可解答.

【解析】如圖：設AE與BC相交于點產，

由旋轉得:乙改=ZDBE=60°,^ABE^CBD,

；.ZBAE=ZBCD,BA=BC,BE=BD,

：.ASC和BED都是等邊三角形，

/.ZR4c=60。,

ZBAC=ZDBE=60°,

：.ACBE,

'；ZAFB=ZCFP,ZAPC=180°-ZBCD-ZCFP,ZABC=180°-ABAE-AAFB,

：.ZAPC=ZABC=60°,

"：AB^BD,

/.ABC和BED不全等,

??.BDE不可以看作是ABC平移而成的，

故A、B、C不符合題意，D符合題意，

故選:D.

二、填空題

11.如圖，將.ABC沿直線A2向右平移得到ABDE.若/G4B=50。，4=30。，則/C3D的度

數為.

【解析】略

12.已知點A（2,4）與點30_L2a）關于原點對稱，則。+6=.

【答案】-3

【分析】本題考查的是關于原點對稱的點的坐標特點，橫縱坐標都互為相反數，再得到關于

a,6的方程，然后求解即可.

【解析】解：???點42,4）與點3（6一1,2a）關于原點對稱，

??h—1——2,2a——4,

解得：a=-2,b=-l,

〃+Z?=-1+（-2）=—3?

故答案為：-3.

13.如圖所示是一個樓層的俯視圖，中間陰影部分是兩條通道，這兩條通道把樓層隔出四個

小房間，根據圖示信息，這四個小房間的總面積可表示為.

【答案】

【分析】本題主要考出來了平移的性質，根據平移的性質可得，這四個小房間的總面積等于

一個長為S-c），寬為S-d）的長方形面積，據此可得答案.

【解析】解：由平移的性質可得，這四個小房間的總面積等于一個長為（。-C）,寬為的

長方形面積，

???這四個小房間的總面積可表示為（a-c）。-d）,

故答案為：

14.如圖，ABC的頂點都在方格紙的格點上，將.ABC繞點。按順時針方向旋轉得到A'B'C,

使各頂點仍在格點上，則旋轉角的度數是.

【答案】90。/90度

【分析】本題主要考查了旋轉角的概念，解題的關鍵是掌握旋轉角的概念.根據旋轉角的概

念找到,欣陽是旋轉角，從圖形中可求出其度數即可.

【解析】解：根據旋轉角的概念：對應點與旋轉中心連線的夾角，可知是旋轉角，且

/BOB'=90°,

故答案為：90°.

15.如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（0,3）,沿x軸向右平移后得到△ON?,

點A的對應點在直線y=%上一點，則點A與其對應點A之間的距離為.

【答案】4

【分析】本題考查一次函數的平移和點坐標的平移問題，先根據向右平移縱坐標相同得到點A

的坐標為（4,3）,即可求解平移距離.

【解析】解：連接A4，，如圖所示,

a

當y=3時,-x=3,

解得：尤=4,

???點A的坐標為（4,3）,

又點A的坐標為（0,3）,

??AA=4.

故答案為：4.

16.如圖，將ABC繞點A按逆時針方向旋轉70。得到△血），連接跖，若短＞BE,則/C4E

的度數為

【分析】本題主要考查了旋轉的性質，等邊對等角，三角形內角和定理，平行線的性質，先

180°-ZBAE

由旋轉的性質得到AB=M，NBAC=NEAD,ZBAE=70°,進而得到/AE8=

2

再由平行線的性質得到的C=55。，即可得到答案.

【解析】解：???將繞點A按逆時針方向旋轉70。，得到△AED

/.AB=AE,ABAC=NEAD,ZBAE=70°,

ADBE,

/.ZEAD=ZAEB=55°9

：.ABAC=55°,

/.Z.CAE=ZBAE-ABAC=15°.

故答案為：15.

17.如圖，點A在x軸上，Q4=3,點B在，軸正半軸上.將AB繞著點A順時針旋轉120°得至I」AC,

若點C的橫坐標為7,過點C作軸，垂足為F，則△ACF的面積為.

【分析】本題考查了旋轉的性質和含30。角直角三角形的性質，熟練掌握以上知識點是解題的

關鍵，首先將AO3繞點A順時針旋轉120。，得到△ADC,延長。C交x軸于點E,即可求出

AE=2AD=2（M=6,AF=7-3=4,EF=6-4=2.然后求出CF=撞，進而求出△ACT的面積.

3

【解析】解：如圖，將AO3繞點A順時針旋轉120。，得到八位）。，延長DC交x軸于點E.

在RtADE中，ZZME=60。，貝ljAE=2AD=2(M=6,AF=7—3=4,

/.EF=6-4=2.

在RtCEF中，ZE=90°-60°=30

c7

3

???AACF的面積=?醇4=華,

故答案為半

18.如圖，RtABC^RtDEF,ZC=ZF=90°AC=4,BC=8,點。為48的中點，點E在AB

的延長線上，將DEF繞點。順時針旋轉。度（。＜。＜180）得到DEF,當.3。面是直角三角形

時，的長為.

cF

/

A￡>'、、B\E

'、、\

'、、\

'、、、.'、\

、、'E

【答案】10或2西

【分析】本題考查了勾股定理，全等三角形的性質，旋轉的性質.根據勾股定理可求出AB=46,

先根據全等三角形的性質和旋轉的性質，得到OE=DE=AB=4g,從而得到A。=80=26.再

分情況討論：①當/由足'=90。時；②當//叼￡=90。時，利用勾股定理分別求解，即可得到答

案.利用分類討論的思想解決問題是解題關鍵.

【解析】解：.“=90。，AC=4,BC=8,

由勾股定理得：AB=^AC2+BC2=4X/5>

Rt.ABC^RtDEF,

:.DE=AB=4y/5,

DEF繞點D順時針旋轉得到VDE尸,

:.DE=DE'=4書,

點。為AB的中點，

,-.AD=BD=1AB=2>/5,

①當N&)E=90。時，

NBDE'=90。,

:.ZADE'=90°,

AE'=y]AD2+DE'2=?2灼2+(4扃=10；

②當/ftBE=90。時，

在RtDBE'中，BE'=yjDE'2-BD2=44后一（2用=2^/15,

在RtW中，AEjBE松+A3,=42后1+卜肩=2后,

綜上可知，的長為10或2后.

故答案為：10或2后.

三、解答題

19.下面兩幅圖案是中心對稱圖形嗎？如果認為是，標出它們的對稱中心.對于圖②，至少

把圖形繞整個圓的圓心旋轉多少度，就能和原圖重合？

【答案】圖①是中心對稱圖形，對稱中心為。，如下圖；圖②不是中心對稱圖形，圖形繞圓

心至少旋轉120,就能和原圖重合.

【分析】根據中心對稱圖形的定義：一個圖形繞著某一點旋轉180后能夠與自身重合的圖形

就是中心對稱圖形，可知：圖①是中心對稱圖形，中間圓的圓心就是圖形的對稱中心；

圖②不是中心對稱圖形，至少把圖形繞整個圓的圓心旋轉120,就能和原圖重合；由此得出

答案即可.

【解析】解：圖①是中心對稱圖形，對稱中心為。如下圖：

o

圖②不是中心對稱圖形，圖形繞圓心至少旋轉360+3=120,就能和原圖重合.

【點睛】此題考查利用旋轉設計圖案，掌握旋轉的意義與性質是解決問題的關鍵.

20.在邊長為1個單位長度的正方形網格中建立如圖所示的平面直角坐標系，ABC的頂點都

在格點上，請解答下列問題：

(1)作出ABC向左平移4個單位長度后得到的△44G,并寫出點G的坐標;

(2)作出ABC關于原點。對稱的并寫出點C2的坐標;

(3)人%鳥&可看作△A4G以點Q)為旋轉中心，旋轉180。得到的.

【答案】⑴作圖見解析，q(-i,2)

(2)作圖見解析，Q(-3,-2)

(3)-2,0

【分析】本題主要考查圖形的平移、旋轉以及中心對稱：

(1)根據圖形平移的性質分別求得點A,B,C平移后的對應點A,B,,G，依次連接點A,

BL,G即可.

(2)分別求得點A,B,C關于原點。的對應點人,星，G,依次連接點4,層，G即可.

(3)根據圖形旋轉的性質，連接△A8C和△44&中任意兩個對應點，線段的中點即為旋轉

中心.

【解析】(1)如圖所示，點G的坐標為(-1,2).

(2)△AAQ如圖所不，C,(-3,-2).

(3)△A/C可看作△A用G以點(-2,0)為旋轉中心，旋轉180。得到的.

故答案為：-2,0

21.如圖，已知「ABC,將「ABC沿直線2C平移得到△4BC(其中A、3、C分別與4、4、

G對應)，平移的距離為BC長度的|.

⑴畫出滿足條件的△A4G；

Q

(2)連接AG,如果:ABC的面積為萬，求出,A2G的面積.

【答案】(1)見解析

⑵T

【分析】(1)根據平移作圖的方法作圖即可；

7S

（2）先根據平移的性質得到CG="C,則B￡=至C,過點A作AD13C于。，根據三角形

面積公式得到=|BCAD=|,則5AAflCi=|BC,.AD=y.

【解析】（1）解：如圖所示，△ABC即為所求；

7

(2)解：由平移的性質可知CGJ2C,

/.BQ=BC+CC[=|sc,

過點A作ADIBC于D,

19

''SAABC=-BC-AD=~,

???^C1-1BC1-AP=^.

【點睛】本題主要考查了平移作圖，平移的性質，三角形面積，熟知平移的相關知識是解題

的關鍵.

22.如圖，在，ABC中，點。在BC邊上，AB=AD,將線段AC繞點A逆時針旋轉到AE的位

置，使得NC4E=N胡D,連接DK,交AC于點H

⑴求證：BC=DE；

⑵若ZABC=75o,ZACB=25。，求ZA/力的度數.

【答案】（1）見解析

（2）55°

【分析】本題主要考查全等三角形證明與性質，等腰三角形性質，旋轉性質等知識點：

（1）根據NC4E=N3AD,可得ZBAC=4ME,根據旋轉的性質可得AC=M，根據SAS可證

AABC^AADE,利用全等三角形的對應邊相等即可求出結論.

(2)根據等腰三角形的性質及三角形內角和求出ZB4D=30。，從而可得4AF=/BAD=30。,

利用全等三角形的性質可得ZE=ZACB=25。，即可.

【解析】(1)證明：=

ZBAD+NDAC=ZCAE+ADAC.

即NBAC=NDAE,

將線段AC繞點A旋轉至UAE的位置，

AC=AE.

在ABC與.AOE中，

AB=AD

<ABAC=ZDAE

AC=AE

ABC組ADE(SAS),

/.BC=DE；

(2)解：AB=AD,ZABC=75。,

o

.".ZJBAD=180°-75x2=30°.

:.ZEAF=ZBAD=30°.

^ABC^AADE,

..ZE=ZACB=25°.

二/AFD=NE4B+/E=30。+25。=55。.

23.圖①、圖②和圖③都是5x5的正方形網格，每個小正方形邊長均為1.按要求分別在圖①、

圖②和圖③中畫圖：

⑴在圖①中畫等腰ABC,使其面積為3,并且點C在小正方形的頂點上；

(2)在圖②中畫四邊形ASDE,使其是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形，D,E兩點都在小正方

形的頂點上；

(3)在圖③中畫四邊形鉆尸G,使其是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形，F,G兩點都在小正

方形的頂點上；

【答案】(1)作圖見解析

(2)作圖見解析

⑶作圖見解析

【分析】(1)取格點C,連接AC、8c即可；

(2)取格點。、E,連接AE、DE、即即可；

(3)取格點/、G,連接AG、GF、所即可.

【解析】(1)解：取格點C,連接AC、BC,取格點。，連接8。，

???圖①是5x5的正方形網格，每個小正方形邊長均為1,

，CO=AO=1,80=3,BO1AC,

：.3。垂直平分AC,

BC=BA,

???ABC是等腰三角形，

XVSAASC=|AC-OB=1X2X3=3,

等腰面積為3,且點C在小正方形的頂點上，

則ABC即為所作；

(2)取格點。、E,連接AE、DE、BD,

???圖②是5x5的正方形網格，每個小正方形邊長均為1,

/.AE//BD,AE=1,BD=3,

：.AE^BD,

???四邊形ABDE是梯形，

AB=Vl2+32=710-ED7fs=M,

：.AB=ED,

I.四邊形ABDE是等腰梯形，它是一個軸對稱圖形，不是中心對稱圖形,

則四邊形即為所作;

圖②

(3)取格點/、G,連接AG、GF、M即可，

???圖③是5x5的正方形網格，每個小正方形邊長均為1,

/.AG//BF,AG=2=3b,

???四邊形"FG是平行四邊形，它是一個中心對稱圖形，不是軸對稱圖形,

則四邊形ABFG即為所作.

G圖③

【點睛】本題考查作圖一應用與設計作圖，考查了垂直平分線的性質，等腰三角形的判定，

等腰梯形的判定，勾股定理，平行四邊形的判定，中心對稱圖形，軸對稱圖形，三角形的面

積等知識.解題的關鍵是理解題意，學會利用數形結合的思想解決問題.

24.如圖，已知四邊形ABCD是正方形，點E在。C上，將VADE經順時針旋轉后與△謝重

合，再將AAB/向右平移后與DS重合.

(1)旋轉的中心為點I______,旋轉角的度數;

(2)如果連接斯，那AAE尸是______三角形；

(3)試猜想線段AE和。”的數量關系和位置關系，并說明理由.

【答案】⑴A,90°

(2)等腰直角

(3)鉆=。〃且鉆，/)”,理由見解析

【分析】本題考查了旋轉和平移這兩種圖形變換，掌握相關性質是解題關鍵.

(1)根據旋轉的定義即可求解；

(2)由旋轉的性質可得加?=",結合/E4F也為旋轉角即可求解；

(3)由旋轉的性質可得：AE=AF,ZBAF=ZDAE-,由平移的性質可得：AF=DH.NBAF=/CDH,

據此即可求解.

【解析】(1)解：：將VADE經順時針旋轉后與重合，

旋轉的中心為點A,/BAD為旋轉角,

,/四邊形A5CD是正方形，

ZBAD^90°,

故答案為：A,90°；

(2)解：由旋轉的性質可得：AE=AF,

：-E4F也為旋轉角，

，ZEAF=9Q°

I.AAEF是等腰直角三角形，

故答案為：等腰直角；

(3)解：AE=DHS.AE±DH,理由如下：

由旋轉的性質可得：AE=AF,ZBAF=ZDAE,

由平移的性質可得：AF=DH,ZBAF^ZCDH,

：.AE=DH,ZCDH=NDAE,

ZAED+ZDAE^90°,

：.ZAED+ZCDH=90°,

ZDGE=90。

AE±DH.

25.如圖.在Rt^ABC中，ZABC=90°,ZACB=30。，將ABC繞點C順時針旋轉一定角度得

到DEC,點A、3的對應點分別是。、E,連接AD,點E恰好在AC上.

D

⑴求/CW的大小；

(2)若AB=2,求AE的長度.

【答案】(1)75。

(2)4-2月

【分析】本題主要考查旋轉的性質，30。角所對的直角邊等于斜邊的一半以及勾股定理等知識:

(1)由旋轉的性質可得CA=CD,ZACB=ZDCE=30°,ZABC=/DEC=90°,由等腰三角形的性質

可得/C4D=75。，即可求解.

(2)根據“30。角所對的直角邊等于斜邊的一半”求出AC=4,再根據勾股定理求出BC=26,

進一步可求出AE=4-2g.

【解析】(1)解：???將，ABC繞點C順時針旋轉一定的角度得到DEC,

：.CA=CD,ZACB=ZDCE=30°,

/.ACAD=1(180°-ZACD)=1(180°-30°)=75°.

(2)解：在中，

VAB=2,ZABC=90°,AACB=30°,

AC=2AB=4,

由勾股定理可得：BC=ylAC2-AB2=2A/3，

由圖形的旋轉可知：△ACS四

CB=CE=24),

/.AE=AC-CE=4-2y/3.

26.如圖，在等腰RtAABC中，/SAC=90。，AB=AC,。在邊04的延長線上，E在邊AB上，

AD=AE,連接OE.

觀察與思考如圖1,連接B。，CE,可以由A4CE通過旋轉變換得到，請寫出旋轉中

心、旋轉方向及旋轉角的大小.

遷移與運用將圖1中的VADE繞點A旋轉，當直線OE經過BC的中點R時，連接8。，如圖

2,求證：BDAE.

操作與拓展將圖1中的VADE繞點A旋轉，當B,D,E三點在同一條直線上，且該直線恰

好經過AC的中點,直接寫出黑的值.

圖2備用圖

【答案】觀察與思考：是由"CE繞點A逆時針旋轉90。得到的；遷移與運用：見解析;

操作與拓展：黑半

【分析】觀察與思考先證明ZfiW=90。，再證明ABZ^zACE(SAS),根據旋轉定義判斷解答

即可.

遷移與運用連接CE,延長EF至點G,使FG=FE,連接8G.證明△BFG/△CFE,再證明

AB。-E(SAS),利用內錯角相等，兩直線平行證明即可.

操作與拓展連接CE,過點A作于點設AC的中點為Q,先證明ABD^.：ACE(SAS),

再證明AQH%CQE(AAS),得至"CE=AH=DH=EH=BD=a,利用勾股定理計算解答即可.

【解析】解：觀察與思考

AD=AE

ZBAD=ZCAE=90°,

AB=AC

/.AB^ACE(SAS)

故AABD是由AACE繞點A逆時針旋轉90。得到的.

遷移與運用

連接CE,延長斯至點G,使FG=FB,連接BG.

BF=CF

<NBFG=NCFE,

FG=FE

：.BFG^,CFE'(SAS),

...ZFBG=ZFCE,BG=CE.

ZBAD=900-ZBAE=ZCAE,

AD=AE

\ZBAD=ZCAE9